高等数学基础期末复习资料
上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末复习题及答案
试卷代号：7032上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末复习题一．选择题1．函数在连续，则常数的值为（ ）。
A ． ；B ． ；C ． ；D ．2． 下列函数中（ ）的图像关于y 轴对称。
A ．cos x e xB ． cos(1)x +C ．3sin x x D ． xx+-11ln3．下列函数中（ ）不是奇函数。
A ．sin(1)x -；B ．x xe e --； C ．x x cos 2sin ； D ．(ln x4．当0x →时，（ ）是无穷小量。
A ．sin 2x x B ．1(1)x x + C . 1cos x D ．1sin x x5．函数()sin 4f x x =，则 0()lim x f x x→=（ ）。
A ． 0 ；B ．4 ；C ． 14； D ． 不存在6．函数，则 2()(2)lim 2x f x f x →-=-（ ）。
A ． ln 2 ；B ．； C ． 12； D ． 2 7. 设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（ ）。
A ． 0x x =是)(x f 的极小值点 B ． 0x x =是)(x f 的极大值点 ； C ．0x x =是)(x f 的驻点； D ． 0x x =是)(x f 的最大值点； 8．下列等式中，成立的是（ ）。
AB ．C ．D ．9．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是 （ ）2sin(4)2()22x x f x x k x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩2x =k 124-4()ln f x x =1x =222x x e dx de --=-3313xx edx de --=-1ln 33dx d x x=A.)())((x f dx x f ='⎰B.)()(x f dx x f dx d ba=⎰ C. c x f dx x f +='⎰)()( D. )()()(a f b f x f d b a-=⎰ 10．曲线x y e x =-在(0,)+∞内是（ ）。
数学期末复习提纲
复习提纲第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加 C ）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）3、空间平面4、空间旋转面（柱面）具体内容函数收敛比如函数的极限是a,那么我们可以叫他为函数收敛于 a 性质如果函数收敛那么极限唯一。
如果函数收敛它一定有界（有界是指函数定义域存在一个数使得函数值的绝对值大于等于这个数）。
绕口令：函数有界是函数收敛的必要条件（因为可能极限不存在）证明极限的方法1求函数极限的方法定义证明设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。
记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）2利用左右极限左右极限存在并相等。
3利用极限存在准则一、单调有界准则，如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。
二、夹逼准则，如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
4利用两个重要极限1）x->0时，sinx/x=1 2）x->无穷时，(1+1/x)^x=e x趋近0的时候5极限的运算法则。
高数期末必考知识点总结大一
高数期末必考知识点总结大一高数期末必考知识点总结高等数学是大一学生必须学习的一门重要课程，它在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力方面起着重要的作用。
期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，因此掌握必考的知识点至关重要。
本文将对高数期末必考的知识点进行总结和梳理，以帮助大家更好地备考。
一、函数与极限1. 函数的基本概念和性质：定义域、值域、奇偶性等。
2. 极限的定义与性质：极限存在准则、无穷大与无穷小、夹逼定理等。
3. 重要极限的求解方法：基本初等函数的极限、无穷小的比较、洛必达法则等。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。
2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 隐函数与反函数的导数：隐函数求导、反函数的导数等。
4. 微分的定义与性质：微分的几何意义、微分中值定理等。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的线性性质、换元积分法等。
2. 基本初等函数的不定积分：幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。
3. 定积分的定义与性质：定积分的几何意义、定积分的性质等。
4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法、定积分的性质等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、解的概念等。
2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程等。
3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
4. 常微分方程的初值问题：初值问题的存在唯一性、解的连续性。
五、级数1. 数项级数的概念与性质：数项级数的定义、级数的收敛与发散、级数的性质等。
2. 常见级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
3. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域的判定、幂级数的和函数等。
综上所述，高数期末必考的知识点主要包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及级数等。
在备考期末考试时，同学们要重点复习这些知识点，并通过大量的练习题来巩固和提高自己的理论水平和解题能力。
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案1)
2014电大《高等数学基础》期末复习资料（例题附答案1）高等数学基础学习辅导（1）函数部分例题讲解例1 若函数，则＝( C ).A. 0B. 1C.D.解: 22)4sin()4(=-=-ππf 故选项C 正确。
例2 下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？CA ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B ．12ln)(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f xx -=-=)(,)()(2D ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f 解: A,B,D 中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，C 中函数2)()(xe x x xf x -=的定义域是0≠x ，对应关系可化为 )()()(2x g x e x x e x x x f xx =-=-=故这两个函数是相同的函数。
例3 下列各对函数中，（C ）是相同的。
A.x x g x x f ==)(,)(2； B.f x x g x x ()ln ,()ln ==22；C.f x x g x x ()ln ,()ln ==33； D.f x x x g x x (),()=-+=-2111解： A 中两函数的对应关系不同,x x x ≠=2， B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D 都不是正确的选项；而选项C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C 正确。
例4 下列函数中，哪个函数是奇函数？A ．)12sin()(++=x x x fB ．)1ln()(2++=x x x fC ．x e x x f x-=)(D ．x xx x f sin 1)(2⋅-= 解： 由奇函数的定义验证A,C 可知它们都不满足)()(x f x f -=-，D 满足)()(x f x f =-，即它为偶函数 验证B )1)(()1)((ln )1)(ln()(22222x x x x x x x f ++--+-=+-+-=-)()1ln(11ln22x f x x xx -=++-=++=故此函数是奇函数。
《高等数学基础》期末试题及答案
《高等数学基础》期末试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数f(x) = x² - 2x + 1在x = 1处的导数是（）A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A2. 函数y = ln(e²x)的导数是（）A. 2xB. 2C. e²xD. 1答案：A3. 下列极限中，正确的是（）A. lim(x→0) sinx/x = 0B. lim(x→0) sinx/x = 1C. lim(x→0) sinx/x = ∞D. lim(x→0) sinx/x = -1答案：B4. 函数y = x²e²x的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：C5. 定积分∫(0→1) x²dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数y = 2x³ - 3x² + 2x + 1的一阶导数是______。
答案：6x² - 6x + 27. 函数y = x²e²x的二阶导数是______。
答案：4x²e²x + 4xe²x8. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)²ⁿ = ______。
答案：e9. 定积分∫(0→π) sinx dx的值是______。
答案：210. 定积分∫(0→π/2) eˣdx的值是______。
答案：eπ/2 - 1三、解答题（每题25分，共75分）11. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 4，求f'(x)和f''(x)。
解：f'(x) = 3x² - 6x，f''(x) = 6x - 6。
12. 求函数f(x) = x²e²x的极值点和极值。
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案5)
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案5)高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（5）导 数 与 微 分 例 题 讲 解（二）例题讲解1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(2x x x f00=≠x x 在点0x 处是否可导。
解：∵xx f x f y ∆∆=-∆+=∆1sin)()0()0(2xx x x x x y ∆∆=∆∆∆=∆∆1sin .1sin)(2 ∴01sin .lim lim)0('00=∆∆=∆∆=→∆→∆xx x y f x x 即0)0('=f ，函数在0=x 处可导。
2. 求xx x y 1=的导数解：∵874743231.111-=====xxxx xx xx x y∴8151878787'----=-=x x y3.)1cosln(2xx y +=，求y '。
解： )1c o s (1c o s122'++='x x xx y])1(cos 1cos 211[1cos 1222'++=x xxx)]1)(1sin (1cos 21cos211[1cos 1222x x x xxx --⋅++=)1c o s22s i n 1(1c o s1222xx x xx ++=4. 设解：5. 2tg 1sinx e xy ⋅=，求y d 。
解：2tg 2)1(1cosx e xx y -⋅='＋22tg sec 21sin 2x x e x x ⋅⋅则y d 2tg 21cos 1(x e x x⋅-=＋x x ex x x d )sec 1sin 222tg 2⋅6. 设解：7. 由方程)0()cos(2π<<=+y x y x 确定了y 是x 的函数，求y '（0）。
解：方程两端对x 求导，得1)22)(sin(2='++-yy x y x故]2)sin(1[22x y x y y -+-='将x =0代入原方程中，得0cos =y ，4,22π=π=y y于是y '（0）＝π-。
高等数学基础期末复习资料 (2)
《高等数学基础》课程期末考试复习资料册一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点2.函数在x=0处连续，则k=(C）.A.1B.5D.03.下列等式中正确的是(C).4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A).5.下列无穷限积分收敛的是(D).6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点7.当时，下列变量中( A)是无穷大量.8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B).9.函数在区间(2,4)内满足(A).A.先单调下降再单调上升B.单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调下降10.=(B).A.0B. ПC.2ПD. П/211.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.12.当，变量(C)是无穷小量.13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A).14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）.15.下列无穷限积分收敛的是(C).16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称.A.坐标原点B.x轴C.y轴D. y=x17.当时，变量(D)是无穷小量.18.设f(x)在x。
可导，则=（C）.19.若则=（B）.20. =（A）.21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.22.当k=（C）时，在点x=0处连续.A. -1B. 0c.1 D.223. 函数在区间(2,4)内满足(B).A. 先单调下降再单调上升B.单调上升C. 先单调上升再单调下降D.单调下降24 若,则= (D).A. sinx十CB. -sinx十cC. -cosx+cD. cosx 十C25. 下列无穷积分收敛的是(A).26.设函数f(x) 的定义域为，则函数f(x)- f（-x)的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点27. 当x→0时，变量(C)是无穷小量.28. 函数在区间(-5，5) 内满足(B).A. 单调下降B.先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降 D.单调上升29. 下列等式成立的是(A).30.下列积分计算正确的是(D).31. 函数的定义域是（D）.32.若函数，在x=0处连续，则k=（B）.A .1 B.2C.-1D.33.下列函数中，在内是单调减少的函数是（A）.34.若f(x) 的一个原函数是，则=（C）.A. cosx +cB. - sinx十CC. sinx十CD. - cosx十C35. 下列无穷限积分收敛的是（C）.36.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.37. 37.在下列指定的变化过程中， (A)是无穷小量.38. 设f(x)在可导，则= (C).39. =(A).40. 下列无穷限积分收敛的是(C).41.下列函数中为奇函数的是(A).42. 当x→0时，变量(C)无穷小量.43.下列等式中正确的是（B）.44 若f(x)的一个原函数是，则=(D).45.=(A).46.函数的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴c.y轴 D.坐标原点47. 在下列指定的变化过程中，(A)是元穷小量.48.函数在区间(-5，5)内满足(C).A. 先单调上升再单调下降B.单调下降C. 先单调下降再单调上升D.单调上升49. 若f(x) 的一个原函数是，则 = (B).50.下列无穷限积分收敛的是(B).二、填空题1.函数的定义域是（3,5） .2.已知，当时，f(x)为无穷小量.3.曲线f(x)=sinx在处的切线斜率是 -1 .4.函数的单调减少区间是 .5.= 0 .6.函数的定义域是（2，6） .7.函数的间断点是 x=0 .8.函数的单调减少区间是 .9.函数的驻点是 x= - 2 .10.无穷积分当时p >1 时是收敛的.11..若，则f(x)= .12.函数的间断点是 x=0 .13.已知，则= 0 .14.函数的单调减少区间是 .15.= .16.函数的定义域是 (-5,2) .17. .18.曲线在点(1,3)处的切线斜率是 2 .19.函数的单调增加区间是 .20.若则f(x）= .21.若则f(x）= .22 已知当时，f(x）为无穷小量.23. 曲线在(l ,2) 处的切线斜率是 .24. = .25 若,则= .26.函数的定义域.27. 函数的间断点是 x=0 .28. 曲线在x=2处的切线斜率是 .29. 函数的单调增加区间是 .30.= .31. 函数，则f(x)= .32. 函数的间断点是 x=3 .33. 已知则 = 0 .34. 函数的单调减少区间 .35. 若f(x) 的一个原函数为lnx，则 f(x) = .36. 若函数，则f(O)= -3 .37.若函数在x=O处连续,则k=e .38.曲线在(2，2)处的切线斜率是 .39.函数的单调增加区间是 .40.= .41. 函数的定义域是(-2，2) .42. 函数的间断点是 x=3 .43. 曲线在(0，2)处的切线斜是 1 .44. 函数的单调增加区间是 .45. 若,则f(x)= .46.函数的定义域是 .47.若函数，在x=O处连续，则k= e .48. 已知f(x) =ln2x ，则= 0 .49. 函数的单调增加区间是 .50. ，则= .三、计算题1.计算极限.解：2..解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则得3.计算不定积分.解:由换元积分法得4.计算定积分.解:由分部积分法得5.计算极限.解：6.设,求.解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得7.计算不定积分.解:由换元积分法得8.计算定积分.解:由分部积分法得9.计算极限解:10.设，求dy.解:由微分四则运算法则和一阶微分形式不变性得11.计算不定积分.解:由换元积分法得12.计算定积分.解:由分部积分法得13.计算极限.解：14.设，求.解：15.计算不定积分·解:由换元积分法得16.计算定定积分.解:由分部积分法得17.计算极限.解：18.设求dy.解：19.计算不定积分.解：由换元积分法得20.计算定积分.解：由分部积分法得21.计算极限.22.设求 .解：由导数四则运算法则和导数基本公式得23.计算不定积分.解：由换元积分法得24.计算定积分.解：由分部积分法得25.计算极限.26.设，求.解: 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得27.计算不定积分.解：由换元积分法得28.计算定积分.解：由分部积分法得29. 计算极限.30.设,求.解:由导数运算法则和导数基本公式得31.计算不定积分.解：由换元积分法得32. 计算定积分.解：由分部积分法得33. 计算极限.34设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得35.计算不定积分.解：由换元积分法得36.计算定积分.解：由分部积分法得37. 计算极限38.设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得39.计算不定积分.解：由换元积分法得40. 计算定积分.解：由分部积分法得四、应用题1.求曲线上的点，使其到点A(0,2)的距离最短.解:曲线上的点到点A(0,2)的距离公式为d与在同一点取到最大值，为计算方便求最大值点，将代人得求导得令得，并由此解出，即曲线上的点和点到点A(0,2)的距离最短。
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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
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高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。
2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。
（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。
（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。
3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。
4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。
5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。
（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。
6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。
二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。
2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。
4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。
5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。
三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。
2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。
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高等数学基础复习资料一.选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1,5]C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-5.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数 6.=+∞→xx x)21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 7.=→2xtan3xlimx （ ） A.∞B.23C.0D.18.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x ax xx x f 在x=0处连续，则常数a=（ ）A.0B.1C.2D.39.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于 A.0； B.1； C. 21； D. 2；10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ， ，在点0=x 处连续，则k 等于 ( )A. 0B. 41 C. 21 D. 211.设y=sin 2x ，则y ′=（ ） A.sin2xB.2sinxC.cos2xD.cos 2x12.y=e x (sinx-cosx)，则='y ( ) A.e x (-sinx+cosx)B.2e x sinxC.2e x cosxD.e x sinx13.设y=2x +e 2,则y ′=（ ）Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 14.设y=sin(7x+2),则=dxdy( ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2)15.已知曲线x x y -=2上的点M 处的切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（1，1） D.（0，0） 16.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ ） A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0D.x-y+2=017.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ ）A.)0,(-∞B. ),(+∞-∞C.),0(+∞D.（－1，1） 18.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ ） A.),1(+∞B.)1,(-∞C.),(+∞-∞D.),2(+∞19.函数x e y x arctan +=在区间[]1,1-上 ( ) A.单调减少 B.单调增加 C.无最小值 D.无最大值 20.函数5x 5e 的一个原函数为（ ） A. e 5xB. 5e 5xC.x 5e 51D. –e 5x21.1x 31+的一个原函数是（ ） A. ln(3x+1)B.2)1x 3(1+-C.2)1x 3(21+D.)1x 3ln(31+ 22.设⎰+=C xxdx x f ln )(，则=)(x f （ ）A.21ln x x - B.2)(ln 21x C.x ln ln D.2ln 1x x -23.若C e 2dx )x (f 2x +=⎰，则f(x)=( ).A.2x eB.22xe C.212xeD.424．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. xx y x y s i n 1'=+D.x y y ='+''2 25.=⎰-22cos ππxdx x （ C ）A. π32B.34 C. 0 D.32 26.⎰-=ππxdx x sin 2（ D ）A.2B.1C.-2D.027.⎰ππ-=+dx xcos 21xsin 3（ A ） A.0 B.1 C.-1 D.2 28.广义积分⎰+∞1xdx（ B ）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于129.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.⎰∞1dx x B.⎰∞11dx xC.⎰∞11dx xD.⎰∞121dx x二.填空题1.设函数f(x)=⎩⎨⎧>+≤0x ,1x 20x ,x 2则f(1)= 3 . 2.设函数f(x)=x 2-3x+2，则f(x+1)=256x x -+3.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a ___-1____，=c ___1____．4.若c )x (f lim x =+∞→，则曲线y=f(x)有渐近线___y c =________.5.C x x dx x x ++=+⎰ln 2)1(26.)1(____21____2x d xdx --=． 7.微分方程0y dxdy =-的通解为__x y Ce =_________.8.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是_____ 132y Cx =- _. 9.已知函数f(x)=⎰-=⎩⎨⎧>+≤-21dx )x (f 0x ,x 10x ,x 1则__112_________. 10.设==-⎰x dt t x则,6)12(13或2- .三.解答题1 64lim 222-+-→x x x x 解：原式22(2)(2)24lim lim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+2.11lim 21--→x x x 解：原式11224x x →→====⋅ 3. xe x x 1lim 20-→ 解：原式2022lim111x x e →=== 4. x x e x x sin cos lim 0-→ 解：原式0sin 10lim1cos 1x x e x x →++=== 5.x xy sin 1cos +=；解：22sin (1sin )cos cos (1sin )1(1sin )(1sin )1sin x x x x x y x x x-⋅+-⋅-+'===-+++ 6. +=xxe y xx sin 解：22cos sin cos sin (1)x x xx x x x x x y e xe e x x x ⋅-⋅-'=++=++ 7.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．解：方程两边对x 求导: 0xyy xy e e y ''+-+⋅=解得：x y e yy x e -'=+ 当0x =时，0y =于是000|10x e y e=-'==+ 8.求函数f(x)=x 3-3x 2-9x+5在[-2，4]上的最大值与最小值。
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《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案6)
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案6)高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（6）导数的应用例题讲解（一）（一）填空题1. 函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是 . 解：212xx y +='，当0>x 时0>'y .故函数的单调增加区间是),0(∞+. 故应填 ),0(∞+。
2．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －3在区间（1，2）内单调________。
解：，当x ∈(1，2) 时，， 故应填：减少。
3. 函数)1ln(2x y -=的单调减少区间是 . 解：212xx y +-='，当0>x 时0<'y .故函数的单调减少区间是),0(∞+. 故应填 ),0(∞+4．函数y ＝2x 2－4x ＋5的单调上升区间是_____________。
解：，当1>x 时0>'y ，该函数的单调上升区间为),1(∞+故应填 ),1(∞+5．函数x x y -=arctan 的单调下降区间是______________。
解：0<，其单调下降区间为：),(∞+-∞故应填 ),(∞+-∞6. 函数)e e (21)(x x x f -+=的极小值点为 。
解：)e e (21)(x x x f --='，令0)(='x f ，解得驻点0=x ， 又0<x 时，0)(<'x f ；0>x 时，0)(>'x f ，所以0=x 是函数)e e (21)(x x x f -+=的极小值点。
故填0=x 。
7．函数y ＝x －e x 的极大值是_______。
解：，驻点为x ＝0，01)0(,''"<-=-=y e y x 0=x 为极大值点，其极大值为：1)0(-=y故应填 1)0(-=y8．曲线y ＝x 3－5x 2＋3x －5的凹区间是__________，拐点是_________。
高等数学基础期末复习资料
《高等数学基础》课程期末考试复习资料册一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.=轴轴D.坐标原点2.函数在x=0处连续，则k=(C）.下列等式中正确的是(C).4.若F(x)是(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A).5.下列无穷限积分收敛的是(D).6.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)-f(-x)的图形关于(D)对称.=轴轴D.坐标原点7.当时，下列变量中(A)是无穷大量.8.设f(x)在点x=1处可导，则=(B).9.函数在区间(2,4)内满足(A).A.先单调下降再单调上升B.单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调下降10.=(B)..ППD.П/211.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.12.当，变量(C)是无穷小量.13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A).14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）.15.下列无穷限积分收敛的是(C).16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称.A.坐标原点轴轴=x17.当时，变量(D)是无穷小量.18.设f(x)在x。
可导，则=（C）.19.若则=（B）.20.=（A）.21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.22.当k=（C）时，在点x=0处连续.函数在区间(2,4)内满足(B).A.先单调下降再单调上升B.单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调下降24若,则=(D).十十c+十C25.下列无穷积分收敛的是(A).26.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)-f（-x)的图形关于(D)对称.=轴轴D.坐标原点27.当x→0时，变量(C)是无穷小量.28.函数在区间(-5，5)内满足(B).A.单调下降B.先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降D.单调上升29.下列等式成立的是(A).30.下列积分计算正确的是(D).31.函数的定义域是（D）.32.若函数，在x=0处连续，则k=（B）.下列函数中，在内是单调减少的函数是（A）.34.若f(x)的一个原函数是，则=（C）.+十C十十C35.下列无穷限积分收敛的是（C）.36.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等..在下列指定的变化过程中，(A)是无穷小量.38.设f(x)在可导，则=(C).39.=(A).40.下列无穷限积分收敛的是(C).41.下列函数中为奇函数的是(A).42.当x→0时，变量(C)无穷小量.43.下列等式中正确的是（B）.44若f(x)的一个原函数是，则=(D).45.=(A).46.函数的图形关于(D)对称.=轴轴D.坐标原点47.在下列指定的变化过程中，(A)是元穷小量.48.函数在区间(-5，5)内满足(C).A.先单调上升再单调下降B.单调下降C.先单调下降再单调上升D.单调上升49.若f(x)的一个原函数是，则=(B).50.下列无穷限积分收敛的是(B).二、填空题1.函数的定义域是（3,5）.2.已知，当时，f(x)为无穷小量.3.曲线f(x)=sinx在处的切线斜率是-1.4.函数的单调减少区间是.5.=0.6.函数的定义域是（2，6）.7.函数的间断点是x=0.8.函数的单调减少区间是.9.函数的驻点是x=-2.10.无穷积分当时p>1时是收敛的.11..若，则f(x)=.12.函数的间断点是x=0.13.已知，则=0.14.函数的单调减少区间是.15.=.16.函数的定义域是(-5,2).17..18.曲线在点(1,3)处的切线斜率是2.19.函数的单调增加区间是.20.若则f(x）=.21.若则f(x）=.22已知当时，f(x）为无穷小量.23.曲线在(l,2)处的切线斜率是.24.=.25若,则=.26.函数的定义域.27.函数的间断点是x=0.28.曲线在x=2处的切线斜率是.29.函数的单调增加区间是.30.=.31.函数，则f(x)=.32.函数的间断点是x=3.33.已知则=0.34.函数的单调减少区间.35.若f(x)的一个原函数为lnx，则f(x)=.36.若函数，则f(O)=-3.37.若函数在x=O处连续,则k=e.38.曲线在(2，2)处的切线斜率是.39.函数的单调增加区间是.40.=.41.函数的定义域是(-2，2).42.函数的间断点是x=3.43.曲线在(0，2)处的切线斜是1.44.函数的单调增加区间是.45.若,则f(x)=.46.函数的定义域是.47.若函数，在x=O处连续，则k=e.48.已知f(x)=ln2x，则=0.49.函数的单调增加区间是.50.，则=.三、计算题1.计算极限.解：2..解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则得3.计算不定积分.解:由换元积分法得4.计算定积分.解:由分部积分法得5.计算极限.解：6.设,求.解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得7.计算不定积分.解:由换元积分法得8.计算定积分.解:由分部积分法得9.计算极限解:10.设，求dy.解:由微分四则运算法则和一阶微分形式不变性得11.计算不定积分.解:由换元积分法得12.计算定积分.解:由分部积分法得13.计算极限. 解：14.设，求. 解：15.计算不定积分·解:由换元积分法得16.计算定定积分. 解:由分部积分法得17.计算极限. 解：18.设求dy.解：19.计算不定积分. 解：由换元积分法得20.计算定积分.解：由分部积分法得21.计算极限.22.设求.解：由导数四则运算法则和导数基本公式得23.计算不定积分.解：由换元积分法得24.计算定积分.解：由分部积分法得25.计算极限.26.设，求.解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则得27.计算不定积分.解：由换元积分法得28.计算定积分.解：由分部积分法得29.计算极限.30.设,求.解:由导数运算法则和导数基本公式得31.计算不定积分.解：由换元积分法得32.计算定积分.解：由分部积分法得33.计算极限.34设，求dy.解:由微分运算法则和微分基本公式得35.计算不定积分.解：由换元积分法得36.计算定积分.解：由分部积分法得37.计算极限38.设，求dy.解:由微分运算法则和微分基本公式得39.计算不定积分.解：由换元积分法得40.计算定积分.解：由分部积分法得四、应用题1.求曲线上的点，使其到点A(0,2)的距离最短.解:曲线上的点到点A(0,2)的距离公式为d与在同一点取到最大值，为计算方便求最大值点，将代人得求导得令得，并由此解出，即曲线上的点和点到点A(0,2)的距离最短。
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案3)
2014电大《高等数学基础》期末复习资料（例题附答案3）高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（3）函 数 的 连 续 性函数的连续性1. 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义①)(x f 在0x 的一个邻域内有定义；②)(x f 在0x 处存在极限；③极限值等于)(x f 在0x 处的函数值，这三点缺一不可。
若函数)(x f 在0x 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，2. 了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类，会求函数的间断点。
间断点的分类：已知点0x x =是的间断点，若)(x f 在点0x x =的左、右极限都存在，则0x x =称为)(x f 的第一类间断点；若)(x f 在点0x x =的左、右极限有一个不存在，则0x x =称为)(x f 的第二类间断点。
3. 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。
知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。
知道闭区间上连续函数的性质（最大最小值存在定理、零点定理、介值定理）。
理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；例1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。
解： 由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。
因为 1)0(,1)1(lim ,01sin lim 00==+=+-→→f x xx x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。
应填：0=x例2. 设在x ＝1处连续，则=a __________。
解： 由1=x 处连续，导出1→x 的左、右极限相等，3)12(lim 1=+-→x x =a ax x =+→21lim 应填：3例3. 若)(x f y =在x 0处连续，则=→)(lim 0x f x x ________。
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高等数学期末复习资料第 1 页（共9 页）高等数学第一章函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限第一节函数○函数基础（高中部分相关知识）（★）○邻域（去心邻域）（★）....,|Uaxxa.........,|0Uaxxa......第二节数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列..nx，证明..limnxxa...【证明示例】N..语言1．由nxa...化简得...gn.，∴..Ng......2．即对0...，..Ng.......，当Nn.时，始终有不等式nxa...成立，∴..axnx (i)第三节函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限○0xx.时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数..xf，证明..Axfxx..0lim【证明示例】...语言1．由..fxA...化简得..00xxg....，∴....g.2．即对.. . 0 ，....g..，当00xx....时，始终有不等式..fxA...成立，∴ f .x. Ax x.. 0lim○..x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 f .x. ，证明..Axfx (i)【证明示例】X..语言1．由..fxA...化简得..xg..，∴ (X)2．即对.. . 0 ，...gX..，当Xx.时，始终有不等式..fxA...成立，∴..Axfx (i)第四节无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大○无穷小与大的本质（★）函数..xf无穷小...0lim.xf函数..xf无穷大.....xflim○无穷小与大的相关定理推论（★）（定理三）假设 f .x. 为有界函数，..xg为无穷小，则....lim0fxgx......（定理四）在自变量的某个化过程中，若在自变量的某个化过程中，若..xf为无穷大，则无穷大，则无穷大，则..1fx.为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若..xf为无穷小，且..0fx.，则..xf1.为无穷大【题型示例】计算：....0limxxfxgx......（或..x）1．∵..fx≤M∴函数..fx在0xx.的任一去心邻域...,0xU.内是有界的；（∵..fx≤M ，∴函数..fx在Dx.上有界；）2．..0lim0..xgxx即函数..xg是0xx.时的无穷小；（..0lim...xgx即函数g.x. 是x . . 时的无穷小；）3．由定理可知....0lim0xxfxgx.......（....lim0xfxgx........）第五节极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则○极限的四则运算法（★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式..px、..xq商式的极限运算设：.....................nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有...............0lim00baxqxpxmnmnmn...........000lim00xxfxgxfxgx......................0000000,00gxgxfxgxfx.....（特别地，当....00lim0xxfxgx..（不定型）时，通常分子分母约去公因式约去公因式约去公因式即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便可求解出极可求解出极可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx...高等数学期末复习资料第 2 页（共9 页）【求解示例】解：因为3.x，从而可得3.x，所以原式....23333311limlimlim93336xxxxxxxxx.............其中3x.为函数..239xfxx...的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章二节）：解：....00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx.............○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★）（定理五）若函数..xf是定义域上的连续函数，那么，....00limlimxxxxfxfx...............【题型示例】求值：93lim23 (xxx)【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx.........第六节极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要○夹迫准则（P53P53）（★）第一个重要极限：1sinlim0..xxx∵........2,0.x，xxxtansin..∴ 1sinlim.. xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx.............（特别地，000sin()lim1xxxxxx....）○单调有界收敛准则（P57P57）（★）第二个重要极限：exxx..........11lim（一般地，（一般地，（一般地，（一般地，........limlimlimgxgxfxfx.........，其中..0lim.xf）【题型示例】求值：11232lim (xxxx)【求解示例】....211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx...................................................................................................解：....12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee.......................................第七节无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较）○等价无穷小（★）1．..~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe..2．UUcos1~212.（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：....xxxxxx31ln1lnlim20.....【求解示例】..............3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020........................xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为第八节函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性○函数连续的定义（★）......000limlimxxxxfxfxfx......○间断点的分类（P67P67）（★）.........）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数.......xaexfx2，00..xx应该怎样选择数a，使得..xf成为在R上的连续函数？【求解示例】1．∵......2010000feeefaafa...................2．由连续函数定义......efxfxfxx.......0limlim00∴ea.高等数学期末复习资料第 3 页（共9 页）第九节闭区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程】证明：方程】证明：方程】证明：方程....fxgxC..至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1．（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）......xfxgxC....在闭区间..,ab上连续；2．∵....0ab....（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间..ba,内至少有一点.，使得..0...，即....0fgC.....（10...）4．这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程....fxgxC..在开区间在开区间.a,b.内至少有一个根.第二章导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分第一节导数概念○高等数学中导的定义及几何意（P83P83）（★）【题型示例】已知函数】已知函数】已知函数........baxexfx1，00..xx在0.x处可导，求a，b【求解示例】1．∵....0010fefa............，......00001120012feefbfe...................2．由函数可导定义..........0010002ffafffb..................∴1,2ab..【题型示例】求..xfy.在ax.处的切线与法方程（或：过（或：过（或：过..xfy.图像上点..,afa....处的切线与法处的切线与法处的切线与法处的切线与法方程）【求解示例】1．..xfy...，..afyax....|2．切线方程：......yfafaxa....法线方程：......1yfaxafa.....第二节函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则★）1．线性组合（定理一）：线性组合（定理一）：()uvuv..........特别地，当1....时，有()uvuv......2．函数积的求导法则（定理二）：函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv.....3．函数商的求导法则（定理三）：函数商的求导法则（定理三）：2uuvuvvv...........第三节反函数和复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数..xf1.的导数【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得..xf为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且..0..xf；∴....11fxfx........○复合函数的求导法则（★）【题型示例】设..2arcsin122lnxyexa....，求y.【求解示例】................2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12 211121*********xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaeaeexa.......................................................... .......解：2n1222212xxxxxxa.............第四节高阶导数○........1nnfxfx.......（或....11nnnndydydxdx..........）（★）【题型示例】求函数..xy..1ln的n阶导数【求解示例】..1111yxx......，......12111yxx...............，..........2311121yxx....................……..1(1)(1)(1)nnnynx........！第五节隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★）【题型示例】试求：方程】试求：方程】试求：方程】试求：方程yexy..所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线C：..xyy.在点..1,1e.的切线方程与法【求解示例】由y y . x . e 两边对x 求导即..yyxe.....化简得1yyey.....∴eey (11111)高等数学期末复习资料第 4 页（共9 页）∴切线方程：..exey (1111)法线方程：....exey (111)○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程.........tytx..，求22dxyd【求解示例】1.....ttdxdy.....2...22dydydxdxt..........第六节变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变（不作要求）第七节函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分○基本初等函数微分公式与运算法则（★★★）..dxxfdy...第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马）（○引理（费马）（★）○罗尔定理（★）【题型示例】现假设函数..fx在..0,.上连续，在上连续，在上连续，在..0,.上可导，试证明：..0,....，使得....cossin0ff.......成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....sinxfxx..显然函数..x.在闭区间.0,. .上连续，在开区间开区间.0,. . 上可导；2．又∵....00sin00f.......sin0f......即....00.....3．∴由罗尔定理知....0,..，使得，使得. .c . . ossin0 f. f ... . . . 成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x.时，xeex..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令函数..xfxe.，则对1x..，显然函数..fx在闭区间..1,x上连续，在开区间..1,x上可导，并且..xfxe..；2．由拉格朗日中值定理可得，..1,x...使得等式..11xeexe....成立，又∵1ee..，∴..111xeexeexe......，化简得xeex..，即证得：当x .1时，x e ex . .【题型示例】证明不等式：当0x.时，..ln1xx..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....ln1fxx..，则对0x..，函数，函数 f .x. 在闭区间..0,x上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区间.0,. . 上可导，并且..11fxx...；2．由拉格朗日中值定理可得，由拉格朗日中值定理可得，..0,x...使得等式......1ln1ln1001xx.......成立，化简得..1ln11xx....，又∵..0,x..，∴..111f......，∴..ln11xxx....，即证得：当x .1时，x e ex . .第二节罗比达法则罗比达法则罗比达法则罗比达法则○运用罗比达法则进行极限算的基本步骤（★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（0,0..）且满足条件，则进行运算：........limlimxaxafxfxgxgx.....（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B．☆不属于两大基本定型（转化为基本不定型）⑴0..型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0limlnxxx...【求解示例】..10000201lnlnlimlnlimlimlim111lim0xxLxxxxxxxxxxxxxa.................................解：（一般地，..0limln0xxx.....，其中,R...）⑵...型（通分构造式，观察母）【题型示例】求值：011limsinxxx........【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxx...........................解：........000000002sin1cos1cossinlimlimlimlim0222LxxLxxxxxxxxxx..................高等数学期末复习资料第 5 页（共9 页）⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0limxxx.【求解示例】....0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0limlnlimlim111limlim0limlim11xxxxxLxyyxxxxxyxyxxxxxx xyxxxxyeeex...................................解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有⑷1.型（对数求极限法）【题型示例】求值：..10limcossinxxxx..【求解示例】..........01000000limlnln100lncossincossin,ln,lncossinln0limlnlimlncossincossin10limlim1,cossin1 0lim=limxxxxLxxyyxxxxyxxyxxxyxyxxxxxxxxyeeee.................................解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0.型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan01limxxx.......【求解示例】....tan002000202200011,lntanln,1ln0limlnlimtanln1lnlnlimlimlim1sec1tantantansinsinlimlimlixxx xLxxxLxyyxxxyxyxxxxxxxxxxxxx...................................................................解：令两边取对数得对求时的极限，00limlnln0002sincosm0,1lim=lim1xxyyxxxxyeee.........从而可得○运用罗比达法则进行极限算的基本思路（★）0000001.......................(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指提前）第三节泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四节函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸○连续函数单调性（单调区间）（★）【题型示例】试确定函数】试确定函数】试确定函数】试确定函数..3229123fxxxx....的单调区间【求解示例】1．∵函数..fx在其定义域R上连续，且可导∴..261812fxxx....2．令......6120fxxx.....，解得：，解得：，解得：121,2xx..3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x..,1..1..1,22..2,....fx......fx极大值极小值4．∴函数 f .x. 的单调递增区间为....,1,2,....；单调递减区间为..1,2【题型示例】证明：当0x.时，1xex..【证明示例】1．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）设..1xxex....，（0x.）2．..10xxe.....，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，1 x e .x.【题型示例】证明：当x . 0 时，..ln1xx..【证明示例】1．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设....ln1xxx....，（x . 0 ）2．..1101xx......，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，l . . n1 .x .x○连续函数凹凸性（★）【题型示例】试讨论函数2313yxx...的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值凹凸性及拐点【证明示例】高等数学期末复习资料第 6 页（共9 页）1．....236326661yxxxxyxx........................320610yxxyx................120,21xxx......3．（四行表）x(,0)..(0,1)1(1,2)2(2,)..y.....y......y1(1,3)4．⑴函数 2 3 y 1 3xx . ..单调递增区间为(0,1), (1,2) 单调递增区间为( ,0) .. , (2,) .. ；⑵函数 2 3 y 1 3xx . ..的极小值在0x.时取到，为..01f.，极大值在2x.时取到，为..25f.；⑶函数 2 3 y 1 3xx . ..在区间( ,0) .. , (0,1)上凹，在区间(1,2), (2,) .. 上凸；⑷函数 2 3 y 1 3xx . ..的拐点坐标为..1,3第五节函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小○函数的极值与最关系（★）⑴设函数..fx的定义域为的定义域为的定义域为D，如果Mx.的某个邻域..MUxD.，使得对..MxUx..，都适合不等式....Mfxfx.，我们则称函数 f .x. 在点..,MMxfx....处有极大值..Mfx；令..123,,,...,MMMMMnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间..,ab上的最大值M满足：......123max,,,,...,,MMMMnMfaxxxxfb.⑵设函数 f .x. 的定义域为D，如果，如果mx.的某个邻域..mUxD.，使得对，使得对，使得对..mxUx..，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等式....mfxfx.，我们则称函数我们则称函数我们则称函数我们则称函数 f .x. 在点..,mmxfx....处有极小值..mfx；令..123,,,...,mmmmmnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间.a,b. 上的最小值m满足：......123min,,,,...,,mmmmnmfaxxxxfb.；【题型示例】求函数..33fxxx..在..1,3.上的最值【求解示例】1．∵函数 f .x. 在其定义域. 1 . ,3 . 上连续，且可导∴..233fxx....2．令......3110fxxx......，解得：121,1xx...3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x1...1,1.1..1,3f. .x...f .x.极小值极大值4．又∵......12,12,318fff......∴........maxmin12,318fxffxf.....第六节函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘（不作要求）（不作要求）（不作要求）第七节曲率（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第八节方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★）⑴原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数上，可导函数上，可导函数..Fx的导函数为..Fx.，即当自变量，即当自变量，即当自变量，即当自变量xI.时，有时，有....Fxfx..或....dFxfxdx..成立，则称成立，则称成立，则称成立，则称F.x. 为..fx的一个原函数⑵原函数存在定理：（★）如果函数..fx在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数..Fx使得 F . . . . xfx . . ，也就是说：连续函数一定存在原（可导必）⑶不定积分的概念（★）在定义区间I 上，函数上，函数f .x. 的带有任意常数项C的原函数称为 f .x. 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：....fxdxFxC...（.称为积分号， f .x. 称为被积函数，..fxdx称为积分表达式，x则称为积分变量）○基本积分表（★）○不定积分的线性性质（分项积公式）（★）........1212kfxkgxdxkfxdxkgxdx..........第二节换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法○第一类换元法（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（★）（dy . f ..x.. dx 的逆向应用）........fxxdxfxdx......................高等数学期末复习资料第7 页（共9 页）【题型示例】求221dxax..【求解示例】222211111arctan11xxdxdxdCaxaaaaxxaa............................解：【题型示例】求121dxx..【求解示例】....111121************dxdxdxxxxxC.............解：○第二类换元法（去根式）（★）（dy . f ..x.. dx的正向应用）⑴对于一次根式（0,abR..）：axb.：令taxb..，于是2tbxa..，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a.）：22ax.：令tanxat.（22t.....），于是arctanxta.，则原式可化为secat；⑶对于根号下平方差的形式（ a . 0 ）：a．22ax.：令sinxat.（2 2t. .. ..），于是arcsinxta.，则原式可化为cosat；b．22xa.：令secxat.（02t...），于是arccosatx.，则原式可化为tanat；【题型示例】求12 1dxx . . （一次根式）【求解示例】2211122112121txxtdxtdtdxtdtdttCxCtx.....................解：【题型示例】求22axdx..（三角换元）【求解示例】....2sin()222222arcsincos22cos1cos221sin2sincos222xattxtadxataaxdxatdttdtaattCtttC.................... .............解：第三节分部积法分部积法分部积法分部积法○分部积法（★）⑴设函数..ufx.，..vgx.具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其分部积公式可表示为：udvuvvdu....⑵分部积法函数排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”○运用分部积法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积法函数排序次对被；⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（vdxdv...）⑶使用分部积公式：udvuvvdu . . ..⑷展开尾项vduvudx.....，判断a．若vudx...是容易求解的不定积分，则直接计，则直接计，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分、换元法算出答案（容易表示使用基本积分、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若v udx . . . 依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2xexdx..【求解示例】....222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxexdxxedxxdexeedxxexedxxexdexexeedxxexeeC................ .........解：【题型示例】求sinxexdx..【求解示例】........sincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinxxxxxxxxxxxxxxexdxedxexxdeexexdxexedxexe xxdeexexexdx...........................解：..sincossinsinxxxxexdxexexxde.......即：∴..1sinsincos2xxexdxexxC.....第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分○有理函数（★）设：........101101mmmnnnPxpxaxaxaQxqxbxbxb.............对于有理函数....PxQx，当..Px的次数小于..Qx的次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函. .. .P xQ x是真分式；当是真分式；当是真分式；当是真分式；当P.x. 的次数高等数学期末复习资料第8 页（共9 页）大于. . Q x 的次数时，有理函. .. .P xQ x是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数将有理函数将有理函数将有理函数. .. .P xQ x的分母Q.x. 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示为一次因式..kxa.；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为二次质因式..2lxpxq..，（240pq..）；即：......12QxQxQx..一般地：nmxnmxm.........，则参数nam..22bcaxbxcaxxaa...........则参数,bcpqaa..⑵则设有理函数. .. .P xQ x的分拆和式为：............122klPxPxPxQxxaxpxq.....其中........1122...kkkPxAAAxaxaxaxa................2112222222...llllPxMxNMxNxpxqxpxqxpxqMxNxpxq...............参数121212,,...,,,,...,lklMMMAAANNN.........由待定系数法（比较）求出⑶得到分拆式后项积即可求解【题型示例】求21xdxx..（构造法）【求解示例】......221111111111ln112xxxxdxdxxdxxxxxdxdxdxxxxCx................................第五节积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第五章定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质○定积分的义（★）....01limnbiiaifxdxfxI.........（ f .x. 称为被积函数，f . . xdx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，..,ab称为积分区间）○定积分的性质（★）⑴....bbaafxdxfudu...⑵..0aafxdx..⑶....bbaakfxdxkfxdx.......⑷（线性质）........1212bbbaaakfxkgxdxkfxdxkgxdx..........⑸（积分区间的可加性）......bcbaacfxdxfxdxfxdx.....⑹若函数..fx在积分区间.a,b. 上满足..0fx.，则..0bafxdx..；（推论一）若函数 f .x. 、函数、函数..gx在积分区间在积分区间在积分区间.a,b. 上满足....fxgx.，则....bbaafxdxgxdx...；（推论二）....bbaafxdxfxdx...○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★）（定理三）若果函数..Fx是连续函数..fx在区间..,ab上的一个原函数，则......bafxdxFbFa...○变限积分的导数公式（★）（上导―下）..............xxdftdtfxxfxxdx...................【题型示例】求21cos20limtxxedtx...【求解示例】..221100coscos2002limlim解：ttxxxLxdedtedtdxxx.........高等数学期末复习资料第9 页（共9 页）........2222221coscos000cos00coscos0cos010sinsinlimlim22sinlim2cossin2sincoslim21limsincos2 sincos21122xxxxxLxxxxxxeexxexxdxedxxxexexxexxxee.......................................第三节定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部○定积分的换元法（★）⑴（第一换元法）........bbaafxxdxfxdx......................【题型示例】求20121dxx..【求解示例】....222000111121ln212122121ln5ln5ln122解：dxdxxxx...............⑵（第二换元法）设函数....,fxCab.，函数..xt..满足：a．,...，使得....,ab......；b．在区间．在区间．在区间..,..或..,..上，....,ftt.......连续则：......bafxdxfttdt............【题型示例】求40221xdxx...【求解示例】..221210,43220,1014,332332311132222113111332223522933解：ttxxxtxttxdxdxtxttdttdttxt........................................⑶（分部积法）........................bbaabbbaaauxvxdxuxvxvxuxdxuxdvxuxvxvxdux..............○偶倍奇零（★）设....,fxCaa..，则有以下结论成立：⑴若....fxfx..，则....02aaafxdxfxdx....⑵若....fxfx...，则..0aafxdx...第四节定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用（不作要求）第五节定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用（不作要求）第六节反常积分（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式21arctan1dxxCx....的证明。
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《高等数学基础》课程期末考试复习资料册
一、单项选择题
1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.
A.y=x
B.x轴
C.y轴
D.坐标原点
2.函数在x=0处连续，则k=(C）.
A.1
B.5
D.0
3.下列等式中正确的是(C).
4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A).
5.下列无穷限积分收敛的是(D).
6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称.
A.y=x
B.x轴
C.y轴
D.坐标原点
7.当时，下列变量中( A)是无穷大量.
8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B).
9.函数在区间(2,4)内满足(A).
A.先单调下降再单调上升
B.单调上升
C.先单调上升再单调下降
D.单调下降
10.=(B).
A.0
B. П
C.2П
D. П/2
11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.
12.当，变量(C)是无穷小量.
13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A).
14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）.
15.下列无穷限积分收敛的是(C).
16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称.
A.坐标原点
B.x轴
C.y轴
D. y=x
17.当时，变量(D)是无穷小量.
18.设f(x)在x。
可导，则=（C）.
19.若则=（B）.
20. =（A）.
21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.
22.当k=（C）时，在点x=0处连续.
A. -1
B. 0
c.1 D.2
23. 函数在区间(2,4)内满足(B).
A. 先单调下降再单调上升
B.单调上升
C. 先单调上升再单调下降
D.单调下降
24 若,则= (D).
A. sinx十C
B. -sinx十c
C. -cosx+c
D. cosx 十C
25. 下列无穷积分收敛的是(A).
26.设函数f(x) 的定义域为，则函数f(x)- f（-x)的图形关于(D)对称.
A.y=x
B.x轴
C.y轴
D.坐标原点
27. 当x→0时，变量(C)是无穷小量.
28. 函数在区间(-5，5) 内满足(B).
A. 单调下降
B.先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降 D.单调上升
29. 下列等式成立的是(A).
30.下列积分计算正确的是(D).
31. 函数的定义域是（D）.
32.若函数，在x=0处连续，则k=（B）.
A .1 B.2
C.-1
D.
33.下列函数中，在内是单调减少的函数是（A）.
34.若f(x) 的一个原函数是，则=（C）.
A. cosx +c
B. - sinx十C
C. sinx十C
D. - cosx十C
35. 下列无穷限积分收敛的是（C）.
36.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.
37.
37.在下列指定的变化过程中， (A)是无穷小量.
38. 设f(x)在可导，则= (C).
39. =(A).
40. 下列无穷限积分收敛的是(C).
41.下列函数中为奇函数的是(A).
42. 当x→0时，变量(C)无穷小量.
43.下列等式中正确的是（B）.
44 若f(x)的一个原函数是，则=(D).
45.=(A).
46.函数的图形关于(D)对称.
A.y=x
B.x轴
c.y轴 D.坐标原点
47. 在下列指定的变化过程中，(A)是元穷小量.
48.函数在区间(-5，5)内满足(C).
A. 先单调上升再单调下降
B.单调下降
C. 先单调下降再单调上升
D.单调上升
49. 若f(x) 的一个原函数是，则 = (B).
50.下列无穷限积分收敛的是(B).
二、填空题
1.函数的定义域是（3,5） .
2.已知，当时，f(x)为无穷小量.
3.曲线f(x)=sinx在处的切线斜率是 -1 .
4.函数的单调减少区间是 .
5.= 0 .
6.函数的定义域是（2，6） .
7.函数的间断点是 x=0 .
8.函数的单调减少区间是 .
9.函数的驻点是 x= - 2 .
10.无穷积分当时p >1 时是收敛的.
11..若，则f(x)= .
12.函数的间断点是 x=0 .
13.已知，则= 0 .
14.函数的单调减少区间是 .
15.= .
16.函数的定义域是 (-5,2) .
17. .
18.曲线在点(1,3)处的切线斜率是 2 .
19.函数的单调增加区间是 .
20.若则f(x）= .
21.若则f(x）= .
22 已知当时，f(x）为无穷小量.
23. 曲线在(l ,2) 处的切线斜率是 .
24. = .
25 若,则= .
26.函数的定义域.
27. 函数的间断点是 x=0 .
28. 曲线在x=2处的切线斜率是 .
29. 函数的单调增加区间是 .
30.= .
31. 函数，则f(x)= .
32. 函数的间断点是 x=3 .
33. 已知则 = 0 .
34. 函数的单调减少区间 .
35. 若f(x) 的一个原函数为lnx，则 f(x) = .
36. 若函数，则f(O)= -3 .
37.若函数在x=O处连续,则k=e .
38.曲线在(2，2)处的切线斜率是 .
39.函数的单调增加区间是 .
40.= .
41. 函数的定义域是(-2，2) .
42. 函数的间断点是 x=3 .
43. 曲线在(0，2)处的切线斜是 1 .
44. 函数的单调增加区间是 .
45. 若,则f(x)= .
46.函数的定义域是
.
47.若函数，在x=O处连续，则k= e .
48. 已知f(x) =ln2x ，则= 0 .
49. 函数的单调增加区间是 .
50. ，则= .
三、计算题
1.计算极限.
解：
2..
解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则得
3.计算不定积分.
解:由换元积分法得
4.计算定积分.
解:由分部积分法得
5.计算极限.
解：
6.设,求.
解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得
7.计算不定积分.
解:由换元积分法得
8.计算定积分.
解:由分部积分法得
9.计算极限
解:
10.设，求dy.
解:由微分四则运算法则和一阶微分形式不变性得
11.计算不定积分.
解:由换元积分法得
12.计算定积分.
解:由分部积分法得
13.计算极限.
解：
14.设，求. 解：
15.计算不定积分·解:由换元积分法得
16.计算定定积分. 解:由分部积分法得
17.计算极限. 解：
18.设求dy. 解：
19.计算不定积分.
解：由换元积分法得
20.计算定积分.
解：由分部积分法得
21.计算极限.
22.设求 .
解：由导数四则运算法则和导数基本公式得
23.计算不定积分.
解：由换元积分法得
24.计算定积分.
解：由分部积分法得
25.计算极限.
26.设，求.
解: 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得
27.计算不定积分.
解：由换元积分法得
28.计算定积分.
解：由分部积分法得
29. 计算极限.
30.设,求.
解:由导数运算法则和导数基本公式得
31.计算不定积分.
解：由换元积分法得
32. 计算定积分.
解：由分部积分法得
33. 计算极限.
34设，求dy.
解: 由微分运算法则和微分基本公式得
35.计算不定积分.
解：由换元积分法得
36.计算定积分.
解：由分部积分法得
37. 计算极限
38.设，求dy.
解: 由微分运算法则和微分基本公式得。