我对九宫格解法的理解

已知：九个格子，用1至9九个整数不重复的填入其中，使得每行、每列以及对角线三个数相加之和总是一个固定常数。

解：因为1+2+……+9=45，共有三行，45除以3等于15，我们可以知道该固定常数是15。设九个数分别为a至m，那么可以列出8个加法式：

a+b+c=15 (1)

a+e+m=15 (2)

a+d+g=15 (3)

m+h+g=15 (4)

m+f+c=15 (5)

b+e+h=15 (6)

d+e+f=15 (7)

g+e+c=15 (8)

8个式子相加，得总式：

3a+4e+3m+3c+3g+2b+2h+2d+2f=120,

因为a+m=c+g, b+h=d+f,化简原式，得：

4e+6a+6m+4b+4h=120，因为e+b+h=15,

所以可得：6a+6m=120 – 60

a+m=10

所以：e=5。至此，我们求出了中间的这个数，把e代入8个加法式中，其化简为：

a+b+c=15 (1)

a+m=10 (2)

a+d+g=15 (3)

m+h+g=15 (4)

m+f+c=15 (5)

b+h=10 (6)

d+f=10 (7)

g+c=10 (8)

这样看来，还是未知数太多，无法求解，我们试着联立（2）、（3）式，换一种思路，得：m - d - g=-5, （9）

因为d+g=b+c,

所以（9）式转换成：m-(b+c)=-5

联立方程组：

m-(b+c)=-5 m - c=-5+b (10)

m+f+c=15 m+c=15 - f (11)

将（10）、（11）相加，得： m=5+b−f 2

我们利用已知条件对m的取值范围加以约束，1≤m≤9，且m≠5，即：1≤b−f

2

≤4，b≠f≠5，b,f>0，化简不等式，得：2+f≤b≤8+f,因为1≤b≤9，所以2+f≥1，8+f≤9，得−1≤f≤1，所以f只能取1，则b理论上可取3，4，6，7，8，9.

然后我们希望通过找到一个关于b的式子，能对b的取值进一步加以限制，于是，我们联立（2）、（5）：a+m=10

m+f+c=15，

因为f=1，所以可得式子：a - c = - 4，转换成：a=-4+c (12)

将（12）式代入（1）式得：b=19-2c (13)

这个时候我们就可以对b的取值加以限定了，因为c必须为整数，所以b肯定不能取4，6，8；又因为f=1，所以b不能取9，所以，b可以取3或7。

至此，我们求出了e、f、b的值，我们又能根据b的取值求出c和m的值，继而所有的数就都可求出来了。

很巧的是，求解的顺序和“戴九履一，左三右七，二四有肩，六八为足，五居中央”基本是一样的。

（欢迎大家指正，探讨）