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学科：奥数

教学内容：格点与面积

生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具” 。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍

什么是“格点”。见下图：

这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位” 。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形

的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

例 1计算下图中各图形的面积：

分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

解答：

（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。

（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3× 2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3× 2=6。

（3）将图中三角形用虚线分成 3 块，它包含有 1 个面积单位和 2 个面积单位的一半，合起来有 2 个面积单位，所以它的面积为 2。

（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为 3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为 3。

（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠

倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。所以梯形的面积为：（2＋4）× 3÷2=9。

（6）将图中梯形用虚线分成 3 块，它包含有 5 个面积单位和 2 个面积单位的一半，合起来有 6 个面积单位，所以它的面积为 6。

例 2计算下面这个格点多边形的面积。

分析：这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。可用长方形的面积减去 4 个直角三角形的面积，如图 1 所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。

解答：

方法一：

3× 4－（ 2× 1÷ 2＋ 2× 1÷ 2＋ 2× 2÷ 2＋ 3×1÷2）=6.5 （面积单位）方法二：

1× 2÷ 2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5 （面积单位）

例3 相邻四点连成的小正方形面积为 1 平方厘米。

分别连接各点，组成下面 12 个图形，你发现有什么排列的规律？

算出各图形的面积。找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者

之间的关系。

分析：仔细观察图形：

横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；

竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。

图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。

第（ 1）组

图形编号①②③④

一周格点数4684

1

中间格点数0000

面积（平方厘

1236

米）

中间没有格点时，面积 =一周格点数÷ 2－1

第（ 2）组

图形编号⑤⑥⑦⑧

一周格点数4684

1

中间格点数1111

面积（平方厘

2347

米）

中间有一个格点时，面积=一周格点数÷ 2＋（ 1－ 1）

第（ 3）组

图形编号⑨⑩ 11

12

一周格点数46841

中间格点数2222

面积（平方厘

3458米）

中间有两个格点时，面积=一周格点数÷ 2＋（ 2－ 1）

解答：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。

（2）各图形的面积见表格。

各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面

积计算公式是：

图形面积 =图形一周的格点数÷ 2＋（中间格点数－ 1）

说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。

例 4下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：

分析：这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。每一部分面积的求法，因图而异。如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，而长方形只要直接数单位面积即可。

解答：左边三角形面积 =4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；

右边三角形面积 =4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；长方形

的面积为 6×2=12；

所以礼盒面积为： 5＋4＋12=21

说明：此题还可以直接用公式，请你自己试一试。

例5 在下图中有 21 个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形 ABC的面积。

分析：此题是一个三角形格点图。每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一

个面积单位。三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，

可以直接数图形所包含的面积单位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过加减运算得到。此题中三角形ABC的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。

解答：

方法一：给三角形 ABC添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由25 个单位三角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ三个小三角形的面积即可。

三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图 4 中的虚线平行四边形。这个平行四边形包含 6 个面积单位，所以他的面积为6，三角形Ⅰ的面积为：6÷ 2=3