2021届河南省信阳市普通高中高三上学期第一次教学质量检测数学(文)试题(解析版)

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2021-2022学年河南省信阳市罗山县高三(上)第一次调研数学试卷(文科)(解析版)

2021-2022学年河南省信阳市罗山县高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一、单选题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}2．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．B．e a＞e b C．a b＞b a D．lna＞lnb＞0 4．已知a＝log20.3，b＝log23，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增6．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7107．设命题p：∀x，x．若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（﹣∞，D．（﹣∞，2]8．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．9．将函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝（）A．B．C．D．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f （x）]的值域为（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1} 11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则（）A．f（2021）＝0B．2是f（x）的一个周期C．当x∈（1，3）时，f（x）＝（1﹣x）3D．f（x）＞0的解集为（4k，4k+2）（k∈Z）12．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝e x和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论：①x1+x2＝2；②；③x1lnx2+x2lnx1＜0；④，则其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若α满足tan（α+）＝，则sin2α＝．14．已知函数f（x）＝，若f（t）+f（﹣1）＝0，则t＝．15．若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三、解答题17．（1）设集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，求实数a的取值集合；（2）设A＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，若A⊆B，求实数a的取值范围．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．19．已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，求实数k的取值范围．20．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．21．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．22．已知函数f（x）＝ax a lnx（a＞0）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．参考答案一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【分析】先利用绝对值不等式的解法求出集合A，再由集合交集的定义求解即可．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜3}＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝{2，3}．故选：B．2．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．解：∵函数y＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵ω＝2，∴T＝π，故选：C．3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．B．e a＞e b C．a b＞b a D．lna＞lnb＞0【分析】求不等式a＞b＞0成立的一个充分不必要条件，首先分清条件和结论，求的是条件，已知的是结论；根据充分不必要条件的定义，再看条件能推出结论，但结论推不出条件的即满足．解：对于A，推不出a＞b＞0；但a＞b＞0能推出，故是a＞b＞0的必要不充分条件；对于B，e a＞e b推不出a＞b＞0；但a＞b＞0能推出e a＞e b，故e a＞e b是a＞b＞0的必要不充分条件；对于C，当a＝3，b＝﹣1时，a b＝＞b a＝﹣1，故a b＞b a推不出a＞b＞0；反之，当a ＝4，b＝2时，a b＝b a，故a＞b＞0推不出a b＞b a，故a b＞b a是a＞b＞0成立的既不充分也不必要条件；对于D，lna＞lnb＞0⇔a＞b＞1，由于a＞b＞1⇒a＞b＞0，但a＞b＞0推不出a＞b＞1，所以lna＞lnb＞0是a＞b＞0的充分不必要条件；故D正确．故选：D．4．已知a＝log20.3，b＝log23，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝log23＞log22＝1，0＝log0.21＜c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：B．5．指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增【分析】根据指数函数f（x）的单调性判定a的取值范围，从而结合二次函数的单调性，得出正确选项．解：∵指数函数f（x）＝a x在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，函数y＝在（﹣∞，0）上递增，在区间（0，+∞）上递减；∴g（x）在区间（﹣∞，0）上递减，在区间（0，+∞）上递增；故选：C．6．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710【分析】对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．7．设命题p：∀x，x．若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（﹣∞，D．（﹣∞，2]【分析】据所给的全称命题写出它的否定，根据命题否定是真命题，利用基本不等式求解不等式的最小值，即可得到a的范围．解：由题意可得，命题p：∀x，x．若￢p是∃x，x，是真命题，因为：∀x，x+≥2，当且仅当x＝1时，取得最小值，由命题否定是真命题，可知a≥2，故选：B．8．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．解：由f（x）＝0，解得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）＝（x2﹣2）e x，由f'（x）＝（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）＝（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x＝﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．9．将函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝（）A．B．C．D．【分析】可先计算出平移后的函数解析式，再根据三角函数的性质进行求解即可．解：函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度得，令，解得，当k＝0时，，所以与y轴最近的对称轴方程是，故选：C．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f （x）]的值域为（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【分析】先化简f（x）的解析式，利用不等式的性质，求出函数f（x）的值域，可得函数y＝[f（x）]的值域．解：∵f（x）＝＝﹣＝﹣，e x∈（0，+∞），∴∈（0，2），f（x）∈（﹣，），故函数y＝[f（x）]的值域为{﹣2，﹣1，0}，故选：C．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则（）A．f（2021）＝0B．2是f（x）的一个周期C．当x∈（1，3）时，f（x）＝（1﹣x）3D．f（x）＞0的解集为（4k，4k+2）（k∈Z）【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析f（x）的周期，可得B错误，再利用周期和解析式求出f（2021）的值，可得A错误，进而求出f（x）在区间[﹣1，3]上的解析式，可得C错误，利用周期性分析f（x）＞0的解集，可得D正确，即可得答案．解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又由f（2﹣x）＝f（x），则f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，B错误，又由x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝1，A错误，当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，则有f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3，则在区间[﹣1，1]上，f（x）＝x3，当x∈[1，3]时，2﹣x∈[﹣1，1]，则f（2﹣x）＝（2﹣x）3，又由f（2﹣x）＝f（x），则f（x）＝f（2﹣x）＝（2﹣x）3，C错误，综合可得：f（x）＝，在区间[﹣1，3]上，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，又由f（x）是周期为4的周期函数，则f（x）＞0的解集为（4k，4k+2），D正确，故选：D．12．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝e x和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论：①x1+x2＝2；②；③x1lnx2+x2lnx1＜0；④，则其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据函数y＝e x和y＝lnx的图象关于y＝x对称，直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，可得A（x1，y1）、B（x2，y2），关于y＝x对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造y＝，判断其单调性，即可判断③，由x1•x2＝x1•，判断其单调性，即可判断④．解：由题意直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，函数y＝e x和y＝lnx的图象关于y＝x对称，∴A（x1，y1）、B（x2，y2），关于y＝x对称，则x1+x2＝2；∴①正确；对于②：由，因为x1≠x2，则；∴②正确；对于③：构造函数g（x）＝（x＞0）；则g（x）′＝，当g（x）′＞0时，可得x∈（0，e），∴函数g（x）在（0，e）单调递增；当g（x）′＜0时，可得x∈（e，+∞），∴函数g（x）在（e，+∞）单调递减；∵0＜x1＜，1＜x2＜2，那么：∴③正确；对于④：x1•x2＝x1•∵0＜x1＜，令函数h（x）＝x•e x则h′（x）＝e x（1+x）当h（x）＜′0时，可得x∈（﹣∞，﹣1），∴函数h（x）在（0，e）单调递减；当h（x）′＞0时，可得x∈（﹣1，+∞），∴函数h（x）在（﹣1，+∞）单调递增；∴h（x）max＜h（）＝∴不对，即④不对．故选：B．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若α满足tan（α+）＝，则sin2α＝﹣．【分析】先利用两角和的正切公式求得tanα的值，再结合二倍角公式，以及“同除余弦可化切”的思想，即可得解．解：因为tan（α+）＝＝，所以tanα＝﹣，所以sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）＝，若f（t）+f（﹣1）＝0，则t＝．【分析】根据题意，求出f（﹣1）的值，计算可得f（t）＝﹣2，结合函数的解析式分t ≤0与t＞0两种情况讨论，求出t的值，综合可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣1）＝21＝2，若f（t）+f（﹣1）＝0，则f（t）＝﹣2，若t≤0，则f（t）＝2﹣t≥1，f（t）＝﹣2无解，若t＞0，则f（t）＝log2t＝﹣2，则t＝，综合可得：t＝，故答案为：．15．若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为．【分析】由题意利用两个点关于y轴对称的性质，可得cosθ＝﹣cos（），sinθ＝sin（），再利用诱导公式可得θ＝kπ+，k∈Z，从而得出结论．解：∵点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，∴cosθ＝﹣cos（），sinθ＝sin（），∴θ＝2kπ+π﹣（θ+），即θ＝kπ+，k∈Z，则绝对值最小的θ值为，故答案为：．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（1，1+）．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性变化情况，作出函数f（x）的图象，由已知方程得f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，利用函数图象交点的个数与方程根的个数得m的范围．解：化简得f（x）＝，当x≥0时，f（x）≥0，，若0＜x＜1时，f′（x）＞0，若x＞1时，f′（x）＜0，所以当x＝1时，函数f（x）有极大值f（1）＝，当x＜0时，＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）的图象如图所示，由方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0得，（f（x）﹣（m﹣1））（f（x）﹣1）＝0，所以f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由图象知方程f（x）＝1有1个解，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰好有4个不相等的实数根，则f（x）＝m﹣1要有三个解，由函数图象知0＜m﹣1＜，所以1＜m＜1+．故答案为：（1，1+）三、解答题17．（1）设集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，求实数a的取值集合；（2）设A＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（2）由A∩B＝A，得A⊆B，则A＝B，即可求实数a的取值范围．（2）由题意可得B＝（﹣1，4），分a＞1，a＝1，a＜1三种情况讨论，并取其并集，即可求解．解：（1）∵A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，得A⊆B，而B集合为一元二次方程的解集，A集合也是一元二次方程的解集且A集合有两个元素，又因为A⊆B，所以B集合里必有两个元素，所以必有A＝B，即，得a＝﹣2．（2）由题意可得B＝（﹣1，4），∵x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，A＝（1，a），∵A⊆B，∴1＜a≤4，当a＝1时，A＝∅，满足条件，当a＜1时，A＝（a，1），∵A⊆B，∴﹣1≤a＜1，综上所述，a∈[﹣1，4]．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．【分析】（1）根据题意，p∧q是真命题，即p真q真，求出不等式的交集即可；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分情况讨论，最后求出并集．解：（1）p真，则，或得；q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，∴p∧q真，故a的取值范围为；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，若p假q假，则，得a≤﹣2；若p真q真，则，所以，；综上a≤﹣2或．故a的取值范围是．19．已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，求实数k的取值范围．【分析】（1）解法一、利用奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出k的值；解法二、由f（0）＝0求得k的值，再根据奇函数的定义验证即可；（2）不等式化为k﹣1≥﹣对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；利用换元法求出右边函数的最大值，即可求得实数k的取值范围．解：（1）解法一、函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）对任意的x∈R恒成立，即（k﹣1）2﹣x+2x＝﹣（k﹣1）2x﹣2﹣x对任意的x∈R恒成立；整理得k（22x+1）＝0对任意的x∈R恒成立，所以k＝0．解法二、由奇函数的定义知，f（0）＝0，即（k﹣1）20+20＝0，解得k＝0，此时f（x）＝2﹣x﹣2x，x∈R；因为f（﹣x）＝2x﹣2﹣x＝﹣（2﹣x﹣2x）＝﹣f（x），所以f（x）是定义域R上的奇函数；综上知，k＝0．（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，即不等式（k﹣1）•2x+2﹣x≥4对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；也即不等式k﹣1≥﹣对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；设＝t，则t∈[，2]，得函数g（t）＝﹣t2+4t，t∈[，2]；所以k﹣1≥g（t）max；由函数g（t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4在t∈[，2]上单调递增，所以g（t）max＝g（2）＝4，即k﹣1≥4，解得k≥5；所以实数k的取值范围是[5，+∞）．20．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．【分析】（Ⅰ）由y＝[f（x+）]2，可得y＝1﹣sin2x，然后利用周期公式求出周期；（Ⅱ）y＝f（x）f（x﹣）＝sin（2x﹣）+，由x∈[0，]，得到的取值范围，再利用整体法求出y＝f（x）f（x﹣）的最大值．解：函数f（x）＝sin x+cos x＝，（Ⅰ）函数y＝[f（x+）]2＝[2＝2cos2（x+）＝1+cos[2（x+）]＝1+cos（2x+）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T ＝；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x ﹣）＝＝sin x+cos x）sin x ＝＝＝sin（2x ﹣）+，因为x，所以2x ﹣，所以当2x ﹣，即x ＝时，f（x）max＝1+．21．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x ）＝，利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x ﹣＝，令h′（x ）＝＝0，解得x ＝，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h（x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）＝﹣aln ＝﹣ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0）＝，即＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小值增所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）＝ln ﹣+1＝﹣+1＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．22．已知函数f（x）＝ax a lnx（a＞0）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．【分析】（1）由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率k＝f′（e），利用点斜式方程求出切线的方程；（2）将不等式转化为x a lnx a≤e x•lne x，构造函数g（x）＝xlnx，利用导数求得g（x）单调递增，从而不等式等价于x a≤e x对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，令h（x）＝，利用导数求得h（x）的最小值，从而可得a的取值范围，即可得解．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，得f′（x）＝lnx+1，则f（e）＝e，f′（e）＝2，所以y＝f（x）在x＝e处的切线方程为y＝2x﹣e．（2）当a＞0且x＞1时，由于f（x）≤xe x⇔ax a lnx≤xe x⇔x a lnx a≤xe x⇔x a lnx a≤e x•lne x，构造函数g（x）＝xlnx，得g′（x）＝lnx+1＞0（x＞1），所以g（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，f（x）≤xe x⇔x a lnx a≤e x•lne x⇔g（x a）≤g（e x），f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，又x a＞1，e x＞1，再结合g（x）的单调性可知，x a≤e x对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，令h（x）＝，则h′（x）＝，h′（x）＞0⇒x＞e，h′（x）＜0⇒1＜x＜e，则h（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，故h（x）min＝h（e）＝e，故a≤e，所以a的最大值为e．。

2021届河南省信阳市高三上学期第一次教学质量检测试题数学(文)

★2020年10月15日2021届河南省信阳市高三上学期第一次教学质量检测试题.数学(文科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|y，则A∩B等于A.[－1，2]B.(2，3]C.[1，2)D.[1，3)2.若函数f(x)＝(m2－2m－2)x m－1是幂函数，则m等于A.－1B.3或－1C.1D.33.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，则g(x0)等于A.4B.5C.2D.34.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人数也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 A.①②③ B.②③ C.①② D.③5.已知a ，b 为非零向量，则“a ·b>0”是“a 与b 夹角为锐角”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知p ：∃x 0>1使102log x >12；q ：∀x ∈R ，e x >x ，则下列说法中正确的是 A.p 真q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 假 D.p 假q 真 7.在△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于 A.1010 B.105 C.31010 D.558.我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

2021年高三上学期第一次质量检测数学文试题含解析

2021年高三上学期第一次质量检测数学文试题含解析【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、导数的综合应用、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、简单的线性规划、立体几何、充分条件与必要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)【题文】1、已知全集U=R，则正确表示集合M={－1,0,1}和关系的韦恩图是( )【知识点】集合的关系A1【答案解析】B解析：因为，所以，则选B.【思路点拨】先求出集合N，再结合两个集合的关系判断其韦恩图即可.【题文】2、已知，向量与垂直，则实数的值为（）A． B．3 C． D．【知识点】向量的数量积F3【答案解析】A解析：因为向量与垂直，则，得λ=-3，所以选A.【思路点拨】由两向量垂直，则两向量的数量积等于0，是解答本题的关键.【题文】3、“”是“且”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件A2【答案解析】A解析：因为“”不一定有“且”，若“且”，由不等式的性质可知必有“”，所以选A.【思路点拨】判断充要条件时，可先分清命题的条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】4、已知角为第二象限角，且，则的值为（）A． B． C． D．【知识点】诱导公式，同角三角函数基本关系式C2【答案解析】B解析：因为，所以，又因为角为第二象限角，所以解得，则，所以选B. 【思路点拨】由角的正切求其余弦，可通过同角三角函数关系式的商数关系及平方关系得到正弦和余弦的方程组，解方程组即可.【题文】5、已知各项为正的等比数列满足·=，=1，则= （）A． B．2 C． D．【知识点】等比数列D3【答案解析】A解析：因为，又数列的各项为正数，所以公比,则，所以选A .【思路点拨】在遇到等比数列时，可先通过项数观察有无性质特征，有性质的用性质进行解答，无性质特征的用公式进行转化.【题文】6、设满足则( )A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】B解析：因为不等式组表示的平面区域如图ABCD区域，显然当动直线经过点A （2,0）时，目标函数取最小值为2，无最大值，所以选B..【思路点拨】解答线性规划问题，主要是利用数形结合的方法寻求目标函数的最值.【题文】7、若函数，则下列结论正确的是（） A ．，在上是增函数B ．，在上是减函数 C ．，是偶函数 D ．，是奇函数【知识点】导数的应用、函数的单调性与奇偶性B3 B4 B12【答案解析】C 解析：因为，所以当a ≤0时，导数大于0，在上是增函数，当a ＞0时，函数在（0，+∞）上不是单调函数，所以排除A,B ，当a=0时函数为偶函数，所以C 正确，当a ≠0时既不是奇函数也不是偶函数，所以D 错误，综上知选C.【思路点拨】已知解析式判断函数的单调性，可利用导数进行判断，判断函数的奇偶性可利用其定义进行判断.【题文】8、给出四个函数，分别满足①；②； ③；④，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是（）A．①—M ②—N ③—P ④—Q B ．①—N ②—P ③—M ④—Q C ．①—P ②—M ③—N ④—QD ．①—Q ②—M ③—N ④—P【知识点】指数函数、对数函数、幂函数B6 B7 B8 【答案解析】D 解析：图像M 为指数函数图像，由指数的运算性质得M 与②对应，则排除A,B,又图像Q 为过原点的一次函数，设f(x)=ax,则有f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y),所以Q 与①对应，则排除C,所以选D. 【思路点拨】抓住指数函数、对数函数及幂函数的图像特征及对应的运算法则，利用排除法，即可确定选项.【题文】9、已知等差数列的前n 项和S n 满足，则下列结论正确的是（） A.数列有最大值 B. 数列有最小值 C. D. 【知识点】等差数列D2【答案解析】D 解析：因为，结合等差数列的前n 项和的二次函数特征得函数的对称轴为，则，得，所以选D.【思路点拨】抓住等差数列n 项和的二次函数特征，利用对称性解答即可. 【题文】10、定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ，则f （xx ）的值为( )A. -1B. 0C.1D. 2 【知识点】函数的周期性、分段函数B4【答案解析】C 解析：因为x ＞0时，f(x)=f(x ﹣1) ﹣f(x ﹣2),所以x ＞1时，f(x ﹣1)=f(x ﹣2) ﹣f(x ﹣3)，则有f(x)=f(x ﹣1) ﹣f(x ﹣2)= ﹣f(x ﹣3)=f(x ﹣6)，所以当x ＞4时以6为周期，则f （xx ）=f(336×6－1)=f(－1)=1，所以选C.【思路点拨】由递推关系求自变量较大的函数值时，可考虑利用递推关系发现其周期特征，再进行解答.MQN二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）【题文】11、不等式的解集是_______________.【知识点】一元二次不等式E3【答案解析】 C 解析：由不等式得，解得，所以不等式的解集为.【思路点拨】解一元二次不等式，一般先把不等式转化为二次项系数大于0，再结合对应的二次函数的图像进行解答.【题文】12、函数在点（）处的切线方程是_______________.【知识点】导数的应用B12【答案解析】y=－x 解析：因为，所以切线的斜率为，则所求的切线方程为即y=－x.【思路点拨】抓住切线的斜率等于在切点处的导数值，即可求出切线斜率，进而得出切线方程.【题文】13、数列的通项公式为，若为递增数列，则实数的取值范围是___________. 【知识点】数列的单调性D1【答案解析】解析：因为数列的通项公式为，为递增数列，所以，即，而，所以.【思路点拨】数列单调递增的充要条件是对于任意的n,恒成立，再利用不等式恒成立求λ的范围即可.【题文】14、如图，平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，F 在线段BC 上，且BC=3BF 。

2021年高三上学期第一次统一考试数学(文)试题含答案

2021年高三上学期第一次统一考试数学（文）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合,集合为函数的定义域，则(A) (B) ( C) (D)2. 已知命题：直线，不相交，命题：直线，为异面直线，则是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3. 在等差数列中，,则的前5项和=( )（A）7 （B）15 （C）20 （D）25则这个三棱柱的体积等于（A）（B）（C）（D）5．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28 Array粒，则这批米内夹谷约为（A）134石（B）169石（C）338石（D）1365石6.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为(A) (B) (C) (D)7. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）8.已知是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（A ）（B ）（C ）（D ）9. 已知F 是椭圆的一个焦点，B 是短轴一个端点，线段BF 的延长线交椭圆于点D ，且，则椭圆的率心率是（A ）（B ）（C ）（D ）10.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是（）11．P 是所在的平面上一点，满足，若，则的面积为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）16 12. 已知函数在区间内存在零点，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D)宁城县高三年级统一考试（xx.10.20）数学试题（文科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是______________ 14．已知实数列等比数列,其中成等差数列.则公比_______15．已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为___________. 16．已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则此三棱柱的体积为 .三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (Ⅰ)确定角C 的大小；(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18．（本小题满分12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：（Ⅰ）求该校教师在教学中不．经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？19．（本小题满分12分）如图，已知AB平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；（Ⅱ）设AB＝1，求多面体ABCDE的体积．20．（本小题满分12分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.21．（本小题满分12分）设函数的导函数为.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）设，讨论函数的单调性；四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（Ⅰ）求长；（Ⅱ）当⊥时，求证：.23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的最大距离.24．选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，，求证：．宁城县高三年级统一考试（xx.10.20）数学试题（文科）参考答案一、选择题：DBBA BCAD CCAC二、填空题：13、；14、；15、4；16、.三、解答题:17. 解：(1)由3a＝2c sin A及正弦定理得，3sin A＝2sin C sin A．-----------2分∵sin A≠0，∴sin C＝3 2，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3.------------------4分(2)∵C＝π3，△ABC面积为332，∴12ab sinπ3＝332，即ab＝6.①--------------------6分∵c＝7，∴由余弦定理得a 2＋b2－2ab cos π3＝7，即a2＋b2－ab＝7.②----------------------------9分由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.----------------12分18.解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，…………3分则，……………………5分．…………6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为（i=1，2），教龄在5至10年的教师为（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个．………………8分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B，包括的基本事件为，，，，，，，共8个，……………………10分则．所以恰有一人教龄在5年以下的概率是． -----------12分19．解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP//DE ，且FP ＝．又AB//DE ，且AB ＝∴AB//FP ，且AB ＝FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴AF //BP ． ……………4分又∵AF 平面BCE ，BP 平面BCE ，∴AF //平面BCE ． ……………6分（II ）∵直角梯形ABED 的面积为，C 到平面ABDE 的距离为，∴四棱锥C －ABDE 的体积为．即多面体ABCDE 的体积为．……………12分20.解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为 ………………3分（Ⅱ）设，，，设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得： ………………5分直线的方程为：，即，令，得，同理可得： …………8分又，12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++ ………11分所以，即为定值 ………………12分 21.（1）解：，令f /（x ）=0，得． ∵当时，f /（x ）＜0；当时，f /（x ）＞0， ∴当时，．----------------- 5分（2）F （x ）=ax 2+lnx+1（x ＞0），．①当a≥0时，恒有F /（x ）＞0，F （x ）在（0，+∞）上是增函数； ②当a ＜0时，令F /（x ）＞0，得2ax 2+1＞0，解得；P令F /（x ）＜0，得2ax 2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F （x ）在（0，+∞）上是增函数；当a ＜0时，F （x ）在上单调递增，在上单调递减．---12分四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.证明（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ， ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴，∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．…………………5分（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO ……………………10分 23. 解：⑴由得，∴……………2分由得.………………5分⑵在上任取一点，则点到直线的距离为|cos 3sin 4|)4|22d θθθϕ-+++==. ………………7分其中，∴当1，.………………10分 24.解：（1）当时，不等式为，不等式的解集为； ------------ 5分（2）即，解得，而解集是，，解得,所以所以． -------------- 10分3755792B5銵n366648F38輸39066989A颚x(282656E69湩20759 5117 儗 40767 9F3F 鼿35494 8AA6 誦25586 63F2 揲34069 8515 蔕32368 7E70 繰。

2021届河南省信阳市高三上学期第一次教学质量检测数学(文)试卷及答案

2021届河南省信阳市高三上学期第一次教学质量检测数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。

考试结束后．．．．．．．．．．．．。

．．．．．,．将本试卷和答题卡一并交回注意事项：1.答题前,考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上,并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。

第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A＝{x||x－2|≤1},B＝{x|y则A∩B等于A.[－1,2]B.(2,3]C.[1,2)D.[1,3)2.若函数f(x)＝(m2－2m－2)x m－1是幂函数,则m等于A.－1B.3或－1C.1是函数f(x)＝lnx＋x－4的3.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)＝[x]为取整函数,x零点,则g(x)等于A.4B.5C.2D.34.近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中国到“一带一路”沿线国家的游客人数也越来越多,如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 ②2013－2018年这6年中,2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016－2018年这3年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A.①②③B.②③C.①②D.③5.已知a,b 为非零向量,则“a ·b>0”是“a 与b 夹角为锐角”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知p ：∃x 0>1使102log x >12；q ：∀x ∈R,e x >x,则下列说法中正确的是 A.p 真q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 假 D.p 假q 真7.在△ABC 中,∠ABC ＝4π,AB ＝2,BC ＝3,则sin ∠BAC 等于 A.1010 B.105 C.31010 D.558.我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。

2021年高三上学期教学质量检测数学(文)试题含答案

2021年高三上学期教学质量检测数学（文）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共五页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名.准考证号等项在密封线内填写清楚。

2.选择题请按题号用2B 铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B 铅笔外，其余各题请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。

3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题答题区域的答案无效，在草稿纸.试题上答题无效。

4.保持字体工整，笔记清晰，卷面清洁，不折叠。

第I 卷（选择题共60分）一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数，，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2.已知命题，命题；则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.在等比数列{ }中,已知，则该数列前6项和=（） A ．31B ．63C ．127D ．1764.两向量,则在方向上的投影为( )A ．(－1，－15)B ．(－20, 36)C ．1613D ．1655. 函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6. 在区间[-5，5]内随机地取出一个数，使得的概率为( )A. B. C. D.7．若椭圆和双曲线C：有相同的焦点，且该椭圆经过点，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.8. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位9. 某三棱锥的侧（左）视图，俯视图如图所示，则该三棱锥正（主）视图的面积是（）A．2 B．3C．D.10．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，加工零件数x(个) 10 20 30 40 50加工时间y(分钟) 64 69 75 82 90经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是( )A.成正相关，其回归直线经过点(30，75)B.成正相关，其回归直线过点(30，76)C.成负相关，其回归直线经过点(30，76)D.成负相关，其回归直线过点(30，75) 11．设顶点都在一个球面上的三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2，则该球的表面积为（）A． B. C. D.12. 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则( )A．B．C．D．第II卷(90分)第（13）题~第（21）题为必考题，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

2021届河南省信阳市高三上学期调研考试(12月)数学(文)试题(解析版)

2021届河南省信阳市高三上学期调研考试（12月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|21xA x =>，{}2|560B x x x =+-<，则A B =（）A ．()1,0-B ．()0,6C ．()0,1D ．()6,1-【答案】C【分析】分别解出集合A 、B ，利用集合基本运算求交集即可. 【详解】{}{}{}0|21|22=|0xx A x x x x =>=>>，{}{}{}2|560|(6)(10|61B x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<），∴AB =()0,1．故选：C.2．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi -的模等于（） A ．2 B ．3C ．5D ．6【答案】C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可. 【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =. 所以()()2212125a bi i -=--=-+-=.故选：C3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元【答案】D【分析】根据统计图，逐项判断，即可得出结果.【详解】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 正确；由图可知，结余最高为7月份，为802060-=，故B 正确；由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由图可知，前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 错误.故选：D.4．在等比数列{}n a 中，12318a a a =，且86434a a a =+，则3a =（） A ．1 B ．2C ．±1D ．2±【答案】C【分析】依题意首先求出212a =，再根据86434a a a =+求出公比q ，即可得解；【详解】解：因为12318a a a =，所以3218a =，则212a =，设等比数列{}n a 的公比为q ，86434a a a =+，两边同除以4a ，得到42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q =±，所以321a a q ==±，故选：C5．已知命题p ：[]0,x π∀∈，sin x x a -<，命题q ：01,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，001x a x +>，若p q ∧为真命题，则a 的取值范围是（）A．3⎛⎫- ⎪⎝⎭B．3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意知，p ，q 均为真命题，设()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ，可求出当[]0,x π∈时函数的最大值，从而求出a 的取值范围；设()1g x x x=+，结合函数的单调性求出函数在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值，从而求出此时a 的取值范围，两个范围求交集即可选出正确答案.【详解】设()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ，当()0,x π∈，()max 2f x =，对于命题p ：[]0,x π∀∈，使得sin x x a <，若命题p 为真，则2a >；设()1g x x x =+，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x 单调递减，当(]1,3x ∈，()g x 单调递增，1522g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1033g =，命题q ：01,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，001x a x +>，若命题q 为真，则103a <．由于p q ∧为真命题，所以p ，q 均为真命题，所以1023a <<，故选:D ．【点睛】易错点睛:本题的易错点是对于命题q ，把存在问题当成了恒成立问题求解，即求1x x+的最小值，令a 小于最小值，导致最后结果错误.6．已知1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点，直线l：y =与双曲线C 在第一象限的交点为P ，且12F P F P ⊥，则双曲线C 的离心率为（） A1 B ．3C1D ．4【答案】C【分析】首先根据条件判断12PF F △的形状，再结合双曲线的定义，122PF PF a -=，求双曲线的离心率.【详解】∵12F P F P ⊥，∴1290F PF ∠=︒，∴1212F O c F P ==，直线l：y =的倾斜角为60︒，2OP OF c ==，所以2OPF 是等边三角形，2PF c =，∴1PF =，则)21a c =，所以1c e a ===. 故选：C7．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可，良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期（）（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3≈） A ．距今约在4011年到5730年之间 B ．距今约在3870年到11460年之间 C ．距今约在4011年到11460年之间 D ．距今约在2005年到5730年之间【答案】A【分析】由题意，衰变规律满足57302t N N -=⋅，要想碳14的质量是原来的12至35，对应得到5730t =和4011t =，所以得到正确的选项. 【详解】当5730t =时，100122N N N -=⋅=， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12，令035N N =，则15730325-=，∴2223log log 3log 50.757305t -==-≈-， ∴0.757304011t =⨯=，∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间，故选：A.8．已知函数()()21cos 222x f x x ϕϕ+=-++22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()g x 的值域为（）A ．(]1,2B ．(]1,2-C ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】首先利用三角恒等变换，化简函数，再根据函数的对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，求得函数的解析式，再根据图象的变换规律求得函数()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，再根据整体代入的方法求函数的值域.【详解】()()21cos sin 222x f x x ϕϕ+=-++()()1cos sin sin 226x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭， ∴36k ππϕπ-++=，∴6k πϕπ=+，∵22ππϕ-<<，∴6π=ϕ，∴()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，∵51818x ππ-<<，73636x πππ<+<，所以函数()g x 的值域为(]1,2-. 故选：B .【点睛】本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.9．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．92π C ．163πD ．254π【答案】C【分析】设球的半径为R ，根据题意知由与球心距离为12R 的平面截球所得的截面圆的面积是π，求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，可求出该球的半径，进而求出球的表面积．【详解】解：设球的半径为R ，平面α与球心的距离为d ，截面圆的半径为r ， ∵:1:3AH HB =，∴平面α与球心的距离为1 2R ，即13d R =， ∵α截球O 所得截面的面积为π，则2r ππ=，1r ∴=，故由222R r d =+得222112R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴243R =，∴球的表面积24164433S R πππ==⨯=. 故选：C ．【点睛】本题考查球的表面积公式，确定球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理是解题的关键，考查运算能力.10．已知菱形ABCD 中，120∠︒＝ABC ，AC =102BM CB +=，DC DN λ=，若29AM AN ⋅=，则λ=（） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理求得2AB BC ==，再运用向量的线性表示和向量的数量积运算律建立方程，解之可得选项. 【详解】因为102BM CB +=，所以1122BM CB BC =-=，在菱形ABCD 中，AB BC =，在ABC 中，有 2221cos 22AB BC AC B AB BC +-==-⋅，所以2AB BC ==，所以()()AM AN AB BM AD DN ⋅=+⋅+11()()2BA BC DC BC λ=-+⋅+11()()2BA BC BA BC λ=-+⋅-+ 22111||122BA BC BA BC λλ⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎝⎭22111122(1)22()222λλ=⨯+⨯-+⨯⨯⨯- 5429λ=+=，解得15λ=，故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积运算，关键在于待求数量积的向量线性表示为已知向量，属于中档题.11．已知432020120201a +=+，542020120201b +=+，则a ，b 之间的大小关系是（） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无法比较【答案】B【分析】构造函数()20201xf x =+，然后计算出()()43f f 、()()54f f 的值，再结合分式的特点即可比较出,a b 的大小关系. 【详解】设()20201xf x =+，则()()43f a f =，()()54f b f =．∴()()()43343344320202020201920202019202013202012020120202020f f a f --⨯⨯-====+++，()()()54444445420202020201920202019202014202012020120202020f f b f --⨯⨯-===>+++∴11b a ->-即b a >，故选：B ．【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法：（1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）；（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；（4）中间值法：取中间值进行大小比较. 12．已知函数323()231,()42a f x ax ax g x x =-+=-+，若任意给定的0[0,2]x ∈，总存在两个不同的(1,2)[0,2]=∈i x i ，使得()()0i f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．[1,1]-【答案】A【分析】由题意，求'()f x ，对a 分类讨论，判断(),()f x g x 单调性，求出函数的值域，即可求.【详解】()()'26661f x ax ax ax x =-=-.当0a =时，3()1,()2f xg x ==，显然不满足题意；当0a >时，函数()f x 的变化情况如下表所示又0a >时，3()42a g x x =-+在[0,2]上是减函数，且对任意()[0,2],x g x ∈的值域为33,222a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，此时当()3(1,)2g x ∈时，函数()f x 上不存在两个x 使得()()0=i g x f x 成立，∴不合题意；当0a <时，函数()f x 的变化情况如下表所示()f x 在[0,2]的最大值为1a -.又0a <时，3()42a g x x =-+在[0,2]上是增函数，且对任意()33[0,2],,222a x g x ⎡⎤∈∈-+⎢⎥⎣⎦.由题意可知31223142a a a ⎧-+<-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩.1a ∴<- 综上，实数a 的取值范围是(),1-∞-. 故选：A .【点睛】本题考查导数的应用，考查分类讨论和转化的思想方法，属于困难的题目.二、填空题13．已知单位向量,a b →→，满足a b b →→→-=，则向量,a b →→的夹角为______．【答案】3π 【分析】把已知模的等式平方后转化为数量积的运算，再由数量积的定义可得夹角．【详解】根据题意，向量1a =，1b =，设向量a ，b 的夹角为θ，向量a b b →→→-=，则()22a bb -=，则有112cos 1θ+-=，1cos 2θ=，[0,]θπ∈，所以3πθ=．故答案为：3π． 14．若实数x ，y 满足约束条件502010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值是______．【答案】9【分析】作出可行域，标函数2z x y =+，可化为直线122zy x =-+，直线向上平移时，纵截距增大，z 增大．因此直线122zy x =-+向上平移可得最优解．【详解】画出约束条件502010x y y x +-=⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩所表示的平面区域，如图所示阴影部分，目标函数2z x y =+，可化为直线122z y x =-+，当直线122zy x =-+过点A 时在y 上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由5010x y x +-=⎧⎨-≥⎩，解得(1,4)A ，所以目标函数2z x y =+的最大值为max 1249z =+⨯=．故答案为：9．15．过点()2,0引直线l 与曲线22y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于______.【答案】3【分析】当AOB 面积取最大值时，OA OB ⊥，圆心(0,0)O 到直线直线l 的距离为1，由此能求出直线l 的斜率．【详解】解：当AOB 面积取最大值时，OA OB ⊥，曲线22y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴圆心(0,0)O ，半径2r =2OA OB ∴==，2AB =，∴圆心(0,0)O 到直线l 的距离为1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，不合题意；当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为(2)y k x =-，圆心(0,0)到直线l 的距离211d k ==+，解得3k =， 0k <，3k ∴=．故答案为：33-． 16．已知数列{}n a ，{}n b 满足1 1.1a =，10.2b =，112n n n b a a +++=，11233n n n b a b +=+，n *∈N ，令n n n c a b =-，则满足4110n c ≤的n 的最小值为______. 【答案】10 【分析】根据112n n n b a a +++=，11233n n n b a b +=+，得到11n n a b ++-()13n n a b =-，利用等比数列的定义求解. 【详解】因为1111111222n n n n n n n b a a b b b a ++++++-=-=-+，()1121123323n n n n n a b a a b ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭，且1110.9c a b =-=，所以{}n c 是首项为0.9，公比为13的等比数列，所以110.93n n c -=⨯，则14110.9310n -⨯≤，即33310n -≥，当9n =时，63372910=<；当10n =时，733218710=>，显然当10n ≥时，33310n -≥成立，故n 的最小值为10. 故答案为：10【点睛】方法点睛：数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．三、解答题17．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，)cos sin 0a c B b C --=．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，AB 边上的中线CD ABC 的周长．【答案】（1）3π；（2）6．【分析】（1）利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简可求得结果；（2）根据()12CD CA CB =+两边平方可得2212a b ba =++，根据余弦定理可得224a b ab +-=，联立求出22a b +和ab ，由此可求出+a b ，则可得三角形的周长.【详解】（1)cos sin 0a c B b C --=，所以c sin s o b C B =，根据正弦定理得sin sin cos B B C C A =，所以()sin sin cos B C C C B B =+，所以sin sin cos sin cos B C C B C B C B =，所以sin sin cos B C B C =，因为A 、B 、C 是ABC 的三个内角，所以sin 0B ≠，sin 3cos C C =，tan 3C =，因为0C π<<，所以3C π=．（2）因为CD 是AB 边上的中线，所以()12CD CA CB =+，所以2224||2CD CA CB CA CB =++⋅，所以2224||2||||cos CD CA CB CA CB C =++⋅，所以()22214322a b ab ⨯=++⨯，所以2212a b ba =++①，又因为222cos 2a b c C ab +-=，所以221422a b ab+-=，即224a b ab +-=②，由①②，解得，228a b +=，4ab =，则()22228816a b a b ab +=++=+=，所以4a b +=， ∴6a b c ++=，故ABC 的周长为6．【点睛】关键点点睛：熟练掌握正弦定理、余弦定理是本题解题关键.18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 正方形，2PA PB PC PD ====，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN .（1）证明：MN AH ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA 与平面ABCD 所成的角为45︒，求点H 到平面PAD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（26【分析】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO .证明BD ⊥平面PAC ，得到BD AH ⊥，即得证；（2）由题得PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以45PAO ∠=︒，根据C PAD P CAD V V --=即得解.【详解】（1）连结AC 、BD 且ACBD O =，连结PO .因为ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥，因为PD PB =，且O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥，因为ACPD O =且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为AH ⊂平面PAC ，所以BD AH ⊥，因为//BD 平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN AH ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以45PAO ∠=︒， ∵设2PA =，所以22AO PA ==22PO ==， ∵H 为PC 的中点，∴点H 到平面PAD 的距离是点C 到平面PAD 的距离的12，设点C 到平面PAD 的距离为d ，∵2AO =∴正方形的弦长为2，12222ADCS=⨯⨯=， PAD △是等边三角形，2323PADS==∵C PAD P CAD V V --=，即1133PAD CAD d S S ⋅⋅=△△，即11233d ⋅=，解得d =，所以点H 到平面PAD的距离是3. 【点睛】方法点睛：点面距离常用求法：①几何法：作出点P 到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；②等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点P 到平面ABC 的距离，如果已知点C 到平面PAB 的距离，则可以根据C P A ABC P B V V --=求出点C 到平面PAB 的距离；③ 向量法：如下图所示，已知AB 是平面α的一条斜线，n →为平面α的法向量，则A 到平面α的距离为||||AB n d n →→→⋅=.19．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，有效减少交通事故死亡人数，2020年4月，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动为研究交通事故中摩托车驾乘人员致死与是否戴头盔有关，现对发生交通事故的摩托车驾乘人员做相关调查，制成如下22⨯列联表.（1）现从交通事故致死的驾乘人员中按照分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行调查，求这2人都是不戴头盔致死的概率；（2）是否有99.9%的把握认为交通事故中摩托车驾乘人员致死与不戴头盔有关？附：()()()()()22n ad bc K a b cd a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.【答案】（1）35；（2）有. 【分析】（1）按照分层抽样的定义方法抽取5人，可得不戴头盔的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，戴头盔的记为b ，列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式可求这2人都是不戴头盔致死的概率；（2）由公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算观测值，从而查表即可得答案．【详解】（1）在交通事故致死的人员中，不戴头盔与戴头盔的比例是4:1，所以按照分层抽样抽取的5人中，不戴头盔的有4545⨯=人，戴头盔的有1515⨯=人，为了问题研究的方便，将不戴头盔的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，戴头盔的记为b . 从5人中随机抽取2人，共有10中可能的结果，()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()23,a a ，()24,a a ，()34,a a ，()1,a b ，()2,a b ，()3,a b ，()4,a b而这2人都是不戴头盔的有6种可能结果，所以这2人都是不戴头盔致死的概率为63105p ==. （2）由表计算得：()222220080207210.828100100100100K ⨯-==>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为摩托车驾乘人员交通事故致死与不戴头盔有关.20．在平面直角坐标系中，已知定点F （2，0），直线l ：3x =，动点P 到点F 的距离与到直线l P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设1F （2-，0），过点1F ，作直线n 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ．当ABF 的面积取得最大值时，求ABF 的内切圆的面积．【答案】（1）22162x y +=；（2）2π．【分析】(1) 设动点(),P x y ，结合两点间的距离公式和点到直线的距离公式求出PF 和点P 到直线l 的距离，根据两距离的比从而可求出动点的轨迹方程.(2) 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线n 的方程为2x my =-，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理求出12y y -，进而可求出三角形的面积ABFS =△，利用换元法和基本不等式可求出当m 取何值时面积有最大值，并求出最大的面积.结合椭圆的定义求出三角形的周长，进而可求出三角形内切圆的半径，从而可求出内切圆的面积.【详解】（1）设动点(),P x y ，点P 到直线l 的距离为d，则PF d=，所以2223PF d =，即()()2222233x y x -+=-，化简整理得：22162x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，可设直线n 的方程为2x my =-，联立222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my +--=，∴12243m y y m +=+，12223y y m -=+．则1223y y m -=+，则1122123ABFS F F y y m =-=+△1t =≥，则222ABF S t t t==≤=++△当且仅当t =，即1m =±时等号成立，ABF S △取得最大值设FAB 的内切圆半径为R ，FAB的周长为4a =()12FAB S AB AF BF R =++⋅=△，则=，R =，所以，FAB 的内切圆的面积为22S R ππ==．【点睛】关键点睛:本题考查了动点轨迹方程的求解，考查了椭圆的定义，考查了基本不等式，考查了两点间的距离公式和点到直线的距离求解.本题第二问的关键是，设出直线方程与椭圆进行联立，结合基本不等式求出三角形的面积最大值，进而求出周长和内切圆的半径.21．函数()2ln a xf x x x=-. （1）若12a =，求()f x 的单调性；（2）当0a >时，若函数()()2g x f x a =-有两个零点，求证：12a >. 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）求导得()2221ln 1ln 1x x x f x x x--+'=-=，设()21ln x x x ϕ=-+，利用导数可得()x ϕ的单调性，并可得()x ϕ的零点，即可求出()f x 的单调性；（2）由函数()g x 有两个零点，所以()()22ln 20h x x a x ax x =-->，即()0h x =有两个不等实根，利用导数求得()h x 的单调性，结合题意可得201x a x =+，求出0x 的范围，利用对勾函数的单调性即可证明. 【详解】（1）因为()ln xf x x x=-，（0x >），所以()2221ln 1ln 1x x xf x x x--+'=-=. 设()21ln x x x ϕ=-+，则()120x x xϕ'=+>，所以()x ϕ在()0,∞+单调递增，又因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，()f x 单调递增. 综上，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. （2）证明：因为函数()()2ln 20a xg x x a x x=-->有两个零点，所以方程22ln 20x a x ax --=有两个不等实根.设()()22ln 20h x x a x ax x =-->，即()0h x =有两个不等实根，则()()22222220a x ax ah x x a x x x--'=--=>.设()()22220m x x ax a x =-->，则由0a >可知24160a a ∆=+>，而()2222m x x ax a =--的对称轴方程为2ax =，且()020m a =-<，所以存在()00x ∈+∞,使得()20002220m x x ax a =--=，即2001x a x =+，且当()00,x x ∈时，()0m x <，则()0h x '<，所以()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0m x >，则()0h x '>，所以()h x 单调递增.因为()0h x =有两个不等实根，所以必有()00h x <，即20002ln 20x a x ax --<.将2001x a x =+，代入整理可得0012ln 0x x --<.设()()12ln 0m x x x x =-->，则易得()m x 在()0,∞+上单调递减，又()10m =，所以01x >，结合对勾函数1y t t=+在()2,+∞单调递增可知200001112112x a x x x ==++->++，即12a >成立，命题得证. 【点睛】解题的关键是利用导数判断函数的单调性，当导函数无法直接判断正负时，可构造新函数，并继续求导，即可求出导函数的单调性和极值，进而可得导函数的正负，即原函数的单调性，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题. 22．在极坐标系中，直线l ：cos 26πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C ：2sin ρθ=．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．（1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；（2）已知点P 在圆C 上，点P 到直线l 和x 轴的距离分别为12,d d ，求12d d +的最大值．【答案】（1）直线l的直角坐标方程为4y +=，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）72．【分析】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可；(2)结合(1)中的结论得到关于12d d +的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可.【详解】（1）由l ：cos()26πρθ-=得，1sin cos 222ρθρθ+=；因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入有直线l的直角坐标方程为：122y x =，即为4y += 由圆C ：2sin ρθ=得，22sin ρρθ=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ= ，222x y ρ=+，所以圆C 直角坐标方程为：22(1)1y x +-=由22(1)1y x +-=得，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（2）设点P 坐标为()cos ,1sin αα+则1d ==1(3sin )2αα=- 又21sin d α=+那么12515sin sin()22232d d πααα+=+-=-+ 当56πα=时，12d d +取得最大值72. 【点睛】关键点点睛：考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，解题的关键写出圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最值问题的处理方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>．（1）若1a =，1b =，求不等式()5f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当111a b+=时，求m 的取值范围．【答案】（1）3,2；（2）)3⎡++∞⎣．【分析】（1）分2x -≤、21x -<<、1≥x 三种情况解不等式()5f x ≤，综合可得出原不等式的解集；（2）由三角不等式结合已知条件可得2m a b =+，将代数式2+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可求得m 的取值范围.【详解】（1）当1a =，1b =，()12f x x x =-++，由()5f x ≤，可得第 21 页共 21 页 125x x -++≤.当2x -≤时，原不等式化为512x x ≤-+--，解得3x ≥-，此时32x --≤≤；当21x -<<时，原不等式化为1235x x -+++=≤恒成立，此时21x -<<；当1≥x 时，原不等式化为12215x x x -++=+≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤，综上所述，原不等式的解集为3,2；（2）由绝对值三角不等式可得()()()222f x x a x b x a x b a b =-++≥--+=+，其中0a >且0b >，由基本不等式可得()11222333b a m a b a b a b a b ⎛⎫=+=+⋅+=++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当a =时，等号成立.所以m的取值范围是)3⎡++∞⎣．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。

2021年河南省信阳市河南第一高级中学高三数学文期末试题含解析

2021年河南省信阳市河南第一高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()图2－1参考答案：B2. 下列函数是增函数的是A. B.C. D.参考答案：【知识点】函数的单调性B3【答案解析】B y=tanx在给定的两个区间上式增函数，但在整个上不是增函数。

为减函数，为减函数，故选B【思路点拨】分别确定各个区间上的单调性，找出答案。

3. 设b>0,二次函数的图像为下列之一，则a的值为（）A. 1B.C.D. 参考答案：C4. 已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）A.，B. ，C. ，D. ，参考答案：B略5. 已知集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}，若（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式中存在常数项，则n等于（）A．16 B．15 C．14 D．12参考答案：B【考点】二项式定理的应用．【分析】化简集合M，求出二项式的通项公式，化简整理后，令x的指数为0，对照M中的元素，即可得到答案．【解答】解：集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}={11，12，13，14，15，16}，（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式的通项公式为Tr+1==，令3n﹣5r=0，则n=，由于n∈M，则n=15．故选B．6. 定义在上的偶函数满足且，则的值为A. B. C. D.参考答案：B7. 在中，内角，，的对边分别为，，若函数无极值点，则角的最大值是（）A．B． C. D．参考答案：C8. 如图，大正方形的面积是13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短边长为2.向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为（）(A) (B)(C) (D)参考答案：A9. 设全集，集合，，则A． B． C． D．φ参考答案：B 10. 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）A.-1或B. -1或C.或D. 或7参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，，则的最小值为；参考答案：12. 若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组数据的方差.参考答案：略13. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于10的概率为．参考答案：14. 设数列的前项和为，且，则 .参考答案：215. 方程有实根，则实数的取值范围是 .参考答案：16. 已知向量与的夹角为120°，且，，则= ．参考答案：﹣10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，从而根据即可求出数量积的值．【解答】解：；又；∴=．故答案为：﹣10． 17. 若直线l ：（a ＞0，b ＞0）经过点（1，2）则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是．参考答案：3+2【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】把点（1，2）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b ）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵直线l ：（a ＞0，b ＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b ）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a 时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021届河南省信阳市普通高中高三第一次教学质量检测数学(文)试题Word版含解析

2021届河南省信阳市普通高中高三第一次教学质量检测数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知N是自然数集，在数轴上表示出集合A，如果所示，则A∩N=（）A. {﹣1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2，3}【答案】B【解析】解：由题意得A=（﹣1，3]，∴A∩N={0，1，2，3}．故选：B．2. 要得到函数y=sin（4x+）的图象，只需要将函数y=sinx的图象（）A. 向左平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B. 向左平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变）C. 向左平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）D. 向左平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变）【答案】C【解析】解：要得到函数y=sin（4x+）的图象，只需要将函数y=sinx的图象，向左平移个单位得到：y=sin（x+）的图象，再把横标缩短为原来的倍，得到：y=sin（4x+）的图象．故选：C3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，c=，则B等于（）A. 30°B. 120°C. 135°D. 150°【答案】D【解析】解：由a=1，b=，c=，余弦定理，可得cosB=．∵0°＜B＜180°．∴B=150°．故选：D．4. 函数y=的定义域是（）A. （﹣∞，2]B. （0，2]C. （﹣∞，1]D. [1，2]【答案】B【解析】解：要使原函数有意义，则1﹣log2x≥0，x≤1，解得0＜x≤2．即log2∴函数y=的定义域是（0，2]．故选：B．5. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A. 4B. 4C. 4D.【答案】C【解析】解：A=180°﹣60°﹣75°=45°由正弦定理可知，b=故选C6. 已知向量=（m，2），=（m+4，2），若||=||，则实数m等于（）A. ﹣2B. 2C. ﹣4D. 4【答案】A【解析】解：根据题意，向量=（m，2），=（m+4，2），则=（2m+4，4），=（﹣4，0），若| |=| |，则有（2m+4）2+16=（﹣4）2+0，解可得m=﹣2，故选：A．7. 若x=，y=lg3，z=，则（）A. y＜z＜xB. z＜x＜yC. x＜y＜zD. z＜y＜x【答案】A【解析】解：x==50.4＞1，y=lg3＜，z=∈．∴x＞z＞y．故选：A．8. 函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，设函数f（g（x））有m个零点，函数g（f（x））有n个零点，则m+n等于（）A. 6B. 10C. 8D. 1【答案】B【解析】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；g（x）=﹣1时，x=1或x=﹣1．故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0，故n=3；故m+n=10；故选：B．点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.9. 已知函数f（x）=sinx﹣x，则不等式f（x+2）+f（1﹣2x）＜0的解集是（）A. B. C. （3，+∞） D. （﹣∞，3）【答案】D【解析】解：函数f（x）=sinx﹣x，其定义域为R，且f（﹣x）=sin（﹣x）﹣（﹣x）=﹣（sinx ﹣x），则函数f（x）是定义在R上的奇函数，导函数是f'（x）=cosx﹣1≤0，所以f（x）=sinx﹣x是减函数，不等式f（x+2）+f（1﹣2x）＜0⇒f（x+2）＜f（2x﹣1），即x+2＞2x﹣1⇒x＜3，故选：D．10. 函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，若||=5，则（）A. ω=，φ=B. ω=φ=C. ω=，φ=D. ω=6，φ=【答案】B【解析】解：根据函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，可得|AB|==5，∴T==6，∴ω=．再根据2cosφ=1，可得cosφ=，∴ω=，故选：B．点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.11. 若定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则不等式f（log4x）+f（log0.25x）≤2f（1）的解集为（）A. [，2]B. [，4]C. [，2]D. [，4]【答案】B【解析】解：根据题意，f（log4x）+f（log0.25x）≤2f（1）⇔f（log4x）+f（﹣log4x）≤2f（1），又由函数f（x）为R上的偶函数，则有f（log4x）=f（log4x）=f（|log4x|），则原不等式可以转化为f（|log4x|）≤f（1），又由函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则f（|log4x|）≤f（1）⇒|log4x|≤1，即﹣1≤log4x≤1，解可得≤x≤4，即不等式的解集为[，4]，故选：B．点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；12. 如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为（）A. 3B. 3C. 5D. 5【答案】A【解析】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ，θ∈．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S=（4+4cosθ）•2sinθ=4sinθ（1+cosθ），S′=4（cosθ+cos2θ﹣sin2θ）=4（2cos2θ+cosθ﹣1）=4（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．∵θ∈．∴cosθ∈（0，1）．∴当cosθ=即θ=时，S取得最大值，S=3．故选：A．点睛：求函数最值的五种常用方法，（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13. 若=m，lg6=n，则102m﹣n=_____．【答案】【解析】解：∵==m，lg6=n，∴102m﹣n==故答案为：．14. 已知3x+x3=100，[x]表示不超过x的最大整数，则[x]=_____．【答案】3【解析】解：因为函数y=3x与y=x3在R上都是增函数，所以f（x）=3x+x3在R上也是增函数．又因为f（3）=54＜100，f（4）=145＞100，3x+x3=100，所以3＜x＜4，所以[x]=3．故答案为：315. 已知定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）＜1，若f（2﹣m）﹣f（m）＞2﹣2m，则实数m的取值范围是_____．【答案】（1，+∞），【解析】解：设g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1，∵f（x）满足f′（x）＜1，∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，即函数g（x）在定义域上为减函数，若f（2﹣m）﹣f（m）＞2﹣2m，则f（2﹣m）﹣f（m）＞（2﹣m）﹣m，即f（2﹣m）﹣（2﹣m）＞f（m）﹣m，即g（2﹣m）＞g（m），则2﹣m＜m，得m＞1，故实数m的取值范围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．16. 在正△ABC内有一点M满足，且∠MCA=45°，则=_____．【答案】【解析】解：过M作DM∥BC交AC于D，作EM∥AC交BC于E，则∴在△CDM中，∠MCD=45°，∠CMD=15°，∴故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知sin﹣2cos=0．（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）由sin﹣2cos=0，得tan=2．∴tanx=；（Ⅱ）===（﹣）+1=．【解析】略18. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（8，m）和（9，3）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若函数g（x）=log a f（x）（a＞0，a≠1）在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解答】解：（Ⅰ）由题意，y=f（x）是幂函数，设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）可得9α=3，所以α=，故f（x）=．∴m=f（8）=2．故得m的值为2．（Ⅱ）函数g（x）=log a f（x）即为g（x）=，∵x在区间[16，36]上，∴∈[4，6]，①当0＜a＜1时，g（x）min=log a6，g（x）max=log a4，由log a4﹣log a6=log a=1，解得a=；②当a＞1时，g（x）min=log a4，g（x）max=log a6，由log a6﹣log a4=log a=1，解得a=．综上可得，实数a的值为或．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意y=f（x）是幂函数，设设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）即可求解m的值．f（x）在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，对底数进行讨论，（Ⅱ）函数g（x）=loga利用单调性求最值，可得实数a的值．试题解析：解：（Ⅰ）由题意，y=f（x）是幂函数，设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）可得9α=3，所以α=，故f（x）=．∴m=f（8）=2．故得m的值为2．f（x）即为g（x）=，（Ⅱ）函数g（x）=loga∵x在区间[16，36]上，∴∈[4，6]，①当0＜a＜1时，g（x）min =loga6，g（x）max=loga4，由loga 4﹣loga6=loga=1，解得a=；②当a＞1时，g（x）min =loga4，g（x）max=loga6，由loga 6﹣loga4=loga=1，解得a=．综上可得，实数a的值为或．19. 已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣3﹣m）．（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；（Ⅱ）若△ABC为直角三角形，且C为直角，求实数m的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得=（3，1），=（2﹣m，1﹣m），若点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线，∴∥，∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）=0，解得m=；（Ⅱ））∵=（2﹣m，1﹣m），=（﹣1﹣m，﹣m），=0，∴（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）=0，解得m=．（Ⅱ）利用向量垂直的充要条件，可得（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）=0，即可得到结论试题解析：解：（Ⅰ）依题意，可得=（3，1），=（2﹣m，1﹣m），若点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线，∴∥，∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）=0，解得m=；（Ⅱ））∵=（2﹣m，1﹣m），=（﹣1﹣m，﹣m），=0，∴（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）=0，解得m=．20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+cosA=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）选择①②,【解答】解：（Ⅰ）依题意得2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，∴A+=，∴A=．（Ⅱ）选择①②由正弦定理=，得b=•sinB=2，∵A+B+C=π，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+，∴S=absinC=×2×2×=+1．【解析】试题分析：（1）根据题目条件，利用辅助角公式，再结合是三角形的内角，即可求出的大小；（2）根据（1）的结论，利用条件①，②，并结合正弦定理，即可求出边，进而可求出边和角，从而可确定,并可以求得其面积.试题解析：（1）由，得因为，所以，所以，即（2）方案一：选①和②由正弦定理得，又，的面积为方案二：选①和③由余弦定理得，则，解得，于是的面积为考点：1、辅助角公式；2、三角形面积；3、正弦定理，余弦定理.21. 已知函数f（x）=有极值．（Ⅰ）求实数c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜+2d恒成立，求实数d的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【解答】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值+d，∵x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，∴+d＜d2+2d，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【解析】（1）∵，∴要使有极值，则方程有两个实数解，从而△＝，∴．（2）∵在处取得极值，∴，∴．∴，∵，∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．∴时，在处取得最大值，∵时，恒成立，∴，即，∴或，即的取值范围是．22. 已知实数λ＞0，设函数f（x）=eλx﹣x．（Ⅰ）当λ=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．【答案】（Ⅰ）极小值是1；（Ⅱ）【解答】解：（Ⅰ）λ=1时，函数f（x）=e x﹣x，f′（x）=e x﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）无极大值，只有极小值，且极小值是f（0）=1；（Ⅱ）x＞0时，f（x）≥0⇔λ≥，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）最大值=g（e）=，故λ的最小值是．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题转化为λ≥，令g（x）=，根据函数的单调性求出g（x）的最大值即λ的最小值即可．试题解析：解：（Ⅰ）λ=1时，函数f（x）=e x﹣x，f′（x）=e x﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）无极大值，只有极小值，且极小值是f（0）=1；（Ⅱ）x＞0时，f（x）≥0⇔λ≥，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，=g（e）=，故g（x）最大值故λ的最小值是．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。

2021年高三教学质量统一检测(一)数学文试题 Word版含答案

绝密★启用前2021年高三教学质量统一检测（一）数学文试题 Word版含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题。

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上．1.已知集合，，则（）A． B． C． D．2. 命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，3. 设数列{a n}是等比数列，函数y=x2－x－2的两个零点是，则=（）A．2 B．1 C．－1 D．－24.程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的结果是（）A．B．C．D．5. 已知条件p：k=；条件q：直线y= kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－1x B．y＝log2|x| C．y＝1－x2D．y＝x3－17. 在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A．63B．2 65C．155D．1058. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )9.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的余弦值为，双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为，则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．10.在中，若角所对的三边成等差数列，给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卷上．11．直角坐标系xOy中，点A，B分别在曲线（为参数）上，则|AB|的最大值为. 12．向量，，且∥，则 .13．记集合和集合表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M 落在区域Ω2内的概率为.14．如右图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是15．在边长为2的菱形中，，对角线与相较于，点是线段的一个三等分点，则等于 .三．解答题：本大题共6小题，共75分。

河南省信阳市罗山县2021届高三毕业班第一次调研数学(文)试题 Word版含答案

罗山县2020—2021学年度上期高三第一次模拟考试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜2x －2x －3＜0}，则A ∪B 等于（）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3） 2．已知向量，，，则“”是“”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．若命题：，则为（）A ．B ．C ．D ．4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A ．B ．C ．D ． 5．指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增 6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，，则（）A ．B ．C ．0D ．()1,2=-a ()3,m =b m ∈R 6m =-()+∥a a b p 21,2n n n ∃>>p ⌝21,2n n n ∀>>21,2n n n ∃≤≤21,2n n n ∀>≤21,2n n n ∃>≤1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()x f x a =0a >1a ≠R 22()a g x x -=(0,)+∞(,0)-∞(0,)+∞(,0)-∞()f x R [0,1]x ∈3()f x x =x ∀∈R ()(2)f x f x =-(2017.5)f =1818-17 .已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin 6πx 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．136B ．118C ．112 D ．199.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为，，A 、B 两班学生成绩的方差分别为S A 2，S B 2，则观察茎叶图可知（）A ．A ＜B ，S A 2＜S B 2 B ．A ＞B ，S A 2＜S B 2C ．A ＜B ，S A 2＞S B 2D ．A ＞B ，S A 2＞S B 2 10.下列说法中正确的是A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B. 线性回归直线不一定过样本中心点 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据1、、3的平均数是2，则该组数据的方差是 11.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<12.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题。

2021年高三上学期第一次质量检测文数试题含答案

2021年高三上学期第一次质量检测文数试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）A．B．C．D．3.已知命题：，命题：，，则成立是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.在中，，，则（）A．3 B．C．D．5.我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（）A．3.119 B．3.124 C．3.132 D．3.1516.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．207 B．C．D．7.函数如何平移可以得到函数图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移8.函数的图象大致为（）9.如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（）A． B．C．D．10.已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C．D．11.已知，，且，则的取值范围是（）A． B．C．D．12.已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则．14.已知实数，满足不等式组则的最小值为．15.如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围是．16.对于函数与，若存在，，使得，则称函数与互为“零点密切函数”，现已知函数与互为“零点密切函数”，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，，是上任意一点，，且．（1）求证：平面平面；（2）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍．19. （本小题满分12分）近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中指数的监测数据，统计结果如下：空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），指数为．当在区间内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成经济损失成直线模型（当指数为150时造成的经济损失为500元，当指数为200时，造成的经济损失为700元）；当指数大于300时造成的经济损失为xx元．（1）试写出的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：，其中．20. （本小题满分12分）已知坐标平面上动点与两个定点，，且．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为8，求直线的方程．21. （本小题满分12分）已知函数．（1）证明：；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆．（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为4．（1）求的值；（2）求的最小值．xx 年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）当时，；当时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=.也满足，故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故.记数列的前项和为，则1222(222)(12342)n n T n =++++-+-+-+.记，，则，[](12)(34)(21)2B n n n =-++-+++--+=.故数列的前项和.18.（1）证明：在中，由于， ∴,故．又平面平面，平面平面，，∴，又，故平面平面．（2），19. 解：（1）根据在区间对企业没有造成经济损失;在区间对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为时造成的经济损失为元,当PM2.5指数为时,造成的经济损失为元）;当PM2.5指数大于时造成的经济损失为元,可得：（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于元且不超过元”为事件，由得频数为39，（3）根据以上数据得到如下列联表：所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关．20. 解：(Ⅰ)由题意，得．即：，化简，得：，所以点的轨迹方程是.轨迹是以为圆心，以为半径的圆．（II）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为，所以符合题意．当直线的斜率存在时，设的方程为，即圆心到的距离，由题意，得，解得．所以直线的方程为，即．综上，直线的方程为或.21. 解：（Ⅰ）令,则当所以即在递增；在递减；所以，（Ⅱ）记则在上，，()()()22221111110,a x x a ax x a a h x a x x x x x⎛⎫+-- ⎪--+-⎝⎭'=+-==> ①若，，时，，单调递增，，这与上矛盾；②若，，上递增，而，这与上矛盾； ③若，，时，单调递减；时，单递增； ∴，即恒成立；④若，，时，，单调递增；时，，单调递减，∴，这与上矛盾； ⑤若，，时，，单调递增；时，，单调递减，∴这与上矛盾．综上，实数的取值范围是．22.解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为. 曲线的圆心的直角坐标为， ∴的直角坐标方程为．（2）设则 . ，∴，. 根据题意可得，即的取值范围是． 23. 解：（1）因为，，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以的最小值为,所以．（2）由（1）知，当且仅当时，的最小值为． |733161 8189 膉^29758 743E 琾yD [ 23060 5A14 娔Hv。

河南省信阳市罗山县2021届高三毕业班第一次调研数学(文)试题 Word版含答案【KS5U 高考】

罗山县2020—2021学年度上期高三第一次模拟考试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜2x －2x －3＜0}，则A ∪B 等于（）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3）2．已知向量，，，则“”是“”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题：，则为（） A ．B ．C ．D ．4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A ．B ．C ．D ．5．指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（） A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增 6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，，则（）()1,2=-a ()3,m =b m ∈R 6m =-()+∥a a b p 21,2n n n ∃>>p ⌝21,2n n n ∀>>21,2n n n ∃≤≤21,2n n n ∀>≤21,2n n n ∃>≤1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()x f x a =0a >1a ≠R 22()a g x x -=(0,)+∞(,0)-∞(0,)+∞(,0)-∞()f x R [0,1]x ∈3()f x x =x ∀∈R ()(2)f x f x =-(2017.5)f =A ．B ．C ．0D ．7 .已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin6πx 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．136 B ．118 C ．112D ．199.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为，，A 、B 两班学生成绩的方差分别为S A 2，S B 2，则观察茎叶图可知（）A ．A ＜B ，S A 2＜S B 2B ．A ＞B ，S A2＜S B 2 C ．A ＜B ，S A2＞S B 2D ．A ＞B ，S A2＞S B 21818-1220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，10.下列说法中正确的是A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线不一定过样本中心点C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据1、、3的平均数是2，则该组数据的方差是11.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<12.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题。

河南省信阳市第四高级中学2021年高一数学文月考试卷含解析

河南省信阳市第四高级中学2021年高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知非零向量，满足+4=0，则（）A．||+4||=0 B．与是相反向量C．与的方向相同D．与的方向相反参考答案：D【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】根据题意，由向量加法的运算性质可得=﹣4，即与的方向相反，且||=4||，由此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，非零向量，满足+4=0，即=﹣4，即与的方向相反，且||=4||，依次分析选项：对于A：||=4||，||+4||=5||≠0，故A错误；对于B：与的方向相反，且||=4||，与的不是相反向量，故B错误；对于C：与的方向相反，故C错误；对于D：与的方向相反，D正确；故选：D．2. 函数的零点所在的一个区间为A. B. C. D.参考答案：B3. 函数，，若f(x)在区间上是单调函数，，则的值为（）A. B. 2 C. 或 D. 或2参考答案：D【分析】先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.【详解】因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.【点睛】对称轴和对称中心的判断：对称轴：，则图象关于对称；对称中心：，则图象关于成中心对称.4. 根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系．【分析】令f（x）=e x﹣x﹣2，方程e x﹣x﹣2=0的根即函数f（x）=e x﹣x﹣2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知，方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．【解答】解：令f（x）=e x﹣x﹣2，由图表知，f（1）=2.72﹣3=﹣0.28＜0，f（2）=7.39﹣4=3.39＞0，方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2），故选 C．5. 将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值可以是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得θ的值，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则sinθ=，∴θ=，再根据sin（﹣2φ+θ）=sin（﹣2φ+）=，则φ的值可以是，故选：B．6. 函数的定义域为A. B. C. D.参考答案：B略7. 已知，那么等于A．B．C．D．参考答案：A略8. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )（A） 5 （B）（C） 2 （D）1参考答案：B由求得，若则AC=1，但为直角三角形不是钝角三角形；当时，由余弦定理求得AC=9. 已知函数，若，则实数等于（）A. B.C.9D.2 ks5u参考答案：D略10. 设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为.参考答案： 6又故12. 若正奇数不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的的最大值为．参考答案：1713. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为；参考答案：14. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）是幂函数，且图象过点，则f（x ）在R 上的解析式为．参考答案：【考点】幂函数的性质．【分析】由题意设当x ＞0时，f （x ）=x α（α是常数），把点代入解析式求出α的值，即可求出x ＞0时的解析式，设x ＜0则﹣x ＞0，利用奇函数的性质求出x ＜0、x=0时的解析式，利用分段函数表示出来．【解答】解：由题意设当x ＞0时，f （x ）=x α（α是常数），因为当x ＞0时，图象过点，所以f （3）=3α=，解得，则当x ＞0时，f （x ）=，设x ＜0，则﹣x ＞0，即f （x ）=，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ）=，且x=0时，f （0）=0，所以，故答案为：．15. 设M 、N 是非空集合，定义M⊙N＝{x|x∈M∪N 且x M∩N}．已知M ＝{x|y ＝}，N ＝{y|y＝2x，x>0}，则M⊙N 等于________．参考答案：{x|0≤x≤1或x>2}16. 若函数，在上是减函数，则的取值范围是 ***参考答案：略17. 设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②若，则；③若，则．则（1）___________；（2）的解析式（用表示）___________．参考答案：（1）4；（2）（1）当时，，符合条件的集合为：，，，，故．（2）任取偶数，将除以，若商仍为偶数，再除以，经过次后，商必为奇数，此时记商为，于是，其中，为奇数，．由条件可知，若，则，为偶数，若，则为奇数，于是是否属于，由是否属于确立，设是中所有的奇数的集合，因此等于的子集个数，当为偶数时（或奇数时），中奇数的个数是（或）．∴三、解答题：本大题共5小题，共72分。