高二数学二面角专项练习题及参考答案
2020高二数学立体几何之综合法求二面角含答案(新高考)
综合法求二面角一、知识梳理：二面角的相关概念1.定义：从一条直线出发的所组成的图形.(立体图形)2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的；(2)两个半平面叫做二面角的.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是(2)二面角的平面角α的取值范围是；平面角是直角的二面角叫做.二、牛刀小试：1.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小__.三、经典例题例1在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V－AB－C的大小.方法总结：定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.方法总结：三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.四、课堂反馈1. 如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且P A＝AC，则二面角P－BC－A的大小为()A.60°B.30°C.45°D.15°2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1－BD－C的大小为________.3.如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.五、课后作业1、如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.2、如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.3、求正四面体（棱长均相等的三棱锥）的侧面与底面所成二面角的大小.综合法求二面角（教师版）一、知识梳理：二面角的相关概念1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二、牛刀小试：1.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案D2.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.答案60°解析过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.三、经典例题例1在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V－AB－C的大小.解取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝3，同理CD⊥AB，CD＝3，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.方法总结：定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.(1)证明∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC，又AB ∩AC ＝A ，AB ，AC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，SA ∩AB ＝A ，SA ，AB ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SAB .(2)解 取SB 的中点D ，连接AD ，则AD ⊥SB ，垂足为点D ，由(1)知平面SBC ⊥平面SAB ，平面SBC ∩平面SAB ＝SB ，AD ⊂平面SAB ， ∴AD ⊥平面SBC .作AE ⊥SC ，垂足为点E ，连接DE ， 则DE ⊥SC ，则∠AED 为二面角A －SC －B 的平面角.设SA ＝AB ＝2，则SB ＝BC ＝22，AD ＝2，AC ＝23，SC ＝4. 由题意得AE ＝3，Rt △ADE 中，sin ∠AED ＝AD AE ＝23＝63，∴二面角A －SC －B 的平面角的正弦值为63.方法总结：三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.四、课堂反馈1. 如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A ，B )且P A ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为 ( )A.60°B.30°C.45°D.15° 答案 C解析 由条件得P A ⊥BC ，AC ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角.在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C.2.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1－BD －C 的大小为________.答案 30°解析 如图，取BD 的中点O ，连结OC ，OC 1， ∵AB ＝AD ＝23，∴CO ⊥BD ，CO ＝ 6. ∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B ，∴C 1O ⊥BD . ∴∠C 1OC 为二面角C 1－BD －C 的平面角. tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33.∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1－BD －C 的大小为30°.3.如图所示，将等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.答案 90°解析 由题意知，∠B ′DC 即为此二面角的平面角， 设AB ＝AC ＝1，连结CB ′， 则△AB ′C 为等边三角形， ∴B ′C ＝1，又B ′D ＝CD ＝22， ∴在△B ′DC 中，B ′D 2＋CD 2＝B ′C 2， ∴B ′D ⊥CD ，∴∠B ′DC ＝90°， 即此二面角的大小为90°.五、课后作业1、如图，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的大小； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小. 解 (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵AB ⊥平面BC ′，OC ⊂平面BC ′， ∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO ＝B ，AB ，BO ⊂平面ABO ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角为30°. (2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .∵平面BC ′⊥平面ABCD ，平面BC ′∩平面ABCD ＝BC ，OE ⊂平面BC ′， ∴OE ⊥平面ABCD ，∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角. 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.即AO 与平面ABCD 所成角的正切值为55. (3)由(1)可知OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°.2、如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.答案34解析 如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB ，OC ，则OC ⊥l ，则∠ACO 为二面角α－l －β的平面角，∠ABC 为AB 与l 所成的角.设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ.由图象得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.。
高中二面角经典例题
高中二面角经典例题
高中二面角是几何中的一个重要概念，掌握二面角的概念和计算方法对于理解空间几何和解题都具有重要意义。
下面介绍一些经典的高中二面角例题，供大家练习和参考。
1.已知四面体ABCD中，AB=3，AC=4，AD=5，BC=6，CD=8，BD=7，求角ABC和角BAD的二面角。
2.已知直角棱锥ABCDE，以AD为底面对角线，EA为高，
AB=AC=AD=10，BC=BD=CD=5，求角EAB和角EAC的二面角。
3.已知正四面体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，求角A和角A1的二面角。
4.已知正方体ABCDA1B1C1D1E1F1E，F在平面ABC上，以AF为底面对角线，求角FA1B1和角FA1C1的二面角。
5.已知正八面体ABCDEFGH，以AB为底面对角线，求角E和角H 的二面角。
以上这些例题都是比较典型的高中二面角例题，需要运用几何相关知识和计算方法进行解答。
希望同学们能够认真学习和练习，掌握二面角的概念和计算方法，提高几何解题能力。
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专题求二面角含答案
1、如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1 =4,点 D 是 AB 的中点C1B1A1CBDA（1）求证：AC BC 1 ；（2）求证：AC 1 //平面 CDB 1 ； （3）求二面角 B-DC-B1 的余弦值．2、如图，在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，AA1=2, AD = 3, E 为 CD 中点，三棱 锥 A1-AB1E 的体积是 6. (1) 设 P 是棱 BB1 的中点，证明：CP//平面 AEB1; (2) 求 AB 的长； (3)求二面角 B—AB1-E 的余弦值.试卷第 1 页，总 3 页3、如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，，，，， 为 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面平面 ；（3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.4、如图所示，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥平面 ABC，AA1=3． （Ⅰ）求证：A1B∥平面 B1DC； （Ⅱ）求二面角 D﹣B1C﹣C1 的余弦值．试卷第 2 页，总 3 页5 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PA⊥ 底 面 ABCD, 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过 AD 的平面分别交 PB,PC 于 M,N 两点.(1)求证:MN∥BC; (2)若 M,N 分别为 PB,PC 的中点, ①求证:PB⊥DN; ②求二面角 P-DN-A 的余弦值.6、如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是棱 AB 的中点，BC 1, AA1 3 ．AD CBA1 C1B1（1）求证： BC1 // 平面 A1DC ； （2）求二面角 D A1C A 的平面角的正弦值．试卷第 3 页，总 3 页1、【答案】（1）AC BC 1 ；参考答案（2）AC //平面 CDB ；113 34 （3）二面角 B-DC-B1 的余弦值为 34试题分析：（1）考虑到第三问要求二面角的大小，故需要在空间直角坐标系中用法向量 的方法求解，因此可提前建系，（1）（2）问也可方便证明，因为是直三棱柱可以以 C 为 坐标原点，直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量证明 AC • BC1 0 即可得证；（2）要证明线面平行，必须证明线线平行；（3）分别求出平面 BDC 和平面 DCB1 的法向量，求出法向量的夹角的余弦值即为二面角 B-DC-B1 的余弦 值（注意值的正负判断） 试题解析：因为直三棱柱的底面三边长分别为 3、4、5 所以 AC, BC,CC1 两两垂直，以 C 为坐标原 点，直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（1）因为 AC 3,0,0, BC1 0, 4, 4 ，所以 AC • BC1 0 ，即 AC BC1（2）设CB1C1BE,则E 0, 2,2,故DE 3 2, 0,2 ,AC13, 0,4所以DE1 2AC1,即DE//AC1因为 DE 平面 CDB1 , AC1 平面 CDB1 ,所以 AC 1 //平面 CDB 1（3）可求得平面 CDB1 的一个法向量为 n1 4,3,3 ，取平面 CDB 的一个法向量为n2 0,0,1 ，则 cosn1, n2 3 343 3434 ，由图可知，二面角 B-DC-B1 的余弦值为 34考点：1.直线与平面平行的判定及性质；2.利用空间直角坐标系求二面角的求法；答案第 1 页，总 9 页2、【答案】3、【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3） . 试题分析：本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、 二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，作答案第 2 页，总 9 页出辅助线 MN，N 为 中点，在 中，利用中位线得到，且，结合已知条件，可证出四边形 ABMN 为平行四边形，所以，利用线面平行的判定，得 ∥平面 ；第二问，利用面面垂直的性质，判断 面 ，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得 平面 BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面 ；第三问，可以利用传统几何法证明二面角的平面角，也可以利用向量法 建立空间直角坐标系，求出平面 BEC 和平面 ADEF 的法向量，利用夹角公式计算即可.（1）证明：取 中点 ，连结．在△ 中， 分别为 的中点，所以 ∥ ，且．由已知 ∥ ，，所以∥ ，且．所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ．又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ∥平面 ．4 分（2）证明：在正方形 中，．又因为平面平面 ，且平面平面，所以 平面 ．所以．6 分在直角梯形 中，， ，可得．答案第 3 页，总 9 页在△ 中，，所以．7 分所以 平面 ．8 分又因为 平面 ，所以平面平面 ．9 分（3）（方法一）延长 和 交于 ．在平面内过 作于 ,连结 ．由平面∥，，平面平面 = ，得，于是．又， 平面 ，所以，于是 就是平面 与平面 平面角.12 分所成锐二面角的平面 ，由，得.又，于是有.在中，.所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．14 分答案第 4 页，总 9 页（方法二）由（2）知 平面 ，且．以 为原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系．易得.平面 的一个法向量为的一个法向量，因为，所以所以为平面 的一个法向量．１２分设平面 与平面 所成锐二面角为 ．.设为平面，令 ，得．则．所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为． 【考点】中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角. 4、【答案】 证明：（1）连结 BC1，B1C，交于点 O，连结 OD， ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点， ∴OD∥A1B， ∵A1B？平面 B1DC，OD？平面 B1DC， ∴A1B∥平面 B1DC． （2）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥平面 ABC，AA1=3． ∴以 D 为原点，DC1 为 x 轴，DB1 为 y 轴，过 D 作平面 A1B1C1 的垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系， 则 D（0，0，0），B1（0， ，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），答案第 5 页，总 9 页=（﹣1， ，﹣3）， =（﹣1，0，﹣3）， 设平面 B1DC 的法向量 =（x，y，z），=（0，0，﹣3），则，取 z=1，得 =（﹣3，0，1），设平面 B1CC1 的法向量 =（a，b，c），则，取 b=1，得 =（），设二面角 D﹣B1C﹣C1 的平面角为 θ，则 cosθ===．∴二面角 D﹣B1C﹣C1 的余弦值为．5、【答案】（1）见解析；（2）见解析， 试题分析：（1）先证明 BC∥平面 ADNM，再证明 MN∥BC.（2）①先证明 PB⊥平面 ADNM， 再证明 PB⊥DN.②以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立 空间直角坐标系 A-xyz,利用向量法求二面角 P-DN-A 的余弦值. 【详解】 (1)证明因为底面 ABCD 为直角梯形,所以 BC∥AD.因为 BC 平面ADNM, AD 平面ADNM ,所以 BC∥平面 ADNM. 因为 BC 平面 PBC,平面 PBC∩平面 ADNM=MN,所以 MN∥BC. (2)①证明因为 M,N 分别为 PB,PC 的中点,PA=AB,所以 PB⊥MA. 因为∠BAD=90°,所以 DA⊥AB.答案第 6 页，总 9 页因为 PA⊥底面 ABCD,所以 DA⊥PA. 因为 PA∩AB=A,所以 DA⊥平面 PAB. 所以 PB⊥DA. 因为 AM∩DA=A,所以 PB⊥平面 ADNM. 因为 DN 平面 ADNM,所以 PB⊥DN.②如图,以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立空间直角 坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由①知,PB⊥平面 ADNM,所以平面 ADNM 的法向量为 =(-2,0,2). 设平面 PDN 的法向量为 n=(x,y,z),因为 =(2,1,-2), =(0,2,-2),所以令 z=2,则 y=2,x=1. 所以 n=(1,2,2),所以 cos<n, >=.所以二面角 P-DN-A 的余弦值为 . 【点睛】 (1)本题主要考查二面角的向量求法，考查空间线面位置关系的证明，意在考查学生对 该知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式（其中 分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“ ” 号）.6、【答案】（1）证明见解析；（2） 2 13 ． 13答案第 7 页，总 9 页试题分析：（1）连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG ，利用四边形11ACC A 是平行四边形，进而证明出DG ∥1BC ，即可利用线面平行的判定定理，证得//1BC 平面DC A 1；（2）分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求解平面1DA C 和平面1A CA 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角1DAC A的平面角的余弦值，进而求解其正弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG ． 在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形，∴1AG GC =． ∵AD DB =，∴DG ∥1BC ．∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC ． （2）过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作OE BC ⊥交11B C 于E ．因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C ．分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为11,3BCAA ，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点．则()0,0,0O ，B 0，0） （Ⅰ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0.n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∵3(,0,CD =，11(A C =-⎪⎩，得平面1A DC 的一个法向量为(3,1,n =-1BC =（10）1BC ·n =0∴∴1BC ∥平面1A DC ．（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为(13,0,n =设二面角1D AC A 的大小为θ，则16,n n <>∵()0,θπ∈，213sin 13DEDFEDF 考点：直线与平面平行的判定与证明；二面角的求解．。
期末复习专项训练—立体几何—二面角大题2—2021-2022学年高二上学期数学人教A版 (含答案)
期末复习专项训练（四）—立体几何—二面角大题21．如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是菱形，平面ABCD ⋂平面BEDF BD =． （1）证明：AE BD ⊥；（2）若AB BE =，且平面ABCD ⊥平面BEDF ，求平面ADE 与平面CDF 所成的二面角的正弦值．2．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，2AD AB ==，作BE CD ⊥，E 为垂足，将CBE ∆沿BE 折到PBE ∆位置，如图2所示． （1）证明：平面PBE ⊥平面PDE ；（2）当四棱锥P ABED -体积最大时，平面PBE 与平面PAD 所成角的余弦值为，求此时四棱锥P ABED -的体积．3．图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90D ∠=︒，2AB =，3DC =，AD 2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =2． （Ⅰ）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱1DC 上是否存在点P ，使得二面角1P EB C --的平面角为45︒？若存在，求线段1C P 的长度；若不存在，请说明理由．4．如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且2AD CD ==，4BC =，2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）点M 在线段PD 上，二面角M AC D --，求三棱锥M ACB -体积．5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2AD AB =，且PA ⊥平面ABCD ，E 为线段BC 上一点，且平面PDE 将四棱锥P ABCD -分成体积比为3:1的两部分． （1）求证：平面PDE ⊥平面PAE ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PE A --的大小．6．如图，四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，且3B π∠=，现沿着AC 将ABC ∆折到EAC∆的位置，使得平面EAC ⊥平面ACD ，M ，N 是线段EC ，ED 上的两个动点（不含端点），且EM ENEC EDλ==． （1）证明：//MN 平面EAB ；（2）求直线EC 与平面EAD 所成的角的正弦值；（3）设平面AMN 与平面EAD 所成锐二面角为θ，当cos θ=λ的值．期末复习专项训练（四）—立体几何—二面角大题2答案解析1．如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是菱形，平面ABCD ⋂平面BEDF BD =． （1）证明：AE BD ⊥；（2）若AB BE =，且平面ABCD ⊥平面BEDF ，求平面ADE 与平面CDF 所成的二面角的正弦值．（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OE ， 四边形ABCD 为正方形，BD OA ∴⊥，且O 为BD 的中点． 又四边形BEDF 为菱形，BD OE ∴⊥， OAOE O =，OA ，OE ⊂平面OAE ，BD ∴⊥平面OAE ，又AE ⊂平面OAE ，BD AE ∴⊥．（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设2AB =，则BD =，OE ，则(2A ，0，0)，(0D ，0，0)，(0C ，2，0)． 由（1）得OE BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BEDF ，平面ABCD ⋂平面BEDF BD =，OE ∴⊥平面ABCD ，故E ，同理(1,1,F ，(2DA =，0，0)，(1DE =，1，(0DC =，2，0)，(1DF =，1，，令(0m =1)-，(2,0,1)n =， 因为0m DA ⋅=，0m DE ⋅=， 所以m 为平面DAE 的法向量， 因为0n DC ⋅=，0n DF ⋅=， 所以n 为平面DCF 的法向量，设平面ADE 与平面CDF 所成的二面角为θ，(0,)θπ∈，||11|cos |||||33m n m n θ⋅===⋅⋅，sin θ=．2．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，2AD AB ==，作BE CD ⊥，E 为垂足，将CBE ∆沿BE 折到PBE ∆位置，如图2所示． （1）证明：平面PBE ⊥平面PDE ；此时四棱锥P ABED -的体积．（1）证明：在图中，因为BE CE ⊥，BE DE ⊥， 所以在图2中有，BE PE ⊥，BE DE ⊥， 又因DEPE E =，所以BE ⊥平面PDE ，因BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面PDE ．（2）解：当四棱锥P ABED -体积最大时，平面PBE ⊥平面ABED ，又平面PBE 与平面ABED 的交线为BE ，所以PE BE ⊥，PE DE ⊥，PE BE ⊥，DEBE E =，所以PE ⊥平面ABED ．又BE ED ⊥，以E 为坐标原点，分别以ED ，EB ，EP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，设PE a =，(2D ，0，0)，(0P ，0，)a ，(2A ，2，0)， 则(2PD =，0，)a -，(2PA =，2，)a -． 设平面PAD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由00n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x az x y az -=⎧⎨+-=⎩．取2z =，得(n a =，0，2)，取平面PBE 的法向量为(2ED =，0，0)，由面PBE 与平面PAD ，n ED n ED ⋅=⨯，即=4a =，此时P ABED -的体积为11622433⨯⨯⨯=．，2CE ED =，（Ⅰ）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱1DC 上是否存在点P ，使得二面角1P EB C --的平面角为45︒？若存在，求线段1C P 的长度；若不存在，请说明理由．（Ⅰ）证明：连接AE ， 由题意可得，2AE =，因为//CE BA ，CE BA AE ==， 则四边形ABCE 为菱形， 连接AC 交BE 于点F ， 则CF BE ⊥，在Rt ACD ∆中，AC =所以AF CF ==因为1AC =，则22211AF C F AC +=， 所以1C F AF ⊥， 又1C F BE ⊥，且BEAF F =，故1C F ⊥平面ABED ， 又1C F ⊂平面1BC E ， 故平面1BC E ⊥平面ABED ；（Ⅱ）解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0),(0,1,0)D A B E，133,0),22F C ， 所以131(,,3),(3,0,0)22BC DA =--=，133(22DC =， 设平面1AC D 的法向量为(,,)n x y z =， 则100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0302x y=++=， 令z=0x =，2y =-， 故(0,2,n =-， 所以111||4|cos ,|||||43BCn BC n BC n ⋅<>===+ 故直线1BC 与平面1AC D； （Ⅲ）解：假设在棱1DC 上存在点P ，使得二面角1P EB C --的平面角为45︒，133(,),(0,1)22DP kDC k k ==∈，则3,)2P k ， 所以(1,0)BE =--，3(,1,)22PE k =--， 因为AE ⊥平面1C BE ，所以平面1C BE 的一个法向量为(1,3,0)t =-， 设平面PBE 的法向量为(,,)m a b c =，则00m BE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3(1)02b k b +=⎨+--=⎪⎩， 可取(3,3m k k =--，所以|||cos ,|||||13t m t m t m ⋅<>===+，解得13k =，此时11226||||33C P DC ==4．如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且2AD CD ==，4BC =，2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（1）证明：因为四边形ABCD 是直角梯形，2AD CD ==，4BC =，所以AC =AB == 所以ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥， 又PAAC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，故AB ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， 则AB PC ⊥；（2）解：过点A 作AE BC ⊥于点E ，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设(0M ，a ，2)(02)a a -<， 所以(0,,2),(2,2,0)AM a a AC =-=， 设平面CAM 的法向量为(,,)n x y z =， 则00AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220(2)0x y ay a z +=⎧⎨+-=⎩，令z a =-，则2x a =-，2y a =-， 故(2,2,)n a a a =---，又平面DAC 的法向量为(0,0,2)AP =， 所以|||cos ,|||||2(AP n AP n AP n ⋅<>==⨯，又二面角M AC D --，= 解得1a =，故11144213323M ABC ABC V S a -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=．5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2AD AB =，且PA ⊥平面ABCD ，E 为线段BC 上一点，且平面PDE 将四棱锥P ABCD -分成体积比为3:1的两部分． （1）求证：平面PDE ⊥平面PAE ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PE A --的大小．（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以:3:1P ABDE P CDE V V --=，即:3:1CDE ABDE S S ∆=梯形， 所以E 为BC 的中点， 由2AD AB =，得AB BE =， 又底面ABCD 是矩形， 所以45AEB ∠=︒， 同理45DEC ∠=︒，所以90DEA ∠=︒，所以DE AE ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ， 所以PA DE ⊥，且AE PA A =，所以DE ⊥平面PAE ， 由于DE ⊂平面PDE ， 所以平面PDE ⊥平面PAE ；（2）依题意，建立空间直角坐标系如图所示， 不妨设1AB =，因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PBA ∠即为PB 与平面ABCD 所成的角， 故45PBA ∠=︒， 所以1PA AB ==，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(1E ，1，0)，(0P ，0，1)， 由（1）可知，平面PAE 的一个法向量(1,1,0)DE =-， 设(,,)m x y z =是平面PBE 的一个法向量， 则因为(1,1,1)PE =-，(0,1,0)BE =， 所以00x y z y +-=⎧⎨=⎩，令1101x x y z =⎧⎪=⇒=⎨⎪=⎩，所以(1,0,1)m =，故||1|cos ,|2||||1m DE m DE m DE ⋅<>===， 所以二面角B PE A --的大小为60︒．π的位置，使得平面EAC ⊥平面ACD ，M ，N 是线段EC ，ED 上的两个动点（不含端点），（1）证明：//MN 平面EAB ；（2）求直线EC 与平面EAD 所成的角的正弦值；（1）证明：四边形ABCD 是菱形，所以//AB CD ，因为EM EN EC EDλ==，所以//MN CD ， 所以//MN AB ，因为NM ⊂/平面EAB ，AB ⊂平面EAB ，所以//MN 平面EAB ；（2）解：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 是菱形，3B π∠=，所以AC BD ⊥，平面EAC ⊥平面ACD ，EO AC ⊥，所以OE ⊥平面ACD ，所以OE OC ⊥， 所以OC 、OD 、OE 两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0A ，1-，0)，(D 0，0)，(0E ，0，(0C ，1，0)，(3AD =-1，0，0)，(0AE =，1，设平面EAD 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则y =，1z =-，所以平面EAD 的一个法向量为(1n =1)-， 又(0EC =，1，， 设直线EC 与平面EAD 所成的角为θ，所以2sin cos ,n EC θ=<>== （3）解：由（2）知(0M ，λ)，(N ，0)， 所以(0AM =，1λ+)，(3AN =-，1)-， 设平面AMN 的一个法向量为(m a =，b ，)c ， 则00m AM m AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(1))0)0b c a b c λ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，令b =1a =-，11c λλ+=-， 所以平面AMN 的一个法向量为(1m =-1)1λλ+-， 所以cos m <，2n>=平面AMN 与平面EAD 所成锐二面角为θ，cos θ==， 整理得29610λλ-+=，解得13λ=．。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-4二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定[答案] C[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D 、E 分别是点A 在PC 、PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A —PC —B 的平面角B ．∠AED 是二面角A —PB —C 的平面角C ．∠DAE 是二面角B —P A —C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A —PC —B 的平面角[答案] B[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.3．如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180°[答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN 与AE 所成的角为90°.4．如图所示，在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C5．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A —BC —D 的平面角的余弦值是( )A.12B.22C.33D.55 [答案] C6．正四棱锥P —ABCD 的两相对侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( ) A.π4B.π3C.π2D.2π3[答案] D7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A —BD —P 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[答案] A8．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33 D.233 [答案] D[解析] 如右图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O —xyz ，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 9．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12即〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题11．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a 2，则二面角B —AD —C 的大小为________．[答案] 60°12．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P —BC —A 的大小为________．[答案] 90°13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 和截面C 1BD 所成的二面角大小的余弦值为________．[答案] 1314．在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB 与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.[答案] 23三、解答题15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)，因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0. 所以⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos66. 16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱CC 1上的一点，CP＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为33819.[解析] 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)．∴AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)，又AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， ∴AC →是平面BDD 1B 1的一个法向量．设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22×2＋m 2＝33819，∴m ＝13. 17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大小．[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，∴n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n |·|BM →|＝12，解得θ＝π3， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3. 18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角A —PC —D 的大小．[解析] (1)如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,4)，∴AP →＝(0,0,4)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)，∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，又CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，∴⎩⎨⎧ －23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433，y ＝2，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－433，2，1 平面PAC 的法向量取为m ＝BD →＝(－23，2,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝39331. ∴二面角A —PC —D 的大小为arccos 39331.。
高二数学 空间角——二面角
03《空间角——二面角》课后练习一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12B.23C.33D.222．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为( ) A.55B.33 C.255D.63二、填空题 3． 若已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________． 4． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为__________．三、解答题5．如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小．6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点． (1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．03《空间角——二面角》课后练习答案一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12B.23C.33D.22解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)， E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)， ∴A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1，2，2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴ cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.答案 B2．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为( ) A.55B.33C.255D.63解析 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D ⎝⎛⎭⎫32，0，0.∴OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴ cos 〈n ，OA →〉＝55，∴ sin 〈n ，OA →〉＝255. 答案 C二、填空题3． 若已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________．解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝22，∴〈m ，n 〉＝π4.∴两平面所成二面角的大小为π4或3π4.答案π4或3π44． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为__________．解析 不妨设PM ＝ a ，PN ＝b ，如图，作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝22a ，PF ＝22b ， ∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22a ×b cos 45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0. ∴EM →⊥FN →，∴二面角α－AB －β的大小为90°. 答案 90° 三、解答题5． 如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2. (1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小．解析 (1)证明 在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，DC ∩AC ＝C ，从而DE ⊥平面ACD .(2)解 以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x 轴，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0，0，0)，E (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，2，2)，B (1，1，0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，可算得AD →＝(0，－2，－2)，AE →＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33·2＝32，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π6.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点． (1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．解析 (1)证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)， 可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)． 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)解 向量BD →＝(－1，2，0)，PB →＝(1，0，－2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量，于是有 cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)解 向量BC →＝(1，2，0)，CP →＝(－2，－2，2)，AC →＝(2，2，0)，AB →＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF → ＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λ CP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由 BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝（23,21,21-）.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则： cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角， 所以其余弦值为31010.。
高二数学二面角专项练习题及参考答案(精品)
高二数学二面角专项练习题及参考答案班级_____________姓名_____________一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。
三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，求B-PC-D 的大小。
四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/SS .例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： [基础练习]1． 二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 5B 20C 210 D225 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26， 则弧度数为3的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（ ） A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθC S △ABC =S △A1B1C1·sinθD S △ABC =S △A1B1C1·cosθ7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的 大小为γ，则有 （ ）A.sinα=sinβsinγB.sinβ=sinαsinγC.sinγ=sinαsinβ D 以上都不对AB C DAB M NP l C1A1B1D8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。
高二数学二面角练习题
高二数学二面角练习题一、选择题1. 已知线段a与线段b相交，如图所示，则∠AOB为（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角2. 已知线段a与线段b垂直，如图所示，则∠AOB为（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角3. 已知直线l与平面P相交，且∠AOC=90°，如图所示，则∠BOC 为（）A. 钝角B. 直角C. 锐角D. 平角4. 已知∠AOC=63°，∠BOD=127°，则∠BOC为（）A. 54°B. 63°C. 90°D. 117°二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A(-2, 3)与点B(4, -1)确定的直线l的斜率为______。
2. 已知点A(3, 5)，则点A关于x轴的对称点为（）。
3. 已知线段AB的长度为8，线段CD的长度为4，且AB与CD相交于点O，若∠AOC=70°，则∠DOB为______。
三、解答题1. 如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知∠AOB=115°，求∠COD的度数。
2. 已知A、B、C三个点在平面直角坐标系中的坐标分别为A(2, 4)，B(-1, 1)，C(-3, -2)，求∠ABC的度数。
3. 在平面直角坐标系中，点A(5, 3)与点B(-3, 7)确定的直线l与x轴交于点P，求∠APB的度数。
四、综合题如图所示，点O为正方形ABCD中心，点M为边AD上的动点，且∠MOD=60°，连接OM并延长交BC于点N。
1. 证明：三角形OND是等边三角形。
2. 若边AD的长度为2，求三角形MNO的周长。
示意图：```B ________ C| || O || |A ________ D```答案：一、选择题1. C. 钝角2. B. 直角3. B. 直角4. D. 平角二、填空题1. 斜率为-2/3。
2. （3, -5）。
3. 40°。
高中数学必修二立体几何面面垂直与二面角专题练习(含答案)
面面垂直与二面角一．选择题（共12小题）1．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．42．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（）A．平面BCE⊥平面ABNB．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面AMND．平面BDE∥平面AMN3．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论中正确的个数为（）①DC1⊥D1P ②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为⑤C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]A．1B．2C．3D．45．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2，AC=3，BD=4，CD=，则该二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，则二面角C﹣B1D﹣C1的大小的余弦值为（）A．B．C．D．10．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．7C．2D．911．如图，M，N是圆锥底面圆O上不同两点，且M，N，O不共线，设AN与底面所成角为α，二面角A﹣MN﹣O的平面角为β，ON与平面AMN所成角为γ，则（）A．β＞α＞γB．β＞γ＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β12．如图，P是△ABC边AB上一点，将△ACP沿CP折成直二面角A'﹣CP﹣B，要使|A'B|最短，则CP是（）A．△ABC中AB边上的中线B．△ABC中AB边上的高线C．△ABC中∠ACB的平分线D．要视△ABC的具体情况而定二．解答题（共18小题）13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，E，M分别是AD，PD的中点，PB=2．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点P到平面ACM的距离．14．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB=BC，D为线段AC的中点，E为线段PC 上一点．〔Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．15．如图，BD是圆O的直径，C是圆周上不同于B，D的任意一点，AB⊥平面BCD，E为AB 的中点．（1）求证：OE∥平面ACD；（2）求证：平面ACD⊥平面ABC．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为CC1的中点．（1）求证：平面AA1CC1⊥平面BDB1D1；（2）求直线BE与平面ACC1A1所成角的余弦值．17．如图1，梯形ABCD满足：AB∥CD，AD⊥AB，AD=DC=2AB=2，E是BA延长线上一点，AE=2．现将△EDA沿直线DA翻折，记翻折后的点E为点P．若PC=2，M为PC的中点，如图2．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PBD；（Ⅱ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．18．已知三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等腰直角三角形，且BC⊥CD，BC=4，AD⊥平面BCD，AD=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC（Ⅱ）若E为AB的中点，求点A到平面CDE的距离．19．如图（1）在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB∥CD，CD=2AB=2AD=4，E为CD中点，现将△CEB沿BE折起，使得AC=4，得到如图（2）几何体，记线段CB的中点为F．（1）求证：平面CED⊥平面ABED（2）求点F到平面ACD的距离．20．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面ACF．21．如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=2，点Q为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面AQC1⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求点B到平面AQC1的距离．22．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是4，D是CC1的中点，求：（1）三棱锥D﹣ABC的体积；（2）二面角D﹣AB﹣C的大小．23．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．24．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC所成的角为，点D在棱AA1上，且AD=，AB=2．（1）求证：OD⊥平面BB1C1C；（2）求二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦值．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥CD；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值．26．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC=2AB，∠ABC=60°，PA=PB，点M为AB 的中点．（Ⅰ）在棱PD上作点N，使得AN∥平面PMC（Ⅱ）若PB⊥AC，且直线PC与平面PAB所成的角是45°，求二面角M﹣PC﹣A的余弦值27．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点AB=BC=2，C1F⊥AB．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）若直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，求二面角A﹣BE﹣C的平面角的正弦值．28．已知PA⊥菱形ABCD所在平面，PA=，G为线段PC的中点，E为线段PD上一点，且=2．（1）求证：BG∥平面AEC；（2）若AB=2，∠ADC=60°，求二面角G﹣AE﹣C的余弦值．29．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，3=，求二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值．30．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是边长为的正方形，，PC=4，点E为PA中点，AC与BD交于点O．（Ⅰ）求证：OE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．参考答案一．选择题（共12小题）1．解：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB=2：3：4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故选：B．2．解：分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．∵BC⊥平面ABN，BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；连接PB，则PB∥MC，显然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC．∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC为二面角A﹣MN﹣C的平面角，∵AF=CF=，AC=，∴AF2+CF2≠AC2，即∠AFC≠，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；∵DE∥AN，MN∥BD，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选：C．3．解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选：B．4．解：对于①，∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，①正确对于②，∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴②正确；对于③，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴③错；对于④，将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴④不正确．对于⑤，C1P与平面A1B1B所成角正弦值为，∵，∴C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]，故⑤正确．故选：C．5．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，D（0，0，0），E（1，2，1），A（2，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（1，2，1），=（0，2，0），=（﹣2，2，2），设平面ABC1D1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设DE与平面ABC1D1所成角为θ，则sinθ===，∴DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为．故选：D．6．解：由已知可得：，，，∴=+2=32+22+42+2×3×4cos＜，＞=，∴cos＜＞=﹣，即＜＞=120°，∴二面角的大小为60°，故选：C．7．解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα==，则二面角等于60°，故选：C．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：以A为坐标原点，、的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．设底面边长为2a，侧棱长为2b，则A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），B（a，a，0），C1（0，2a，2b），B1（a，a，2b）．=（），=（﹣，a，2b），=（，0，0），=（0，a，2b），由AB1⊥BC1，得•=2a2﹣4b2=0，即2b2=a2．设=（x，y，z）为平面DBC1的一个法向量，则•=0，•=0．即，又2b2=a2，令z=1，解得=（0，﹣，1）．同理可求得平面CBC1的一个法向量为=（1，，0）．设平面DBC1与平面CBC1所成的角为θ，则cos θ==，解得θ=45°．∴平面DBC1与平面CBC1所成的角为45°．故选：B．9．解：建立空间直角坐标系，如图所示；长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，∴A（0，0，0），C（2，，0），D（0，，0），B1（2，0，1），C1（2，，1）；∴=（﹣2，，﹣1），=（﹣2，0，0），=（0，，0）；设平面CB1D的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1得=（0，1，）；同理，设平面C1B1D的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，则=（1，0，﹣2）；∴cos＜，＞===﹣，∴二面角C﹣B1D﹣C1的余弦值为﹣cos＜，＞=．故选：A．10．解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴，．∵，∴=+++2+2+2═62+42+82+2×6×8cos120°=68，∴CD=2故选：C．11．解：连接OA，OM，取MN的中点H，连接OH，AH，过O作OD⊥AH，垂足为D，连接ND，由AO⊥底面，可得∠ANO=α，由OH⊥MN，AO⊥底面，由三垂线定理可得MN⊥AH，可得∠AHO=β，由OD⊥AH，MN⊥平面AHO，可得OD⊥MN，OD⊥平面AMN，可得∠OND=γ，且α，β，γ均为锐角，则sinα=，sinβ=＞=sinα，即β＞α；=•=＞1，即有β＞γ，tanα=，tanγ=，设AO=h，ON=r，OH=d，可得OD=，DN=，则tanα=，tanγ=，tan2α﹣tan2γ=＞0，可得tanα＞tanγ，即有α＞γ，即为β＞α＞γ．故选：A．12．解：如图所示，作A′E⊥CP，垂足为E．∵直二面角A'﹣CP﹣B，∴A′E⊥平面BCP．时AC=b，BC=a，∠ACB=α．设∠ACP=θ．则A′E=bsinθ，CE=bcosθ．BE2=b2cos2θ+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ），∴A′B2=（A′E）2+BE2=b2sin2θ+b2cos2θ+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ）=b2+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ），∵cosθcos（α﹣θ）=cosθ（cosαcosθ+sinαsinθ）=cosαcos2θ+sinαsin2θ=c osα+sinαsin2θ=+cos（α﹣2θ）．∴A′B2=b2+a2﹣abcosα﹣abcos（α﹣2θ），当且仅当cos（α﹣2θ）=1时，即α=2θ时，即CP为∠ACB的平分线时，|A'B|最短．故选：C．二．解答题（共18小题）13．（Ⅰ）证明：由题意知，正△PAD边长为2，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD，PE=，在正方形ABCD中，E为AD的中点，边长为2，则BE=，在△PBE中，BE2+PE2=8=PB2，∴PE⊥BE，又BE∩AD=E，∴PE⊥平面ABCD，∵PE⊂P平面ABCDM，∴平面PBE⊥平面ABCD；（Ⅱ）由题意知V P﹣ACM=V C﹣APM，△PAD为等边三角形，则AM=，∴S△APM=，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥AD．∴CD⊥平面PAD，故CD为三棱锥C﹣PAB的高，∴CD⊥PD，在正方形ABCD中，AC=2，则在△ACM中，满足8=AC2=AM2+CM2，∴△ACM为直角三角形，∴AM⊥MC，∴S△ACM=|AM|•|CM|=，设点P到平面ACM的距离为d，由V P﹣ACM=V C﹣APM，得×d×S△ACM=×CD×S△APM，解得d=14．证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB=BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．15．．证明：（1）∵BD是圆O的直径，E为AB的中点，∴OE∥AD，∵OE⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OE∥平面ACD．（2）∵BD是圆O的直径，∴BC⊥DC，∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵AB∩BC=B，∴平面ACD⊥平面ABC．16．证明：（1）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AA1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，又由正方形ABCD，可知AC⊥BD，AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，又BD⊂平面BDD1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BDD1B1．（6分）解：（2）记AC与BD交点为O，连接OE，∵BD⊥平面ACC1A1，∴∠OEB即为直线BE与平面ACC1A1所成角，设正方体棱长AB=2，则OB=，BE=，OE=，则有cos=，直线BE与平面ACC1A1所成角的余弦值为．（12分）17．（Ⅰ）证明：在△ADE中，AD=AE=2，得DE=2，即PD=．在△PDC中，DC=2，PC=2，可得PC2=PD2+DC2，∴∠CDP=90°，即CD⊥PD．又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．取PD中点N，则MN是△PCD的中位线，∴MN∥CD，MN=．又AB∥CD，AB=，∴AB∥MN，AB=MN，即四边形ABMN为平行四边形．又AN是等腰直角三角形PAD斜边PD的中线，∴PD⊥AN，又CD⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，AB⊥PD．∴PD⊥平面ABM，又PD⊂平面PBD，∴平面ABM⊥平面PBD；（Ⅱ）解：在△MNB中，作MH⊥NB于H，则MH⊥平面PBD，由已知可得MN=1，MB=，又NB=，∴，即点M到平面PDB的距离为．又由于M是PC的中点，∴点C到平面PBD的距离h=．求得BC=，设直线BC与平面PBD所成的角为θ，则s inθ=．18．（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC，又∵BC⊥CD，CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．…（5分）（Ⅱ）解：由已知可得，取CD中点为F，连结EF，∵，∴△ECD为等腰三角形，∴，，…（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面ACD，∴E到平面ACD的距离为：，∴S△ACD=4，…（10分）设A到平面CED的距离为d，有，解得，∴A到平面CDE的距离是．…（12分）19．（1）证明：由条件可知BA=DE，BA∥DE，∠BAD=90°，∴四边形ABED为正方形，∴BE⊥EC，BE⊥ED，EC⊥ED=E，⇒BE⊥平面DEC．又BE⊂平面ABCD，所以平面CED⊥平面ABCD．（2）AD∥BE，∴AD⊥平面DEC，∴∠ADC=90°，∴∠CED=120°，△CED为等腰三角形．过点E作EM⊥CD，∴M为CD中点⇒ME=1 ∴ME⊥CD，ME⊥AD⇒ME⊥平ACD．又F为BC的中点，∴．20．证明：（1）设BD与AC交于点O，连接OE、OH．∵O、H分别为AC，BC中点，∴OH∥AB，OH=AB，∴EF∥AB，EF=AB，∴OH=EF，OH∥EF，∴四边形OEFH为平行四边形，∴FH∥OE，又∴FH⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴FH∥平面BDE．（2）∵EF∥AB，EF⊥FB，AB∩FB=B，∴EF⊥平面ABF，∵FB⊂平面ABF，∴AB⊥FB，∵AB⊥BC，BC∩FB=B，∴AB⊥平面BCF，∵FH⊂BCF，∴AB⊥FH，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，∴FH⊥平面ABCD，又FH∥OE，∴OE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴OE⊥AC，∵AC⊥BD，AC∩BD=O，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACF，∴平面BDE⊥平面ACF．21．解：（I）证明：由题意知，AB=AC，Q为BC的中点，∴AQ⊥BC；由B1B⊥平面ABC，得B1B⊥AQ；∵BC，B1B⊂平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，∴AQ⊥平面B1BCC1，又∵AQ⊂平面AC1Q，∴平面AC1Q⊥平面B1BCC1；……（6分）（II）设点B到平面AQC1的距离为d，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABQ，∴CC1为三棱锥C1﹣ABQ的高；由（I）知，AQ⊥平面B1BCC1，则AQ⊥QC1，∴；∴，；又，∴，即，解得．……（12分）22．解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，且底面边长和侧棱长都是4，D是CC1的中点，∴，三棱锥D﹣ABC的高为DC=2．∴三棱锥D﹣ABC的体积V=；（2）取AB中点G，连接DG，CG，则AB⊥平面DGC，∴∠DGC为二面角D﹣AB﹣C的平面角，在Rt△DCG中，DC=2，CG=，∴tan∠DGC=，则．即二面角D﹣AB﹣C的大小为．23．证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．∴AB⊥AD，AB⊥PD，又AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=DP=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），=（﹣2，0，2），=（0，2，0），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣AB﹣D的大小为θ，则cosθ===，θ=45°，∴二面角P﹣AB﹣D的大小为45°．24．（1）证明：连接AO，∵A1O⊥底面ABC，AO，BC⊂底面ABC，∴BC⊥A1O，A1O⊥AO，且AA1与底面ABC 所成的角为∠A1AO，即．在等边三角形ABC中，易求得AO=．在△AOD中，由余弦定理，得，∴OD2+AD2=3=OA2，即OD⊥AA1．又∵AA1∥BB1，∴OD⊥BB1．∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，又∵BC⊥A1O，AO∩A1O=O，∴BC⊥平面AA1O，又∵OD⊂平面AA1O，∴OD⊥BC，又BC∩BB1=B，∴OD⊥平面BB1C1C．（2）如下图所示，以O为原点，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则故由（1）可知，∴可得点D的坐标为，∴平面BB1C1C的一个法向量是．设平面A1B1C的法向量=（x，y，z），由得，令，则y=3，z=﹣1，则，∴，易知所求的二面角为钝二面角，∴二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦角值是．25．解：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF，即可得EF∥CD…（5分）（2）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，E（﹣1，，），F（﹣，0，），，，设平面AFE的法向量为=（x，y，z），则有⇒，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为．∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，cos==∴锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．．…（12分）26．解：（Ⅰ）：点N为PD中点．下证：取PD中点N，PC中点Q，连结AN，QN，MQ，在△PCD中，N，Q分别是所在边PD，PC的中点，则NQ∥CD且．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为点M为AB中点，AB=CD，所以NQ∥AM且NQ=AM．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以四边形AMQN是平行四边形，所以AN∥MQ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又因为AN⊄平面PMC，MQ⊂平面PMC，所以AN∥平面PMC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）在△ABC中，BC=2AB，∠ABC=60°，设AB=a，则BC=2a，由余弦定理有：，则BC2=AB2+AC2，由勾股定理的逆定理可得：AC⊥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又因为PB⊥AC，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB．因为PM⊂平面PAB，所以AC⊥PM．因为PA=PB，点M为线段AB的中点，所以PM⊥AB，因此PM，AB，AC两两垂直．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）以A为原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系．因为直线PC与平面PAB的所成角是45°，所以∠CPA=45°，所以Rt△CAP是等腰直角三角形，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）则A（0，0，0），，，，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设平面PMC的一个法向量为=（x，y，z），则即得，同理可得，平面PAC的一个法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由图可得所求二面角的平面角为锐角，所以二面角M﹣PC﹣A的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）27．（1）证明：在直三棱柱中，CC1⊥AB，又C1F⊥AB，且CC1∩C1F=C1，∴AB⊥平面B1BCC1，又∵AB⊂平面EBA，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）解：由（1）可知，AB⊥BC，以B点为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立坐标系．设AA1=a，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），B1（0，0，a），C1（2，0，a），A1（0，2，a），E （1，1，a），F（1，0，0）．直线FC1的方向向量，平面ACC1A1的法向量．可知||=，∴a=2．，，，设平面ABE的法向量，由，取z=﹣1，可得．设平面CBE的法向量，由，取z=﹣1，可得．记二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ，∴|cosθ|=||=，则sin．故二面角A﹣BE﹣C的平面角的正弦值为．28．（1）证明：取PE的中点F，连接GF，BF，∵G为PC的中点，∴GF∥CE，∴GF∥平面AEC．连接BD交AC与点O，连接OE．∵E为DF的中点，∴BF∥OE，∴BF∥平面AEC．∵BF∩GF=F，∴平面BGF∥平面AEC．又BG⊄平面BGF，∴BG∥平面AEC；（2）解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，0，0），P（﹣1，0，），D（0，，0），E（，，），G（0，0，2），∴=（，，），=（2，0，0），=（1，0，），设平面AEC的法向量为，则，∴，即，不妨设得=（0，，），设平面AEG的法向量为，则，∴，即，不妨设z2=1得=（，0，1），∴=．由图可知，二面角G﹣AE﹣C为锐角，则二面角G﹣AE﹣C的余弦值为．29．证明：（1）∵AD=1，CD=2，AC=，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC，同理∵ED=1，CD=2，EC=，∴ED2+CD2=EC2，∴△EDC为直角三角形，且ED⊥DC，又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE，又∵AB∥DC，∴DA⊥AB．在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，∴四边形ABHD是正方形，∴∠ADB=45°．在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．BC=，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD．∴BD⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，因为BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD．∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD．解：（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，D（0，0，0），E（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0）．令M（0，y0，z0），则=（0，y0，z0﹣1），=（0，2，﹣1），∵3=，∴（0，3y0，3z0﹣3a）=（0，2，﹣1），∴M（0，，）．=（1，1，0），=（0，），∵BC⊥平面EBD，∴=（﹣1，1，0）是平面EBD的一个法向量．设平面MBD的法向量为=（x，y，z）．则．令y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜＞===，∴二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值为．30．证明：（I）底面四边形ABCD是边长为的正方形，，PC=4，在△PBC中，∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，同理可得BC⊥CD，而BC∩CD=C，BC、CD⊂平面ABCD，∴PC⊥平面ABCD，在△PAC中，由题意知O、E分别为AC、PA中点，则OE∥PC，而PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．解：（II）由（I）知：OE⊥平面ABCD，故可建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（﹣1，0，4），∴=（﹣2，0，4），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，0），设、=（a，b，c）分别为平面PAB和平面PAD的一个法向量，则，，∴，，不妨设z=c=1，则=（2，2，1），=（2，﹣2，1），∴cos＜＞===，由图知二面角B﹣PA﹣D为钝二面角，∴二面角的B﹣PA﹣D的余弦值为﹣．。
二面角练习题
二面角练习题二面角是几何学中一个重要的概念，它与我们日常生活息息相关。
在几何学中，二面角是指两个平面的交线所形成的角度。
它不仅仅是一个数学概念，更是我们在空间中观察和测量角度的基本工具。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二面角的概念。
练习题一：已知一平面上有一条直线AB，另一平面上有一条直线CD，两平面相交于O点，求∠AOC和∠BOD的关系。
解析：根据二面角的定义，我们可以知道∠AOC和∠BOD的和为180度。
这是因为当两个平面相交时，它们所形成的二面角的度数之和为180度。
所以，∠AOC和∠BOD是互补角。
练习题二：在空间直角坐标系中，已知直线l1的方程为x+y+z=1，直线l2的方程为x-y+z=3，求直线l1和直线l2的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们需要先找到直线l1和直线l2的方向向量。
直线l1的方向向量可以通过求解方程组x+y+z=1得到，即(1,1,1)。
同样地，直线l2的方向向量可以通过求解方程组x-y+z=3得到，即(1,-1,1)。
然后，我们可以通过计算这两个向量的夹角来求解二面角。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (1,1,1)·(1,-1,1) / |(1,1,1)||(1,-1,1)| = 1/√3。
因此，θ = arccos(1/√3)。
这就是直线l1和直线l2的二面角。
练习题三：在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为2x+y+z=4，平面P的方程为x-2y+3z=6，求直线l和平面P的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们首先需要找到直线l的方向向量。
由于直线l的方程为2x+y+z=4，我们可以得到方向向量为(2,1,1)。
然后，我们可以通过计算这个方向向量与平面P的法向量的夹角来求解二面角。
平面P的法向量可以通过平面的方程x-2y+3z=6得到，即(1,-2,3)。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (2,1,1)·(1,-2,3) / |(2,1,1)||(1,-2,3)| = 9/√30。
二面角习题及标准答案
二面角习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
解：DPC A BE DB ASCS R NMO B DPA CB A EC5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。
解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。
解：7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。
解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：D BD ACBAC M N B F E ACDDOA BC10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'． （1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长； （2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC ∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2、解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC ∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ， 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=DPCA BE DBASCS R N MO B DPA C∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠ 4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =415∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴ 55S S cos ABD BDE ==θ∆∆ 5. 解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2，A'C =a 3 ∴Ｓ□AMC'N = 2a 26'AC 21MN =⋅由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD ∴ Ｓ□ABCD =2aD B D AC BAC MN∴ 36a 26a cos 221==θ ∴ 36arccos1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，Ｓ□DM'C'M =2a 21 ∴ 66a 26a21cos 222==θ ∴66arccos2=θ 6. 解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ， AB =2， BD =2 在Rt △ABC 中， 23231AB BC AC CE =⨯=⋅=，同理 1222ABBDAD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=21CE AC AE 22=-= ∴ 212112EF =--= ∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222∴ 33cos =θ BF E ACD即所求角的大小为33arccos。
高二数学文科二面角作业
高二数学文科二面角作业
班级 _____________姓名 ___________________
1、 如图，在三棱柱 ABC －A 1B 1 C 1 中， AB ⊥侧面 BB 1C 1C ， E 为棱 CC 1 上异于 C 、C 1 的一点， EA ⊥ EB 1．
已知 AB2
1
1
1
1
， BB ＝2， BC ＝ 1，∠ BCC ＝
．求二面角 A － EB － A 的平面角的正切值．
3
2、如图 ,PA ⊥平面 ABC, AC ⊥BC,PA=AC=1,BC=2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值 .
3、如图所示， ABCD 是一直角梯形，
0 平面 ABCD ,
ABC=90 , SA 1
SA AB BC 1,AD,
S
2
.
求面 SCD 与面 SBA 所成二面角的余弦值 B
C
A
D
4、如图，在四棱锥V－ ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD．
（1）证明 AB⊥平面 VAD；
（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值．
5、如图，在四棱锥P ABCD 中，PA底面 ABCD ，AB AD，AC CD ，
ABC 60 ， PA AB BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明 CD AE ；P
（ II）证明 PD平面 ABE ；
E
（ III）求二面角 A PD C 的大小。
A D
C
B。
【立体几何专题 高考数学复习】第6讲 立体几何二面角问题-原卷及答案
第6讲立体几何二面角问题知识与方法1. 空间问题平面化解立体几何问题离不开空间问题平面化, 求二面角大小也是如此. 把二面角大小转化为线线角大小, 这里的线线角可以是二面角的平面角, 也可以是两个半平面的法线等. 2. 求二面角大小, 有以下方法方法一: 二面角的平面角. 过公共棱上的点直接作出二面角的平面角.方法二: 公共棱的垂面产生二面角的平面角.方法三:利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理构造二面角的平面角.三垂线定理: 平面内的一条直线, 如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直, 那么它也与这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理: 如果平面内一条直线与穿过该平面的一条斜线垂直, 那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.∠是利用三垂线定理或其逆定理, 作出两个半平面的公共棱的垂面AOH, 则AOH∠的大小.二面角的平面角, 在Rt AOH中求出AOH方法四: 面积射影法.设平面α内有一平面图形的面积为S, 它在平面β上的射影的面积为S', 则平面 α 与平面 β 所成锐二面角 θ 的余弦值 cos S Sθ='. 方法五:利用两个平面的法向量的夹角来求二面角大小.一般通过建立空间直角坐标系进行代数运算.方法六: 等体积法.在平面 α 内找到一个点 A , 求出点 A 到两个半平面的公共棱的距离 AO , 用等体积法求出 点 A 到平面 β 的距离 h , 则二面角 θ 的正弦值 sin h AO θ=. 方法七:三正弦定理.方法八: 三面角的余弦定理.定理: 如图,四面体 O ABC - 的二面角 A OC B -- 的大小为 α, 则cos α cos cos cos sin sin AOB AOC BOC AOC BOC∠∠∠∠∠-⋅=⋅.在已知一个四面体中 ,,OA OB OC 的两两夹角的情况下, 便能求解二面角A OCB --, 二 面角 A OBC --, 二面角 C OA B -- 的大小.方法九: 无棱二面角.题设背景中没有直接给出二面角的公共棱,要解决这一问题,可以补全几何图形,作出二 面角的公共棱,再用上述方法来求解二面角大小,也可以用面积射影法,或者用空间向量法计 算二面角的大小.典型例题【例1】1111(1), , ,ABC A B C AA ABC ABC -⊥如图在三棱柱中侧棱平面为等腰直角三角形, 90BAC ∠=, 且 12,,AB AA E F == 分别是 1,CC BC 的中点.(1) 求证 : EF ⊥ 平面 1AB F ;(2) 求锐二面角 1B AE F -- 的平面角的余弦值.【例2】111111 (1), , , ,ABCD A B C D E F CC CD -如图在正方体中分别是的中点, G 是线段 1AA 的四等分点 (靠近点 A ), 则过 ,,E F G 三点的截 面与底面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 .【例3】 在平面α内，已知AB BC ⊥，过直线AB BC 、分别作平面β ，γ ，使锐二面角AB αβ--的大小为 3π, 锐二面角 BC αγ-- 的大小为 3π, 则平面 β 与平面 γ 所成的锐二面角的余弦值为（）A. 14B.C. 12D. 34【例4】 如图, 在正方体 1111ABCD A B C D - 中, 平面 11ABC D 与平面 1DBC 所成锐二面角的余弦值为 .【例5】 如图 (1), 设 P 为圆锥的顶点, ,,A B C 是其底面圆周上的三点, 满 足90ABC ∠=. 若 1,2,AB AC AP ===则二面角 A PB C -- 的平 面角的余弦值为 .【例6】如图①，已知边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面互相垂直, M 是 CD 上异于,C D 的点.(1) 证明: 平面 AMD ⊥ 平面 BMC ;(2) 当三棱锥 M ABC - 的体积最大时,求平面 MAB 与平面 MCD 所 成二面角的正弦值.图(1)【例7】如图(1), 在四棱锥P ABCD-中, 侧面PAD是边长为2 的等边三角形且垂直于底面1,,2ABCD AB BC AD BAD ABC∠∠====90,E是PD的中点.(1) 证明: 直线//CE平面PAB;(2)点M在棱PC上, 且直线BM与底面ABCD所成的角为45, 求二面角M AB D--的平面角的余弦值.第6讲立体几何二面角问题知识与方法1. 空间问题平面化解立体几何问题离不开空间问题平面化, 求二面角大小也是如此. 把二面角大小转化为线线角大小, 这里的线线角可以是二面角的平面角, 也可以是两个半平面的法线等.2. 求二面角大小, 有以下方法方法一: 二面角的平面角. 过公共棱上的点直接作出二面角的平面角.方法二: 公共棱的垂面产生二面角的平面角.方法三:利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理构造二面角的平面角.三垂线定理: 平面内的一条直线, 如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直, 那么它也与这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理: 如果平面内一条直线与穿过该平面的一条斜线垂直, 那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.利用三垂线定理或其逆定理, 作出两个半平面的公共棱的垂面AOH, 则AOH∠是二面角的平面角, 在Rt AOH中求出AOH∠的大小.方法四: 面积射影法.设平面α内有一平面图形的面积为S, 它在平面β上的射影的面积为S', 则平面α与平面β所成锐二面角θ的余弦值cosSS θ='.方法五:利用两个平面的法向量的夹角来求二面角大小.一般通过建立空间直角坐标系进行代数运算.方法六: 等体积法.在平面α内找到一个点A, 求出点A到两个半平面的公共棱的距离AO, 用等体积法求出点A到平面β的距离h, 则二面角θ的正弦值sinh AOθ=. 方法七:三正弦定理.方法八: 三面角的余弦定理.定理: 如图,四面体 O ABC - 的二面角 A OC B -- 的大小为 α, 则cos α cos cos cos sin sin AOB AOC BOC AOC BOC∠∠∠∠∠-⋅=⋅.在已知一个四面体中 ,,OA OB OC 的两两夹角的情况下, 便能求解二面角A OCB --, 二 面角 A OBC --, 二面角 C OA B -- 的大小.方法九: 无棱二面角.题设背景中没有直接给出二面角的公共棱,要解决这一问题,可以补全几何图形,作出二 面角的公共棱,再用上述方法来求解二面角大小,也可以用面积射影法,或者用空间向量法计 算二面角的大小.典型例题【例1】1111(1), , ,ABC A B C AA ABC ABC -⊥如图在三棱柱中侧棱平面为等腰直角三角形, 90BAC ∠=, 且 12,,AB AA E F == 分别是 1,CC BC 的中点.(1) 求证 : EF ⊥ 平面 1AB F ;(2) 求锐二面角 1B AE F -- 的平面角的余弦值.图(1)【分析】 证明线面垂直, 一般会用线面垂直的判定定理. 研究二面角的平面角时, 找到一个半平面的垂线很重要, 利用这条垂线, 根据三垂线定理可以作出二面角的平面角. 当然本 题是在直棱柱的背景下解决问题, 可以考虑建立空间直角坐标系, 用空间向量来求解二面角的大小.(1) 【解析】 因为 AC AB =, 且 F 为 BC 的中点, 所以 AF BC ⊥.又三棱柱中 1BB ⊥ 平面 ,ABC AF ⊂ 平面 ABC , 所以 1BB AF ⊥.因为 1BB BC B ⋂=, 所以 AF ⊥ 平面 11BB C C .因为 EF ⊂ 平面 11BB C C , 所以 AF EF ⊥.因为 12AC AB AA ===,经计算得 113B F EF B E ==,所以 22211B E B F EF =+, 即 1B F EF ⊥.又因为 1B F AF F ⋂=, 所以 EF ⊥ 平面 1AB F .(2) 解法 1： (定义法, 根据三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角)如图 (2), 过点 F 作 FM AE ⊥, 连结 1B M .由 (1) 知 11,B F EF AF B F ⊥⊥.又 EF AF F ⋂=, 所以 1B F ⊥ 平面 AEF .因为 AE ⊂ 平面 AEF , 所以 1B F AE ⊥.图(2)又 1,AE MF FM B F F ⊥⋂=, 所以 EA ⊥ 平面 1B MF ,所以 1EA B M ⊥,所以 1B MF ∠ 就是二面角 1B AE F -- 的平面角,经计算得1MF B M ==所以11cos 6MF B MF B M ∠==. 【点睛】 用定义法作二面角的平面角, 经常会用到三垂线定理及其逆定理. 请特别关注线面垂直或面面垂直的信息, 因为若能找到一个半平面内的一个点在另一个半平面上的射 影, 那么借助三垂线定理或其逆定理,构造二面角的平面角就非常简单了.解法2： (空间向量法) 由 (1) 知 1,,FE FA FB 两两垂直.如图 (3), 以 FE 为 x 轴、 FA 为 y 轴、 1FB 为 z 轴建立空间直角坐标系. 则点)()(1,,E A B , 所以 ()(13,2,0,0,EA AB =-=-, 易知平面 EAF 的一个法向量为 ()10,0,1=n ,设平面 1AEB 的一个法向量为 ()2,,x y z =n ,则 230EA ⋅=-=n 且 2120AB ⋅=-=n, 取 2=⎝⎭n , 所以 121212cos ,6⋅==n n n n n n .图(3)【点睛】 只要能方便建立直角坐标系, 并能用写出相关点的坐标, 就可以套用公式计算二面 角的大小. 但是一定要注意两个平面的法向量的夹角与二面角的大小关系:相等或互补. 解法3：(面积射影法) 因为 1,AF BC AF BB ⊥⊥, 则 AF ⊥ 平面 1CBB , 所以 1AF FB ⊥.又由 (1) 知 1EF B F ⊥, 则 1B F ⊥ 平面 AEF .设锐二面角 1B AE F -- 的大小为 θ,则1cos 6EFA EB A S S θ==. 【点睛】 面积射影法可以在不作出二面角的平面角的情况下, 算出二面角的大小, 这也是一种较为常用的方法.解法 4： (三正弦定理) 设锐二面角 1B AE F -- 的大小为 θ,则2221111cos 2B A AE EB B AE B A AE ∠+-===⋅, 由三正弦定理知 11sin sin sin B AF B AE ∠∠θ=⋅,则11sin 2sin 3sin 6B AF B AE ∠θ∠===, 即 cos θ=解法5： (三面角的余弦定理) 设锐二面角 1B AE F -- 的大小为 θ, 则2221111cos 2B A AE EB B AE B A AE ∠+-===⋅,所以 131015sin ,cos ,sin 5510B AE FAE FAE ∠∠∠===, 所以 1111110cos cos cos 62510cos sin sin 6315510B AF B AE FAE B AE FAE ∠∠∠θ∠∠-⨯-⋅===⋅⨯. 【点睛】 若已知三条共点直线两两夹角的大小,求解以这三条直线为公共棱的两个半平面 所成角的大小时, 可使用三面角的余弦定理.一般建议在解小题中使用, 因为二级结论在 解决大题时难得步骤分.【例2】111111 (1), , , ,ABCD A B C D E F CC CD -如图在正方体中分别是的中点, G 是线段 1AA 的四等分点 (靠近点 A ), 则过 ,,E F G 三点的截 面与底面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为【分析】 本题背景是 “无棱”二面角, 但二面角一定有公共棱, 可以依据 题意作出二面角的公共棱, 再作出二面角的平面角来求解. 对于“无棱”二面角,也可以考虑用面积射影法、空间向量法等来求解, 这样就不需要作出二面角的 公共棱.【解析】解法 1： 设正方体的棱长为 4 , 所求二面角的大小为 θ, 过点 F 作 FH ⊥ CD 于点 H , 如图 (2). 则 EFG 在底面ABCD 上的射影为 CHA , 经计算 2EF =, 点 G 到 EF 的距离为 17, 所以1424172cos 1172172AHCEFG SS θ⨯⨯===⨯⨯.图(2)【点睛】 本题是“无棱”二面角, 可以用面积射影法求解, 这种方法避免了找两个半平面的 公共棱及二面角的平面角.解法 2： (空间向量法) 设正方体的棱长为 4 . 如图(3), 以 AB 为 x 轴、 AD 为 y 轴、 1AA 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则点 ()()()0,0,1,4,4,2,2,4,2G E F , 所以 ()()4,4,1,2,4,1GE GF ==.设平面 GEF 的一个法向量为 (),,x y z =n , 则 440GE x y z ⋅=++=n , 且 240GF x y z ⋅=++=n ,取 ()0,1,4=-n . 又平面 ABCD 的一个法向量为()10,0,1=n , 则 1cos<,=>n n .图(3)解法 3： 设正方体的棱长为 4.如图(4), 设 1,EF DD K KG DA O ⋂=⋂=.过点 O 作 //ON CD , 则 ////ON CD EF . 又 ON ⊥ 平面 ODK , 则DOK ∠ 为所求二面角的平面角,图(4)所以 cos 17DO DOK OK ∠==. 解法4： 设正方体的棱长为 4 . 如图(5), 过点 G 作平面 //GPNM 平面 ABCD , 则 GP ⊥ 平面 PNE , 则 NPE ∠ 为所求二面角的平面角, 所以cos17PN NPE PE ∠===.图(5)【点睛】 所谓“无棱” 的二面角, 并不是说两个半平面的公共棱不存在, 应该利用好已知条 件, 先作出二面角的公共棱, 再作出二面角的平面角.【例3】 在平面α内，已知AB BC ⊥，过直线AB BC 、分别作平面β ，γ ，使锐二面角AB αβ--的大小为 3π, 锐二面角 BC αγ-- 的大小为 3π, 则平面 β 与平面 γ 所成的锐二面角的余弦值为（）A. 14B. 4C. 12D. 34【分析】 本题涉及三个平面, 可以用三面角的余弦定理来解决问题. 当然也可以考虑作出二 面角的平面角, 或用空间向量、三正弦定理来解.【解析】解法 1： (三面角的余弦定理) 如图 (1), 设平面 β 为平面 ABD , 平面 γ 为平面 BCD , 设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 H , 过点 H 作 HM AB ⊥ 于点 M , 过点 H 作 HN BC ⊥ 于 点 N .由题意知, 四边形 BNHM 为正方形, DMH ∠ 为二面角 AB αβ-- 的 平面角, DNH ∠ 为二面角 AB αγ-- 的平面角.设平面 β 与平面 γ 所成的锐二面角大小为 θ, 设正方形 BNHM 的边 长为 1 , 则在 Rt DHM 中, ,13DMH MH π∠==, 所以 2MD =.图(1)同理 2ND =.所以 cosDBM DBM DBN DBN ∠∠∠∠====由三面角的余弦定理知 cos cos cos 1cos sin sin 4ABC ABD CBD ABD CBD ∠∠∠θ∠∠-⋅==-⋅. 所以平面 β 与平面 γ 所成的锐二面角的余弦值为14. 故选 A. 【点睛】 若能得知 ,,BA BD BC 这三条边的两两夹角的三角函数, 便能利用三面角的余弦 定理求得平面 β 与平面 γ 所在锐二面角的大小.解法 2：(二面角的平面角) 在解法1 的基础上, 如图 (2), 过点 M 作 ME DB ⊥ 于点 E , 连结 EN , 易证 MEN ∠ 为平面 β 与平面 γ 所成二面 角的平面角.又ME NE MN ===由余弦定理可得 1cos 4θ=. 故选 A.图(2)解法 3： (空间向量法) 构造符合题意的正四棱柱, 其中平面 β 为平面 ABD , 平面 γ为平面 BCD 根据条件“二面角 AB αβ-- 的大小为 3π, 锐二面角 BC αγ-- 的大小为 3π ”, 设四棱柱的 底面边长为 1 , 侧棱长为 二面角 A BD C -- 的大小为 θ.如图(3), 以点 B 为原点, 以 BC 为 x 轴、BA 为 y 轴、BE 为 z 轴建立空间 直角坐标系.则点 ()()(0,1,0,1,0,0,A C D , 所以 ()()(0,1,0,1,0,0,1,1,BA BC BD ===.图(3)设平面 ABD 的一个法向量为 ()1111,,x y z =n , 平面 BCD 的一个法向量为()2222,,x y z =n , 则 10BA ⋅=n 且 10BD ⋅=n , 即11110,0.y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取)11=-n , 同理, 取()21=-n , 所以 121cos cos ,4θ==n n . 故选 A. 【点睛】 若能将几何体放到正方体、长方体中, 则容易建立空间直角坐标系, 从而借助空间向量法来解决问题.解法 4：(三正弦定理) 以解法3 为背景, 可知 AB 与平面 BCD 所成角为60,sin ABD ∠=设二面角 A BD C -- 的大小为 θ.由三正弦定理得 sin60sin sin ABD ∠θ=⋅,解得1sin 4θθ==. 故选 A. 【例4】 如图, 在正方体 1111ABCD A B C D - 中, 平面 11ABC D 与平面 1DBC 所成锐二面角的余弦值为【分析】 平面 11ABC D 与平面 1DBC 的法线较容易找到, 直接利用法线来求解.【解析】(用平面的法线求解) 平面 11ABC D 的一条法线为 1CB , 平面 1DBC 的一条法线为 1CA , 则直线 1CB 与直线 1CA 所成角的余弦值为 【点睛】 在正方体这一特殊几何体中, 很容易找到两个半平面的法线, 那么就可以直接利 用两条法线所成角的大小来表示二面角的大小. 当然, 也可以用定义法、空间向量法来求 解.【例5】 如图 (1), 设 P 为圆锥的顶点, ,,A B C 是其底面圆周上的三点, 满 足90ABC ∠=. 若 1,2,AB AC AP ===则二面角 A PB C -- 的平 面角的余弦值为【分析】 本题可以用空间向量法、作二面角的平面角等方法来解决问题.图(1)从条件来看, ,,PA PB PC 两两夹角的余弦值均可求解, 那么三面角的余弦定理可以更便 捷地解决问题. 【解析】 由 90ABC ∠= 知, AC 为底面圆的直径.如图 (2), 设底面中心为 O , 连结 PO ,则 PO ⊥ 平面 ABC , 易知 112AO CO AC ===,进而 1,PO BC ====图 (2)所以 22222231cos ,cos 2424AP BP AB PC BP CB APB CPB AP BP BP CP ∠∠+-+-====⋅⋅, 而 90APC ∠=, 设二面角 A PB C -- 的大小为 θ,则 cos cos cos cos sin sin 35APC APB CPB APB CPB ∠∠∠θ∠∠-⋅==-⋅. 【点睛】 由三条棱引出的三个半平面问题, 依据条件, 可以考虑用三面角的余弦定理尝试 解决问题.【例6】如图①，已知边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面互相垂直, M 是 CD 上异于,C D 的点.(1) 证明: 平面 AMD ⊥ 平面 BMC ;(2) 当三棱锥 M ABC - 的体积最大时,求平面 MAB 与平面 MCD 所 成二面角的正弦值.图(1)【分析】 面面垂直的证明, 一般转化为线面垂直来证明, 只要找到半平面的一条垂线, 如 DM ⊥ 平面 BMC . 研究体积的最大值时, 基于 ABC 的面积是确定的, 只需点 M 到平面 ABC 的距离最大即可, 再用定义法或空间向量法解决二面角大小的问题.【解析】 (1) 由题设知, 平面 CMD ⊥ 平面 ABCD , 交线为 CD .因为 ,BC CD BC ⊥⊂ 平面 ABCD , 所以 BC ⊥ 平面 CMD , 故 BC DM ⊥. 因为 M 为 CD 上异于 ,C D 的点, 且 DC 为直径, 所以 DM CM ⊥. 又 BC CM C ⋂=, 所以 DM ⊥ 平面 BMC .而 DM ⊂ 平面 AMD , 故平面 AMD ⊥ 平面 BMC .(2) 以点 D 为坐标原点, 以 DA 为 x 轴正方向、 DC 为 y 轴正方向 建立如图(2)所示的空间直角坐标系.图(2)当三棱锥 M ABC - 的体积最大时, M 为 CD 的中点.由题设得点 ()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ,则 ()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==.设 (),,x y z =n 是平面 MAB 的一个法向量,则 0,0,AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即 20,20,x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取 ()1,0,2=n . 因为 DA 是平面 MCD 的一个法向量,因此 525cos<,,sin<,55DADA DA DA ⋅===>>n n n n , 所以平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值是【点睛】 在立体几何大题中,在容易找到线面垂直的背景下,一般可以选用空间向量法解决问题, 易错点在于判断二面角是钝角还是锐角.【例7】 如图 (1), 在四棱锥P ABCD -中, 侧面PAD 是边长为 2 的等边三角形且垂直于底面 1,,2ABCD AB BC AD BAD ABC ∠∠==== 90,E 是 PD 的中点. (1) 证明: 直线 //CE 平面 PAB ;图(1)(2) 点 M 在棱 PC 上, 且直线 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45, 求二面角 M AB D -- 的 平面角的余弦值.【分析】 第一问可以用线面平行的判定定理 (或面面平行的性质定理) 来证明. 第二问建议采用空间向量法, 先通过计算确定点 M 的位置, 再解决二面角大小的问题.【解析】 (1) 如图 (2), 取 PA 的中点 F , 连结 ,EF BF .因为 E 为 PD 的中点, 所以 1//,2EF AD EF AD =. 由 90BAD ABC ∠∠== 得 //BC AD .又 12BC AD =, 所以 EF CB =. 所以四边形 BCEF 为平行四边形,所以 //CE BF .又 BF ⊂ 平面 ,PAB CE ⊄ 平面 PAB , 故 //CE 平面 PAB .图(2)(2) 由已知得 BA AD ⊥, 以点 A 为坐标原点, 以 AB 为 x 轴正方向、AD 为 y 轴正方向、 AB 为单位长, 建立如图 (3)所示的空间直角坐标系,则点 ()()()(()0,0,0,1,0,0,1,1,0,,,,A B C P M x y z ,则 ()()()1,0,3,1,0,0,1,,PC AB BM x y z =-==-,(,1,PM x y z =-.因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45,而 ()0,0,1=n 是底面 ABCD 的一个法向量,图(3)所以 cos<,sin45BM =n >, 即2=, 即 222(1)0x y z -+-=.又点 M 在棱 PC 上, 设 PM PC λ=, 则,1,x y z λ===,1,122 1, ()1,x x y y z z ⎧⎧=+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去或 所以点12M ⎛- ⎝⎭. 从而12AM ⎛=- ⎝⎭. 设 ()000,,x y z =m 是平面 ABM 的一个法向量,则 0,0,AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即(00002200x y x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，， 所以可取()0,=m.于是 cos<,⋅==m n m n >m n ，因此二面角 M AB D -- 的平面角的余弦值为 5. 【点睛】 对于动态立体几何问题, 如果用几何法较难确定位置关系, 可以考虑建立空间直角坐标系, 用空间向量的代数运算来确定动点的位置.。
(完整)二面角习题及答案
二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解2。
如图在三棱锥 S —ABC 中,SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱,BDE 与BDC 解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4,M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直,且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =，求二面角 A-BD —C 的余弦值。
解：ABAC5.已知正方体 AC ’,M 、N 分别是BB ’，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D ’D 所成的角. 解：6。
如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。
解：7。
三棱锥 A —BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6,AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。
解：9。
如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD,PC ＝a ，E 是PA 的中点。
（1）求证平面BDE ⊥平面ABCD 。
（2)求点E 到平面PBC 的距离。
(3）求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：10。
如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC上,G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21,D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.D ’B ’DAC ’BA ’CMNBF EACDDOABC11。
大题专项训练16：立体几何(二面角)-2021届高三数学二轮复习 含答案详解
二轮大题专练16—立体几何（二面角） 1．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥．（1）证明：1AD BD ⊥．（2）若112D D D B ==，求二面角1A BC B --的正弦值．（1）证明：在ABD ∆中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos6023BD AB AD AB AD =+-⋅︒=则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，又1AD D D ⊥，1BD D D D =，故AD ⊥平面1D DB ．而1BD ⊂平面1D DB ，1AD BD ∴⊥．（2）解：取BD 的中点O ，11D D D B =，1D O BD ∴⊥．由（1）可知平面1D DB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ．由ABCD 是等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO --=．以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(3,2,0)A --，(3,0,0)B ，(0C ，1，0)，(3,0,0)D -，1(0D ，0，1)，(23,2,0)AB =，11(3,0,1)BB DD ==，(3,1,0)BC =-．设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则13030n BB x z n BC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则3y =，3z =-，有(1,3,3)n =-．又(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量．∴||321|cos ,|||||771m n m n m n ⋅〈〉===⨯， ∴二面角1BC B Λ--的正弦值为32717-=．2．如图，已知三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，4SB SC ==，点D 为SC 的中点，2DA =．（1）求证：平面SAB ⊥平面ABC ；（2）求二面角S AB D --的正弦值．（1）证明：因为4SC =，点D 为SC 的中点，所以2SD DC ==，又2AC DA ==，所以ADC ∆是等边三角形，所以3DCA π∠=， 所以23SA =222SC SA AC =+，SA AC ⊥．又SAB SAC ∆≅∆，得SA AB ⊥，又AB AC A =，所以SA ⊥平面ABC ，又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC ．（2）解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴， AS 为z 轴，建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(1C 30)，(0S ，0，23)， 所以13(3)2D ，(2AB =，0，0)，13(2AD =3)， 设(m x =，y ，)z 为平面ABD 的法向量， 由2013302m AB x m AD x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1z =，得(0m =，2-，1)． 而平面SAB 的一个法向量(0n =，1，0)，25cos ,||||m n m n m n ⋅∴<>==-⋅设二面角S AB D --的平面角为θ，则二面角S AB D --的正弦值为2255sin 1()55θ=--=．3．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，平面APD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E 在AD 上，且2AB BC CD DE EA =====．（1）求证：平面PEC ⊥平面PBD ；（2）设直线PB 与平面PEC 所成的角为6π，求平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角的余弦值．解：（1）连接PE ，BD ．//AD BC ，PA PD =，E 在AD 上，且2AB BC CD DE EA =====．PE AD ∴⊥，四边形EBCD 为菱形，BD CE ⊥平面APD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥面ABCD ，BD PE ⊥且PE EC E =，DB ∴⊥面PEC ．DB ⊂平面PBD ，∴平面PEC ⊥平面PBD ；（2）易得四边形AECB ，BCDE 为菱形，ABE ∴∆、BCE ∆、CDE ∆均为正三角形． 设EC BD O =，可得1EO CO ==，3BO DO == 由（1）得BD ⊥面PEC ，BPO ∠为直线PB 与平面PEC 所成的角，∴6BPO π∠=． ∴223PB OB ==，2222PE PB BE =-=．2211HP PB BH ⇒=-=， 过P 作直线//m EC ，可得面APB ⋂平面PEC m =．取AB 中点H ，则PH m ⊥，又PE EC ⊥，可得PE m ⊥．HPE ∴∠平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角．在Rt PHE ∆中，22222cos 11PE HPE PH ∠=== 平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角的余弦值为222．．4．在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是一个菱形，且3ABC π∠=，2AB =，PA ⊥平面ABCD ．（1）若Q 是线段PC 上的任意一点，证明：平面PAC ⊥平面QBD ．（2）当平面PBC 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值为45时，求PA 的长．解：（1）证明：四边形ABCD 是一个菱形，AC BD ∴⊥，又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又AC PA A =，则BD ⊥平面PAC ， BD 在平面QBD 内，∴平面PAC ⊥平面QBD ；（2）设AC ，BD 交于点O ，分别以OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，以平行于AP 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)B C D -，设(0P ，1-，)(0)a a >，则(3,1,0),(0,2,)CB CP a =-=-， 设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则3020m CB x y m CP y az ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，可取(,3,23)m a a =， 同理可求平面PDC 的一个法向量为(,33)n a a =-，∴22224|cos ,|||||||5(412)m n m n m n a <>===+，解得22a =， ∴2PA =5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，CD⊥AD，BC∥AD，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝CD＝2，BC＝3．（1）E为PD的中点，证明AE与平面PCD垂直；（2）点F在PC上，且，求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．（1）证明：∵AP＝AD＝2，E为PD的中点∴△APD为等腰三角形，∴AE⊥PD，又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，CD⊥AE，∵AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PDC，AD⊂平面PDC，∴AE⊥平面PCD．（2）解：因为P A⊥底面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，所以P A、AD、CD两两垂直，以A点为原点，AD为y轴，AP为z轴，过A做平面ABCD内CD的平行线，交BC于点H，AH为x轴，建立如图所示空间直角坐标系．因为P A＝AD＝CD＝2，BC＝3，所以A（0，0，0），B（2，﹣1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，点F在PC上，且，所以E（0，1，1），．设平面AEF的一个法向量为，则，即，取b＝1，则a＝1，c＝﹣1，得．又平面AEP的一个法向量为，所以．所以二面角F﹣AE﹣P的正弦值为．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，四边形BDD1B1是矩形．（1）求证：BD⊥A1C；（2）若，点E在棱BB1上，且B1B＝4B1E，求二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值．证明：（1）连结AC，交BD于点O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC的中点，∵四边形BDD1B1是矩形，∴BD⊥DD1，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥DD1，∴BD⊥AA1，∵AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．解：（2）∵AA1＝A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，∵BD⊥平面ACC1A1，∴面ABCD⊥面ACC1A1，∵面ABCD∩面ACC1A1＝AC，∴A1O⊥面ABCD，∴A1O⊥OA，A1O⊥OB，∴OA，OB，OA1两两互相垂直，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1＝A1C＝2，BD＝2，AB＝，∴OB＝1，OA＝2，OA1＝2，∴A（2，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），C（﹣2，0，0），B1（﹣2，1，2），∴＝（﹣2，0，﹣2），＝（2，0，﹣2），＝（﹣），设平面A1CE的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∴二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值为．7．在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF∥AB，DE ＝EF＝1，DC＝2，∠EAD＝30°．（1）求证：CD⊥平面ADE；（2）在线段BD上是否存在点G，使得平面EAD与平面F AG所成的锐二面角的大小为30°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．证明：（1）∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，正方形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE．解：（2）由（1）知平面ABCD⊥平面AED．在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），F（），＝（2，2，0），＝（﹣），设，λ∈[0，1]，则＝（2λ﹣2，2λ，0），设平面F AG的一个法向量＝（x，y，z），则，令x＝﹣，得＝（﹣），平面EAD的一个法向量＝（0，1，0），由已如得cos30°＝＝＝，化简可得：9λ2﹣6λ+1＝0，解得，∴＝．8.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AD＝CD＝PD＝2AB＝2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB．（2分）因为AB∥CD，AD⊥CD，所以AD⊥AB．（4分）因为PD∩AD＝D，（5分）所以AB⊥平面P AD．（6分）（Ⅱ）解：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，（7分）所以以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），（8分）所以．设平面PBC的法向量为，，令x＝1，于是．（10分）因为PD⊥平面ABCD，所以平面ABC的法向量为，（11分）所以．（12分）由题知二面角P﹣BC﹣A为锐角，所以其余弦值是．（13分）。
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析试题
高二数学二面角、两平面垂直的断定和性质例题解析本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一. 本周教学内容：二面角、两平面垂直的断定和性质二. 重点、难点：重点：1. 二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱。
二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫直二面角。
2. 作二面角的平面角常有以下方法：①假设构成二面角的两个面有特殊性〔如等腰三角形或者直角三角形〕，可根据特殊图形的性质作出平面角。
②假设二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角，称为垂面法。
③假设二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或者它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。
④由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出〔或者找出〕垂直于棱的射线，得到二面角的平面角。
⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。
3. 两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。
作用：①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。
②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。
4. 〔1〕两个平面垂直的断定定理假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的断定定理不仅是断定两个平面互相垂直的根据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的根据。
由断定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为证线面垂直。
〔2〕性质定理假如两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
简言为：“面面垂直，那么线面垂直〞。
难点：1. 二面角平面角的作法与计算。
2. 断定定理和性质定理的应用。
【典型例题】例1. 如图。
AC为圆O的直径，B，D为圆上在AC两侧的两个点，SA⊥平面ABCD，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相垂直的各对平面并说明理由。
二面角2练习及答案
⼆⾯⾓2练习及答案⼆⾯⾓练习2班级姓名1.如图，已知AB⊥平⾯BCD，BC⊥CD，M是CD的中点．则⼆⾯⾓A－CD－B的平⾯⾓是() A．∠ADB B．∠BDC C．∠AMB D．∠ACB【答案】D【解析】已知AB⊥平⾯BCD，可知AB⊥CD，⼜BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平⾯ABC.AC?平⾯ABC，∴CD⊥AC，由⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义可知，⼆⾯⾓A－CD－B的平⾯⾓是∠ACB.故选D.2.在⼆⾯⾓α－l－β中，A∈α，AB⊥平⾯β于B，BC⊥平⾯α于C，若AB＝6，BC＝3，则⼆⾯⾓α－l－β的平⾯⾓的⼤⼩为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D【解析】如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平⾯ABC，设平⾯ABC∩l＝D，则∠ADB为⼆⾯⾓α－l－β的平⾯⾓或补⾓．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴⼆⾯⾓⼤⼩为60°或120°.3.如图所⽰，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平⾯ABC，∠BAC＝90°，则⼆⾯⾓B－PA－C的⼤⼩为()A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】A【解析】∵PA⊥平⾯ABC，BA，CA?平⾯ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为⼆⾯⾓B－PA－C的平⾯⾓．⼜∠BAC＝90°，即⼆⾯⾓B－PA－C的⼤⼩为90°，故选A.4.从空间⼀点P向⼆⾯⾓α－l－β的两个⾯α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂⾜，若∠EPF ＝60°，则⼆⾯⾓的平⾯⾓的⼤⼩是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定【答案】C【解析】若点P在⼆⾯⾓内，则⼆⾯⾓的平⾯⾓为120°；若点P在⼆⾯⾓外，则⼆⾯⾓的平⾯⾓为60°.5.过边长为1的正⽅形ABCD的顶点A，作线段EA⊥平⾯ABCD，若EA＝1，则平⾯ADE与平⾯BCE所成⼆⾯⾓的⼤⼩为()A．30°B．45°C．60°D．150°【答案】B【解析】如图所⽰．已知EA⊥平⾯ABCD，所以平⾯EAB⊥平⾯ABCD，则平⾯ADE与平⾯BCE所成⼆⾯⾓的平⾯⾓即为∠AEB，⼜EA＝1，AB＝1，∠EAB＝90°，所以∠AEB ＝45°.故选B.6.如图，四棱锥P－ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PD⊥平⾯ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上⼀点，当⼆⾯⾓P －EC－D为45°时，AE等于()A．1B．12C．2－2D．2－3【答案】D【解析】过点D作DF⊥CE于点F，连接PF，因为PD⊥平⾯ABCD，所以DF是PF在平⾯ABCD内的投影，因为DF⊥CE，所以PF⊥CE，可得∠PFD为⼆⾯⾓P－EC－D的平⾯⾓，即∠PFD＝45°.在Rt△PDF中，PD＝DF＝1，因为在矩形ABCD中，△EBC∽△CFD，所以DFBC ＝CDEC，得EC＝CD·BCDF＝2.在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE＝2?BC2＝3，所以AE＝AB－BE＝2－3，故选D.7.已知PA垂直于矩形ABCD所在平⾯，PA＝3，AB＝2，BC＝23，则⼆⾯⾓P－BD－A的正切值为()A．1B．2C．212D．3【答案】D【解析】过A作AH⊥BD于H，连接PH，因为PA⊥平⾯ABCD，所以∠PHA即为⼆⾯⾓P－BD－A的平⾯⾓．在直⾓△PHB中，因为PA＝3，AH＝AB×ADBD ＝2×234＝3所以tan∠PHA＝PAAH ＝3＝3.故选D.8.在平⾯四边形ABCD中，AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，AB⊥AD，沿BD将△ABD折起，使得AC＝1，则⼆⾯⾓A－BD－C的平⾯⾓的正弦值为________．【答案】63【解析】在平⾯四边形ABCD中，取BD的中点E，由条件知A、E、C共线，且为BD的垂直平分线，⼜在△ABD中，AB⊥AD，AB＝AD＝1，∴BD＝2，∴AE＝12BD＝22.在△CBD中，BC＝DC＝2，∴CE＝62，沿BD折叠后，∠AEC为⼆⾯⾓A－BD－C的平⾯⾓，⼜AC＝1，∴在△AEC中，AE2＋AC2＝CE2，∠EAC＝90°，∴sin∠AEC＝ACEC ＝6＝63.9.三棱锥P－ABC的两侧⾯PAB、PBC都是边长为2的正三⾓形，AC＝3，则⼆⾯⾓A－PB －C的⼤⼩为________．【答案】60°【解析】如图所⽰，取PB的中点M，连接MA、MC，由于△PAB、△PBC都是边长为2的正三⾓形，∴PB⊥MA，PB⊥MC，且MA＝MC＝3，∴∠AMC即为⼆⾯⾓A－PB－C的平⾯⾓．⼜AC＝3，∴△MAC为正三⾓形，∠AMC＝60°.10.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱都与底⾯垂直，且有AA1＝AB＝BC＝AC，点E是线段BB1的中点，则平⾯C1EA与底⾯ABC所成的⼆⾯⾓的⼤⼩(锐⾓)是________．【答案】45°【解析】在平⾯BCC1B1中，延长C1E与直线BC交于D点，则AD为平⾯C1EA 与平⾯ABC的交线．∵AA1＝AB ＝BC＝AC，点E是线段BB1的中点，∴BD＝BC＝AB，∴△CAD是直⾓三⾓形，∠CAD＝90°，∴AC⊥AD.⼜CC1⊥平⾯ABC，∴CC1⊥AD，CC1∩AC＝C，∴AD⊥平⾯AA1C1C，∴AC1⊥AD，∴∠CAC1是平⾯C1EA与底⾯ABC所成的⼆⾯⾓的平⾯⾓．在直⾓三⾓形ACC1中，CC1＝AC，∴tan∠C1AC＝CC1AC＝1，即∠CAC1＝45°.故答案为45°.11.在正⽅体ABCD－A1B1C1D1中，截⾯A1BD与底⾯ABCD所成的⼆⾯⾓A1－BD－A的正切值为________．【答案】2【解析】连接AC交BD于点O，如图所⽰．因为A1O⊥BD，AO⊥BD，所以∠A1OA即为⼆⾯⾓A1－BD－A的平⾯⾓，在△A1OA中，设AA1＝a，则AO＝22a，所以⼆⾯⾓A1－BD－A的正切值为2.12.如图，已知四边形ABCD是正⽅形，PA⊥平⾯ABCD.(1)求⼆⾯⾓B－PA－D的平⾯⾓的度数；(2)求⼆⾯⾓B－PA－C的平⾯⾓的度数．【答案】(1)∵PA⊥平⾯ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为⼆⾯⾓B－PA－D的平⾯⾓．⼜由题意知∠BAD＝90°，∴⼆⾯⾓B－PA－D的平⾯⾓的度数为90°.(2)∵PA⊥平⾯ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为⼆⾯⾓B－PA－C的平⾯⾓．⼜四边形ABCD为正⽅形，∴∠BAC＝45°.即⼆⾯⾓B－PA－C的平⾯⾓的度数为45°. 13.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.2(1)证明：DC1⊥BC；(2)求⼆⾯⾓A1－BD－C1的⼤⼩．【答案】(1)证明由题设知，三棱柱的侧⾯为矩形．由于D为AA1的AA1，可得D C12＋DC2＝C C12，中点，故DC＝DC1.⼜AC＝12所以DC1⊥DC.⽽DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以DC1⊥平⾯BCD.因为BC?平⾯BCD，所以DC1⊥BC.(2)解DC1⊥BC，CC1⊥BC?BC⊥平⾯ACC1A1?BC⊥AC，取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，A1C1＝B1C1?C1O⊥A1B1，⾯A1B1C1⊥⾯A1BD?C1O⊥⾯A1BD，⼜∵DB?⾯A1DB，∴C1O⊥BD，⼜∵OH⊥BD，∴BD⊥⾯C1OH，C1H?⾯C1OH，∴BD⊥C1H，得点H与点D重合，且∠C1DO是⼆⾯⾓a，C1D＝2a＝2C1O?∠C1DO＝30°，A1－BD－C1的平⾯⾓，设AC＝a，则C1O＝22故⼆⾯⾓A1－BD－C1的⼤⼩为30°.14.如图所⽰，三棱锥P－ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝6.(1)求证：PD⊥平⾯ABC；(2)求⼆⾯⾓P－AB－C的正切值．【答案】(1)证明连接BD，∵D是AC的中点，PA＝PC＝5，∴PD⊥AC.∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.∴BD ＝12AC＝2＝AD.∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝5，∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平⾯ABC.(2)解取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点，知DE∥BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.∵PD⊥平⾯ABC，∴PD⊥AB.⼜DE∩PD＝D，∴AB⊥平⾯PDE，∴PE⊥AB.∴∠PED是⼆⾯⾓P－AB－C的平⾯⾓．在Rt△PED中，DE＝12BC＝62，PD＝3，∠PDE＝90°，∴tan∠PED＝PDDE＝2.∴⼆⾯⾓P－AB－C的正切值为2.15.如图所⽰，四棱锥P－ABCD的底⾯ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底⾯ABCD，PA＝3.求⼆⾯⾓A－BE－P的⼤⼩．【答案】如图所⽰，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°，知△BCD是等边三⾓形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.⼜AB∥CD，所以BE⊥AB.⼜因为PA⊥平⾯ABCD，BE?平⾯ABCD，所以PA⊥BE.⽽PA∩AB＝A，因此BE⊥平⾯PAB.因为PB?平⾯PAB，所以PB⊥BE.⼜AB⊥BE，所以∠PBA是⼆⾯⾓A－BE－P的平⾯⾓．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°.故⼆⾯⾓A－BE－P的⼤⼩是60°.16.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底⾯ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平⾯PAC.(2)是否存在点E，使得⼆⾯⾓A—DE—P为直⼆⾯⾓？并说明理由．【答案】(1)∵PA⊥底⾯ABC，∴PA⊥BC.⼜∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.⼜∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平⾯PAC.(2)∵DE∥BC，⼜由(1)知，BC⊥平⾯PAC，∴DE⊥平⾯PAC.⼜∵AE?平⾯PAC，PE?平⾯PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为⼆⾯⾓A－DE－P的平⾯⾓．∵PA⊥底⾯ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在⼀点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得⼆⾯⾓A－DE－P为直⼆⾯⾓．17.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底⾯的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.(1)求点C到平⾯A1ABB1的距离；(2)若AB1⊥A1C，求⼆⾯⾓A1－CD－C1的平⾯⾓的余弦值．【答案】(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，⼜CD⊥AA1，故CD⊥平⾯A1ABB1，所以C到平⾯A1ABB1的距离CD＝2?BD2＝5.(2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1.⼜由(1)知CD⊥平⾯A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的⼆⾯⾓A1－CD－C1的平⾯⾓．因为CD⊥平⾯A1ABB1，AB1?平⾯A1ABB1，所以AB1⊥CD，⼜已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，所以AB1⊥平⾯A1CD，故AB1⊥A1D，从⽽∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此AA1AD ＝A1B1AA1，即AA12＝AD·A1B1＝8，得A1A＝22.从⽽A1D＝ AA12+AD2＝23，所以，在Rt△A1DD1中，cos∠A1DD1＝DD1A1D ＝AA1A1D ＝6 3.。
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高二数学二面角专项练习题及参考答案
班级_____________姓名_____________
一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，
或逆定理作出二面角的平面角；
例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。
夹的角就是二面角的平面角
例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD PA=AB=a ，求B-PC-D 的大小。
四、投影面积法:一个平面a 上的图形面积为S ，它在另一个平面b 上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为q ，则S'=Scosq 或cosq=
/
S
S 例4在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD 与平面PDC 所成二面角的大小。
方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展习] 二面角是指（）
A 两个平面相交所组成的图形
B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形
C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形
D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（）
A 1条或2条交线
B 2条或3条交线
C 仅2条交线
D 1条或2条或3条交线
3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是
( )
A 5
B 20
C 210
D 2
25 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为（） A 300 B 450 C 600 D 12005．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=2
6， 则弧度数为3π的二面角是（） A D-AC-B B A-CD-B
C A-BC-
D D A-BD-C
6．△ABC 在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（ ）
A S △A1B1C1=S △ABC·sinθ
B S △A1B1C1= S △ABC·cosθ籟丛妈羥为贍偾蛏
C S △ABC =S △A1B1C1·sinθ
D S △ABC =S △A1B1C1·cosθ預頌圣鉉儐歲龈讶骅7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，
A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的
大小为γ，则有（）
A.sinα=sinβsinγ
B.sinβ=sinαsinγ
C.sinγ=sinαsinβD 以上都不对8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD=。
9．已知△ABC 和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，AB ⊂α，且平面ABC 与α所成角为300，则点C 到平面α的距离为。
10．正方体ABCD —A1B1C1D1中，平面AA1C1C 和平面A1BCD1所成的二面角（锐角）为。
11．已知菱形的一个内角是600，边长为a ，沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为。
12．如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC1，若∠ABC1=θ，BC1=a,且
平面ABC 与平面α所成的角为φ，求点C 到平面α的距离
13.ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。
求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大
小
14．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC ，它与
棱AB 成450角，AC 与平面β成300角，求二面角α-AB-β
的度数。
15．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a 和a 2，到棱的距离为2a ，则此二面角的度数是。
A B C D
A B M N P l
16．把等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，若∠BAC=600，则此二面角的度数是。
17．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成600的二面角，求直线BD 与平面ABEF 所成角的正弦值。
18．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1中，求：（1
所成角的大小；（2）二面角C1—BD —C 的正切值。
二面角专项训练例题分析
1. 过B 作BH ⊥PC 于H ，连结DH DH ⊥PC 故∠BHD cos ∠BHD ＝)2222222BH DH BD BH BD ⎫⎫+-⎪⎪+-==
2.PA ⊥平面BD ，过A 作AH ⊥BC 于H ，连结PH ，则PH ⊥BC 又AH ⊥BC ，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角，在Rt △PHA 中，tan ∠PHA=PA/AH=22
a a
=3.过BD 作平面BDH ⊥PC 于H ∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角. 图及计算同例1
4.AD ⊥面PBA 于A ，BC ⊥平面BPA 于B ，故△PBA 是△PCD 在平面PBA 上的射影 设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ，则cosθ=2PBA PCD s S ∆∆=θ=45°
5．将四棱锥P-ABCD 补形得正方体ABCD-P1A1B1C1，则面PAB∩面PCD=P C1，且P C1⊥PA 、P C1⊥PD ，于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。
在Rt △PAD 中，PA=AD ，则∠APD=45°。
即平面BAP 与平面PDC 所成二面角的大小为45°。