数学九年级下册第28章锐角三角函数28.2解直角三角形

AB
cos A cos 35 0.819 2
【总结提升】已知一边和一锐角解直角三角形的两种类型 1.已知斜边和一锐角，如c，∠A，如图1，∠B=90°-∠A， a=c·sin A，b=c·cos A(或b= ).
c2 a2
2.已知一直角边和一锐角，如a,∠A,如图2， ∠B=90°-∠A，
c a , b a (或b c2 a2 ). sin A tan A
【自主解答】（1）若使A，C，E成一条直线，则需∠ABD是 △BDE的外角，∴∠E＝∠ABD－∠D＝127°－37°＝90°，∴DE ＝BD·cos 37°≈520×0.80=416（m）， ∴施工点E离D 416 m时，正好能使A，C，E成一条直线. （2）由（1）得：BE＝BD·sin 37°≈520×0.60=312（m）， ∵BC＝80 m，∴CE＝BE－BC≈312－80＝232（m）． ∴公路CE段的长约为232 m．
解直角三角形
（打“√”或“×”） （1）视线与水平线的夹角叫仰角.（ ） （2）水平线下方的角叫俯角.（ ）× （3）仰角可以是钝角.（ ） ×
×
知识点 1 解直角三角形的应用 【例1】(2012·吉林中考)如图，沿AC方向开 山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山 的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取 ∠ABD＝127°，沿BD的方向前进，取∠BDE＝ 37°，测得BD＝520 m，并且AC，BD和DE在同 一平面内．
题组一:已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知b＝6， c＝8，则a的值是（ ）
A.10 B.4
C.2
D.3
【解析】选C.a=
2A..在 90R°t△ABBC.中60，°∠C=9C0.°475，°AC= D，.37B0C°= ，则∠A=（ ）
【解析】选B.∵tanc2A=b2 82 6，2 ∴∠2A8=620°7..
【解题探究】（1）在直角△BCD中，探究BC，CD有何数量关
系？
提示:∵∠C=90°，∠BDC=45°，∴∠CBD=45°=∠BDC，
∴BC=CD.
(2)在Rt△ACD中，探索BC的长.
提示:∵∠C=90°，∠CDA=60°，∴tan∠CDA=
，
解得BC=10 +10（m）.
AC 3 AB BC 20 BC
，由
c2 a2 a c
知识点 2 已知一边与一锐角解直角三角形 【例2】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20， ∠A＝60°，则∠B=____,BC=_____,AC=_____. (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°， AC=3,解这个直角三 角形.（精确到0.001，sin 35°=0.573 6， cos 35°=0.819 2，tan 35°=0.700 2）
CD
BC
BC
3
【总结提升】解答有关仰角、俯角实际问题的方法 1.仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角 和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时， 要善于将实际问题抽象为数学问题. 2.视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角（俯角） 和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度. 3.弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问 题中的数量关系归结到直角三角形中来求解.
(1)施工点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（结果保留整数）. (2)在(1)的条件下，若BC＝80 m，求公路CE段的长（结果保留整 数）．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75)
【思路点拨】（1）若使A，C，E成一条直线，则需∠ABD是 △BDE的外角，可求得∠E的度数，然后求得答案. （2）首先求BE的长，再求得公路段CE的长．
【例1】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= ,AC= ,则
AB=
,∠A=
,∠B=
.
(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,a=5,c=150.解这个15直角三角形.
【思路点拨】（1）根据勾股定理求斜边，根据正切值求∠A， 根据两锐角的关系求∠B. （2）根据勾股定理求另一直角边，根据正弦求∠A，根据两锐 角的关系求∠B．
【思路点拨】（1）先根据直角三角形两锐角的关系求∠B，再 根据∠A的正弦求BC，最后根据∠B的正切求AC. （2）先根据直角三角形两锐角的关系求∠B，再根据∠A的正切 求BC，最后根据∠A的余弦求AB.
【自主解答】（1）在Rt△ABC中，∠B=90°-60°=30°.
∵sin A= ,∴BC=ABsin A=20·sin 60°=10 ，
∵cos A= , ∴b=c·coas A=8 ×cos 60°=
c
3
8 3 3
2
b
c 3
8 3 1 4 3. 2
【方法技巧】解直角三角形一般遵循的两个原则 1.先求角后求边：一般情况下先求出直角三角形的角再求边. 2.宁乘毋除：边角关系的选择一般先考虑乘法，再考虑除法， 如求对边可选择正弦或正切，求邻边选择余弦.
∴a=1,∴c= =2，
∴
a
a
b
3
，求a，c及
3
a2 b2
S△ABC
ab 2
3. 2
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知，∠A=60° ,c＝8 ,解这个
直角三角形.
3
【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°－60°=30°.
∵sin A= ,
∴a=c·sin A=8 ×sin 60°= =12,
2
6
BC 6 3 AC 2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=10，AB=10 ，则
AC=_____，∠B=__________.
2
【解析】由题意知：
∵cos B=
,∴∠B=45°.
答案:10 45°
AC AB2 BC2 (10 2)2 102 10
BC 10 2 AB 10 2 2
【总结提升】解直角三角形的应用的两步骤 1.画示意图：将实际问题中的数量关系在图形中表示出来. 2.建模解直角三角形：分析图形中的已知条件，选择合适的数 学模型，解直角三角形.
知识点 2 仰角、俯角问题 【例2】（2013·乐山中考）如图,山顶有一铁塔AB的高度为 20 m，为测量山的高度BC,在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰 角分别为60°和45°，求山的高度BC.（结果保留根号）
题组一:解直角三角形的应用
1.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测
得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50 m，则小
2.5 4
所以梯子与地面所成的锐角约为51°19′4″.
题组二:已知一边与一锐角解直角三角形 1.如图，为测河两岸的距离，在距离A点10米的C处（AC⊥AB） 测得∠ACB=50°，则A，B之间的距离为（ ）
A.10sin 50°米
B.10cos 50°米
C.10tan 50°米
D.
米
【解析】选C.∵tan C=
∵tan B= BC,∴AC=BC·tan B=10 =10.
答案:30° 1A0B 10
3
（ ∵t2a）n 在A=RtAB△CCA, BC中，∠B=90°－35°=3 5353°.
∴BC=AC·tan3A=3×tan 35°=3×0.700 2≈2.101,
∵cos
≈3.662.
BC AC
A AC ,AB AC 3 3
过程.
已知元素
未知元素
(打“√”或“×”) (1)直角三角形已知两边可以求第三边. ( ) (2)直角三角形已知一边与一锐角可以解直角√三角形. ( ) (3)直角三角形中已知除直角外的一个元素可(以解)直角三角√形. (4)直角三角形中已知两角可以解直角三角形. ( )
×
×
知识点 1 已知两边解直角三角形
解得： tan
tan
（3）利用含a，α，β的式子如何表示图2中AD的长度？
提 解示 得:：∵BD－CD=a，∴tanx
x tan
a，
x atan tan . tan tan
x － x a， tan tan x atan tan . tan －tan
【归纳】 1.解决实际问题时，关键是根据题意抽象出其几何模型，然后 再通过解决几何模型的问题得到实际问题的答案. 2.与斜三角形有关的问题，往往通过作一边上的高，把其转化 为______________的问题.
【自主解答】（1）∵∠C=90°，BC= ，AC= ，
∴AB=
,tan A=
，5
15
∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°. 答案:2 AC2 3B0C°2 620°5
BC 3 AC 3
（2）在Rt△ABC中，∵a2+b2=c2，a=5,c=10.
∴
∵sin A=5 ∴∠A=30°,∴∠B=90°-30°=60°.
90° （3）边与角之间的关系：sinA＝_______________；
a2+b2=c2
cosA=_____________；tanA=________A_的__对__边_.＝a
斜边 c
A的邻边＝b 斜边 c
A的对边＝a A的邻边 b
2.解直角三角形：
由直角三角形中除直角外的_________，求出其余_________的
∴AB=ACtan C=10tan 50°（米）.
10
tan 50 AB , AC
2.课外活动小组测量学校旗杆的高度． 如图，当太阳光线与 地面成30°时，测得旗杆AB在地面上的投影BC的长为24米，则 旗杆AB的高度是_____米(结果保留根号).
【解析】∵tan 30°= ,∴AB=BC×tan 30° =24× （米）. 答案:8
下方
二、与测量有关的几个图形结构 如图所示的两个图形，已知BC=a，∠B=α，∠ACD=β，求AD的 长.
【思考】（1）设AD为x，如何用含x的代数式表示BD，CD？
提示:∵tan α= ,tan β= .
∴
AD
AD
（2）利用含a，αB，D β的式子如C何D 表示图1中AD的长度？
提示B:D∵BD+x CD，=CDa， ∴x .
AB BC 3 8 3 3 3
3.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7 m，则扶梯 的占地长度是____ m（结果保留根号）. 【解析】扶梯的占地AC的长度为 =7 (m).
答案:7
7
tan 30
3
3
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=
△ABC的面积.
【解析】∵tan A= ,即tan 30°= ,
【想一想错在哪？】在△ABC中，AB=4，AC= ，∠B=60°，
则BC的长为（ ）
13
A.1
B.2
C.3
D.1或3
提示:漏掉了高在三角形外部的情况！
28.2 解直角三角形 第2课时
1.了解仰角、俯角的概念.（重点） 2.能解决与测量有关的问题，提高数学建模能力.（重点、难 点）
一、与测量有关的概念问题 1.仰角：测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 _____的角叫做仰角. 2上.俯方角：视线在水平线_____的角叫做俯角(如图所示).
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=12,AC＝4 ，解这个直
角三角形.
3Fra Baidu bibliotek
【解析】在Rt△ABC中，
∵tan B=
∴∠B=30°，∠A=90°-30°=60°.
AB
BC2 AC2
122
4
2
3
192 8 3
AC 4 3 3， BC 12 3
5.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4 m，梯子位于地面上的一 端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角. 【解析】如图，cosα＝ ＝0.625，所以α≈51°19′4″.
28.2 解直角三角形 第1课时
1.能掌握直角三角形的边、角及边角关系.（重点） 2.灵活运用直角三角形的边、角及边角关系解直角三角形. （难点）
1.直角三角形中的关系： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c，∠A，∠B为其五个 元素.这五个元素之间的关系如下： （1）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝_____. （2）三边之间的关系：________（勾股定理）.
b c2－a2 102－52 5 3. a 5 1， c 10 2
【总结提升】已知两边解直角三角形的两种类型
1.已知两直角边a,b,如图1，则c=
由tan A=
可求∠A,则∠B=90°-∠A.
a2 b2，
a
b
2.已知斜边和一直角边，如c,a,如图2，则b= sin A= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.