高考数学多维训练：小题满分限时练习(含答案解析)
专题01 集合-2022年高考数学一轮复习小题多维练(新高考版)(解析版)
集合一、单选题1.已知集合P＝{x∈N|x≤3}，Q＝{x|x2≤x+2}，则P∩Q＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．[0，2]C．{0，1，2}D．{1，2}【答案】C【分析】先求出集合P，Q，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：集合P＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，Q＝{x|x2≤x+2}＝{x|﹣1≤x≤2}，∴P∩Q＝{0，1，2}．故选：C．【知识点】交集及其运算2.已知集合A＝{x|y＝，x∈N}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算求出A∩B，然后即可得出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵A＝{x|3x≤81，x∈N}＝{x|x≤4，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，∴A∩B中元素的个数为4．故选：C．【知识点】交集及其运算3.已知集合M＝{x|log2（x﹣1）2＜4}，N＝{x|x2+4x+3≤0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x≤﹣1}B．{x|﹣3≤x＜5}C．{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5}D．{x|﹣3≤x≤5}【答案】C【分析】利用对数函数的性质解不等式log2（x﹣1）2＜4，得到集合M，再解不等式x2+4x+3≤0得到集合N，再利用集合的并集的定义求解即可．【解答】解：∵log2（x﹣1）2＜4，∴（x﹣1）2＜16，且x﹣1≠0，解得：﹣3＜x＜5且x≠1，即﹣3＜x＜1或1＜x＜5，又∵N＝{x|x2+4x+3≤0}＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5}，故选：C．【知识点】并集及其运算4.已知集合M＝{x|﹣4＜x≤2}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．{2}B．{x|﹣4＜x≤﹣2}C．{x|﹣4＜x≤2}D．{x|﹣2≤x≤2}【答案】B【分析】求出函数y＝的定义域，得到集合N，再利用集合的交集的定义求解．【解答】解：集合N＝{x|y＝}＝{x|（x+2）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥4}，∴M∩N＝{x|﹣4＜x≤2}．故选：B．【知识点】交集及其运算5.已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）【答案】D【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，A∩（∁R B）＝（﹣2，1）．故选：D．【知识点】交、并、补集的混合运算6.已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}【答案】B【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|0≤x≤2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：B．【知识点】交集及其运算7.设函数f（x）＝sin（ωx+φ），A＝{（x0，f（x0））|f'（x0）＝0}，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】可知集合A表示函数f（x）的最大值点和最小值点，而f（x）的最大值和最小值在直线y＝±1上，从而代入即可解出﹣4≤x≤4，从而得出，解出ω的范围即可．【解答】解：∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4，又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴，且ω＞0，解得，∴ω的取值范围是．故选：B．【知识点】交集及其运算8.已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：①M＝{（x，y）|y＝x3﹣2x2+3}；②M＝{（x，y）|y＝log2（2﹣x）}；③M＝{（x，y）|y＝2﹣2x}；④M＝{（x，y）|y＝1﹣sin x}；其中具有∟性的集合的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】条件等价于：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使OP⊥OP′．作出函数图象，验证即可．【解答】解：由题意知：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使，即OP⊥OP′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直线与此直线垂直，经验证①②③④皆满足．故选：D．【知识点】集合的表示法、函数的图象与图象的变换二、多选题9.下列每组对象，能构成集合的是（）A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生【答案】BD【分析】根据集合的定义进行判断即可．【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，故选：BD．【知识点】集合的含义10.已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】ABC【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B⊆A，若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；若a＝1，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；故选：ABC．【知识点】集合的包含关系判断及应用11.设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（）A．A∩B＝{0，1}B．∁U B＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集个数为8【答案】AC【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，∴A∩B＝{0，1}，故A正确，∁U B＝{2，4}，故B错误，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误故选：AC．【知识点】交、并、补集的混合运算12.已知集合A＝{x|x＝3a+2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a﹣3b，a，b∈Z}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∩B＝∅【答案】ABC【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合A＝{x|x＝3a+2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a﹣3b，a，b∈Z}，若x属于B，则：x＝2a﹣3b＝3*（2a﹣b）+2*（﹣2a）；2a﹣b、﹣2a均为整数，x也属于A，所以B是A的子集；若x属于A，则：x＝3a+2b＝2*（3a+b）﹣3*（a）；3a+b、a均为整数，x也属于B，所以A是B的子集；所以：A＝B，故选：ABC．【知识点】集合的包含关系判断及应用三、填空题13.已知集合A＝{﹣2，0，1}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝﹣．【答案】{-2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，1}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴A∩B＝{﹣2}．故答案为：{﹣2}．【知识点】交集及其运算14.设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则满足C⊆A，且C∩B≠∅的集合C共有个．【答案】4【分析】利用集合的包含关系即可求出满足条件的集合C．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，且集合C满足C⊆A，且C∩B≠∅，∴集合C＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，故答案为：4．【知识点】交集及其运算、集合的包含关系判断及应用15.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则（∁U P）∪Q＝．【答案】{1，2，4，6}，【分析】由已知，先求出C∪P，再求（∁U P）∪Q．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，∴C∪P＝{2，4，6}，∴（∁U P）∪Q＝{1，2，4，6}，故答案为：{1，2，4，6}，【知识点】交、并、补集的混合运算16.已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．【答案】132【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．【解答】解：集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，由集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X1最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X2最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时X3最小值为10；则X1+X2+X3的最小值为22+17+12＝51．同理可知最大的三个数为21，20，19；含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；则X1+X2+X3的最大值为34+27+20＝81；所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81＝132．故答案为：132．【知识点】子集与交集、并集运算的转换17.已知集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为．【分析】集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，可得集合A＝{（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．由A∩B≠∅，利用点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，∴集合A＝{（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．其圆心在直线x﹣2y+2＝0上．由A∩B≠∅，①a＜0时，由≤，或≤，或﹣2≤2a＜0．解得：≤a≤，﹣≤a＜0，或﹣1≤a＜0．即≤a＜0．②时，由＜，或＜，解得：a∈∅．③a＝0时，满足题意．a＝时，不满足题意，舍去．综上可得：实数a的取值范围为．故答案为：．【知识点】空集的定义、性质及运算18.已知A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．【答案】a＜4【分析】由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，且A∩B≠∅，∴a＜4，故答案为：a＜4．【知识点】交集及其运算19.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．【答案】[1，2]【分析】先确定集合A，B得到A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，再根据题意分类讨论得出a的取值范围．【解答】解：由已知得A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，所以，A∩B＝{x|2＜x＜3}，C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，①当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，如右图所示：则C⊇（A∩B）等价为：，解得，1≤a≤2，经检验符合题意；②当a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}；C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，因此C⊇（A∩B）是不可能的，故无解；③当a＝0时，C＝∅，此时C⊇（A∩B）是不可能的，也无解．综合以上讨论得，a∈[1，2]．故答案为：[1，2]．【知识点】子集与交集、并集运算的转换20用C（A）表示非空集合A中元素的个数，设A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，若C（A）＝5，则实数a的取值范围．【分析】由题意可得：|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．必然a＜0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，可得x＝﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有＝﹣a×，解得a，进而得出．【解答】解：A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，C（A）＝5，则|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．必然a＜0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，x＝﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有＝﹣a×，解得a＝﹣．∴0．∴实数a的取值范围是．故答案为：．【知识点】子集与交集、并集运算的转换21.已知集合M＝{（x，y）|y＝}，N＝{（x，y）|y＝x+m}，且M∩N≠∅，则m的取值范围为﹣．【分析】集合M表示圆心为（0，0），半径为3的半圆，集合N表示直线y＝x+m上的点，根据题意画出相应的图形，根据两集合交集不为空集得到两函数图象有交点，抓住两个特殊位置，直线与半圆相切时；直线过（3，0）时，分别求出m的值，即可得到满足题意m的范围．【解答】解：根据题意画出相应的图形，当直线y＝x+m与半圆y＝相切，且切点在第二象限时，圆心到直线的距离d＝r，即＝3，解得：m＝3或m＝﹣3（不合题意，舍去），当直线过点（3，0）时，将x＝3，y＝0代入得：3+m＝0，解得：m＝﹣3，则m的取值范围为﹣3≤m≤3．故答案为：﹣3≤m≤3【知识点】交集及其运算22.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．【答案】【第1空】16【第2空】29【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【知识点】集合的包含关系判断及应用、容斥原理23.设有限集合A＝{a1，a2，..，a n}，则a1+a2+…+a n叫做集合A的和，记作S A，若集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别记为P1，P2，…，P k，则P1+P2+…+P k＝．【答案】48【分析】由题意：集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，求出集合P的含有3个元素的全体子集，求全体子集之和即可．【解答】解：由题意：集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，那么：集合P＝{1，3，5，7}，集合P的含有3个元素的全体子集为{1，3，5}，{1，3，7}，{1，5，7}，{3，5，7}，由新定义可得：P1＝9，P2＝11，P3＝13，P4＝15则P1+P2+P3+P4＝48．故答案为：48．【知识点】子集与真子集24.若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）＝（k﹣1）x﹣1，g（x）＝0，h（x）＝（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是．【答案】{2}【分析】在区间[1，2e]上分g（x）≤f（x）及f（x）≤h（x）两种情况考虑即可．【解答】解：根据题意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．当x∈[1，2e]时，函数f（x）＝（k﹣1）x﹣1的图象为一条线段，于是，，解得k≥2．另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．令＝，则．由于1≤x≤2e，所以，于是函数x﹣lnx为增函数，从而x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，所以m′（x）≥0，则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．所以k﹣1≤[m（x）]min＝m（1）＝1，即k≤2．综上，k＝2．故答案为：{2}．【知识点】元素与集合关系的判断25.记A＝{θ|f（x）＝sin（x+ωθ）为偶函数，ω是正整数}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，且存在实数a使A∩B中含有两个元素，则ω的值是．【答案】5、6、7、8、9【分析】根据正弦型函数的性质，可得A＝{θ|θ＝（kπ+），k∈Z，ω是正整数}，若对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，（π+）≥，即ω≤2π，存在实数a使A∩B中含有两个元素，（π+）＜1，即ω＞π进而得到答案．【解答】解：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝（a，a+1），A＝{θ|f（x）＝sin（x+ωθ）为偶函数，ω是正整数}＝{θ|ωθ＝kπ+，k∈Z，ω是正整数}＝{θ|θ＝（kπ+），k∈Z，ω是正整数}，对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，（π+）≥，即ω≤3π，存在实数a使A∩B中含有两个元素，（π+）＜1，即ω＞π，故ω的值是：5、6、7、8、9故答案为：5、6、7、8、9【知识点】交集及其运算26.设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}，如果P＝{y|y＝}，Q＝{y|y＝4x，x＞0}，则P⊙Q＝．【答案】[0，1]∪（2，+∞）【分析】根据已知得到P、Q中的元素y，然后根据P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}求出即可．【解答】解：P＝{y|y＝}＝{y|0≤y≤2}，Q＝{y|y＝4x，x＞0}＝{y|y＞1}，∵P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}．∴P⊙Q＝[0，1]∪（2，+∞）故答案为：[0，1]∪（2，+∞）【知识点】子集与交集、并集运算的转换。
专题4小题提分限时训练3(解析版)-2021年新高考数学小题限时提分训练(45分钟)
专题4新高考数学小题提分限时训练3（解析版）一、单选题1．已知集合{}{}11,21M x x N x x =-≤=-<≤，则M N =（ ）A ．{}20x x -≤≤ B ．{}01x x ≤≤C ．{}21x x -≤≤D ．{}22x x -≤≤【答案】B 【分析】先求得集合M ，根据交集运算的定义，即可求得答案. 【详解】因为11x -≤，所以02x ≤≤，所以{}02M x x =≤≤， 所以{}01M N x x ⋂=≤≤， 故选：B2．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z =（ ） A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【答案】A 【分析】 由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案. 【详解】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+. 故选：A.3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞【答案】A 【解析】 试题分析：由，但无法得出，A 满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.考点：不等式性质、充分必要性.4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C．35D．45【答案】B【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【详解】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ22221115cossin cos tanθθθθ===++，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝215⨯-135=-．故选B．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．5．设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．6．（2011•湖北）已知定义在R 上的奇函数f （x ）和偶函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）=a x ﹣a ﹣x +2（a ＞0，且a≠0）．若g （a ）=a ，则f （a ）=（ ） A ．2 B ． C ． D ．a 2【答案】B【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）是定义在R 上的偶函数 由f （x ）+g （x ）=a x ﹣a ﹣x +2 ①得f （﹣x ）+g （﹣x ）=a ﹣x ﹣a x +2=﹣f （x ）+g （x ） ② ①②联立解得f （x ）=a x ﹣a ﹣x ，g （x ）=2 由已知g （a ）=a ∴a=2∴f （a ）=f （2）=22﹣2﹣2=故选B7．(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于 A ．80 B ．40C ．20D ．10【答案】B 【详解】()512x + 的展开式的通项515(2)r r r T C x -+= ，令52r解得3r =∴(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为325C 240=8．设圆锥曲线τ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线τ上存在点P 满足1122::PF F F PF 4:3:2=，则曲线τ的离心率等于A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【答案】A 【分析】设1122432PF t F F t PF t ===，，，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出,a c 的值，再利用离心率公式可得结果.【详解】因为1122::PF F F PF 4:3:2=，所以可设1122432PF t F F t PF t ===，，， 若曲线为椭圆则123262a PF PF t c t =+==，，则12c e a ==； 若曲线为双曲线则，324222a t t t a t c t ，，=-===，∴32c e a ==，故选A .【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．二、多选题 9．下列各式中值为12的是（ ）． A ．2sin 75cos75B ．2π12sin12- C ．cos 45cos15sin 45sin15- D ．()tan 77tan 3221tan 77tan 32-+⋅【答案】ACD 【分析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A ；利用二倍角余弦公式即可判断选项B ； 利用两角和的余弦公式可判断选项C ；利用两角差的正切公式可判断选项D ； 【详解】对于选项A ：由二倍角正弦公式可得12sin 75cos75sin1502==，故选项A 正确；对于选项B ：由二倍角余弦公式2ππ312sin cos 1262-==，故选项B 不正确； 对于选项C ：由两角和的余弦公式()cos 45cos15sin 45sin15cos 4515-=+1cos602==；故选项C 正确； 对于选项D ：由两角差的正切公式可得：()()tan 77tan 32111tan 7732tan 4522221tan 77tan 32-=-==+⋅故选项D 正确. 故选：ACD10．已知{}n a 为等比数列，下面结论中错误的是( ) A ．1322a a a +B ．2221322a a a + C ．若13a a =，则12a a = D ．若31a a >，则42a a >【答案】ACD 【分析】根据等比数列的通项公式对各选项一一分析即可判断； 【详解】解：设等比数列的公比为q ，则2132a a a a q q+=+， 当20a >，0q <时，1322a a a +<，故A 不正确；2222221322()()2a a a a q a q+=+，∴2221322a a a +当且仅当13a a =时取等号，故B 正确； 若13a a =，则211a a q =，21q ∴=，1q ∴=±，12a a ∴=或12a a =-，故C 不正确；若31a a >，则211a q a >，2421(1)a a a q q ∴-=-，其正负由q 的符号确定，故D 不正确 故选：ACD ．11．若直线0ax by +=与圆22420x y x +-+=有公共点，则（ ） A ．ln ln a b B ．||||a bC ．()()0a b a b +-D ．a b【答案】BC【分析】根据题意可得圆心到直线的距离小于等于半径，可得22a b ≤，即可判断.【详解】解析：圆的标准方程为()2222x y -+=，圆心为(2,0)，半径为2， 因为直线0ax by +=与圆22420x y x +-+=有公共点，所以222a b≤+，解得22a b ≤，即()()0a b a b +-≤，等价于||||a b ≤，所以BC正确，AD 错误. 故选：BC.12．已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），3AB =，1DC =，45BAD ∠=︒，DE AB ⊥．将ADE 沿DE 折起，使得AE EB ⊥（如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ）A ．BC AD ⊥B ．点E 到平面AMC 6C ．//EM 平面ACD D ．四面体ABCE 的外接球表面积为5π【答案】BD 【分析】过C 做CF AB ⊥，交AB 于F ，根据题意，可求得各个边长，根据线面垂直的判定定理，可证AE ⊥平面BCDE ，即AE BC ⊥，假设BC AD ⊥，根据线面垂直的判定及性质定理，可得BC ⊥DE ，与已知矛盾，可得A 错误，利用等体积法，可求得点E 到平面AMC 的距离，即可判断B 的正误；由题意可证//EB 平面ADC ，假设//EM 平面ACD ，则平面ACD //平面AEB ，与已知矛盾，可得C 错误；根据四棱锥的几何性质，可确定球心的位置，代入公式，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】因为DE AB ⊥，45BAD ∠=︒，所以ADE 为等腰直角三角形，过C 做CF AB ⊥，交AB 于F ，如图所示：所以ADE BCF ≌，即AE=BF ，又3AB =，1DC =， 所以1AE EF FB DE CF =====，则=2AD BC =， 对于A ：因为AE EB ⊥，AE DE ⊥，,BE DE ⊂平面BCDE ， 所以AE ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， 所以AE BC ⊥，若BC AD ⊥，且,AE AD ⊂平面ADE ， 则BC ⊥平面ADE ， 所以BC ⊥DE与已知矛盾，所以BC 与AD 不垂直，故A 错误； 对于B ：连接MC ，如图所示，在DEC Rt △中，DE=DC =1，所以2EC ==2BC ，EB =2，所以222EC BC EB +=，所以EC BC ⊥， 又因为AE BC ⊥，,AE EC ⊂平面AEC ， 所以BC ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ， 所以BC AC ⊥，即ABC 为直角三角形， 在Rt AEC 中，1,2AE EC ==3AC =因为M 是AB 的中点，所以AMC 的面积为Rt ABC 面积的一半，所以1163222AMCS =⨯=因为,DE AE DE EB ⊥⊥，所以DE 即为两平行线CD 、EB 间的距离，因为E AMC C AEM V V --=，设点E 到平面AMC 的距离为h ，则1133AMEAMCSDE S h ⨯⨯=⨯⨯，即1111113234h ⨯⨯⨯⨯=⨯，所以h =，所以点E 到平面AMC ，故B 正确； 对于C ：因为//EB DC ，EB ⊄平面ADC ，DC ⊂平面ADC ， 所以//EB 平面ADC ，若//EM 平面ACD ，且,,EB EM E EB EM ⋂=⊂平面AEB ， 所以平面ACD //平面AEB ，与已知矛盾，故C 错误.对于D ：因为EC BC ⊥，所以BCE 的外接圆圆心为EB 的中点， 又因为AE EB ⊥，所以ABE △的外接圆圆心为AB 的中点M ， 根据球的几何性质可得：四面体ABCE 的外接球心为M ，又E 为球上一点，在ABE △中，12EM AB ==所以外接球半径2R ME ==, 所以四面体ABCE 的外接球表面积254454S R ，故D 正确. 故选：BD 【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定和性质定理等知识，并灵活应用，求点到平面距离时，常用等体积法将点到面的距离转化为椎体的高，再求解，考查逻辑推理，分析理解的能力，综合性较强，属中档题.三、填空题13．已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =．若向量a 与b 平行，则m =_______. 【答案】12- 【分析】根据向量a 与b 平行，由21m =-求解. 【详解】向量(1,2)a =-，(,1)b m =，因为向量a 与b 平行， 所以21m =-，解得12m =-， 故答案为：12-14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.15．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，等比数列{}n b的前n项和公式为()111 1111nnnb q b bQ qq q q-==-+---，依题意n n nS P Q=+，即22111212211n nb bd dn n n a n qq q⎛⎫-+-=+--+⎪--⎝⎭，通过对比系数可知111212211ddaqbq⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒11221daqb=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q+=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题.16．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，//BH DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542π+【分析】利用3tan5ODC∠=求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH△的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.试卷第11页，总11页 【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以3252212522r r -=-， 解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=； 扇形AOB 的面积(221322324S ππ=⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+. 【点睛】 本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.。
高考数学小题限时练解析版 (5)
专题05 小题限时练5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{|22}A x x =-<，{2B =-，1-，0，1}，则(A B = )A ．{1-，1，2}B ．{2-，1-，0，1}C ．{1-，0，1}D ．{2-，1-，0，1，2}【答案】C 【详解】{|22}A x x =-<，{2B =-，1-，0，1}，{1AB ∴=-，0，1}．故选：C ．2．已知i 为虚数单位，若复数31iz i-=+，则||(z = )A ．1B ．2C D【答案】D 【详解】由31iz i-=+，得3|3|||||1|1|i i z i i --====++ 故选：D ．3．关于双曲线221:2C x y -=与222:2C y x -=，下列说法中错误的是( ) A ．它们的焦距相等 B ．它们的顶点相同 C ．它们的离心率相等 D ．它们的渐近线相同【答案】B【详解】双曲线221:2C x y -=焦距4，顶点坐标(，0)y x =±，双曲线222:2C y x -=焦距4，顶点坐标(0,y x =±， 故选：B ． 4．已知曲线lnxy x k=+在点(1,1)处的切线与直线20x y +=垂直，则k 的值为( ) A ．1 B ．1- C ．12 D ．12-【答案】A【详解】lnx y x k =+，∴11y kx'=+， 则11|1x y k='=+， 又曲线lnxy x k=+在点(1,1)处的切线与直线20x y +=垂直， ∴112k+=，即1k =． 故选：A ．5．网络上盛极一时的数学恒等式“301.01 1.4≈，3651.0137.8≈，7301.011427.6≈”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的( )倍A ．1.69B ．1.748C ．1.96D ．2.8【答案】C【详解】小明每天进步2.01%，即0.0201，则30天后为3023030221.0201(1.01)(1.01)(1.4) 1.96==≈=． 30∴天后小明的学习成果约为原来的1.96倍．故选：C ．6．已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()4(1)f x x x =-，则当(2x ∈-，0]时，()f x 的最小值为( ) A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】D【详解】当(0x ∈，1]时，221()4(1)444()12f x x x x x x =-=-=--，易知当12x =时，()1min f x =-， 因为(1)3()f x f x +=，所以1(1)()3f x f x -=， 所以当(1,0)x ∈-时，11(1)33min y =⨯-=-；当(2x ∈-，1]-时，211()(1)39min y =⨯-=-，综上，当(2x ∈-，0]时，13min y =-．故选：D ．7．如图为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形ABMN 绕y 旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直，则下列曲线中与双曲线C 共渐近线的是( )A ．2213y x -=B ．22193x y -=C ．2214y x -=D ．22136x y -=【答案】A【详解】根据题意，双曲线C经过点4)，，2)-，则有222225163113431a b a b ⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩，解可得23a =，29b =，则双曲线C 的方程为22139x y -=，其渐近线方程为y =，由此依次分析选项：对于A ，2213y x -=，其渐近线方程为y =，符合题意，对于B ，22193x y -=，其渐近线方程为y =，不符合题意，对于C ，2214y x -=，其渐近线方程为2y x =±，不符合题意，对于D ，22136x y -=，其渐近线方程为y =，不符合题意，故选：A ．8．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，，则这个三棱锥的表面积为( )A ．4+B ．4C ．4++D ．4+【答案】C【详解】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，2,AB AC AD CE ====由题意ABC ∆，ACD ∆是等腰直角三角形，则1BC CD BE BD AE ======，则表面积为11112222142222ABC ACD ABD BCD S S S S ∆∆∆∆+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时09-基本不等式及其应用
课时09 基本不等式及其应用（基础题） 一、填空题1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．2．（·上海交大附中高三期末）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()331x x af x a =+>+的最小值为5，则a =______. 4．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为______.5．（·上海高三三模）若正实数,a b 满足a b ab +=，则64b a a ab ++的最小值为__________. 二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x (天）的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中302,()3727,xx x f x xxx x +⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩R R，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%； （2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76B ．422-C ．523-D ．632-2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k ，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）. A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9二、填空题4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________.（真题/新题）一、单选题1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）A ．210里B ．410里C ．610里D ．810里二、填空题2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______三、解答题3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005xy x=-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.课时10 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米． 【答案】5；【分析】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ，蓄水池总造价为()W h ，由题意可得500()402W h ah ah=+，然后基本不等式求出()W h 的最小值即可． 【详解】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ， 每平方米池侧壁造价为a ，蓄水池总造价为()W h ，则由题意可得20500x y xyh +=⎧⎨=⎩，500()2()22()2402W h a xh yh axy ah x y axy ah ah∴=++=++=+， 500()2402400W h ah aa h∴⋅=， ∴当且仅当5h =时，()W h 取最小值，即5h =时，()W h 取最小值. 故答案为：5．2．（·上海交大附中高三期末）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以()1111211311y x x x x =-++≥-⋅+=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a =______. 【答案】9【分析】配方得()()303113131x x x x aaf x a =+>=++-++，结合基本不等式即可求解 【详解】()()3031121593131x xx x a a f x a a a =+>=++-≥-=⇒=++，当且仅当3log 2x =时等号满足， 故答案为：94．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为______. 【答案】4【分析】由已知得11a b a ba b b a b a +++=+++，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =，所以11224a b a b a b a b a ba b ab b a b a ab b a b a++++=++=+++≥⋅+=， 当且仅当1a b ==等号成立， 故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．（·上海高三三模）若正实数,a b 满足a b ab +=，则64b a a ab ++的最小值为__________.【答案】15【分析】由a b ab +=可得1bb a ，将它们替换目标式中的ba、ab ，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题设知：1b b a +=，即1bb a ，又a b ab +=且0,0a b >>，∴64646412()()116115ba ab a b a ab a b a b++=+-+≥+-=-=++， 当且仅当8a b +=时等号成立. 故答案为：15.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x (天）的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中302,()3727,xx x f x xxx x +⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩R R，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%； （2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值. 【答案】（1）5天内；（2）min 2086m =-.【分析】（1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得x 的取值范围，从而得解；（2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求. 【详解】依题意得a=2,321040%4302xx x +⎧⨯≥⨯=⎪-⎨⎪≤≤⎩，解得12x ≤≤，2(7)1040%427x x ⨯-≥⨯=⎧⎨<≤⎩，解得25x ≤≤， 15x ∴≤≤，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%； （2）依题意得3()42[7(4)]43xmf x x m x+≥⇒-++⨯≥-； 在[]0,2x ∈上恒成立，3(22)(3)62433xx x x m m x x+---+≥⇒≥-+， 设(28)(6)243[3,5],3202()t t t x x t m t t t--=+∈=-⇒≥=-+ 2086m ≥-，min 2086m ∴=-.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题. 注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决；（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t 表示这个一次式，二次分式可以表示为t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76 B ．422- C ．523- D ．632-【答案】B【分析】直线2:12xyl b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b ba b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0b t a =>，21()121t g t t t =+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得．【详解】解：直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ，则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+．令0b t a =>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++ 11312t t =+++． 因为1123223322t t t t ++≥⋅+=+，当且仅当12t t =即22t =时取最小值；1114221322213t t∴+≤+=-+++即()max 24222g t g ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k ，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形 【答案】B【详解】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx +++++=++≥++，对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx x y z ++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,x y z ===()()22285xy yz zx x y z++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）. A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9【答案】D【解析】设三条棱a b c ≤≤454ab ac bc ∴++=，6a b c ++=，222272a b c ++=()22222452264a b c a bc a a a ⎡⎤++≥+=+--⎢⎥⎣⎦整理可得2430a a -+≤12a ∴≤≤∴最短棱长为1，体对角线长为36226cos 936θ==故选D点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值二、填空题4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围. 【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++， 所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤. 故答案为21(0,]2019.【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值.5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________ 【答案】(22,2)【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解．【详解】解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166426416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即222a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b 的坐标为：()22,2．故答案为：()22,2．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题． 6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________.【答案】1【分析】先以直角建系,将22AE =转化为221(3)(4)2λμ+=,然后结合基本不等式求最值. 【详解】在直角三角形ABC 中,2A π∠=, 故以A 点为原点,以,AB AC 为,x y 轴正方向建系:则(3,0),(0,4)AB AC ==, 所以(3,4)AE AB AC λμλμ=+=, 因为22AE =,所以()()22134(0,0)2λμλμ+=>>, 又2221(3)(4)(34)2342λμλμλμ+=+-⋅⋅= 所以22134(34)2342()22λμλμλμ++-=⋅⋅≤⋅(当且仅当1342λμ==时等号成立), 所以22134(34)2()22λμλμ++-≤⋅, 解得341λμ+≤, 故答案为:1.【点睛】本题主要考查向量,考查基本不等式,需要学生有一定的计算推理能力.一般在向量中遇见直角,垂直等条件时,可以考虑建系应用坐标求解.（真题/新题）一、单选题1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）A ．210里B ．410里 C ．610里 D ．810里【答案】D【分析】根据题意得EF GFGA EB⋅=，进而得4 2.510EF GF EB GA ⋅=⋅=⨯=，再结合基本不等式求4()EF GF +的最小值即可.【详解】因为1里=300步，则由图知1200EB =步=4里，750GA =步=2.5里． 由题意，得EF GF GA EB⋅=，则4 2.510EF GF EB GA ⋅=⋅=⨯=， 所以该小城的周长为4()8810EF GF EF GF +≥⋅=，当且仅当10EF GF ==时等号成立.故选:D ．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：EF GF GA EB⋅=，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”. 二、填空题2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______【答案】3【分析】通过函数解析式得到,P Q 两点坐标，从而表示出AQ CP +，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件13a a=，求解得到结果.【详解】依题意得：,3a P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭则4111223333a a a AQ CP a a a +=+=+≥⋅=当且仅当13a a=即3a =时取等号，故3a =本题正确结果：3【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于a 的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.三、解答题3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）2000245yxx x=+-，[60,110]x ∈ 2000224165x x≥⋅-= 当且仅当20005x x=时，即100x =取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =.。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时20-三角函数的图像与性质
课时20 三角函数的图像与性质（基础题） 一、多选题1．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）定义：若函数()f x 的图象经过变换r 后所得图象对应的函数的值域与()f x 的值域相同，则称变换Γ是()f x 的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于()f x 的“同值变换”的是（ ） A ． 2()2f x x x =-，Γ：将函数()f x 的图象关于y 轴对称B ． ()21x f x =-，Γ：将函数()f x 的图象关于x 轴对称C ． 2()log f x x =，Γ：将函数()f x 的图象关于y x =直线对称D ．()cos()3f x x π=+，Γ：将函数()f x 的图象关于点(2,0)-对称2．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）设函数()sin(2)3f x x π=-的图像C ，下面结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为 2πB ．函数()f x 在区间上(,)1212ππ-是增函数 C ．函数()f x 图像关于(,0)6π对称D ．函数()f x 图像可由()sin 2g x x =右移3π个单位得到 二、填空题3．（2020·上海高三期中）若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____； 4．（2020·上海高三一模）已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，则ϕ=________.5．（2020·上海高三专题练习）函数πsin(2)6y x =-的最小正周期为___________.6．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）已知函数sin 4y kx π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则正数k 的值为__7．（2021·上海金山·高三一模）函数()sin(2)4f x x π=+的最小正周期为________． 8．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期T =________.9．（2021·上海市金山中学高三月考）函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期是______． 10．（2021·宝山·上海交大附中高三开学考试）如图为函数()()( sin 0),0,2f x A x A πϕωϕω=+>>≤的局部图像，则()f x 的解析式为__________三、解答题11．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知函数2()6cos 32sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()362f A =，1b =，ABC 的面积为32，求a 的值.（能力题）一、单选题1．（2021·上海交大附中高三期末）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足a b c cb a bc -+≤+-，则角A 的范围是（ ）.A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知函数()sin 2f x x =，[],x a b ∈，则“2b a π-≥”是“()f x 的值域为[]1,1-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·上海徐汇·南洋中学）设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则以下说法中正确的是（ ）①4()3f x ≤；②|()|5||f x x≤；③()f x的图像存在对称轴；④()f x的图像存在对称中心；A．①②④B．①②③C．①④D．②③④二、填空题4．（2021·上海市敬业中学）已知函数()4log04cos482x xf x xxπ⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，，，若存在实数1234x x x x、、、满足1234x x x x<<<，且()()()()1234f x f x f x f x===，则1234x x x x的取值范围为________.5．（2021·上海民办南模中学）函数lgsin2y x=的单调递减区间为_______ 6．（2021·上海黄浦·卢湾高级中学）已知函数()sin cos4sin cosf x x x x x k=+--，若函数()y f x=在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k的所有取值之和为__________．7．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三月考）已知函数cos,[],y a x xωππ=+∈-（其中,aω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．8．（2021·上海师范大学第二附属中学高三月考）若函数cos,()1,x x af xx ax≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a的取值范围是________．9．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为_________．10．（2021·上海市实验学校）已知函数()()[]5sin2,0,,0,52f x x xπθθπ⎛⎤=-∈∈⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x=-的所有零点依次记为123,,,,nx x x x且1231n nx x x x x-<<<<<，*n N∈，若123212222n nx x x x x--+++++832nxπ+=，则θ=__________.11．（2021·上海市崇明中学高三其他模拟）数列{}n a满足()*121211,n n n n n n n na a a a a a a a n N+++++=++≠∈，且11a=，22a=.若()()sin0,0na A n cωϕωϕπ=++><<，则实数A=______.12．（2021·上海市实验学校）对任意闭区间I，用I M表示函数siny x=在I上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________. 三、解答题13．（2021·上海市敬业中学）已知函数()2sin 22cos 20.2f x x x x π⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，， (1)求函数()y f x =的单调递减区间； (2)求函数()y f x =的值域.14．（2021·上海市大同中学高三月考）已知函数()()233sin sin cos .2f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期T 与单调增区间； （2）在ABC ∆中，若()()12f A f B ==，求角C 的值．15．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知函数()243sin cos 4sin 1f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值及此时x 的值；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且对()f x 定义域中的任意的x 都有()()f x f A ≤，若2a =，求AB AC ⋅的最大值．16．（2021·上海黄浦·卢湾高级中学）对于数列{}n x ，若存在*m N ∈，使得2m k k x x -=对任意()*121k m k N ≤≤-∈都成立，则称数列{}n x 为“m -折叠数列”.（1）若()*25200n a n n =-∈N ，判断数列{}n a 是否是“m -折叠数列”，如果是，指出m 的值，如果不是，请说明理由；（2）若()*n n x q n N =∈，求所有的实数q ，使得数列{}n x 是3-折叠数列；（3）给定常数*∈p N ，是否存在数列{}n x ，使得对所有*m N ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值，请说明理由.（真题/新题） 一、单选题1．（2021·上海市实验学校高三月考）若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于（ ） A ．23 B ．56C ．1D ．2二、填空题2．（2021·上海徐汇·高三二模）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图所示，则f （x ）＝_____．3．（2021·上海黄浦·高三三模）若实数a ､b 满足22430a b b +-+=，函数()sin2cos21f x a x b x =⋅+⋅+的最大值为(),a b ϕ，则(),a b ϕ的最小值为___________.4．（2021·上海虹口·高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，定义11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的折线距离1212(,)d A B x x y y =-+-.设点22(,)P m n ，(,)Q m n ，(0,0)O ，(2,0)C ，若(,)1d P O =，则(,)d Q C 的取值范围___________.5．（2021·上海高三二模）如图，已知P 是半径为2圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，若2AB BC =，则PC PA ⋅的值域是__________.6．（2021·上海徐汇·高三二模）在ABC 中，已知AB ＝1，BC ＝2，若cos sin C y C =sin cos CC，则y的最小值是_____．7．（2021·上海高三二模）函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，则非零整数n的值是_________.三、解答题8．（2021·上海市大同中学高三三模）已知函数()sin()0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，2a =，求ABC 周长的取值范围.9．（2021·上海普陀·高三其他模拟）设函数2()cos(2)sin 3f x x x π=++. （1）求函数f (x )的最大值和最小正周期； （2）设A ，B ，C 为ABC 的三个内角，1()24Cf =-，且C 为锐角，53ABC S =，a =4，求c边的长.10．（2021·上海市实验学校高三月考）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC CD=，设COBθ∠=；（1）当πθ=时，求四边形ABCD的面积.12（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.课时20 三角函数的图像与性质（基础题）一、多选题 1．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）定义：若函数()f x 的图象经过变换r 后所得图象对应的函数的值域与()f x 的值域相同，则称变换Γ是()f x 的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于()f x 的“同值变换”的是（ ） A ． 2()2f x x x =-，Γ：将函数()f x 的图象关于y 轴对称B ． ()21x f x =-，Γ：将函数()f x 的图象关于x 轴对称C ． 2()log f x x =，Γ：将函数()f x 的图象关于y x =直线对称D ．()cos()3f x x π=+，Γ：将函数()f x 的图象关于点(2,0)-对称【答案】AD【分析】A.2()2f x x x =-关于y 轴对称后的函数22y x x =+，再利用二次函数性质判断；B.()21x f x =-关于x 轴对称后的函数21x y =-+，再利用指数函数性质判断；C.2()log f x x =关于y x =直线对称后函数2x y =，再利用对数函数和指数函数性质判断；D.()cos()3f x x π=+关于点(2,0)-对称后的函数cos(4)3y x π=--+，再利用余弦函数性质判断.【详解】2()2f x x x =-关于y 轴对称后的函数22y x x =+，值域都是[1,)-+∞，故A 正确；()21x f x =-关于x 轴对称后的函数21x y =-+，原函数值域为(1,)-+∞，新函数值域为(,1)-∞，故B 错误；2()log f x x =关于y x =直线对称后函数2x y =，原函数值域为(,)-∞+∞，新函数值域为(0,)+∞，故C 错误；()cos()3f x x π=+关于点(2,0)-对称后的函数cos(4)3y x π=--+，原函数，新函数值域都为[]1,1-，故D 正确． 故选：AD ．2．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）设函数()sin(2)3f x x π=-的图像C ，下面结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为 2πB ．函数()f x 在区间上(,)1212ππ-是增函数 C ．函数()f x 图像关于(,0)6π对称D ．函数()f x 图像可由()sin 2g x x =右移3π个单位得到 【答案】BC【分析】直接利用正弦型函数的图象与性质，函数的周期，单调性和三角的图象变换进行判定，即可求解.【详解】由函数()sin(2)3f x x π=-，可得函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以A 不正确；由(,)1212x ππ∈-，可得2(,)326x πππ-∈--，此时函数在(,)26ππ--单调递增， 所以函数()f x 在区间上(,)1212ππ-是增函数，所以B 正确； 令6x π=，可得()sin(2)0663f πππ=⨯-=，所以函数图像关于(,0)6π对称，所以C 正确；函数()sin 2g x x =右移3π个单位，可得2sin[2()]sin(2)33y x x ππ=-=-，所以D 不正确.故选：BC.二、填空题 3．（2020·上海高三期中）若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____； 【答案】2π【分析】根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数， 所以只需,2k k Z πϕπ=+∈， 又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π.4．（2020·上海高三一模）已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，则ϕ=________. 【答案】4π-【分析】令()32x k k Z πϕπ+=+∈求出其对称轴，再令对称轴等于4π结合22ππϕ-<<，即可求解【详解】令()32x k k Z πϕπ+=+∈，可得：()633k x k Z πϕπ=-+∈， 令6334k x πϕππ=-+=，解得()4k k Z πϕπ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以0k =，4πϕ=-，故答案为：4π-5．（2020·上海高三专题练习）函数πsin(2)6y x =-的最小正周期为___________. 【答案】π【分析】根据正弦型三角函数的周期计算． 【详解】最小正周期为22T ππ==．故答案为：π．6．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）已知函数sin 4y kx π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则正数k 的值为__ 【答案】6【分析】利用正弦型函数计算最小正周期的公式2T πω=||求解即可. 【详解】23k ππ=，∈6k =.答案：67．（2021·上海金山·高三一模）函数()sin(2)4f x x π=+的最小正周期为________． 【答案】π【详解】函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为22ππ=. 故答案为π.8．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期T =________.【答案】π【分析】利用行列式的计算规则可以得到cos 2y x =，故可求得函数的最小正周期. 【详解】22cos sin cos 2y x x x =-=，故最小正周期22T ππ==，填π.【点睛】一般地，正弦型函数()()sin 0,0y A x B A ωφω=++≠≠的最小正周期为2T πω=.与三角函数的函数，要求其周期、对称中心等需把函数化成基本型（()sin y A x B ωφ=++、()cos y A x B ωφ=++、()tan y A x B ωφ=++）.9．（2021·上海市金山中学高三月考）函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期是______． 【答案】π【分析】首先根据题意得到()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求最小正周期即可.【详解】函数()sin 2cos 22sin 24x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，最小正周期是22ππ=. 故答案为：π10．（2021·宝山·上海交大附中高三开学考试）如图为函数()()( sin 0),0,2f x A x A πϕωϕω=+>>≤的局部图像，则()f x 的解析式为__________【答案】()22sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】根据函数图象的最高点求A ，根据()02f =-，确定ϕ的值，再根据最高点以及周期确定ω的值.【详解】由图象可知2A =，当0x =时，2sin 2ϕ=-，即2sin 2ϕ=-，2πϕ≤，所以4πϕ=-，当98x π=时，92,842k k Z πππωπ⋅-=+∈，解得：21639kω=+，k Z ∈，21928ππω⨯>，解得：89ω<，且0>ω， 综上可知，23ω=， 所以函数的解析式()22sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：()22sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭三、解答题 11．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知函数2()6cos 32sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()362f A =，1b =，ABC 的面积为32，求a 的值. 【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）7a =. 【分析】（1）利用二倍角正余弦公式、辅助角公式可得6()6sin(2)62f x x π=++，结合正弦函数的性质求最小正周期、单调递减区间即可.（2）由题设可得6A π=，应用三角形面积公式、余弦定理即可求a 的值. 【详解】 （1）26(cos 21)32()6cos 32sin cos sin(2)22x f x x x x x +=+=+cos 23sin 2666()6sin(2)22262x x x π=++=++，∈最小正周期为22T ππ==， ∈在3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈上单调递减，∈单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）∈36()2f A =，0A π<<，∈6366sin 2262A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即sin 216A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2262A k πππ+=+，k Z ∈，∈6A k ππ=+，故6A π=， 而113sin 1sin 2262ABC S bc A c π==⨯⨯⨯=△， ∈23c =，由2222cos 7a b c bc A =+-=， ∈7a =.（能力题）一、单选题 1．（2021·上海交大附中高三期末）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足a b c cb a b c-+≤+-，则角A 的范围是（ ）.A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】把a b c cb a bc -+≤+-变形为222b c a bc +-≥，由余弦定理及余弦函数性质得结论． 【详解】由a b c cb a b c-+≤+-得()()a b c a b c bc -++-≤，222b c a bc +-≥， 所以2221cos 22b c a A bc +-=≥，所以03A π<≤．故选：B.【点睛】本题考查余弦定理，考查余弦函数的性质．难度不大．2．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知函数()sin 2f x x =，[],x a b ∈，则“2b a π-≥”是“()f x 的值域为[]1,1-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】充分性：取0a =，2b π=，则2b a π-≥成立，此时0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]20,x π∈，可得()[]sin 20,1f x x =∈，充分性不成立；必要性：函数()sin 2f x x =的最小正周期为22T ππ==， 因为函数()f x 在[],a b 上的值域为[]1,1-，当函数()f x 在[],a b 上单调时，b a -取得最小值，且有22T b a π-≥=，必要性成立.因此，“2b a π-≥”是“()f x 的值域为[]1,1-”的必要而不充分条件. 故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.3．（2021·上海徐汇·南洋中学）设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则以下说法中正确的是（ ） ①4()3f x ≤；②|()|5||f x x ≤； ③()f x 的图像存在对称轴；④()f x 的图像存在对称中心； A ．①②④ B ．①②③ C ．①④ D ．②③④【答案】B【分析】利用分子分母的最值可求函数()f x 的最值，可判断①的正误，再利用()f x 的最值判断②的正误，由函数()f x 的分子分母的对称轴，可判断③的正误，由函数()f x 的对称轴可判断④的正误．【详解】解：对于①：sin [1x π∈-，1]，231[,)4x x -+∈+∞，则当12x =时，sin x π取到最大值1，21x x -+取到最小值34，此时()f x 的值最大，最大值为43，而()f x 不存在最小值， 所以4()3f x ，故①正确， 对于②：当0x =时，|()|5||f x x =，当0x ≠时，2()sin 4||||153134f x x x x x x πππππ=⋅<⨯=<-+，即|()|5||f x x <， 所以|()|5||f x x ，故②正确，对于③：2sin ()13()24xf x x π=-+，分子分母所对应的函数的图像的对称轴都为直线12x =，所以()f x 的图象的对称轴为12x =，故③正确，对于④：假设曲线()f x 存在对称中心，又由③选项知曲线()f x 存在对称轴， 则函数()f x 必是周期函数，而2sin ()1xf x x x π=-+不是周期函数，故④错误， 所以正确的是①②③． 故选：B ．二、填空题4．（2021·上海市敬业中学）已知函数()4log 04cos 482x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，，，若存在实数1234x x x x 、、、满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围为________.【答案】()32,35【分析】先画出函数()f x 的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围． 【详解】函数()f x 的图象如下图所示：若满足1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则101x <<，214x<<，则4142log log x x =-，即4142412log log log 0x x x x +==， 则121=x x ，同时3(4,5)x ∈，4(7,8)x ∈，3x ，4x 关于6x =对称，∴3462x x +=， 则3412x x +=，则4312x x =-，则2212343433333(12)12(6)36x x x xx x x x x x x ==-=-+=--+，3(4,5)x ∈， 34(32,35)x x ∴∈，即1234(32,35)x x x x∈，故答案为()32,35【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性进行转化是解决本题的关键．5．（2021·上海民办南模中学）函数lgsin 2y x =的单调递减区间为_______【答案】11,,42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭ 【分析】令t ＝sin2x ，即sin2x >0，求得函数的定义域为（k π，k π2π+ ），k ∈Z ．本题即求函数sin2x 在定义域内的减区间，结合正弦函数的图象性质可得结果．【详解】令t ＝sin2x ，即sin2x >0，可得 2k π＜2x ＜2k π+π，k ∈Z ，∈定义域为（k π，k π2π+ ），k ∈Z ．且y ＝lg t 为单增函数，所以即求函数sin2x 在定义域（k π，k π2π+ ）内的减区间． 结合正弦函数的图象性质可得其减区间为[k π4π+，k π2π+ ），k ∈Z ，故答案为：11,,42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，正弦函数的单调性，属于中档题． 6．（2021·上海黄浦·卢湾高级中学）已知函数()sin cos 4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为__________． 【答案】221+【分析】讨论0＜x ≤2π时与2π＜x ＜π时函数解析式，令k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案.【详解】解：（1）当0＜x ≤2π时，设k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ， 令t ＝sin x +cos x ＝2sin （x +4π），则t ∈[1，2]，k ＝t ﹣2（t 2﹣1）＝﹣2t 2+ t +2，t ∈[1，2]为单调函数，则可知当t ＝1时，即k ＝1时，一解； 当t ＝2时，即k ＝22-时，一解；当1＜t ＜2时，即2﹣2＜k ＜1时两解；（2）当2π＜x ＜π时，设k ＝sin x ﹣cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x ﹣cos x ＝2sin （x ﹣4π），则t ∈（1，2]，k ＝t +2（t 2﹣1），t ∈（1，2]也为单调函数，则可知当1＜t ＜2时，即1＜k ＜2+2时两解，当t ＝2时，即k ＝22+时一解，综上：k ＝1或k ＝2﹣2或k ＝22+，故所有k 的和为221+.故答案为：221+.【点睛】本题考查函数零点与方程根的转化，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题.7．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三月考）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________． 【答案】2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数cos y xω=(0)>ω的图象可知222πππωω≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点， 所以必有一个零点为0x =， 所以cos00a +=，得1a =-，所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点，因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T πω=，所以2T T π≤<，即222πππωω≤<⨯，得24ω≤<，所以ω的最小值是2. 故答案为：2【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键. 8．（2021·上海师范大学第二附属中学高三月考）若函数cos ,()1,x x af x x a x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[1,)+∞【分析】由题设知x a ≤有()[1,1]f x ∈-，要使在R 上的值域为[]1,1-，则x a >上讨论0a ≤、0a >判断()f x 的值域，进而求参数a 的范围.【详解】由解析式知：x a ≤时，()cos [1,1]f x x =∈-，而函数()f x 在R 上的值域为[]1,1-， ∈在x a >上，若0a ≤，则11()(,0)(0,)f x x a =∈⋃+∞，不合题意； 若0a >，则11()(0,)[1,1]f x x a ≠=∈⊂-，即11a≤，可得1a ≥. ∈a 的范围为[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞9．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）设0≤α≤π，不等式8x 2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R 恒成立，则α的取值范围为 _________ ． 【答案】[0，6π]∈[56π，π]【详解】由题意可得，∈=64sin 2α﹣32cos2α≤0， 得2sin 2α﹣（1﹣2sin 2α）≤0 ∈sin 2α≤14， ﹣12≤sinα≤12， ∈0≤α≤π ∈α∈[0，6π]∈[56π，π]10．（2021·上海市实验学校）已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛⎤=-∈∈⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123212222n n x x x x x --+++++832n x π+=，则θ=__________.【答案】9π【详解】由题意，令2,2x k k Z πθπ-=+∈，解得,422k x k Z πθπ=++∈. ∈函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，[]0,5x π∈ ∈当0k =时，可得第一个对称轴42x πθ=+，当9k =时，可得19542x πθπ=+≤.∈函数()f x 在[]0,5π上有9条对称轴根据正弦函数的图象与性质可知：函数()()5sin 2f x x θ=-与3y =的交点有9个点，即12,x x 关于42x πθ=+对称，23,x x 关于342x πθ=+对称，…，即122()42x x πθ+=⨯+，2332()42x x πθ+=⨯+，…，1172()42n n x x πθ-+=⨯+.∈123218322222n n n x x x x x x π--++++++=∈317832()4242422πθπθπθπ⨯++++⋅⋅⋅++=∈9πθ=故答案为9π.点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到1n x -与n x 的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.11．（2021·上海市崇明中学高三其他模拟）数列{}n a 满足()*121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N +++++=++≠∈，且11a =，22a =.若()()sin 0,0na A n c ωϕωϕπ=++><<，则实数A =______.【答案】233【分析】由数列{}n a 的递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的数列，从而可得23πω=，再由21sin 3A c πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，22sin 23A c πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，23sin 33A c πϕ⎛⎫=⨯++⎪⎝⎭可求得ϕ，继而可得实数A 的值.【详解】解：数列{}n a 满足()*121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N +++++=++≠∈，且11a =，22a=.令1n =，得：33212a a =++，解得33a =. 令2n =，得：44623a a =++，解得41a=.令3n =，得：55313a a =++，解得52a =. ……，可得3n n a a +=，11a =，22a=，33a =.∈()()sin 0,0n a A n c ωϕωϕπ=++><<， ∈23πω=，解得23πω=.∈()2sin 03n a A n c πϕϕπ⎛⎫=++<<⎪⎝⎭，∈21sin 3A c πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，22sin 23A c πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，23sin 33A c πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭. 化为：21sin 3A c πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2sin 3A c πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，3sin A c ϕ=+. ∈sin sin 13A A πϕϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，2sin sin 23A A πϕϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 即33sin cos 122A A ϕϕ+=① 33sin cos 222A A ϕϕ-=② ①+②得：3sin 3A ϕ=，即sin 1A ϕ=； ①﹣②得：3cos 1A ϕ=-，即3cos 3A ϕ=-； 联立解得：tan 3ϕ=-，0ϕπ<<，∈23ϕπ=， ∈233A =. 故答案为：233. 【点睛】本题考查了数列递推关系、考查了数列与三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.12．（2021·上海市实验学校）对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可.【详解】①当0,4πa ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a =， 此时2cos 12a ≤≤，即22cos 2a ≤≤，则11222cos 2a <≤，即12,22k ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =， 此时2sin 12a ≤≤，即2,12k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；③当,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a =， 此时0sin 1a <<，则11sin a >，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在；⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， 此时0sin 21a <<，则11sin 2a >，即()1,k ∈+∞；⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，综上，由有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，实数k 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解. 三、解答题13．（2021·上海市敬业中学）已知函数()2sin 22cos 20.2f x x x x π⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，， (1)求函数()y f x =的单调递减区间； (2)求函数()y f x =的值域.【答案】（1）递减区间：,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）2,23⎡⎤+⎣⎦；【分析】（1）先化简得()2sin(2)34f x x π=++，再利用三角函数的性质求函数的递减区间；（2）利用三角函数的性质求函数的值域.【详解】(1) ()2sin 22cos 2=sin 2cos232sin(2)34f x x x x x x π=++++=++，令3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈, 所以5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈ 令k=0,所以单调递减区间为5[,],88ππ因为[0,]2x π∈， 所以递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）因为[0,]2x π∈，所以52[0,]2x [,]444x ππππ∈∴+∈，， 所以2sin(2)1,12sin(2)2,244x x ππ-≤+≤∴-≤+≤ 所以22sin(2)+32+34x π≤+≤,所以函数()y f x =的值域为2,23⎡⎤+⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的单调区间的求法和值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 14．（2021·上海市大同中学高三月考）已知函数()()233sin sin cos .2f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期T 与单调增区间； （2）在ABC ∆中，若()()12f A f B ==，求角C 的值．【答案】（1）T π=，增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）6π或2π. 【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求出T ，然后解不等式()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调增区间；（2）先在()0,x π∈内解方程()12f x =，得出4x π=或712π，然后对A 、B 的取值进行分类讨论，利用三角形的内角和定理求出角C 的值. 【详解】（1）()231cos 2133sin sin cos 3sin 22222x f x x x x x -=+-=⋅+-13sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin sin 222333x x x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==. 解不等式()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）当0πx <<时，52333x πππ∴-<-<，由()1sin 232f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得236x ππ-=或5236x ππ-=，解得4x π=或712π.①当4A B π==时，则2C A B ππ=--=；②当4A π=，712B π=或712A π=，4B π=，则6C A B ππ=--=； ③当712A B π==时，此时76A B ππ+=>，不合乎题意.综上所述，2C π=或6π.【点睛】本题考查三角函数的最小正周期和单调递增区间的求解，同时也考查了三角形内角的计算，利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知函数()243sin cos 4sin 1f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值及此时x 的值；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且对()f x 定义域中的任意的x 都有()()f x f A ≤，若2a =，求AB AC ⋅的最大值． 【答案】（1）()max 3f x =，,6x k k Z ππ=+∈；（2）643+.【分析】（1）化简得到()4sin 216f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，计算得到函数的最大值.（2）根据题意得到6A π=，根据余弦定理和均值不等式得到843bc ≤+，代入向量公式计算得到答案. 【详解】（1）()243sin cos 4sin 123sin 22cos 214sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭故当22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Zππ=+∈时，最大值为3（2）()()f x f A ≤，则,6A k k Z ππ=+∈，故6A π= 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 即2244323,84323bc bc bc bc bc =+-≥-∴≤=+- 当26b c ==+时等号成立()3cos 8436432AB AC bc A ⋅=≤+⨯=+，故AB AC ⋅的最大值为643+ 【点睛】本题考查了三角函数化简，余弦定理，均值不等式，向量运算，意在考查学生的综合应用能力.16．（2021·上海黄浦·卢湾高级中学）对于数列{}n x ，若存在*m N ∈，使得2m k k x x -=对任意()*121k m k N ≤≤-∈都成立，则称数列{}n x 为“m -折叠数列”.（1）若()*25200n a n n =-∈N ，判断数列{}n a 是否是“m -折叠数列”，如果是，指出m 的值，如果不是，请说明理由；（2）若()*n n x q n N =∈，求所有的实数q ，使得数列{}n x 是3-折叠数列；（3）给定常数*∈p N ，是否存在数列{}n x ，使得对所有*m N ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值，请说明理由.【答案】（1）{}n a 是“m -折叠数列”，8m =；（2）0q =或1q =或1q =-；（3）存在，证明见解析.【分析】（1）结合给的定义列出关于m 的方程，判 断方程是否有解，可判断数列{}n a 是否是“m -折叠数列”， （2）根据题中的定义，列方程得到6kk q m π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，再讨论q 是否为0可得出结果，（3）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列{}n x 的图像有无数条对称轴，可联想三角函数求解，设cosn x x pπ=，结合三角函数的单调性与周期性即可证明【详解】解：（1）若存在*m N ∈，使得2m k k x x -=对任意()*121k m k N ≤≤-∈都成立，可知数列{}n x 在121n m ≤≤-内关于n m =对称即可，因为()***20025,18,2520025200,8,n n n n N a n n N n n n N ⎧-≤<∈=-∈=⎨-≥∈⎩，有{}n a 在128115n ≤≤⨯-=内关于8n =对称， 所以8m =，即是8-折叠数列，（2）要使通项公为()*nn x q n N =∈的数列是3-折叠数列，只要6kk q m π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0q =时，0n x =，显然成立，当0q ≠时，6k k q q -=，得621k q -=，2(3)1k q -=（{}1,2,3,4,5q ∈）， 所以1q =或1q =-， 综上0q =，1q =或1q =-，（3）对给定的常数*∈p N ， {}n x 都是pm -折叠数列，则n x 有多条对称轴，其中x pm =都是数列{}n x 的对称轴， 设cosn x x p π=，由*,x m m N pππ=∈得对称轴为x pm =，且n x 的周期为2p ，满足给定常数*∈p N ，使得对所有*m N ∈，{}n x 都是pm -折叠数列， 由n x 是周期函数，周期为2p ，在(1,2)p 这个周期内，x p =为对称轴， 所以(1,2)n x p ∈对应函数值的个数与[,2]n x p p ∈对应的函数值个数相等， 即[,2]n x p p ∈时，[,2]n x pπππ∈，所以{}n x 在[,2]n x p p ∈上单调递增，因为*∈p N ，所以n x 各项中共有1p +个不同的值，综上，给定常数*∈p N ，存在数列{}n x ，使得对所有*m N ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值，【点睛】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，考查分类思想，解题的关键是正确理解“m -折叠数列”的定义，合理构造函数，考查计算能力，属于难题（真题/新题） 一、单选题1．（2021·上海市实验学校高三月考）若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于（ ） A ．23 B ．56C ．1D ．2【答案】B【分析】设()||f x x a b =--，得出()f x 的符号变化情况，根据()f x 的单调性和对称性即可得出a ，b 的值．【详解】解：当116x --或516x 时，sin()06x ππ+， 当1566x-时，sin()06x ππ+， ∴当116x --或516x 时，||0x a b --，当1566x -时，||0x a b --， 设()||f x x a b =--，则()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 且()f x 的图象关于直线x a =对称，15()()066f f ∴-==，1522663a ∴=-+=，即13a =，又551()||0663f b =--=，故12b =．56a b ∴+=． 故选：B ． 二、填空题2．（2021·上海徐汇·高三二模）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图所示，则f （x ）＝_____．【答案】2sin 4x π【分析】由函数的图象顶点的纵坐标求出A ，根据半个周期6242Tπω==-=，求出ω，然后再根据004πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭求出ϕ值． 【详解】解：根据图象顶点的纵坐标可得2A =，6242T πω==-=，4πω∴=，故函数为2sin()4y x πϕ=+， 由五点法作图可得004πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，0ϕ∴=，故()2sin 4f x x π=. 故答案为：2sin 4x π．3．（2021·上海黄浦·高三三模）若实数a ､b 满足22430a b b +-+=，函数()sin2cos21f x a x b x =⋅+⋅+的最大值为(),a b ϕ，则(),a b ϕ的最小值为___________. 【答案】2【分析】先表达出(),a b ϕ，再根据其几何意义求最小值. 【详解】由22430a b b +-+=，可得22(2)1a b +-=， 又由()sin2cos21f x a x b x =⋅+⋅+，可知其最大值()22,1a b a b ϕ=++，而当(),a b ϕ最小值，即22a b +取得最小值，而此式为22(2)1a b +-=上的点(,)a b 到原点的距离，所以当此点为(0,1)时，22a b +取得最小值1，所以()min ,112a b ϕ=+=.故答案为：2.4．（2021·上海虹口·高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，定义11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的折线距离1212(,)d A B x x y y =-+-.设点22(,)P m n ，(,)Q m n ，(0,0)O ，(2,0)C ，若(,)1d P O =，则(,)d Q C 的取值范围___________. 【答案】[1,22]+【分析】由新定义得出,m n 的关系，得出(,)d Q C 的表达式，然后根据绝对值的性质，用换元法求得范围．【详解】由题意22(,)1d P O m n =+=，设cos ,sin m y θθ==，[0,2)θπ∈， 所以(,)2d Q C m n=-+cos 2sin 2cos sin θθθθ=-+=-+，当0θπ≤≤时，(,)2cos sin 22sin()4d Q C πθθθ=-+=+-，3,444πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，2sin ,142πθ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，(,)[1,22]d Q C ∈+， 2πθπ<<时，(,)2cos sin 22sin()4d Q C πθθθ=--=-+，59,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 1,42πθ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，(,)[1,22]d Q C ∈+， 综上，(),1,22d Q C ⎡⎤∈+⎣⎦，故答案为：[1,22]+，【点睛】关键点点睛：本题考查距离新定义，解题关键是由新定义化问题为绝对值的问题，利用换元法转化为三角函数问题，结合绝对值的性质分类讨论可得．5．（2021·上海高三二模）如图，已知P 是半径为2圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，若2AB BC =，则PC PA ⋅的值域是__________.【答案】5213,0⎡⎤-⎣⎦【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可． 【详解】以圆心为原点，平行AB 的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(1,3)A -，(2,3)C ，设(2cos ,2sin )P θθ，233ππθ，则(22cos PC PA θ⋅=-，32sin )(12cos θθ-⋅--，32sin )52cos 43sin θθθ-=--5213sin()θα=-+，且330tan 63α<=<，06πα∴<<，∴536ππθα<+<，sin()y θα=+在(3π，]2π上递增，在[2π，5)6π上递减， ∴当2πθα=-时，PC PA ⋅的最小值为5213-，当23πθ=时，PC PA ⋅的最大值为2252cos43sin 033ππ--=， 则[5213PC PA ⋅∈-，0]， 故答案为：[5213-，0]．【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题. 6．（2021·上海徐汇·高三二模）在ABC 中，已知AB ＝1，BC ＝2，若cos sin C y C=sin cos CC，则y的最小值是_____． 【答案】12【分析】根据题意，由矩阵的计算公式和平方关系可得212sin y C=-，由正弦定理可得sin C的最大值，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，222cos sin cos sin 12sin sin cos C Cy C C C C C==-=-，又在ABC 中，sin sin AB BCC A=，而1AB =，2BC =，即12sin sin C A =，变形可得sin 2sin A C =，则有sin 1sin 22A C =， 则221112sin 1222y C ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，即y 的最小值是12.故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由正弦定理得sin 2sin A C =，则由三角函数的性质sin 1sin 22A C =. 7．（2021·上海高三二模）函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，则非零整数n的值是_________. 【答案】10±，11± 【分析】由题设可得()f x 最小正周期为||T n =，又x ∈Z 且()f x 值域有6个实数组成，即||[0,]2n 上一定存在6个整数点，讨论n 为奇数或偶数，求n 值即可. 【详解】由题设知：()f x 的最小正周期为2||2||T n nππ==，又x ∈Z ， ∈n 为非零整数，在||[0,]2n 上()f x 的值域有6个实数组成，即()f x 的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数， ∈当n 为偶数，有||52n =，即10n =±； 当n 为奇数，有||562n <<，即11n =±； 故答案为：10±，11±【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的性质可求()f x 最小正周期为||T n =，结合已知有||[0,]2n 内有6个整数点，讨论n 的奇偶性求值.三、解答题8．（2021·上海市大同中学高三三模）已知函数()sin()0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时14-幂函数、指数函数和对数函数
课时14 幂函数、指数函数和对数函数（基础题） 一、单选题1．（2021·上海市建平中学高三月考）设函数()y f x =和()y g x =的定义域均为R ，对于下列四个命题：①若对任意x ∈R ，都有[]()[]2()f f x f x =，则()f x 存在且唯一；②若()y f x =为R 上单调函数，()y g x =为周期函数，则()()y f g x =在R 上既是单调函数又是周期函数；③若对任意x ∈R ，都有()()f g x x =，则当()()00g x g y =时，必有00x y =； ④若函数()y f x =不存在反函数，则()f x 在R 上不是单调函数.其中正确的命题为（） A ．①② B ．②④ C ．①③④ D ．③④二、填空题2．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α=__________. 3．（2021·上海市嘉定区第一中学）不等式211log 01x<的解集为___________．4．（2021·上海市嘉定区第一中学）已知函数32,(),x x af x x x a ⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为__________．5．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知常数0a >，函数2()2xxf x ax=+的图象经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若216p q pq += ，则a =___6．（2021·上海市建平中学高三月考）若集合{}1,1,3,5A =-，{}2log 8B x x =≤，则A B =__________.三、解答题7．（2021·上海市建平中学高三月考）已知函数()3()21x f x a a R =-∈+. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,3x ∈，不等式()2xmf x ≥恒成立，求实数m 的最大值.（能力题） 一、单选题1．（2021·上海高三二模）已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（）．A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞2．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=； ③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题3．（2021·上海金山·高三二模）函数log (3)1a y x =+-（a >1且a ≠1）的图像恒过点A ，若点A 在直线mx+ny +1=0，其中m >0，n >0，则12m n +的最小值为_______． 4．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知()y f x =是奇函数，定义域为[]1,1-.当0x >时，()211()10,4x f x x Q ααα-⎛⎫=-->∈ ⎪⎝⎭，当函数()()g x f x t =-有3个零点，实数t 的取值范围是__________.5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知0a >且1a ≠，设函数2,3()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________. 6．（2021·上海徐汇·南洋中学）已知函数1222log (1),1()()22,x x x n f x n m n x m ----≤≤⎧⎪=<⎨⎪-<≤⎩的值域是[1,2]-，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，实数m 的取值范围是_________．三、解答题7．（2021·上海普陀·高三二模）设函数()()2log 0f x x x =>的反函数为()1f x -．（1）解方程：()()220f x f x +-=；（2）设()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数．当01x <<时，()()1g x f x -=，试求()2log 10g 的值．8．（2021·上海市七宝中学高三其他模拟）业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A (A 为常数)元，n 年后总投入资金记为()f n ，经计算发现当010n ≤≤时，9()nAf n p qa =+，其中232,,a p q -=为常数，(0)f A =,(3)3f A =（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍； （2）研发启动后第几年的投入资金的最多.9．（2021·宝山·上海交大附中高三其他模拟）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域； （2）对任意12,2nn x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()()f x f x kg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.（真题/新题）一、单选题1．（·海南高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x=--在(,)a+∞上单调递增，则a的取值范围是（）A．(2,)+∞B．[2,)+∞C．(5,)+∞D．[5,)+∞2．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）A．224y x x=++B．4sinsin y xx =+C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x =+3．（2021·全国高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．（2021·上海普陀·高三二模）已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确二、解答题5．（2021·江苏高考真题）已知函数()()23log 2x f x a x a =-+的定义域是R .（1）求实数a 的取值范围; （2）解关于x 的不等式241421x x a a -->.6．（2021·湖南高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象； （2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.7．（2021·上海市嘉定区第一中学）已知()2f x ax bx c =++.（1）当1a c ==时，讨论函数()()f xg x x=的奇偶性； （2）当1,0b c ==，102a <<，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，2(log )f x 的最大值为54，求()f x 的零点；（3）当1,0b c ==时，对于任意的11,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总有13()1f x ≤，试求a 的取值范围.课时14 幂函数、指数函数和对数函数（基础题）一、单选题 1．（2021·上海市建平中学高三月考）设函数()y f x =和()y g x =的定义域均为R ，对于下列四个命题：①若对任意x ∈R ，都有[]()[]2()f f x f x =，则()f x 存在且唯一；②若()y f x =为R 上单调函数，()y g x =为周期函数，则()()y f g x =在R 上既是单调函数又是周期函数；③若对任意x ∈R ，都有()()f g x x =，则当()()00g x g y =时，必有00x y =； ④若函数()y f x =不存在反函数，则()f x 在R 上不是单调函数.其中正确的命题为（） A ．①② B ．②④ C ．①③④ D ．③④【答案】D【分析】①举例若()0f x =或()1f x =判断；②不妨设函数()y g x =的周期为T 判断；③利用函数定义判断；④根据函数具有反函数的条件判断.【详解】若()0f x =或()1f x =，都满足对任意x ∈R ，都有[]()[]2()f f x f x =，故①错误；不妨设函数()y g x =的周期为T ，则()()()()f g x T f g x +=，故()()y f g x =在R 上不是单调函数，故②错误；∈()()00g x g y =，∈()()()()00f g x f g y =，又∈()()f g x x =，∈00x y =；故③正确； ∈若()f x 在R 上是单调函数，则函数()y f x =存在反函数；∈若函数()y f x =不存在反函数，则()f x 在R 上不是单调函数，故④正确.故选：D. 二、填空题2．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x xα=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α=__________. 【答案】1-【分析】由单调性可知0α<，由奇偶性可得结果.【详解】幂函数()f x 在()0,∞+上递减，0α∴<，则α可能的取值为12,1,2---， 又()f x x α=为奇函数，1α∴=-.故答案为：1-.3．（2021·上海市嘉定区第一中学）不等式211log 01x<的解集为___________．【答案】()1,2【分析】利用行列式的运算法则可得出关于x 的不等式，结合对数函数的基本性质可求得原不等式的解集. 【详解】由()2211loglog 101x x=-<得011x <-<，解得12x <<，所以，原不等式解集为()1,2. 故答案为：()1,2.4．（2021·上海市嘉定区第一中学）已知函数32,(),x x af x x x a⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[]0,1【分析】判断3y x =单调递增，讨论0a <或0a ≥，根据分段函数的值域可得0a ≥且23a a ≤，解不等式即可求解.【详解】由函数3y x =单调递增， ①当0a <时，若x a ≤，有330x a ≤<， 而20x ≥，此时函数()f x 的值域不是R ； ②当0a ≥时，若x a ≤，有33x a ≤，而22x a >， 若函数()f x 的值域为R ，必有23a a ≤，可得01a ≤≤． 则实数a 的取值范围为[]0,1． 故答案为：[]0,15．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知常数0a >，函数2()2xxf x ax=+的图象经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若216p q pq +=，则a =___ 【答案】4；【分析】首先将点,P Q 代入函数，并且变形为126p ap=-，62qaq=-，两式相乘并结合已知条件即可求解.【详解】由条件可知261625512p p pap ap =⇒=++，得126pap=-①211125512q qqaq aq =-⇒=-++，得62q aq =- ②①⨯②得212p q a pq+=，216p q pq +=2116a ∴=，又0a >，得4a =. 故答案为：46．（2021·上海市建平中学高三月考）若集合{}1,1,3,5A =-，{}2log 8B x x =≤，则A B =__________. 【答案】{}1,3,5【分析】化简集合B ，根据交集运算即可. 【详解】∈集合{}1,1,3,5A =-，{}{}2log 80256B x x x x =≤=<≤，∈{}1,3,5A B =.故答案为：{}1,3,5.三、解答题7．（2021·上海市建平中学高三月考）已知函数()3()21x f x a a R =-∈+. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,3x ∈，不等式()x mf x ≥恒成立，求实数m 的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）1.【分析】（1）若函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得a 的值；又当32a ≠时()()11f f -≠，且()()11f f -≠-，函数()f x 是非奇非偶函数；（2）对任意[]1,3x ∈，不等式()2x mf x ≥恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数()t ϕ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数m 的最大值． 【详解】（1）根据题意，函数3()21x f x a =-+，3323()3212121x x x x f x a a a -⋅-=-=-=-++++， 分析可得：当32a =时，()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数， 当32a ≠时，()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，函数()f x 为非奇非偶函数. （2）∈()f x 是奇函数，故由（1）知32a =，从而33()221xf x =-+， 由对任意的[]1,3x ∈，不等式()2xm f x ≥恒成立，得3322221xx x m ⋅≤⋅-+，[]1,3x ∈，令[]213,9xt +=∈，故33(1)329(1)222t m t t t t -⎛⎫≤--=+- ⎪⎝⎭， 由于函数329()22t t t ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭在[]3,9上单调递增， ∈()()min 31t ϕϕ==，因此，当不等式()2x mf x ≥在[]1,3x ∈上恒成立时，实数m 的最大值为1.（能力题）一、单选题 1．（2021·上海高三二模）已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（）．A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞【答案】A【分析】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，判断其单调性与奇偶性；从而得出()f x 单调性与对称性，将所求不等式化为2(4)(3)f x f x -≤，根据函数单调性，即可求出结果.【详解】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ，根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数，所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增；又3()202120212()x x g x x x g x --=-=---，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称； 又()131()2021(1)202121)212x x f x x x g x --=+--+-+=-+（，即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数， 且其图像关于点(1,2)对称，即有()(2)4f x f x +-=，即 (2)4()f x f x -=-．由2(4)(23)4f x f x -+-≤得 2(4)4(23)f x f x -≤--，即()()242(23)f xf x -≤--，即2(4)(3)f x f x -≤，所以 243x x -≤，解得 14x -≤≤．故选：A ．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数()f x 的单调性与对称性，进而即可求解不等式.2．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=； ③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择. 【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∈|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x ，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f ，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查奇函数定义以及单调性，解题的关键是熟悉奇函数的定义及单调性性质，及反函数的性质，考查学生的基本分析判断能力，属中档题. 二、填空题 3．（2021·上海金山·高三二模）函数log (3)1a y x =+-（a >1且a ≠1）的图像恒过点A ，若点A 在直线mx+ny +1=0，其中m >0，n >0，则12m n +的最小值为_______． 【答案】8；【分析】求出定点A 的坐标，代入直线方程得,m n 的关系，利用“1”的代换求得最小值． 【详解】令31+=x ，2x =-，此时1y =-，即(2,1)A --， 点A 在已知直线上，所以210m n --+=，即21m n +=， 又0,0m n >>，所以121244()(2)4428nm n mm n m n m n m n m n+=++=++≥+⨯=，当且仅当4n m m n =，即11,42m n ==时等号成立．故答案为：8．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．4．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知()y f x =是奇函数，定义域为[]1,1-.当0x >时，()211()10,4x f x x Q ααα-⎛⎫=-->∈ ⎪⎝⎭，当函数()()g x f x t =-有3个零点，实数t 的取值范围是__________.【答案】{}111,0,144⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 【分析】易知，函数2114x y x α-⎛⎫=- ⎪⎝⎭在(]0,1x ∈单调递减，结合函数是奇函数，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得解.【详解】当(]0,1x ∈时，易知函数2114x y x α-⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，且当0x →时，4y →；当1x =时，34y =-，其大致图象如下，()21112x f x x α-⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭在(]0,1的大致图象如下，又函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，故函数()f x 的图象如下，要使函数()()g x f x t =-有3个零点，只需函数()y f x =的图象与直线y t =有且仅有3个交点，由图象可知，实数t 的取值范围是{}111,0,144⎛⎤⎡⎫--⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 故答案为：{}111,0,144⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知0a >且1a ≠，设函数2,3()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =，结合题中条件得出函数()y f x =在()3,+∞上单调递减，且3log 31a +≤，由此列出不等式组求出实数a 的取值范围.【详解】由题意知，函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =， 由于函数()2,32log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()3log a f x x =+在()3,+∞上单调递减且3log 31a +≤，则有013log 31a a <<⎧⎨+≤⎩，即01log 32a a <<⎧⎨≤-⎩，解得313a ≤<，因此，实数a 的取值范围是3,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每段的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．（2021·上海徐汇·南洋中学）已知函数1222log (1),1()()22,x x x n f x n m n x m ----≤≤⎧⎪=<⎨⎪-<≤⎩的值域是[1,2]-，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，实数m 的取值范围是_________．【答案】[2,4]【分析】根据第一段函数的单调性求出函数值的取值范围，再根据第二段函数的单调性结合函数的值域进而确定m 的取值范围．【详解】当1x n -≤≤时，函数()f x 为增函数，此时()121log 21f -==- 因为10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，当12n =时，()()11221log 1log 12f n n =-<=当n x m <≤时，()f x 关于2x =对称，且()f x 在(),2n 单调递增，在()2,+∞单调递减， 当2x =时，()2422f =-=当0n =时，()120log 10f == 由22220x ---=得221x --=，则1x =或3x =， 由22221x ---=-得220x --=，则0x =（舍）或4x =， 因为()f x 的值域为[1,2]-，所以m 的取值范围是[2,4] 故答案为：[2,4]三、解答题7．（2021·上海普陀·高三二模）设函数()()2log 0f x x x =>的反函数为()1f x -． （1）解方程：()()220f x f x +-=；（2）设()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数．当01x <<时，()()1g x f x -=，试求()2log 10g 的值．【答案】（1）原方程的解集为{}2；（2）()28log 105g =-． 【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集；（2）求得当01x <<时，()2xg x =，通过计算得出()22258log 10log log 85g g g ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）()()()22220log 22log 0f x f x x x +-=⇔+-=，则()222log 2log x x +=即220x x --=，解得2x =或1-．由200x x +>⎧⎨>⎩可得0x >，2x ∴=，所以，原方程的解集为{}2； （2）()2log f x x =，其中0x >，令2log y x =，可得2y x =，即()12x f x -=，所以当01x <<时，所以，()2xg x =，由于()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数， 所以对于任意实数x ，均有()()2g x g x +=，()()g x g x -=-．342102<<，则23log 104<<，故()()()222225log 10log 104log 10log 16log 8g g g g ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭， 又因为15128<<，所以251log 08-<<，故28log 522588log log 2855g g ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()28log 105g =-. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.8．（2021·上海市七宝中学高三其他模拟）业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A (A 为常数)元，n 年后总投入资金记为()f n ，经计算发现当010n ≤≤时，9()nAf n p qa =+，其中232,,a p q -=为常数，(0)f A =,(3)3f A =（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍； （2）研发启动后第几年的投入资金的最多.【答案】（1）研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第5年的投入资金增长的最多.【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求得,p q 的值，得到()f n 的解析表达式，然后令()8f n A =,解方程即可；（2）求得第n 年的投入资金()()1f n f n --的解析表达式，并通分化简，适当转化，然后利用基本不等式探究取得最大值的条件即可. 【详解】解：（1）由题意知(0),(3)3f A f A ==．所以99314AAp q A A p q⎧=⎪+⎪⎨=⎪⎪+⎩，解得18p q =⎧⎨=⎩,∈9()18n Af n a =+⋅令()8f n A =，得9818n AA a =+⋅，解得164n a =， 即231264n-=，所以9n =． 所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．（2）由（1）知9()18n Af n a =+⋅ 第n 年的投入资金199()(1)1818n n A Af n f n a a-=--=-=+⋅+⋅()()9972(1)72(1)1881888(1)64n n n n n nn A a A Aa a A a a a a a a a a a a a ⋅---==+⋅+⋅+⋅+⋅+++，272(1)72(1)9(1)8(1)12648(1)n n A a A a A a aa aa a a---≤==++⨯++当且仅当64nnaa a =，即2(26)31264n --=等号． 所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及利用基本不等式研究最值问题，属中档题，关键是准确运算，并注意适当转化，以便利用基本不等式研究最值. 9．（2021·宝山·上海交大附中高三其他模拟）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域； （2）对任意12,2nn x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()()f x f x kg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）[]0,2；（2）当0n =时(),2k ∈-∞-，当1n =时(),3k ∈-∞-，当2n ≥时，9,415k n n ⎛⎫∈-∞-+ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）依题意可得()2242log log y x x =-⋅，根据二次函数的性质计算可得；（2）由()()()2f x f x kg x ⋅>⋅得()()22234log 3log log x x k x -->⋅，令2log t x =，()()343t t k t -->⋅对一切的[],1t n n ∈+恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围；【详解】（1）因为2()32log f x x =-，2()log g x x =，[]()1()y f x g x =+⋅ 令()()()222242log log 2log 12y h x x x x ==-⋅=--+，∈[]1,4x ∈，∈[]2log 0,2x ∈，所以当2log 1x =，即2x =时取最大值()max 2h x =，当2log 0x =或2，即1x =或4x =时取最小值()min 0h x =， ∈函数()h x 的值域为[]0,2.（2）由()()()2f x f x kg x ⋅>⋅得()()22234log 3log log x x k x -->⋅，令2log t x =，∈12,2nn x +⎡⎤∈⎣⎦，∈[]2log ,1t x n n =∈+，∈()()343t t k t -->⋅对一切的[],1t n n ∈+恒成立，①当0n =时，若0t =时，k ∈R ； 当(]0,1t ∈时，()()343t t k t--<恒成立，即9415k t t <+-，函数9415t t +-在(]0,1t ∈单调递减，于是1t =时取最小值-2，此时2x =， 于是(),2k ∈-∞-；②当1n =时，此时[]1,2t ∈时，()()343t t k t--<恒成立，即9415k t t <+-，∈9412t t+≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号，即9415t t+-的最小值为-3，(),3k ∈-∞-； ③当2n ≥时，此时[],1t n n ∈+时，()()343t t k t--<恒成立，即9415k t t <+-，函数9415t t +-在[],1t n n ∈+单调递增，于是t n =时取最小值9415n n -+，此时2n x =，于是9,415k n n ⎛⎫∈-∞-+⎪⎝⎭. 综上可得：当0n =时(),2k ∈-∞-，当1n =时(),3k ∈-∞-，当2n ≥时，9,415k n n ⎛⎫∈-∞-+ ⎪⎝⎭（真题/新题）一、单选题 1．（·海南高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(5,)+∞ D ．[5,)+∞【答案】D【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可. 【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.2．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x =+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意． 【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x x x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x =+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021·全国高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<.4．（2021·上海普陀·高三二模）已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A 【分析】令()1()2g x f x =-，得到()g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设1230,0,0x x x <<>，结合1212(,())A x x f x x ++，利用直线OA 的方程得到()()1212()g x g x g x x +<+，进而得到()()123()0g x g x g x ++<，可判断①正确；②中，不妨设1230,0,0x x x <>>，得到点2323(,())B x x f x x ++，利用直线OB 的方程得到()()2323()g x g x g x x +>+，进而得到()()123()0g x g x g x ++>，可判定②正确. 【详解】令函数()()()13131112132213213x x x xx g x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--，即()()g x g x -=-，所以函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示， ①中，因为1230x x x ++=，且1230x x x ⋅⋅>，则312()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <<>，则点1212(,())A x x f x x ++，此时直线OA 的方程为1212()f x x y x x x +=+， 可得()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++， 则()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，可得()()1212()0g x g x g x x +-+<，又由()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++<，即()()123111()0222f x f x f x -+-+-<，即1233()()()2f x f x f x ++<，所以①正确； ②中，若1230x x x ⋅⋅<，不妨设1230x x x ⋅⋅>，则123()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <>>，则点2323(,())B x x f x x ++，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+， 可得()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++， 则()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++， 可得()()2323()0g x g x g x x +-+>，又由()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++>， 即()()123111()0222f x f x f x -+-+->，即1233()()()2f x f x f x ++>， 所以②正确. 故选：A.【点睛】方法点拨：令函数()1()2g x f x =-，得到函数()g x 为递增函数，且为奇函数，求得点1212(,())A x x f x x ++和2323(,())B x x f x x ++，结合直线OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.二、解答题5．（2021·江苏高考真题）已知函数()()23log 2x f x a x a =-+的定义域是R . （1）求实数a 的取值范围; （2）解关于x 的不等式241421x x a a -->. 【答案】（1）()0,1；（2）()2,6-.【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出220x ax a -+>恒成立，然后通过∆<0即可得出结果；（2）本题首先可根据()0,1a ∈得出24142x x --<-，然后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）因为函数()()23log 2x f x a x a =-+的定义域是R ，所以220x ax a -+>恒成立，则2440a a ∆=-<，解得01a <<，a 的取值范围为()0,1. （2）241421x x a a -->，即24142x x a a --->，因为()0,1a ∈，所以24142x x --<-，即24120x x --<，解得26x -<<， 故不等式241421x x a a -->的解集为()2,6-.6．（2021·湖南高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象； （2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）{}|13m m ≤≤【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出[]0,2x ∈的图象，再根据一次函数的特点作出(]2,4x ∈的图象即可；（2）当02m ≤≤时，解不等式22m ≥，当24m <≤，解不等式822x -≥即可求解. 【详解】（1）函数()f x 的图象如图所示：（2）()2,0282,24m m f m m m ⎧≤≤=⎨-<≤⎩， 当02m ≤≤时， ()22mf x =≥，可得：12m ≤≤，当24m <≤，()822f x x =-≥，可得：23m <≤， 所以()2f m ≥的解集为：{}|13m m ≤≤， 所以m 的取值范围为{}|13m m ≤≤.7．（2021·上海市嘉定区第一中学）已知()2f x ax bx c =++.（1）当1a c ==时，讨论函数()()f xg x x=的奇偶性； （2）当1,0b c ==，102a <<，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，2(log )f x 的最大值为54，求()f x 的零点；（3）当1,0b c ==时，对于任意的11,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总有13()1f x ≤，试求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）零点为0，或-4；（3）2a ≤.【分析】（1）分0b =和0b ≠两种情况利用函数奇偶性的定义判断即可，（2）由题意可得当2x =时，2(log )f x 取得最大值54，从而可求出14a =，进而可求出函数的零点， （3）令1311[,]22t x=∈-，则命题转化为：任给11[,]22t ∈-，不等式()1≤f t ，然后分0t =和0t ≠两种情况讨论可求出a 的取值范围【详解】（1）当1a c ==时，函数()1g x x b x =++，函数定义域为0x ≠. 当0b =时，()()1g x x g x x -=--=-；所以()1g x x x =+为奇函数； 当0b ≠时，()11121g b b -=--+=-；()12g b =+；所以()()11g g -≠，()()11g g -≠- 所以()1g x x b x =++为非奇非偶函数. （2）()2f x ax x =+，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，2log [1,1]x ∈-，由102a <<知对称轴112a -<-，故当2log 1x =，即2x =时，2(log )f x 取得最大值54， 即5(1)14f a =+=，所以14a =， 所以2211()(2)144f x x x x =+=+-，由()0f x =，得0x =或4x =-， 所以()f x 的零点为0，或4-. （3）()2f x axx =+任意的11,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总有13()1f x ≤，令1311[,]22t x =∈-，则命题转化为： 任给11[,]22t ∈-，不等式()1≤f t ， 当0t =时，()0f t =满足()1≤f t ； 当0t ≠时，有2211111()24a t t t ≤-=--对于任意的11[,0)(0,]22t ∈-恒成立； 由11[,0)(0,]22t ∈-得1(,2][2,)t ∈-∞-+∞，所以2111()224t --≥，所以要使2211111()24a t t t ≤-=--恒成立，则有2a ≤。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——其他不等式的解法08
课时08 其他不等式的解法（基础题） 一、单选题1．（·上海市七宝中学高三期中）下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）A ．2611x x x x +<++与26x x <+ B ．2(2)(1)0x x x x -+<与(2)(1)0x x -+< C ．(2)(1)01x x x +->-与20x +> D ．2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+2．（·上海高三一模）命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞3．（·上海杨浦区·）不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2) C ．(,1][2,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞二、填空题4．（·上海普陀区·高三一模）不等式11x >的解集是 5．（·上海市建平中学高三期中）不等式102x x +<-的解集为______________． 6．（·上海崇明区·高三月考）不等式0ax b ->解集为(1,)+∞，则不等式20x ax b ->+的解集为________ 三、解答题 7．（·上海）设集合A={x||x －a|<2}，B={x|212x x -+<1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．（能力题）一、单选题1．（·上海市崇明中学高三其他模拟）若,,||||a b R a b ∈>且11lim limn n n nn nn n a b a b a a -+→∞→∞++>，则a的取值范围为（ ） A ．1a >或1a <- B ．11a -<< C ．1a >或10a -<< D ．1a <-或01a <<二、填空题2．（·上海高三专题练习）集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅，则实数a 的取值范围是________3．（·上海市行知中学高三开学考试）关于x 230≥的解集为_________. 三、解答题4．（·上海崇明区·高三月考）已知1()(1)(0)f x a x x x =++≠，a ∈R . （1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集； （2）若()f x 是奇函数，求a 的值.5．（·上海高三其他模拟）已知：=q x ν，(0,80]x ∈，且801100135,(0,40)=3(40)85,[40,80](0)xx k x x k ν⎧⎛⎫⎪-∈ ⎪⎨⎝⎭⎪--+∈>⎩， （1）若95v >，求x 的取值范围；（2）已知80x =时，50v =，求x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值.（真题/新题）一、单选题1．（·浙江高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >02．（2022·全国高三专题练习）已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01acx b x x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（ ） A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=3．（·江西高三一模（理））下列说法中正确的是（ ）①不等式112x >的解集是{}2x x <；②命题“x R ∀∈，220x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”；③已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=． A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．①②③二、填空题4．（·吉林高三其他模拟（文））不等式1x x <的解集为___________. 5．（2017·上海高考真题）不等式11x x->的解集为________ 6．（·上海高三其他模拟）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________. 三、解答题7．（·普宁市普师高级中学高三二模）已知函数()33f x x x =+． （1）解不等式()()22log 30f x f +-≤；（2）若过点()2A m ，可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．8．（·上海高三二模）已知()221x f x ax x =++，（a 为实常数）（1）当1a =时，求不等式()1()f x f x x +<的解集； （2）若函数()f x 在()0,∞+中有零点，求a 的取值范围.课时09 其他不等式的解法（基础题） 一、单选题1．（·上海市七宝中学高三期中）下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）A ．2611x x x x +<++与26x x <+ B ．2(2)(1)0x x x x -+<与(2)(1)0x x -+< C ．(2)(1)01x x x +->-与20x +> D ．2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+【答案】D【分析】逐项分析两个不等式之间是否为等价转化可得正确的选项. 【详解】对于A ，2611x x x x +<++等价于()()2160x x x +--<， 该不等式与26x x <+不等价，故A 错. 对于B ，2(2)(1)0x x x -+<等价于2(2)(1)0x x x -+<即2(2)(1)00x x x -+<⎧⎨≠⎩， 此不等式的解为()()1,00,2-⋃，与(2)(1)0x x -+<的解()1,2-不同，故B 错. 对于C ，(2)(1)01x x x +->-等价于2(2)(1)0x x +->， 此不等式的解为()()2,11,-⋃+∞，与20x +>的解不同，故C 错. 对于D ，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 故2232111x x x x x x -+>-+-+等价于321x x ->+，故D 正确. 故选：D.2．（·上海高三一模）命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【答案】C【分析】转化条件得{1x x >或}{}0x x x a <⊇>，即可得解. 【详解】10x x->，∴1x >或0x <， ∴{1x x >或}{}0x x x a <⊇>， ∴1a ≥.故选：C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法和条件之间的关系，属于基础题. 3．（·上海杨浦区·）不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2) C ．(,1][2,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0． 二、填空题4．（·上海普陀区·高三一模）不等式11x >的解集是【答案】(0,1)【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式来求解. 【详解】依题意110x ->，()1010xx x x->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5．（·上海市建平中学高三期中）不等式102x x +<-的解集为______________． 【答案】()1,2-【分析】将原不等式等价转化为()()120x x +-<，然后解该二次不等式可得出结果.【详解】不等式102x x +<-等价于()()120x x +-<，解得12x -<<， 因此，不等式102x x +<-的解集为()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是将分式不等式化为标准形式，转化为整式不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.6．（·上海崇明区·高三月考）不等式0ax b ->解集为(1,)+∞，则不等式20x ax b ->+的解集为________ 【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【分析】根据已知可得0a >，0a b -=，将b a =代入不等式20x ax b ->+，然后解分式不等式即可.【详解】因为不等式0ax b ->解集为(1,)+∞，所以0a >且0a b -=，所以b a =，所以不等式20x ax b ->+可得化为20(1)x a x ->+，又0a >，所以201x x ->+，即(2)(1)0x x -+>，解得1x <-或2x >，所以原不等式的解集为(,1)(2,)-∞-+∞.故答案为：(,1)(2,)-∞-+∞【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，同时考查一元一次不等式的解法，属于基础题.三、解答题7．（·上海）设集合A={x||x －a|<2}，B={x|212x x -+<1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．【答案】01a ≤≤【分析】“A⊆B”说明集合A 是集合B 的子集，由此列端点的不等关系解得实数a 的取值范围．【详解】由|x －a|<2，得a －2<x<a+2，所以A={x|a －2<x<a+2}． 由212x x -+<1，得32x x -+<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}．因为A ⊆B ，所以2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，于是0≤a≤1．【点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝⊆，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑⊆是否成立，以防漏解.（能力题）一、单选题1．（·上海市崇明中学高三其他模拟）若,,||||a b R a b ∈>且11lim lim n n n nn nn n a b a b a a -+→∞→∞++>，则a的取值范围为（ ）A ．1a >或1a <-B ．11a -<<C ．1a >或10a -<<D ．1a <-或01a <<【答案】D【分析】根据数列极限运算法则化简11lim lim n n n nn nn n a b a b a a -+→∞→∞++>，求出关于a 的不等式，即可求解.【详解】11lim lim n n n nn nn n a b a b a a -+→∞→∞++>化为1lim ))li ()(m(()n n n n b ba aa a →∞→∞>++， ||||,li 1(1)(1)(,m )0,0n nb a b a a a a a a→∞>∴=-+∴><， ∴1a <-或01a <<.故选:D【点睛】本题考查数列极限，考查分式不等式，属于中档题. 二、填空题2．（·上海高三专题练习）集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅，则实数a 的取值范围是________【答案】(,1)[4,)-∞-+∞【分析】先分别求出集合,A B ，再由AB =∅列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：由22024x x -≤-得，(22)(24)0x x --≤且(24)0x -≠，解得12x ≤<，所以集合{}12A x x =≤<，由||2x a -≤得，22a x a -≤≤+，所以集合{}22B x a x a =-≤≤+， 因为AB =∅，所以21a +<或22a -≥， 解得1a <-或4a ≥故答案为：(,1)[4,)-∞-+∞【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题3．（·上海市行知中学高三开学考试）关于x230≥的解集为_________. 【答案】[4,5)【分析】通过2330x x -+>0恒成立，将不等式最终转化为405010x x x -≥⎧⎪->⎨⎪+≠⎩，解出即可.【详解】解：对于233x x -+，有23340∆=-⨯<，则2330x x -+>恒成立，0恒成立，2323(34)00150x x x x ⎧--≥⎪≥⇔+⎨⎪->⎩ 又2333(34)(4)(1)11x x x x x x ---+=++，23(34)0150x x x x ⎧--≥⎪∴+⎨⎪->⎩， 2333(34)(4)(1)x x x x --=-+405010x x x -≥⎧⎪∴->⎨⎪+≠⎩解得不等式的解集为[4,5). 故答案为：[4,5).【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题.三、解答题4．（·上海崇明区·高三月考）已知1()(1)(0)f x a x x x =++≠，a ∈R . （1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集； （2）若()f x 是奇函数，求a 的值. 【答案】（1）(1,0)-；（2）0a =.【分析】（1）由1a =化简得到(),(1)f x f x +，然后将不等式()1(1)f x f x +<+转化为111x x <+，利用分式不等式求解.（2）根据()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-恒成立求解. 【详解】（1）当1a =时，11()1,(1)21f x x f x x x x =+++=+++， 所以不等式()1(1)f x f x +<+化为：111x x <+， 所以1101x x -<+，所以()101x x <+，即()10x x +<， 解得10x -<<，所以不等式()1(1)f x f x +<+的解集是(1,0)-； （2）因为()f x 是奇函数， 所以()11()(1)(1)f x a x a x f x x x-=-+-=-+-=-恒成立， 所以(1)(1)a x a x -+=-+恒成立， 解得0a =.【点睛】本题主要考查分式不等式的加法以及函数奇偶性的运用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．（·上海高三其他模拟）已知：=q x ν，(0,80]x ∈，且801100135,(0,40)=3(40)85,[40,80](0)xx k x x k ν⎧⎛⎫⎪-∈ ⎪⎨⎝⎭⎪--+∈>⎩， （1）若95v >，求x 的取值范围；（2）已知80x =时，50v =，求x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值.【答案】（1）800,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）4807=x 时，28800=7max q . 【分析】（1）当()0,40x ∈时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到803x>，进而解得；当[]40,80x ∈时，利用不等式的基本性质可得8595v ≤<,此时95v >无解.（2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得k 的值，进而分段讨论，当()0,40x ∈时可利用不等式的基本性质得到100400q x <<, 当[]40,80x ∈时利用二次函数的性质求得28800=7max q >400，从而得到答案. 【详解】（1）当()0,40x ∈时，801100135953x⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即8031113273x⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,80803,03x x ∴>∴<<； 当[]40,80x ∈时，()0,40858595k v k x >∴=--+≤<,此时95v >无解.综上所述，800,3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭； （2）当80x =时，()80408550v k =--+=,解得78k =,当()0,40x ∈时，801100135100x 4000,3xq x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭当[]40,80x ∈时，()277408512088q x x x x x =--+=-+, 当4807x = 时q 取得最大值284804802880012040007777maxq ⎛⎫=-+⨯=> ⎪⎝⎭. 综上所述当4807x =时q 取得最大值，28800=7max q .【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当()0,40x ∈时，q 关于x 的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当[]40,80x ∈时的最值，这样可以避免对复杂函数的单调性的分析.（真题/新题）一、单选题1．（·浙江高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0【答案】C【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点 为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.2．（2022·全国高三专题练习）已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a cx b x x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（ ） A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= 【答案】D【分析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，即220x bx a x bx a c x ⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃， 则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤，设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<， 所以0c n -=，n c =，1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，则11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+， 又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-，所以m 是2x bx a c x ++=-的一根， 所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．3．（·江西高三一模（理））下列说法中正确的是（ ） ①不等式112x >的解集是{}2x x <；②命题“x R ∀∈，220x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”；③已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=． A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．①②③【答案】A【分析】对三个命题逐一判断真假.【详解】①不等式112x >的解集是{}02x x <<；所以①不正确；②命题“x R ∀∈，220x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”，满足命题的否定形式，所以②正确；③已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()20.5P X <=，()240.4P X <<=，⊆()020.4P X <<=．所以③正确；故选：A ． 二、填空题4．（·吉林高三其他模拟（文））不等式1x x <的解集为___________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【分析】根据分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解.【详解】10,<x x -即21,<0x x -即2(1)0,<x x -即(1)(1)0>x x x -+，所以()()0110x x x >⎧⎨-+>⎩或()()0110x x x <⎧⎨-+<⎩解得1x >或10x -<<所以不等式的解集为()()1,01,-⋃+∞. 故答案为： ()()1,01,-⋃+∞5．（2017·上海高考真题）不等式11x x->的解集为________ 【答案】(,0)-∞【解析】 由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 6．（·上海高三其他模拟）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________.【答案】02xx <-【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论. 【详解】一个解集为()0,2的分式不等式可以是02xx <-， 故答案为：02xx <-.（答案不唯一）三、解答题7．（·普宁市普师高级中学高三二模）已知函数()33f x x x =+． （1）解不等式()()22log 30f x f +-≤；（2）若过点()2A m ，可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．【答案】（1）128x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，；（2）614m <<. 【分析】（1）求出函数的导数，得出函数的单调性，再结合奇偶性，求解即可； （2）设出切点坐标，表示出切线方程，由()2A m ，在切线上 得()()()230003323xx m x x +-=-+，由题知方程3200266m xx =-++应有3个解，从而构造函数()32266g x x x =-++，求出m 的范围即可．【详解】（1）定义域为R ，()()f x f x -=-， ()f x ∴为奇函数，()2'330f x x =+>，()f x ∴为单调递增函数．所以()()()()()()2222222222223033log log log log l 31230log log 3128log .f x f x f x f x f x f x x x x x x x +-≤⇔≤--⇔≤+⇔≤+⇔+-≤⇔-≤≤⇔≤≤--，所以，不等式解集为128⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． （2）设切点为()30003x x x +，，则切线方程为()()()320000333y x x x x x -+=+-．()2A m ，在切线上，()()()2300003323x x m x x ∴+-=-+，即320266m xx =-++.由题意得，关于0x 的方程3200266m x x =-++有三个不等的实根， 设()32266g x xx =-++，则()()261262g x x x x x =-+'=--，令()0g x '=，则0x =或2x =，当()0x ∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()02x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.所以()g x 的极小值为()60g =，极大值为()124g =. 故614m <<．【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：把“过点(2,)A m 可作曲线()y f x =的三条切线”转化为“关于0x 的方程3200266m x x =-++有三个不等的实根”.8．（·上海高三二模）已知()221x f x ax x =++，（a 为实常数） （1）当1a =时，求不等式()1()f x f x x +<的解集； （2）若函数()f x 在()0,∞+中有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）(1,0)-；（2）1[,0)2-. 【分析】（1）直接解分式不等式即可；（2）利用分离参数法，作出y a =和21xy x =-+，根据图像的交点判断a 的范围. 【详解】（1）当1a =时， ()11()1f x f x x x x+=++<，化简得：10x x+<，解得：10x -<< ⊆不等式()1()f x f x x+<的解集为(1,0)-.（2）若函数()f x 在()0,∞+中有零点，即2201x ax x +=+在()0,x ∈+∞有解，⊆21x a x =-+，作出y a =和21xy x =-+的图像，如图示：⊆21x y x =-+的值域是1[,0)2-， ⊆ a 的取值范围是1[,0)2-【点睛】（1）分式不等式通常利用符号法则转化为整式不等式求解； （2）已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．。
专题06 函数的应用-2022年高考数学一轮复习小题多维练(新高考版)(解析版)
函数的应用一、单选题1.已知k∈R，函数f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx的定义域为R，若函数f（x）在区间（0，4）上有两个不同的零点，则k的取值范围是（）A．﹣7＜k＜﹣2B．k＜﹣7或k＞﹣2C．﹣7＜k＜0D．﹣2＜k＜0【答案】A【分析】令g（x）＝|x2﹣4|+x2，h（x）＝﹣kx，问题转化为g（x）与h（x）在（0，4）上有2个交点，分别求出K OP，K OQ，求出k的范围即可．【解答】解：令g（x）＝|x2﹣4|+x2，h（x）＝﹣kx，画出函数的图象，如图示：，∵函数f（x）在区间（0，4）上有两个不同的零点，∴g（x）与h（x）在（0，4）上有2个交点，由图可知P（2，4），Q（4，28），故K OP＝2，K OQ＝7，故2＜﹣k＜7，故﹣7＜k＜﹣2，故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系2.已知f（x）＝，则f（x）≥3的解集为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]，∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）【答案】C【分析】利用不等式，通过x的范围结合分段函数，转化求解即可．【解答】解：f（x）≥3的解集满足：当x≥2时，2e x﹣1+1≥3，解得x≥1，所以x≥2；当x＜2时，由，可得，解得x≤﹣2，综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：C．【知识点】分段函数的应用3.新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的1.2倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从（）天后该国总感染人数开始超过100万．（lg1.2＝0.0790，lg5＝0.6990）（）A．43B．45C．47D．49【答案】C【分析】由题意可得x天后总感染人数为200×1.2x，由200×1.2x＞1000000求解x的范围得结论．【解答】解：设y为x天后该国的总感染人数，则y＝200×1.2x，令200×1.2x＞1000000，两边取对数得：xlg1.2＞lg5000，即xlg1.2＞3+lg5，解得x≥47．故选：C．【知识点】根据实际问题选择函数类型4.已知f（x）＝，则f（4）+f（﹣4）＝（）A．63B．83C．86D．91【答案】C【分析】根据题意，由函数的解析式可得则f（﹣4）＝f（5），f（4）＝f（7），进而计算f（5）、f （7）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，当x＜5时，f（x）＝f（x＝3），则f（﹣4）＝f（﹣1）＝f（2）＝f（5），f（4）＝f（7），当x≥5时，f（x）＝2x﹣x2，则f（5）＝25﹣52＝7，f（7）＝27﹣72＝79，故f（4）+f（﹣4）＝86，故选：C．【知识点】函数的值、分段函数的应用5.函数f（x）＝，对∀x∈R，f（x）+1≥0，则a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣，1）【答案】C【分析】判断函数为偶函数，求出x≥0时的最小值，由最小值大于等于﹣1求解a的范围．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），则函数为偶函数，则问题只需考虑x≥0时即可．当0≤x＜2时，函数f（x）单调递增，f（x）的最小值为f（0）＝﹣a；当x≥2时，函数f（x）单调递增，f（x）的最小值为f（2）＝0．要使∀x∈R，f（x）+1≥0，则只需﹣a+1≥0即可，∴a≤1．即a的取值范围为（﹣∞，1]．故选：C．【知识点】分段函数的应用6.已知函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则（）+（）+（）的取值范围是（）A．（，）B．（1，4）C．（，4）D．（4，6）【答案】A【分析】由函数解析式作出图象，令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），把（）+（）+（）转化为关于t的函数求解．【解答】解：画出分段函数f（x）＝的图象如图，令互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），则x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），则（）+（）+（）＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，又t∈（0，），∴（）+（）+（）∈（，）．故选：A．【知识点】分段函数的应用7.已知函数f（x）＝2k（x﹣1）e x（k＜1）的图象与函数g（x）＝x2的图象有且仅有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，0]C．（0，+∞）D．（0，1]【答案】A【分析】令F（x）＝f（x）﹣g（x）（k＜1），根据条件可知F（x）有两个不同的零点，然后分k＜0，k＝0和0＜k＜1三种情况，求出k的取值范围．【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣g（x）（k＜1），则F（x）＝2k（x﹣1）e x﹣x2，∵f（x）和g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，∴F（x）有两个不同的零点，又F′（x）＝2kxe x﹣2x＝2x（ke x﹣1），当k＜0时，F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，且F（0）＝﹣2k＞0，∴F（x）图象的左右两边向下无限延伸，故此时F（x）有两个零点，∴k＜0，满足题意；当k＝0时，F（x）＝﹣x2只有一个零点，不滿足题意；当0＜k＜1时，＞0在（上单调递增，且F（0）＝﹣2k＜0，易知F（x）只有一个零点，不满足题意；综上，k的取值范围是（﹣∞，0）．故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系8.以下函数在区间（0，）上必有零点的是（）A．y＝x B．y＝3C．y＝ln（x+）D．y＝2x+1【答案】C【分析】根据题意，依次分析选项中函数在区间（0，）上有没有零点，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝＝，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，对于B，y＝＝，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，对于C，y＝ln（x+），当x＝时，y＝ln1＝0，区间（0，）上有零点，符合题意，对于D，y＝2x+1，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，故选：C．【知识点】函数的零点、函数零点的判定定理9.已知a＞0，函数f（x）＝2e ax﹣x，若函数F（x）＝f（f（x））﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．（0，]C．（0，）D．[，]【答案】C【分析】根据题意可得函数F（x）＝2af（x）﹣2e ax，问题可以转化为f（x）＝x有两个解，即a＝恰有两个解，记函数g（x）＝，对g（x）求导，分析单调性，值域，进而可得结论．【解答】解：因为函数F（x）＝f（f（x））﹣x＝2af（x）﹣f（x）﹣x＝2af（x）﹣2e ax，因此F（x）＝0，即e af（x）＝e ax，即af（x）＝ax，又a＞0，所以函数F（x）恰有两个零点，即f（x）＝x有两个解，即e ax＝x恰有两个解，即a＝恰有两个解，记函数g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得x＞e，g（e）＝＝，所以g（x）在（0，e）上单调递增，值域为（﹣∞，），在（e，+∞）上单调递减，值域为（0，），所以a＝恰有两个解，a∈（0，），故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系10.已知函数下列关于函数y＝f（f（x））﹣2的零点个数判断正确的是（）A．当a＞0时，至少有2个零点B．当a＞0时，至多有7个零点C．当a＜0时，至少有4个零点D．当a＜0时，至多有4个零点【答案】B【分析】画出f（x）的图象，再分a＞0，a＜0两种情况分析复合函数的零点个数即可．【解答】解：对于y＝x3﹣3x，x≤0，y′＝3x2﹣3，令y′＝0，可得x＝±1，故y＝x3﹣3x，x≤0在x ＝﹣1处取最大值2．①当a＞0时：要取得最少的零点个数，则a＞1，此时x+＞2．（x＞0）此时函数图象如图．故y＝f（f（x））﹣2＝0有f（f（x））＝2，故f（x）＝﹣1，由图得y＝f（f（x））﹣2零点个数为1．故A错误．要取得最多的零点个数，则此时0＜a＜1，此时x+＜2，（x＞0）．如图故y＝f（f（x））﹣2＝0有f（f（x））＝2，所以f1（x）＝﹣1，f2（x）＝t1，f3（x）＝t2．其中t2，t1＜，∴f1（x）＝﹣1有一根，f2（x）＝t1最多2个根，f3（x）＝t2．最多有4个根，一共最多有7个零点．故B正确．②当a＜0时，函数y＝x+为增函数，画出图象有令y＝f（f（x））﹣2＝0有f1（x）＝﹣1，f2（x）＝t，其中t+＝2即t2﹣2t+a＝0，由图知t＞0，故t＝1+＞2．故f1（x）＝﹣1有2个零点，f2（x）＝t有一个零点．故一共有3个零点．所以C，D错误．故选：B．【知识点】函数的零点与方程根的关系11.已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，若函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k（其中a＞1）有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A．（，]B．（）C．（]D．（）【答案】C【分析】通过设t＝|a x﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k可换元为h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1，然后分类讨论函数零点的情况，从而得到实数k的取值范围．【解答】解：令t＝|a x﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k可换元为：h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1．若g（x）有三个不同的零点，则方程h（t）＝0有两个不同的实数根t1，t2，且解的情况有如下三种：①t1∈（1，+∞），t2∈（0，1），此时，解得；②t1＝0，t2∈（0，1），此时由h（0）＝0，求得k＝，∴h（t）＝，即，不合题意；③t1＝1，t2∈（0，1），此时由h（1）＝0，得k＝，∴h（t）＝，解得，符合题意．综上，实数k的取值范围为（]．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.若函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，a＞0，若f（x）有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．D．【答案】A【分析】由于f（x）有两个零点，可得f（﹣lna）＜0，令u（a）＝1﹣+lna，u（1）＝0．利用导数研究其单调性即可得出a的范围．又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．进而得出．【解答】解：f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1＝（2e x+1）（ae x﹣1）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R上单调递减，此时函数f（x）最多有一个零点，不满足题意，舍去．a＞0时，f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1＝（2e x+1）（ae x﹣1）．令f′（x）＝0，∴e x＝，解得x＝﹣lna．∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减；x∈（﹣lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增．∴x＝﹣lna时，函数f（x）取得极小值，∵f（x）有两个零点，∴f（﹣lna）＝a×+（a﹣2）×+lna＝1﹣+lna＜0，令u（a）＝1﹣+lna，u（1）＝0．u′（a）＝+＞0，∴函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，∴0＜a＜1．又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴满足函数f（x）有两个零点．∴a的取值范围为（0，1），故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系二、多选题13.已知函数f（x）＝2e﹣|x﹣1|，函数g（x）满足g（x）＝﹣g（x+1），且当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝﹣x2+1，那么（）A．f（x）在R上关于直线x＝1对称B．当x＞0时，f（x）单调递减C．当x∈[﹣2，4]时，h（x）＝f（x）﹣g（x）有6个零点D．当x∈[﹣2，4]时，h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为6【答案】ACD【分析】根据f（x），g（x）的解析式，结合选项，逐项判断可得答案；【解答】解：由函数f（x）＝2e﹣|x﹣1|，对于A：由f（2﹣x）＝2e﹣|2﹣x﹣1|＝2e﹣|x﹣1|＝f（x），可得f（x）在R上关于直线x＝1对称，故A正确；对于B：由f（x）＝2e﹣|x﹣1|＝，当x≤1时，函数f（x）是单调递增函数；当x＞1时，函数f（x）是单调递减函数；故B错误；对于C：g（x）＝﹣g（x+1），可得g（x）是周期为2的函数，且当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝﹣x2+1，作出函数f（x）图象与y＝g（x）的图象，从图象可知有6个不同交点，故h（x）有6个零点，故C正确；对于D：根据图象可得g（x）也关于直线x＝1对称，所以6个零点两两关于直线x＝1对称，可得6个零点的和为6，故D正确；综上，可得答案为ACD．故选：ACD．【知识点】函数与方程的综合运用、函数的零点与方程根的关系14.已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列说法正确的是（）A．x1x2＝1B．+＝1C．x3+x4＝12D．x3x4∈（27，29）【答案】BCD【分析】作出函数f（x）的图象，可知|log2（x1﹣1）|＝|log2（x2﹣1）|，x3，x4是方程的两根，由此即可判断出正确选项．【解答】解：依题意，|log2（x1﹣1）|＝|log2（x2﹣1）|且1＜x1＜2＜x2＜3，∴log2（x1﹣1）+log2（x2﹣1）＝0，即（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，∴x1x2﹣x1﹣x2+1＝1，∴，即选项A错误，选项B正确；易知，x3，x4是方程，即方程x2﹣12x+29﹣2m＝0的两根，∴x3+x4＝12，x3x4＝29﹣2m∈（27，29），即选项C，选项D均正确．故选：BCD．【知识点】函数的零点与方程根的关系15.已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）存在两个不同的零点B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根D．若x∈[t，+∞）时，f（x）max＝，则t的最小值为2【答案】ABC【分析】作出函数f（x）＝的图象即可得到结论．【解答】解：，令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝2，当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，故函数在（﹣1，2）上单调递增，且函数f（x）有极小值f（﹣1）＝﹣e，有极大值，当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→0，故作函数草图如下，由图可知，选项ABC正确，选项D错误．故选：ABC．【知识点】函数与方程的综合运用16.已知函数，若关于x的方程f（f（x））＝0有8个不同的实根，则a的值可能为（）A．﹣6B．8C．9D．12【答案】CD【分析】结合题意可先对a进行分类：分a≤0及a＞0两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解．【解答】解：由题意可得a≤0时，显然不成立；当a＞0时，令f（x）＝t，则由f（t）＝0得，t1＝﹣2a，t2＝0，t3＝a，又方程f（f（x））＝0有8个不同的实根，由题意结合可得，即，解得a＞8，故选：CD．【知识点】函数的零点与方程根的关系三、填空题17.某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动．他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元．要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天．（结果取整）【答案】14【分析】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式可得n2+2n﹣220≥0，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要n天，则，整理得：n2+2n﹣220≥0，又∵n为正整数，∴当n＝13时，132+2×13﹣220＝﹣25＜0；当n＝14时，142+2×14﹣220＝4＞0，∴n的最小值为14，即这次募捐活动至少需要14天．故答案为：14．【知识点】根据实际问题选择函数类型18.对于定义域为D的函数f（x），若存在x1，x2∈D且x1≠x2，使得f（x12）＝f（x22）＝2f（x1+x2），则称函数f（x）具有性质M，若函数g（x）＝|log2x﹣1|，具x∈（0，a]有性质M，则实数a的最小值为．【分析】设x1＜x2，由f（x12）＝f（x22），可得，结合可得，进而求得x1，x2，由此得解．【解答】解：设x1＜x2，由f（x12）＝f（x22）得，，则，故，∴，又，∴，∵，∴，则，∴，∴，故，∴，则实数a的最小值为．故答案为：．【知识点】函数的零点与方程根的关系19.已知x1＝，x2＝是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）相邻的两个零点，则φ＝；若函数g（x）＝|f（x）﹣|在[﹣，m]上的最大值为1，则m的取值范围是．【分析】利用三角函数的性质得到ω＝2，再根据已知零点得到φ＝，然后根据三角函数的性质得到关于m的不等式，即可得解．【解答】解：设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得＝﹣，则T＝π，所以＝π，所以ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），由题意知2×+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z，又0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin（2x+），因为函数g（x）在[﹣，m]上的最大值为1，且当x∈[﹣，m]上的最大值为1，当x∈[﹣，m]时，﹣≤2x+≤2m+，所以﹣＜2m+≤，所以﹣＜m≤．故答案为：，（﹣，]．【知识点】函数的零点与方程根的关系20.已知y＝f（x）是奇函数，定义域为[﹣1，1]，当x＞0时，f（x）＝|﹣xα|﹣1（α＞0，α∈Q），当函数g（x）＝f（x）﹣t有3个零点时，则实数t的取值范围是．【分析】根据题意及函数图象的变换法则，作出函数f（x）的图象，由图象观察即可得解．【解答】解：当x∈（0，1]时，易知函数单调递减，且x→0时，y→2，x＝1时，，其大致图象如下，∴f（x）＝|﹣xα|﹣1在（0，1]的大致图象如下，又函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，故函数f（x）的图象如下，要使函数g（x）＝f（x）﹣t有3个零点，只需函数y＝f（x）的图象与直线y＝t有且仅有3个交点，由图象可知，．故答案为：．【知识点】函数的零点与方程根的关系21.方程1+log2x＝log2（x2﹣3）的解为．【答案】x=3【分析】问题转化为，求出x的值即可．【解答】解：∵1+log2x＝log2（x2﹣3），∴log2（2x）＝log2（x2﹣3），故2x＝x2﹣3，故，解得：x＝3，故答案为：x＝3．【知识点】函数的零点22.若f（x）＝|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2020|，x∈R，且f（a2﹣3a+2）＝f（a﹣1），则满足条件的所有整数a的和是．【答案】6【分析】通过函数的奇偶性，即可得到关系式，然后求出a的值．【解答】解：f（x）＝|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2020|，则f（﹣x）＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2020|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|，可得f（﹣x）＝f（x），∴函数是偶函数，若f（a2﹣3a+2）＝f（a﹣1）则a2﹣3a+2＝a﹣1①或a2﹣3a+2＝﹣（a﹣1）②由①，得a2﹣3a+2＝（a﹣1）（a﹣2）＝a﹣1，即（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝1或a＝3；由②，得a2﹣3a+2＝（a﹣1）（a﹣2）＝﹣（a﹣1），即（a﹣1）（a﹣1）＝0，解得a＝1；∴a＝1或a＝3，又f（0）＝f（1）＝f（﹣1），∴当a＝2时，也满足要求，∴a的值有3个，可得1+2+3＝6．故答案为：6．【知识点】函数与方程的综合运用23.已知函数y＝4sin（2x+）﹣h，x∈[0，]的图象有三个零点，其零点分别为x1，x2，x3，若x1＜x2＜x3，则x1+2x2+x3的值为．【分析】求出函数y＝4sin（2x+），x∈[0，]的对称轴，可得x1+x2与x2+x3的值，则答案可求．【解答】解：函数y＝4sin（2x+）﹣h，x∈[0，]的图象有三个零点，即函数y＝4sin（2x+），x∈[0，]与y＝h的图象有三个交点，则其交点的横坐标分别为x1，x2，x3，对于函数y＝4sin（2x+），x∈[0，]，由2x+（k∈Z），可得x＝与x＝为其对称轴，且当x＝与x＝时，y＝4sin（2x+）分别求得最大值与最小值，由函数的对称性可得，，，∴x1+2x2+x3＝．故答案为：．【知识点】函数的零点与方程根的关系24.设函数f（x）＝|x﹣a|﹣+a，若关于x的方程f（x）＝1有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为．【分析】由题意，转化为两个函数问题，即设，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】解：由方程f（x）＝1，得有两个不同的解，令，则h（x）＝|x﹣a|+a的顶点（a，a）在y＝x上，而y＝x与的交点坐标为（2，2），（﹣1，﹣1），联立得x2+（1﹣2a）x+2＝0，由△＝（1﹣2a）2﹣8＝0，解得或，作出图象，数形结合，要使得有两个不同的解，则实数a的取值范围是或或2．故答案为．【知识点】函数的零点与方程根的关系25.已知函数f（x）＝，g（x）＝x2+ax﹣3，若方程f（x）﹣g（x）＝0有且仅有一个实数根，则a的最大值是．【答案】3【分析】依题意，函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象有且仅有一个交点，作出函数f（x）的图象，结合题意及二次函数的性质可得0＜g（1）≤1即可，进而得解．【解答】解：方程f（x）﹣g（x）＝0有且仅有一个实数根，等价于函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象有且仅有一个交点，∵g（1）＝1+a﹣3＝a﹣2，函数g（x）恒过点（0，﹣3），且开口向上，∴只需0＜a﹣2≤1即可，解得2＜a≤3，∴a的最大值为3．故答案为：3【知识点】函数的零点与方程根的关系26.已知函数f（x）＝|x2+mx+|（x∈R），且y＝f（x）在x∈[0，2]上的最大值为，若函数g（x）＝f（x）﹣ax2有四个不同的零点，则实数a的取值范围为．【答案】（0，1）【分析】根据二次函数的性质，判断的对称轴，求出m＝﹣2，利用两个抛物线相切求出a的极限值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设g（x）＝x2+mx+，则g（0）＝，函数的对称轴为x＝﹣，\若﹣≤0，则函数g（x）在[0，2]上是增函数，y＝f（x）在x∈[0，2]上的最大值为g（2）＞，不满足条件．则必有﹣＞0，即m＜0，由g（x）＝x2+mx+＝得x2+mx＝0，得x＝0或x＝﹣m，若y＝f（x）在x∈[0，2]上的最大值为，则﹣m≥2，即m≤﹣2，同时|g（﹣）|＝|﹣+|＝|﹣+|≤，即﹣≤﹣≤，即0≤≤1，即m2≤4，得﹣2≤m≤2，∵m≤﹣2，∴m＝﹣2，即f（x）＝|x2﹣2x+|，对称轴x＝1，由g（x）＝f（x）﹣ax2有四个不同的零点，得g（x）＝f（x）﹣ax2＝0，即f（x）＝ax2有四个不同的根，即f（x）与y＝ax2的图象有四个不同的交点，作出两个函数的图象如图：当a≤0时，不满足条件．当a＞0时，要使两个函数有四个交点，当ax2＝﹣（x2﹣2x+）在（0，1）相切时，得（a+1）x2+2x+＝0，则判别式△＝4﹣4×（a+1）＝0，得4﹣2a﹣2＝0得2a＝2，a＝1，要使使两个函数有四个交点，则0＜a＜1，即实数a的取值范围是（0，1）．【知识点】函数零点的判定定理27.已知f（x）＝|x•e x|，g（x）＝f2（x）+tf（x）（t∈R）若满足g（x）＝﹣1的x有四个，则t的取值范围为．【分析】g（x）＝﹣1的x有四个，等价于方程f2（x）+tf（x）+1＝0有4个根，设h（x）＝x•e x，利用导数得到函数h（x）的单调性和极值，画出函数h（x）的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数f（x）的大致图象，要使方程f2（x）+tf（x）+1＝0有4个根，则方程m2+tm+1＝0应有两个不等的实根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，设φ（m）＝m2+tm+1，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出t的取值范围．【解答】解：∵g（x）＝﹣1的x有四个，∴方程f2（x）+tf（x）+1＝0有4个根，设h（x）＝x•e x，则h'（x）＝e x+xe x＝e x（x+1），令h'（x）＝0，得x＝﹣1，∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增，∴h（x）min＝h（﹣1）＝﹣，画出函数h（x）＝x•e x的大致图象，如图所示：，∵f（x）＝|x•e x|，∴保留函数h（x）的x轴上方的图象，把x轴下方的图象关于x轴翻折到x轴上方，即可得到函数f（x）＝|x•e x|的图象，如图所示：，令m＝f（x），则m2+tm+1＝0，所以要使方程f2（x）+tf（x）+1＝0有4个根，则方程m2+tm+1＝0应有两个不等的实根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，设φ（m）＝m2+tm+1，因为φ（0）＝1＞0，则只需φ（）＜0，即，解得：t＜﹣，故答案为：（﹣∞，﹣）．【知识点】函数的零点与方程根的关系28.已知函数f（x）＝a，g（x）＝若关于x的方程f（x）＝g（x）有3个不同的实数根，则实数a的取值集合为．【分析】由，根据关于x的方程f（x）＝g（x）有 3 个不同的实数根，所以方程f（x）＝g（x）在（﹣∞，0）有 1 个根，在（0，+∞）有 2 个根或者方程f（x）＝g（x）在（﹣∞，0）有2 个根，在（0，+∞）有 1 个根，利用判别式法和导数法求解．【解答】解：，①当a≤0，由图象可知显然不满足题意，②当a＞0时，当x≤0 时，若方程f（x）＝g（x）有1 个实数根，联立得，即16y2﹣16a2y﹣a2＝0，则△＝（﹣16a2）2﹣4×16×（﹣a2）＝0，解得：，此时，令，，当0＜x＜16 时，h′（x）＜0，当x＞16 时，h′（x）＞0，所以x＝16 时，函数h（x）取得极小值：，又，所以当时，方程f（x）＝g（x）在（﹣∞，0）有1 个根，在（0，+∞）有 2 个根，符合题意．当x≤0 时，若方程f（x）＝g（x）有2 个实数根，则△＝（﹣16a2）2﹣4×16×（﹣a2）＞0，解得：，此时则需方程f（x）＝g（x）在（0，+∞）有1 个根，令，所以，当时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞0，所以时，函数h（x）取得极小值：，令，则，解得，所以，符合题意．综上：若关于x的方程f（x）＝g（x）有 3 个不同的实数根，则实数a的取值集合为．故答案为：．【知识点】函数的零点与方程根的关系29.已知函数f（x）＝若关于x的方程[f（x）]2﹣2mf（x）+m+2＝0有6个不同实根，则m的取值范围是．【答案】（2，+∞）【分析】先作出函数f（x）的图象，结合图象可把问题转化为t2﹣2mt+m+2＝0有两个不同实根t1，t2，且或0＜t1＜2＜t2或t1＝0，t2＝2，然后结合二次函数的实根分布即可求解．【解答】解：先作出f（x）的图象如图所示，令f（x）＝t，若关于x的方程[f（x）]2﹣2mf（x）+m+2＝0有6个不同实根，则t2﹣2mt+m+2＝0有两个不同实根t1，t2，设t1＜t2则或0＜t1＜2＜t2或t1＝0，t2＝2，令t2﹣2mt+m+2＝g（t），当时，则，此时m不存在，或当0＜t1＜2＜t2时，，解可得，m＞2，当t1＝0，t2＝2时，m不存在，综上，m＞2故答案为：（2，+∞）【知识点】函数的零点与方程根的关系.。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时28 矩阵的概念及运算
课时28 矩阵的概念及运算（基础题） 一、单选题1．（·上海浦东新·高三一模）若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定2．（·上海市五爱高级中学高三期中）若矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-二、填空题3．（·上海高三二模）行列式1247的值为________ 4．（2021·上海市敬业中学高三月考）若复数z 满足1i120iz+=(其中i 是虚数单位),则z =_______. 5．（·上海杨浦·）关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为________6．（2017·上海徐汇·高三一模）若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭,解为21x y =⎧⎨=⎩,则a b +=_______. 7．（·上海市向明中学高三三模）323110a a b b --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭________8．（·上海普陀·）若增广矩阵为23701m ⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______.9．（·上海大学附属中学高三三模）计算矩阵的乘积：()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 10．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高三月考）已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则3x y -=________.11．（2018·上海市建平中学高三月考）关于x 、y的二元一次方程组1sin cos 2x x y θθ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，(0,)θπ∈无解，则θ=________.12．（·上海金山·高三二模）已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数a =__________13．（·上海复旦附中青浦分校高三开学考试）若行列式128012x -=，则x =______ .14．（·上海徐汇·位育中学高三月考）若矩阵111113⎛⎫ ⎪-⎝⎭是线性方程111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵，则这个线性方程组的解x y ⎛⎫⎪⎝⎭可用矩阵表示为___________15．（2021·上海市控江中学高三开学考试）已知(0,)2x π∈，则方程2sin 1012cos x x=的解集是________． 16．（·宝山·上海交大附中高三月考）若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=______.（能力题） 一、单选题1．（2021·上海浦东新·高三三模）关于x 、y 的二元一次方程组1,{323,mx y mx my m +=--=+的系数行列式0D =是该方程组有解的． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件2．（·上海复旦附中高三一模）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素.例如：A R =，运算“⊕”为普通乘法；存在1R ∈，使得对任意a R ∈，都有11=a a a ⨯=⨯，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A R =，运算“⊕”为普通减法；②{}|,m n m n A A A m n m N n N **⨯⨯=⨯∈∈表示阶矩阵，，运算“⊕”为矩阵加法；③{}|A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集. 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③二、填空题3．（·上海高三模拟预测）若42021x x=，则x =___ 4．（·上海高三模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012nna n S -=-，则1a =___ 5．（·上海浦东新·高三三模）三阶行列式20182019202012346x中，第2行第1列元素2019的代数余子式的值是9，则x =________6．（2018·上海黄浦·高三二模）已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是________．7．（·上海高三一模）已知5132(99)140x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则x y +=________.8．（·上海静安·）设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.（真题/新题）一、填空题1．（2021·上海金山·高三一模）若矩阵sin cos m A nθθ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin cos mB n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭，且A B =，则22m n +=___________.2．（2021·上海普陀·高三模拟预测）已知一个关于x 、y 的二元线性方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=_________．3．（2021·上海高三模拟预测）线性方程23103580x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的增广矩阵是___________.4．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三月考）计算100111002⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____________． 5．（2021·上海浦东新·高三二模）已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则xy =_______ 6．（2021·上海高三模拟预测）已知a ，b 是一元二次方程23204x x --=的两根，若二元一次方程组的增广矩阵是12c a b b a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=___________. 7．（2021·上海金山·高三二模）若关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为204012⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．8．（2021·上海黄浦·格致中学高三三模）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为103114⎛⎫⎪⎝⎭，则2x y +=_________.9．（2021·上海高三模拟预测）方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b =______. 10．（2022·上海高三模拟预测）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是1101a b -⎛⎫⎪⎝⎭，且22524a b a b ++≤-，则x y +=__________；二、解答题11．（·上海）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2A αβ=．课时28 矩阵的概念及运算（基础题） 一、单选题1．（·上海浦东新·高三一模）若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．无数个D ．不确定【答案】C【分析】将线性方程组转化为方程，即可判断解的个数. 【详解】该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解， 故选：C.2．（·上海市五爱高级中学高三期中）若矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-【答案】A【分析】直接根据系数矩阵的定义得到答案.【详解】矩阵12a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则1,1a b ==-.故选：A .【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.二、填空题3．（·上海高三二模）行列式1247的值为________ 【答案】1-【分析】根据行列式直接计算即可得出结果.【详解】121724147=⨯-⨯=-.故答案为1-【点睛】本题主要考查行列式的计算，熟记计算方法即可，属于基础题型.4．（2021·上海市敬业中学高三月考）若复数z 满足1i120iz +=(其中i 是虚数单位),则z =_______.【分析】由题得12iz i =+，求出z ，再求出|z|得解. 【详解】由题得12iz i =+，所以122,|z |iz i i+==-=【点睛】本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．（·上海杨浦·）关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为________【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】直接利用方程组的应用和矩阵的应用求出结果．【详解】解：∵方程组2130x yx y-=⎧⎨+=⎩，∵它的增广矩阵为211 130-⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：211 130-⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵，属于基础题．6．（2017·上海徐汇·高三一模）若线性方程组的增广矩阵为0201ab⎛⎫⎪⎝⎭,解为21xy=⎧⎨=⎩,则a b+=_______.【答案】2【分析】根据线性方程组的增广矩阵写出方程组的形式,根据它的解可以求出相关系数,最后计算即可.【详解】因为线性方程组的增广矩阵为0201ab⎛⎫⎪⎝⎭,所以有02201ax y axx y b y b+⋅==⎧⎧⇒⎨⎨⋅+⋅==⎩⎩,解为21xy=⎧⎨=⎩,所以有221211a aa bb b⋅==⎧⎧⇒⇒+=⎨⎨==⎩⎩.故答案为：2【点睛】本题考查了增广矩阵的概念,考查了数学运算能力.7．（·上海市向明中学高三三模）323110a ab b--⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭________【答案】20 11⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】直接由矩阵的加法运算得解.【详解】3232332011011011a a a ab b b b--+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2011⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了矩阵的加法的运算，是基础题．8．（·上海普陀·）若增广矩阵为23701m ⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 【答案】1【分析】根据增广矩阵的概念直接求解.【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.9．（·上海大学附属中学高三三模）计算矩阵的乘积：()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可.【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高三月考）已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=________.【答案】5【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得35x y -=.【详解】解：由二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则二元一次方程组为：2520x y x y +=⎧⎨-=⎩，两式相加得：35x y -=， 35x y ∴-=，故答案为：5.【点睛】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题.11．（2018·上海市建平中学高三月考）关于x 、y的二元一次方程组1sin cos 2x x y θθ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，(0,)θπ∈无解，则θ=________.【答案】6π【分析】根据二元一次方程组解的判断求解．【详解】∵原方程无解，∵1cos 0sin cos θθθθ==，tan α=，又(0,)θπ∈， ∵6πθ=．此时方程组为1122x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，方程组无解． 故答案为：6π．【点睛】本题考查方程组解的情况的判断，掌握二元一次方程组解的情况的判断方法是解题关键．12．（·上海金山·高三二模）已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =__________ 【答案】2【分析】由题意可得1x =，2y =是方程02ax y +=的解，即可得解. 【详解】由题意可得1x =，2y =是方程02ax y +=的解， 代入可得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性方程组增广矩阵的应用，属于基础题.13．（·上海复旦附中青浦分校高三开学考试）若行列式12812x-=，则x=______ .【答案】3【分析】由行列式的定义列方程求解即可.【详解】行列式112822828012xx x--=⨯-=-=，所以3x=.故答案为3.【点睛】本题主要考查了行列式的计算，属于基础题.14．（·上海徐汇·位育中学高三月考）若矩阵111113⎛⎫⎪-⎝⎭是线性方程111222a xb y ca xb y c+=⎧⎨+=⎩的增广矩阵，则这个线性方程组的解xy⎛⎫⎪⎝⎭可用矩阵表示为___________【答案】2 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭【分析】先由题意，得到方程组为13x yx y+=⎧⎨-=⎩，求解即可得出结果.【详解】因为矩阵111113⎛⎫⎪-⎝⎭是线性方程111222a xb y ca xb y c+=⎧⎨+=⎩的增广矩阵，所以方程组为13x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得21xy=⎧⎨=-⎩，即这个线性方程组的解xy⎛⎫⎪⎝⎭可用矩阵表示为21⎛⎫⎪-⎝⎭.故答案为：21⎛⎫ ⎪-⎝⎭.【点睛】本题主要考查由方程组的增广矩阵求方程的解，属于基础题型.15．（2021·上海市控江中学高三开学考试）已知(0,)2x π∈，则方程2sin 1012cos x x=的解集是________．【答案】5,1212ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】根据行列式运算公式化简可得1sin 22x =，根据三角函数图象计算即可求得结果. 【详解】由行列式运算公式可知2sin 1=2sin 2cos 12sin 21012cos x x x x x⋅-=-=，所以1sin 22x =，解得：226x k ππ=+或5226x k ππ=+，即12x k ππ=+或512x k ππ=+. 因为(0,)2x π∈，所以12x π=或512π. 故答案为：5,1212ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查行列式的概念，考查由三角函数值求角问题，属于基础题.16．（·宝山·上海交大附中高三月考）若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=______.【答案】2.【分析】由线性方程组的增广矩阵的概念可得21x y =⎧⎨=⎩为方程组2ax y b =⎧⎨=⎩的解，即可得解.【详解】由题意，21x y =⎧⎨=⎩为方程组2ax y b =⎧⎨=⎩的解，所以221a b =⎧⎨=⎩，所以11a b =⎧⎨=⎩，所以2a b +=.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性方程组增广矩阵的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.（能力题） 一、单选题1．（2021·上海浦东新·高三三模）关于x 、y 的二元一次方程组1,{323,mx y mx my m +=--=+的系数行列式0D =是该方程组有解的． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】D2．（·上海复旦附中高三一模）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素.例如：A R =，运算“⊕”为普通乘法；存在1R ∈，使得对任意a R ∈，都有11=a a a ⨯=⨯，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A R =，运算“⊕”为普通减法；②{}|,m n m n A A A m n m N n N **⨯⨯=⨯∈∈表示阶矩阵，，运算“⊕”为矩阵加法；③{}|A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集. 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③【答案】D 试题分析：①若，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A ={|m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.考点：1、合情推理；2、新定义的应用. 二、填空题3．（·上海高三模拟预测）若42021xx=，则x =___ 【答案】1【解析】4221x x=422022,1x x x x -⋅=∴==4．（·上海高三模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012n na n S -=-，则1a =___ 【答案】1-【分析】利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果． 【详解】由01110111(2)1021212nn n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-．【点睛】本题主要考查行列式定义的应用．5．（·上海浦东新·高三三模）三阶行列式20182019202012346x中，第2行第1列元素2019的代数余子式的值是9，则x =________ 【答案】5【分析】由代数余子式的定义得31(1)6336x x -⨯=-+，由此能求出x 的值，得到答案．【详解】由题意，元素2019的代数余子式是13-6x ，所以有13-6x369x =-=，即5x =．【点睛】本题主要考查了实数值的求法，以及代数余子子的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2018·上海黄浦·高三二模）已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是________．【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【解析】由题函数()2sin cos22sin cos cos 2sin 2cos 22,1cos 4x x f x x x x x x x x π-⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 则函数()f x 的单调递增区间222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ 解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.即答案为3,,Z 88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.7．（·上海高三一模）已知5132(99)140x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则x y +=________.【答案】145【分析】由5132(52,52)(99)140x x y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，再列方程组求解即可.【详解】解：因为5132(99)140x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以529529x y +=⎧⎨+=⎩，解得7575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即x y +=145， 故答案为：145.【点睛】本题考查了行列式的运算，重点考查了运算能力，属基础题.8．（·上海静安·）设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________. 【答案】2880【分析】利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可． 【详解】因为集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，6个元素的全排列有66A 种，而组成的矩阵又有23321661⨯⨯⨯⨯、、、四种类型， 所以矩阵的个数为664A =2880．故答案为：2880．【点睛】本题考查排列的应用，判断矩阵中的元素变化，矩阵不相同是解题的关键．（真题/新题）一、填空题1．（2021·上海金山·高三一模）若矩阵sin cos m A nθθ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin cos mB n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭，且A B =，则22m n +=___________.【答案】1【分析】由矩阵相等可得sin ,cos m n θθ==，进而可得结果. 【详解】因为A B =，所以sin ,cos m n θθ==， 所以2222sin cos 1m n θθ+=+=， 故答案为：1.2．（2021·上海普陀·高三模拟预测）已知一个关于x 、y 的二元线性方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x y +=_________． 【答案】6【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式为202x y y -=⎧⎨+=⎩，由此能求出x y +的值.【详解】由二元线性方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，可得到二元线性方程组的表达式为202x y y -=⎧⎨+=⎩，解得：42x y =⎧⎨=⎩，所以6x y +=， 故答案为：63．（2021·上海高三模拟预测）线性方程23103580x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的增广矩阵是___________.【答案】231358⎛⎫⎪--⎝⎭【分析】根据二元一次方程组的增广矩阵的定义可得结果.【详解】线性方程23103580x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的增广矩阵是231358⎛⎫ ⎪--⎝⎭.故答案为：231358⎛⎫⎪--⎝⎭.4．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三月考）计算100111002⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____________．【答案】01102-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】根据矩阵乘法运算法则求得正确结论.【详解】()()10011001110001111110000010102222-⎛⨯+⨯⨯-+⨯⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯⨯-+⨯⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：01102-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．（2021·上海浦东新·高三二模）已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则xy =_______ 【答案】2【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则二元一次方程组为2520x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，所以2xy =.故答案为：2.6．（2021·上海高三模拟预测）已知a ，b 是一元二次方程23204x x --=的两根，若二元一次方程组的增广矩阵是12c a b b a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=___________. 【答案】152【分析】根据二元一次方程组的增广矩阵的定义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】因为a ，b 是一元二次方程23204x x --=的两根，所以34a b +=，因为二元一次方程组的增广矩阵是12c a b b a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩， 所以有11221031510()101042a c c c a b b c =⎧⇒+=+=⨯=⎨=⎩， 故答案为：1527．（2021·上海金山·高三二模）若关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为204012⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______． 【答案】0；【分析】由增广矩阵写出原二元线性方程组242x y =⎧⎨=⎩，再根据方程求解x , y 即可.【详解】由二元线性方程组的增广矩阵可得二元线性方程组242x y =⎧⎨=⎩，解得2,2x y ==， 所以220x y -=-=， 故答案为：08．（2021·上海黄浦·格致中学高三三模）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为103114⎛⎫⎪⎝⎭，则2x y +=_________. 【答案】5【分析】根据二元一次函数的增广矩阵求得二元一次方程组，解得x ，y ，从而求得结果.【详解】由增广矩阵知二元一次方程组为34x x y =⎧⎨+=⎩，解得3,1x y ==，故25x y +=，故答案为：59．（2021·上海高三模拟预测）方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b =______.【答案】0【分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【详解】解：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ≠时，方程组的解为xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，所以0D =，即11220a bD a b ==，故答案为：0．10．（2022·上海高三模拟预测）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是1101a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且22524a b a b ++≤-，则x y +=__________； 【答案】3-【分析】根据增广矩阵可求出,x y ，再由22524a b a b ++≤-求出,a b ，即可求解.【详解】由题意可知x y ay b -=⎧⎨=⎩，解得,x a b y b =+=， 又因为22524a b a b ++≤-， 所以22(1)(2)0a b -++≤， 故1,2a b ==-，即2143x y a b +=+=-=-， 故答案为：3-二、解答题11．（·上海）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2A αβ=． 【答案】12α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】设出x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,根据2A αβ=⇔3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔321432x y x y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦, 得到方程组321{432x y x y +=+=求解即可. 1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2111132212143A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………………………4分 设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2A αβ=⇔3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔321432x y x y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦……………8分 3211{,{4322x y x x y y +==-∴∴+==，12α-⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦.。
高考数学多维训练：小题基础过关练习(一)
高考数学多维训练：小题基础过关练习(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知i 为虚数单位，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( )A.0B.1C.2D.－2 解析 ∵z i ＝(a ＋b i)i ＝－b ＋a i ＝1＋i ，∴a ＝1且b ＝－1，则a ＋b ＝0.答案 A2.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝x －2}，则A ∩B 为( )A.(2，3]B.[2，3]C.(－1，3)D.[－2，3] 解析 易知A ＝[－1，3]，B ＝[2，＋∞)，∴A ∩B ＝[2，3].答案 B3.已知sin(α＋π)＝13，且α为第三象限角，则cos α＝( ) A.223 B.－223 C.23 D.－23解析 ∵sin(α＋π)＝－sin α，∴sin α＝－13.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴19＋cos 2α＝1，即cos 2α＝89，又∵α为第三象限角，∴cos α＝－223.答案 B4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 8＝0，S 11＝33，则公差d 的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵a 2＋a 8＝2a 5＝0，∴a 5＝0，又S 11＝（a 1＋a 11）×112＝11a 6＝33，∴a 6＝3，从而公差d ＝a 6－a 5＝3.答案 C5.古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为( ) A.23 B.43 C.23或32 D.32解析 由已知可知，该几何体的轴截面如图所示，即圆柱的底面半径与球的半径r 相等，高等于球的直径2r ，所以V 圆柱V 球＝πr 2×2r 43πr3＝32.答案 D6.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，MN 的中点为P ，若|MN |＝5，则点P 到y 轴的距离为( )A.3B.32C.1D.12解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，易知p ＝2.则|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋2＝5，∴x 1＋x 2＝3，则x 0＝x 1＋x 22＝32，故点P 到y 轴的距离为32.答案 B7.某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中。
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高考数学多维训练：小题满分限时练习
限时练(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x2－x－6<0}，则()
A.A∩B＝{x|x<1}
B.A∪B＝R
C.A∪B＝{x|x<2}
D.A∩B＝{x|－2<x<1}
解析由题意得B＝{x|－2<x<3}，所以A∪B＝{x|x<3}，A∩B＝{x|－2<x<1}.
答案 D
2.设z＝1－i
1＋i
＋2i，则|z|＝()
A.0
B.1
2 C.1 D. 2
解析因为z＝1－i
1＋i
＋2i＝
（1－i）2
（1＋i）（1－i）
＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1.
答案 C
3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
答案 B
4.函数f(x)＝x2e x
|x|的图象大致为()
解析当x<0时，f(x)＝－x e x>0，排除C，D，x>0时，f(x)＝x e x，f′(x)＝(x＋1)e x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)>0，只有A符合.
答案 A
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s＝()
A.26
B.102
C.410
D.512
解析s＝0，n＝1，第一次运行，s＝21－0＝2，n＝1＋2＝3；
第二次运行，s＝23－2＝6，n＝3＋2＝5；
第三次运行，s＝25－6＝26，n＝5＋2＝7；
第四次运行，s＝27－26＝102，n＝7＋2＝9>8，终止循环.输出s＝102.
答案 B
6.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发了多少升大米() A.192 B.213 C.234 D.255
解析根据题意设每天派出的人数组成数列{a n}，数列是首项a1＝64，公差为7
的等差数列，a 3＝64＋(3－1)×7＝78，所以第3天共分发78×3＝234(升). 答案 C
7.已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，则f (x )的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析 f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，
得2k π－π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .
∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－π3，2k π＋23π，k ∈Z . 答案 B
8.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，
x ＋2y －9≤0，x ≥1，
则z ＝2x ＋y 的最大值为(
)
A.3
B.6
C.9
D.12 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，x ＋2y －9≤0，x ≥1
表示的平面区域如图中阴影部分所示.画出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，可知当直线z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 取得最大值，解方
程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，
则B (5，2).。