李群中的三维旋转群

李群中的三维旋转群
1、
群的定义
群的定义：设G 是一个集合，若满足下面四个条件，则称G 为一个群（Group ）。

（1） G 中有一种对应规则（通称为乘法）：对G 中任意二元素g ，h ∈G ，对应
G 中的一元素k （称为g 与h 之乘积）记为，k=g ▫h （或gh ）。

此性质称为群乘法的封闭性。

（2） 乘法满足结合律：对G 中任意三元素g ，h ，k 满足：(gh)k=g(hk)。

（3） G 中存在一个幺元e ，使对G 中任意元素g ，均有：ge=eg=g 。

（4） G 中每一元素g ，均存在一个逆元g -1，使g g -1= g -1g=e 。

群的乘法一般不满足交换律。

若一群G 的任意两个元素的乘法均可交换：gh=hg ，∀g ，h ∈G ，则称G 为可交换群或Abel 群。

2、 什么是李群
Lie 群的定义：设G 是一个r 维流形，同时G 又是一个群，其幺元记为e 。

因e 又是流形G 中的一点，所以可取定一个包含e 的局部坐标领域U ；在U 中取定
坐标系{U ，φ}。

设取e 为坐标原点；
()(0,0,,0)e ϕ=
对U 中的三元素g ，h ，k ，设其坐标分别为
121212()(,,,)
()(,,,)()(,,,)
r r r g x x x h y y y k z z z ϕϕϕ=== 则群的乘法k=gh 可以用相应的坐标来表示：
121212()(,,,)()(,,,)()(,,,)
r r r g x x x h y y y k z z z ϕϕϕ=== 111212221212331212(,,,;,,,),(,,,;,,,),(,,,;,,,).
r r r r r r z f x x x y y y z f x x x y y y z f x x x y y y ===
在上式不至引起混淆可记为(,)z f x y =，我们要求这r 个函数12,,,r f f f
是无限
次可导的，即光滑的。

这r 个函数称为G 的乘法函数。

它完全确定了群G 的结构。

这样的群G 就称为一个r 维Lie 群。

惩罚函数的基本性质：
（1） 因为幺元e 的坐标为(0,0,,0) ，所以ex xe x ==，用坐标表示出来就是：
1212(,,,;0,0,,0)(0,0,,0;,,,),1,2,,j r j r j f x x x f x x x x j r === 这以关系可简记为(,0)(0,)f x f x x ==。

（2） 群的乘法满足结合律要求；()()gh k g hk =，用坐标表示出就是；
1111111211111((,,,;,,),,(,,,;,,);,,)(,,,;(,,;,,,),,(,,;,,,))1,2,,j r r r r r r j r r r r r r f f x x y y f x x y y z z f x x x f y y z z f y y z z j r
== （3） G 的每一个元素g 都有唯一的逆元g -1，g -1设的坐标为1(,,)r x
x ，则关系式g g -1= g -1g=e 用坐标表示出就是；
1111(,,;,,)(,,;,,)01,2,,j r r j r r f x x x x f x x x x j r
===
这一关系可简记为(,)(,)0f x x
f x x == 。

直接用乘法函数来研究Lie 群是相当困难的、复杂的。

Lie 的重要贡献在于引进了无穷小变换的概念，使问题大大简化。

这就是Lie 代数的理论。

3、 李群中的三维旋转群
三维旋转群SO （3）。

三维空间饶固定点的一个转动g ∈SO （3），可用单位向量
n
表示其转动轴
OP 的方向，一实数θ表示饶OP 转动的角度。

于
是g 可用(,)n θ
来确定。

由于空
间单位向量n
由两个独立参数确
定，所以SO （3）的元素由三个独立参数所确定。

因空间任意转动可绕某一轴绕顺时针方向转动一个角度(0)θθπ≤≤来完成。

所以SO （3）可以用一个以π
为
半径的球来表示。

此球内的一点Q 表示一个绕OQ 为轴转动角度为OQ 的转动。

但要注意，此球面上的对径点对应的是群SO （3）的同一个元素，即0(,)n π
与0(,)n π-
表示同一转动。

所以我们可以用一个半径为π，并将球面的对径点叠合起来的球来表示SO （3）。

这样的模型对研究群SO （3）的整体构造非常有用，（利用这一模型不难证明SO （3）作为一个流行不是单连通的），但对处理一些实际问题却很不方便。

通常对SO （3）我们习惯用Euler 角(,,)θϕψ来描述一个
转动。

如图(,,)(,,)g x y z x y z '''−−→
用矩阵表示出：
11
121311
121321
222321
22
2331
32
3331
32
33,g g g x g g g x g g g g y g g g y g g g z g g g z '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
现在用Euler 角来表示出ij g ：
cos sin 0sin cos 000
1z g ϕϕϕϕ
ϕ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
1
000
cos sin 0sin cos x g θθθθθ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ cos sin 0sin cos 000
1z g ψψψ
ψ
ψ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
于是：
cos cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin cos z x z g g g g ψθϕ
ψϕθψϕ
ψϕθψϕψθψϕθψϕ
ψϕθψϕ
ψθϕθϕθ
θ---⎛⎫
⎪
==+-+- ⎪
⎪⎝
⎭
因此SO （3）的元素也可由(,,)θϕψ三个独立参数（坐标）确定。

可知SO （3）是一个三维不可交换Lie 群。

为了便于今后将SO （3）推广到n 维的情况，我们再介绍另一种刻划SO （3）的方法。

三维欧式空间3 的内积：
1231233
112233
1(,,),(,,),j j j x x x x y y y y x y x y x y x y x y =====++∑
线性变换：()ij g g = 1112131
21222323132333
g g g g x x x g x g g g x g g g x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'−−→== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3(3),,,,detg>0g SO gx gy x y x y ∈⇔=∀∈ 且 通过直接计算不难验证：,,t gx gy x g gy =
这里t g 表示g 的转置，即t
ij ji g g =。

由3,,,,t x g gy x y x y =∀∈
即得：t g g I =，这里100010001I ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
——单位矩阵。

所以，(3),det 0.t t g SO g g gg I g ∈⇔==>
（仅满足t t g g gg =的线性变换所构成的群称为O （3）——正交群，SO （3）也称为特殊正交群）
3阶矩阵g 共有9个元素（实参数），条件t t g g gg I ==具体写出来，共有6个方程要满足：
3
13
1
1,1,2,3
0,ij ij
j ij ij
j g g
i g g
i k
=====<∑∑
所以ij g 9个元素中可以选取3个作为独立参数。

这又一次阐明了SO （3）是一个三维Lie 群。