数列知识点及常用结论
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
高中数学数列知识点总结(精华版)
..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列{}a的最大项为__（答：n125）；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答：bn1aa n1）；n23、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
数列的基本知识点
数列的基本知识点一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
数列复习基本知识点及经典结论总结+练习题
数列复习基本知识点及经典结论总结1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）A B C D递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的前n 项和：a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念： 1、 等差数列的定义：即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). （1） 等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
完整版)数列知识点归纳
完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。
因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。
特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。
7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。
高考数学知识点总结之数列公式及结论总结
高考数学知识点总结之数列公式及结论总结一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的干系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (此中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k(此中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、仍为等比数列。
7、等差数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 11、{an}为等差数列，则(c0)是等比数列。
12、{bn}(bn0)是等比数列，则{logcbn} (c0且c1) 是等差数列。
数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：（为常数），
等差中项：成等差数列
前项和
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若是等差数列，且前项和分别为，则
（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，
2. 等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），.
等比中项：成等比数列，或.
前项和：（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为.
注意：由求时应注意什么？
时，；
时，.
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
（2）错位相减法
如：①
②
①—②
时，，时，。
数列知识点、公式总结
数列知识点、公式总结一、数列的概念 1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；na 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列 1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质： （1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列 1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质： （1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列，{}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m ma a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）； （2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式： 对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得：()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
数列高考知识点大全总结
数列高考知识点大全总结一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有限或无限个数按照一定的顺序排列组成的。
用数学语言描述就是一个由实数构成的序列。
一般用字母或符号表示，如{an}、{bn}等。
2. 数列中的相关概念（1）通项公式：数列中的第n个数的一般表达式，通常用an表示。
（2）前n项和：数列前n项的和，通常用Sn表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：若数列中相邻两项的差恒定，称其为等差数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）等比数列：若数列中相邻两项的比恒定，称其为等比数列。
其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（3）常数数列：数列中的每一项都相等的数列称为常数数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：当数列中的数有上界和下界时，称其为有界数列。
（2）无界数列：当数列中的数没有上界和下界时，称其为无界数列。
2. 数列的单调性若数列中的每一项都满足an≤an+1或者an≥an+1时，称其为单调递增数列或者单调递减数列。
3. 数列的性质（1）数列的线性组合：若an和bn是两个数列，k和m是任意常数，那么k*an+m*bn 也是一个数列。
（2）数列的绝对值：若an是一个数列，那么|an|也是一个数列。
三、常见数列1. 等差数列（1）性质：等差数列的前n项和Sn=a1*n+n(n-1)d/2。
（2）求通项公式：an=a1+(n−1)d。
（3）常用公式：Sn=n/2(a1+an)。
2. 等比数列（1）性质：等比数列的前n项和Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，|q|>1。
（2）求通项公式：an=a1*q^(n-1)。
（3）常用公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3. 斐波那契数列（1）定义：斐波那契数列是一个典型的递推数列，前两项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
（2）通项公式：an=f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
（3）性质：斐波那契数列是一个无界数列。
《数列》知识点、题型、解法全方位解析
《数列》知识点、题型、解法全方位解析 内蒙古赤锋阿旗天山一中：尹国玉数列的基础知识与一般性结论：(一)数列的概念：项，项数。
一般式：}{n a 或 ,,,,,4321n a a a a a注:①数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正自然数集N 或它的有限子集{1，2，3，……，n}的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式a n =f(n)就是该函数的解析表达式,数列的图象是一个点列.因此在学习数列时还应学会用函数的观点、方法研究数列.②数列分有穷数列与无穷数列。
(二)数列的有关公式：（注：并不是所有的数列都有各种公式，）1.递推公式：如)(1n n a f a =+或),(12n n n a a f a ++=等，即由数列的前若干项表示后一项的关系式，2.通项公式：a n =f(n)即由项数来表示项的关系式，即第n 项，3.前n 项和公式：①有穷数列和:即用n 表示前n 项和的式子，（有时也用售含有项和项数的混合式子表示，如2)(1n n a a n S +=）注:掌握数列的通项n a 与前n 项和n S （前项积n G ）之间的关系式n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .n a =11(1)(2)n n G n G n G -=⎧⎪⎨≥⎪⎩②*无究数列和(前n 项和的极限): n n S lin S →+∞=(三)定义数列的方式方法:1.用递推公式定义:①简单一阶线性递归数列:等差等比数列等. ②简单一阶分式递归数列(倒数成等差数列) ③简单的周期数列; ④其它形式:2.用通项公式定义:3.用和或和与项的关系定义. (四)数列的图象(五)数列的单调性及最值 (六)数列的分类1.从项的个数上分:有穷数列,无穷数列.2.从”函数”类型及项与项的关系分:①简单数列:等差数列;等比数列;调和数列;幂级数.②复杂数列(数列的组合):复合数列;组合数列;分段数列;子数列. 3.从数列的性质分:单调数列;摆动数列;周期数列;不规则数列。
最新高考数学数列常考知识点及题型总结
最新高考数学数列常考知识点及题型总结等差数列知识要点1．递推关系与通项公式m n a a d n a a d d n a a dm n a a dn a a da a m n n n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2c a b+=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。
3．前n 项和公式 2)(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ),()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S BnAn n f S n d a n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
4．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。
⑵d m n a a m n )(-=-⑶m n m n n a a a +-+=2⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。
5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k b kn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A Bn An S n +=⇒{}n a 是等差数列练习：1．等差数列{}n a 中，)(31,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++A ．14B ．15C ．16D ．171651203232)(32)2(31318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。
数列知识点归纳总结笔记
数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。
2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。
数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。
（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。
（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。
（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。
（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。
（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。
2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。
（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。
3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim(n→∞) aₙ=L。
（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。
4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。
（2）数列的无穷和：如果lim(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。
数列知识点总结及结论
数列知识点总结及结论一、数列的概念及分类数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
在数学中，数列是一个非常重要的概念，它被广泛应用在各个领域，如微积分、概率论、离散数学等。
数列有多种分类方式，根据数列的各个项之间的关系不同可以将数列分为等差数列、等比数列、递推数列等。
在日常生活中，数列也有着广泛的应用，如金融领域中的利息计算，物理学中的等速运动等。
二、等差数列等差数列是一种非常简单的数列，其特点是数列中每一项与前一项的差是一个常数。
等差数列的通项公式为An = A1 + (n-1)d。
其中An表示等差数列中第n项的值，A1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
在等差数列中，我们可以根据已知的条件，求出数列的首项、公差、任意项的值，以及数列的前n项和等一系列问题。
三、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其特点是数列中每一项与前一项的比是一个常数。
等比数列的通项公式为An = A1 * q^(n-1)。
其中An表示等比数列中第n项的值，A1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。
例如，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
在等比数列中，也可以根据已知的条件，求出数列的首项、公比、任意项的值，以及数列的前n项和等一系列问题。
四、递推数列递推数列是一种通过前一项来定义后一项的数列。
其通项公式并不是一个固定的公式，而是通过给定的递推关系来确定。
例如，斐波那契数列就是一个著名的递推数列，其定义为F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
通过这个递推关系，我们可以得到斐波那契数列的每一项的值。
递推数列在计算机科学中有着广泛的应用，如动态规划算法、图论算法等。
它们的特点是可以通过已知的前几项来求得后面的项，而不需要知道整个数列的所有项。
五、数列的运算数列的运算是数列学习中的重要内容之一。
在数列的运算中，主要包括数列的加法、减法、乘法、除法等。
数列详细知识点总结
数列详细知识点总结一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每一个数字称为该数列的项，数列的第一个数字称为第一项，第二个数字称为第二项，依此类推。
数列一般用字母$a$、$b$、$c$等表示。
数列通常可以表示为如下形式：\[a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots\]或者\[\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\]其中，$a_n$表示数列的第$n$项，$n$表示项的序号。
数列中的项可以是整数、分数、小数甚至是复数。
二、数列的性质1. 有限数列和无限数列：根据数列的项数是否有限，可以将数列分为有限数列和无限数列。
有限数列是指数列的项数有限个，无限数列是指数列的项数有无限个。
2. 等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为：\[a_n = a_1 + (n-1)d\]其中，$a_1$表示等差数列的第一项，$d$表示公差，$n$表示项的序号。
3. 等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为：\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]其中，$a_1$表示等比数列的第一项，$q$表示公比，$n$表示项的序号。
4. 通项公式：通项公式是指数列中第$n$项表达式的一般形式。
通常通过观察数列的规律可以得到通项公式。
5. 递推公式：递推公式是指数列中一个项和它前面几项之间的关系式。
递推公式可以用来求解数列中的任意项。
三、常见数列1. 等差数列：等差数列是一种最常见的数列，其中任意相邻两项的差都相等。
等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$表示第一项，$d$表示公差。
2. 等比数列：等比数列是指任意相邻两项的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，其中$a_1$表示第一项，$q$表示公比。
数列的知识点公式总结
数列的知识点公式总结一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每一个数字被称作数列的项，用泛指变量表示，通常用字母表示。
通常我们用 {an} 表示一个数列，其中 n 表示数列的项数。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...} 就是一个自然数列，其中的每一项都是自然数。
数列的项数可以是有限个，也可以是无限个。
当数列的项数是有限个时，这样的数列被称为有限数列；而当数列的项数是无限个时，这样的数列被称为无限数列。
数列中每一项的下标也称为项数，通常用 n 表示。
当数列的项数是有限个时，数列通常按照从小到大的顺序排列；当数列的项数是无限个时，数列可能有很多不同的排列方式。
数列的项可能是整数、分数、小数等各种类型的数。
而数列的项之间的关系按照一定的规律排列，这种规律可以通过不同的方式进行描述，如递推关系、通项公式等。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其中相邻两项之间的差值是一个常数。
等差数列通常用{an} 表示，其中 a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n 表示数列的项数。
例如，数列 {3, 6, 9, 12, 15, ...} 就是一个等差数列，其中公差为 3。
这个数列的通项公式可以表示为 an = 3 + (n-1)×3。
如果给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，那么其求和公式为：Sn = n/2×(a1 + an)，其中 a1表示数列的第一项，an 表示数列的第 n 项。
等差数列有一个重要的性质，即等差数列的中项等于其首项与末项的算术平均数。
即(an + a1)/2 = an表示数列的中项。
三、等比数列等比数列是另一种重要的数列类型，在等比数列中，相邻两项的比值是一个常数。
等比数列通常用{an} 表示，其中a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
数列知识点与常用解题方法归纳总结
数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义： a n 1 a n d ( d为常数 ) ， an a1n 1 d等差中项： x，A ， y成等差数列2A x ya1a n n n n1前 n项和 S n na12d2性质：a n是等差数列（1）若 m n p q，则 a m a n a p a q；（ 2）数列a2 n 1， a2 n， ka n b 仍为等差数列；S n，S2 n S n，S3n S2n⋯⋯仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d，a，a d；（ 4）若 a n， b n是等差数列 S n， T n为前 n项和，则amS2m1；b mT2 m1（ 5） a n为等差数列S n an2bn（ a， b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）S n的最值可求二次函数S n an2bn的最值；或者求出 a n中的正、负分界项，即：当a10， da n00，解不等式组可得 S n达到最大值时的 n值。
a n10当a10， d0，由a n0可得 S n达到最小值时的 n值。
a n10如：等差数列 a n， S n18，a n an 1an 23，S31，则 n（由 a n an 1an 2 3 3a n 13，∴ a n 11又 S a1a3 · 3 3a2，∴a21313 211 na 1a n n a 2an 1· n318n 27）∴ S n222二、等比数列的定义与性质定义： an1q （ q 为常数， q0）， a n a 1 q n 1a n等比中项： x 、G 、 y 成等比数列G 2 xy ，或 Gxyna 1 (q 1)前n 项和： S na 1 1q n 1)（要注意 ! ）1(qq性质： a n 是等比数列（1）若 m n p q ，则 a m · a na p ·a q（ 2）S n ，S 2n S n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、 由S n 求a n ；（n1时， a 1 S 1 ，n2时， a nS n S n 1）3、求差（商）法如： a n 满足 1a 112 a 2⋯⋯1n a n2n 512 221解： n1时， 2a12 1 5，∴ a 114n 2 时，11 a 2⋯⋯1an 12n 1 522a1222 n 112 得：1a n 2 ， ∴ a n2n 1， ∴ a n14 (n 1)2n 1(n2)2 n［练习］数列 a n 满足 S nS n 15a n 1 ， a 14，求 a n3（注意到 a n 1S n 1 S n 代入得：S n 14S n又 S 1 4，∴ S n 是等比数列， S n4 n24、叠乘法例如：数列 a n 中， a 1an 1n3，a nn ，求 a n1解： a 2 · a 3 ⋯⋯ a n1 ·2 ⋯⋯ n 1 ，∴ a n1a 1a 2an 123na 1 n又 a 13，∴ a n3 n5、等差型递推公式由a na n 1 f (n) ，a 1 a 0 ，求 a n ，用迭加法n 2时， a 2a 1 f (2)a 3 a 2f (3) 两边相加，得：⋯⋯⋯⋯a na n1f (n)a n a 1 f (2) f ( 3) ⋯⋯ f ( n)∴a na 0f (2) f (3) ⋯⋯f (n)［练习］数列 a n ， a 1 1， a n 3n 1a n 1 n 2 ，求 a n（ a n13n1 ）26、等比型递推公式a n ca n 1d c 、 d 为常数， c0， c 1， d 0可转化为等比数列，设 a n xc a n 1xa n ca n 1 c 1 x令 (c 1)xd ，∴ xdc 1∴ a ndd1是首项为 a 1， c 为公比的等比数列cc 1∴ a nd a 1c d · c n 1c 11∴ a na 1d c n 1d［练习］数列 a n 满足 a 19， 3a n 1a n 4，求 a n4n 1（a n81）37、倒数法例如： a 11， a n 12a n，求 a n1a n 2 1 1 a n， 由已知得：2 a n2a n 12a n11 1 ，1为等差数列，1，公差为1a n2a na 12an 11 1 n 1 ·1 1n 1， ∴ a n2n1a n2 2 三、 求数列前 n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
数列知识要点梳理
知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n}注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。
函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。
其中是数列的第n项，也叫做通项。
（2）数列的特征：有序性。
一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。
（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。
2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。
4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。
5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
数列知识点及常用结论
数列知识点及常用结论数列是数学中一个重要的概念，它在数学中的应用非常广泛。
在学习数列时，我们不仅需要掌握数列的定义和性质，还需要了解数列的分类、递推关系以及求和公式等常用结论。
下面将详细介绍数列的相关知识点及常用结论。
首先，数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每一个数称为该数列的项，用字母表示。
数列中的项可以是整数、小数或者分数。
根据数列的特点，我们可以将数列分为以下几类：1.等差数列：等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。
常数差值称为等差数列的公差，用字母d表示。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，n表示项数。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
2.等比数列：等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数的数列。
常数比值称为等比数列的公比，用字母q表示。
等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，n表示项数。
等比数列的求和公式分为两种情况：-当公比q不等于1时，求和公式为：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
-当公比q等于1时，求和公式为：Sn=n*a13.奇数列和偶数列：奇数列和偶数列是指数列中的奇数项和偶数项所构成的数列。
奇数列和偶数列之间存在对应关系。
4.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中Fn表示第n项的值，F1=1，F2=1除了上述数列的分类，我们还需要掌握一些数列的常用结论，包括：1.数列的最大值和最小值：对于递增数列，最大值为最后一项；对于递减数列，最大值为第一项。
同理，对于递增数列，最小值为第一项；对于递减数列，最小值为最后一项。
2.数列的递推关系：数列中的每一项都可以通过前几项的值来确定。
递推关系可以是线性的，如等差数列和等比数列；也可以是非线性的，如斐波那契数列。
数列知识点、公式讲解
数列知识点、公式讲解一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n a 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++，由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a ∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++=)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值。
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数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差）()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差） ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=⎧⎪=+-⇒⎨-=⎪-⎩②前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ （2）证明等差数列的法方①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ⇔{}n a 为等差数列即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+④前n 项和公式法：2n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ⇔{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列.②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +.特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d ⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n S n也为等差数列. ⑥ 11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 此性质对任何一种数列都适用 ⑦求n S 最值的方法：I: 若1a >0，公差d<0，则当100k k a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值,且k S 最大； 若1a <0，公差d>0，则当100k k a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值，且k S 最小； II ：求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，当n k = 时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。
二、等比数列（1）等比数列的基本公式①通项公式：11n n a a q -= （从第1项1a 开始为等比）n m n m a a q -= （从第m 项m a 开始为等差）②前n 项和公式：1(1),(1)1n n a q S q q-=≠-，1,(1)n S na q == （2）证明等比数列的法方①定义法：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔1n na q a +=(q ≠0) ⇔{}n a 为等比数列 ②等比中项法：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列③通项公式法：1(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列（3）常用结论①若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1{}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n na b (k 为非零常数) 均为等比数列.②若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*N )，则n m a a =p q a a .特别的，当n+m=2k 时，得n m a a =2k a ③在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1k q + (例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比3q 的等比数列) ④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+， 则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等比数列，且公差为kq三、求任意数列通项公式n a 的方法（1）累加法：若n a 满足a n+1=a n +f(n)利用累加法求：n a12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-例题：若11=a ，且12+=+n n a a n ，求：n a练习题：若数列n a 满足1120++--=n n n a a ，且10=a（2）累乘法：若n a 满足1()+=⋅n n a f n a 利用累乘法求：n a 32411231()()()()n n n a a a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 例题：在数列{a n }中，1111,2++==n n n a a a n，求：n a .练习题：在数列{a n }中，11a =且1n n a na +=，求：n a（提示：123......!n n ⨯⨯⨯=）（3）递推公式中既有n S ，又有n a ，用逐差法11n n n S a S S -⎧=⎨-≥⎩ n=1 n 2特别注意：该公式对一切数列都成立。
（4）若n a 满足1,()+=+≠n n a pa q p q ，则两边加：1=-q x p ，在提公因式P ，构造出一个等比数列，再出求：n a 例题：已知数列{}n a ，满足：121+=+n n a a ，且11=a ，求：n a习题1：已知数列{}n a 满足：131+-=n n a a 且11=a ，求：n a习题2：已知数列{}n a 满足：12a =，且n n S a n +=，求：n a（5）若n a 满足1++=+n k n n a pa p ，则两边同时除以：1+n p ，构造出一个等差数列，再求出：n a例题：已知n a 满足：11=a 1122-+=+n n n a a ，求：n a解：111122222-++=+⇒=+n n n n n n n a a a a ，既有：11222+-=n n n n a a 所以：2⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n a 是首项为：1122=a ，公差12=d 的等差数列 11(1)2222=+-⨯=∴n n a n n 所以：1222-=⋅=⋅n n n n a n习题1：已知1133++-=n n n a a 且11=a ，求：n a习题2：已知11232n n n a a -+=+⋅且11a =，求：n a（六）待定系数法：若{}n a 满足以下关系：()1n n a ka f n +=+ 都可用待定系数法转变成一个等比数列来： 温馨提示：提k ，对()f n 待定系数例题1：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：11152(5)235++++⋅=+⋅⇒=-⋅n n n n n n n a x a x a a x ，与原式对应得，1=-x1111552(5)25++++--=-⇒=-∴n n nn n n n n a a a a 所以：{}5-n n a 是首项1151-=a ，公比2=q 的等比数列既有：115252---=⇒=+n n n n n n a a例题2：已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：11123(2)322++++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+n n n n n n n a x y a x y a a x y ，与原式对应得：5,2==x y 11115225223(522)3522+++++⋅++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+∴n n nn n n n n a a a a 所以：{}522+⋅+n n a 是首项为：1152213+⋅+=a ，公比3=q 的等比数列既有：11522133133522--+⋅+=⋅⇒=⋅-⋅-n n n n n n a a（七）颠倒法：若{}n a 满足：1n n n C a a a C+⋅=+，用颠倒法； 11111n n n n n n n n n nC a a C a C a a C a C a C a C a C a ++⋅+=⇒==+=++⋅⋅⋅ 所以：1111n n a a C +-=，所以：1{}n a 是以首项为：11a ，公差1d C=的等差数列例题1：已知122n n n a a a +⋅=+，且12a =，求：n a例题2：已知1133n n n n a a a a ++⋅=-，且11a =，求：n a（八）倒数换元法：若数列{}n a 满足：1+⋅=⋅+n n n A a a B a C，则颠倒变成111n n n n B a C C B a A a A a A +⋅+==⋅+⋅ 然后再用两边加：1-q p 或者待定系数法既可求出1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a ，再颠倒就可得到：{}n a 例题：若数列{}n a 满足：123+=+n n n a a a ，且11=a ，求：n a 解：1121311322++=⇒=⋅++n n n n n a a a a a ，两边加：1得：11313122++=⋅+n n a a 111113131(1)1221+++∴+=+⇒=+n n n na a a a ， 所以：11⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n a 是首项为：1112+=a ，公比：32=q 的等比数列； 既有：122121213132212()2232--------+=⋅⇒=⇒=-n n n n n n n n n n a a a 若用待定系数法：11121311131()3222+++=⇒=⋅+⇒+=++n n n n n n na a x x a a a a a11131313112222+++=+⇒=+n n n n x x x a a a a 与原式子对应得1=x ，然后的方法同上； 习题：已知1132n n n n a a a a ++⋅=-且11a =，求：n a四、求前n 项和S n 的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和；或者是等差与等比的商的前n 项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。