克里金插值方法介绍 武汉大学 高等水文学107页PPT
克里金插值法.pptx
针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i (i=1，2，……，
n)满足关系式：
n
i 1
i 1
以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i 的方程组：
（5）根据求出的权重值，代入公式（1），即可求得评估领域内 n 个采样值的线性组合[2]。
克里金插值法的方法路线图如下：
3
导入数据
数据分析
是否服从 正态分布
是
是否存在 趋势
否
否 数据变换
是 泛克里金方法
根据数据选择 合适的方法
进行预测
计算克里金系数
拟合理论半 变异函数图
绘制经验半 变异函数图
绘制方差 变异云图
c 1
i
ni
dw 1
i1 c d w
（2）根据搜索策略选择合适的参估点，如图 2：
（4）
2
图 2 参估点图示
（3）根据已经求出的变异函数以及采样点数量，三个采样点列出三个等式，求出方程 组的系数，公式为：
C(1,1) C(2,1)
C(3,1)
C(1,2) C(2,2) C(3,2)
C(1,3)1 C(0,1) C(2,3)2 C(0,2)
不取决于 s 点的位置，而取决于位移量 h。为了确保自相关方程有解，必须允许某两点间自 相关可以相等。
然后，可以对方程式左边 Z(s) 进行变换。例如，可以将其转换成指示变量，即如果Z(s)
低于一定的阈值，则将其值转换为 0，将高于阈值的部分转换为 1，然后对高于阈值部分作 出预测，基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型。如果将指示值转变成含有变量的
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
克里金插值
克里金(Kriging)插值克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。
克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。
常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。
块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸现象。
按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金(Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。
在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）Kriging（克里金插值法）Minimum Curvature（最小曲率）Modified Shepard's Method（改进谢别德法）Natural Neighbor（自然邻点插值法）Nearest Neighbor（最近邻点插值法）Polynomial Regression（多元回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）Moving Average（移动平均法）Local Polynomial（局部多项式法）下面简单说明不同算法的特点。
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
克里金插值方法介绍 武汉大学 高等水文学
(h) C(0) C(h)
（二阶平稳假设条件下边查函数与写防查的关系）
变程(Range) ：指区域化变量在空间上具有相关性的 范围。在变程范围之内，数据具有相关性；而在变 程之外，数据之间互不相关，即在变程以外的观测 值不对估计结果产生影响。
具不同变程 的克里金插 值图象
块金值(Nugget) ：变差函数如果在原点间断，在地质统计学中称 为“块金效应”，表现为在很短的距离内有较大的空间变异性， 无论h多小，两个随机变量都不相关 。它可以由测量误差引起， 也可以来自矿化现象的微观变异性。在数学上，块金值c0相当于 变量纯随机性的部分。
E[ξ-E(ξ)]2存在，则称它为ξ的方差，记为D(ξ)， 或Var(ξ)，或σξ2。
D(ξ)= E[ξ-E(ξ)]2 其简算公式为
D(ξ)=E(ξ2) –[E(ξ)]2
方差的平方根为标准差，记为σξ
σξ=
D( ) E[ - E( )]2 E( 2) -[E( )]2
从矩的角度说，方差是ξ的二阶中心矩。
相当于要求：Z(u)的变差函数存在且平稳。
可出现协方差函数不存在，但变差函数存在的情况。
例：物理学上的著名的布朗运动是一种呈现出无限 离散性的物理现象，其随机函数的理论模型就是维 纳-勒维(Wiener-Levy)过程(或随机游走过程)。
布朗运动:
既不能确定验前方差，也不能确定协方差函数。
但是其增量却具有有限的方差： Var[Z(x)-Z(x+h)] = 2 (h)= A·|h| (其中，A是个常数)，
如具有三个自变量(空间
点的三个直角坐标)的随
机场
随机函数的特征值
协方差(Covariance)： 二个随机变量ξ，η的协方差为二维随机变量(ξ，
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
克里金插值
克里金插值克里金(Kriging)插值克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。
克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。
常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。
块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸现象。
按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金(Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。
在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）Kriging（克里金插值法）Minimum Curvature（最小曲率）Modified Shepard's Method（改进谢别德法）Natural Neighbor（自然邻点插值法）Nearest Neighbor（最近邻点插值法）Polynomial Regression（多元回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）Moving Average（移动平均法）Local Polynomial（局部多项式法）下面简单说明不同算法的特点。
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法;是以变异函数理论和结构分析为基础;在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法;是地统计学的主要内容之一;由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出;法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化;并命名为Kriging;即克里金插值法..1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性;即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性;则可以利用克里金插值法进行内插或外推..其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点;对未知样点进行线性无偏、最优估计;无偏是指偏差的数学期望为0;最优是指估计值与实际值之差的平方和最小1..因此;克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据;在考虑了样本点的形状、大小和空间方位;与未知样点的相互空间关系;以及变异函数提供的结构信息之后;对未知样点进行的一种线性无偏最优估计..假设研究区域a 上研究变量Zx;在点x i ∈Ai=1;2;……;n 处属性值为Zx i ;则待插点x 0∈A 处的属性值Zx 0的克里金插值结果Z*x 0是已知采样点属性值Zx i i=1;2;……;n 的加权和;即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ 1 式中i λ是待定权重系数..其中Zx i 之间存在一定的相关关系;这种相关性除与距离有关外;还与其相对方向变化有关;克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ i=1;2;……;n满足关系式： 11=∑=n i i λ2以无偏为前提;kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， 3 式中;Cx i ;x j 是Zx i 和Zx j 的协方差函数..2 方法步骤克里金插值法的应用步骤如下：1、输入原始数据;即采样点;下面以输入三个采样点求待估插值为例来进行说明..如图1所示：图1 采样点图示2、网格化;选择区域的范围和网格的大小;对区域进行网格化处理..3、数据检验与分析;根据采样值是否合乎实际情况;剔除明显差异点..4、直方图的计算;直方图有助于掌握区域变化的分布规律;以便决定是否对原始数据进行转换..5、利用变异函数进行变异函数计算;了解变量的空间结构..6、克里金插值估计1待估点权重系数估计利用多边形估计的方法;首先确定离待估点最近的采样点的权重;根据公式4进行采样点权重估计：∑=++=n i w w i i d c d c 111λ 4 2根据搜索策略选择合适的参估点;如图2：图2 参估点图示3根据已经求出的变异函数以及采样点数量;三个采样点列出三个等式;求出方程组的系数;公式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)3,0()2,0()1,0()3,3()2,3()1,3()3,2()2,2()1,2()3,1()2,1()1,1(321C C C C C C C C C C C C λλλ 5 4分析在各向同性条件下改变块金值与在块金值相同条件下改变各向异性对权重值的影响2..各向同性条件下改变块金值时对权重值的影响效果如图3a;在块金值相同条件下改变各向异性对权重值带来的影响如图3b ：a b图3 各向同性条件下改变块金值与在块金值相同条件下改变各向异性对权重值的影响5根据求出的权重值;代入公式1;即可求得评估领域内n 个采样值的线性组合2..克里金插值法的方法路线图如下：图4 方法路线图 3 克里金插值法分类及适用类型克里金插值法主要有以下几种类型：普通克里金Ordinary Kriging 、简单克里金Simple Kriging 、泛克里金Universal Kriging 、协同克里金Co-Kriging 、对数正态克里金Logistic Normal Kriging 、指示克里金Indicator Kriging 、概率克里金Probability Kriging 和析取克里金Disjunctive Kriging 等1..克里金插值法可以简单地表达为：)()()(s s s Z εμ+= 6 式中;s 为不同位置的点;可以人为是用经纬度表示的空间坐标；Zs 为s 处的变量值;它可以分解为确定趋势值)(s μ和自相关随机误差)(s ε..通过对这个公式进行变化;可以生成克里金插值法的不同类型..首先;对于趋势值)(s μ;可以简单地赋予一个常量;即在任何位置s 处)(s μ=μ;如果μ是未知的;这便是普通克里金基本模型；)(s μ也可表示为空间坐标的线性函数;如：xy y x y x s 52423210)(ββββββμ+++++= 7如果趋势面方程中的回归系数是未知的;则形成泛克里金模型；如果在任何时候趋势已知的如所有系数和协方差均已知;无论趋势常量与否;都会形成简单克里金模型..其次;无论趋势如何复杂;)(s μ仍无法获得很好的预测;在这种情况下需要对误差项)(s ε进行一些假设;即假设误差项)(s ε的期望均值为0;且)(s ε和)(h s +ε之间的自相关不取决于s 点的位置;而取决于位移量h..为了确保自相关方程有解;必须允许某两点间自相关可以相等..然后;可以对方程式左边)(s Z 进行变换..例如;可以将其转换成指示变量;即如果)(s Z 低于一定的阈值;则将其值转换为0;将高于阈值的部分转换为1;然后对高于阈值部分作出预测;基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型..如果将指示值转变成含有变量的函数))((s Z f ;即形成析取克里金的指示函数..最后;如果有多个变量的情况;则模型为：)()()(s s s Z j j j εμ+=;其中j 表示第j 个变量..除了为每个变量考虑不同的趋势)(s j μ外;随机误差)(s j ε之间还存在交叉相关性..这种基于多个变量的克里金模型即为协同克里金模型..不同的方法有其适用的条件;当数据不服从正态分布时;若服从对数正态分布;则选用对数正态克里金；若不服从简单分布时;选用析取克里金；当数据存在主导趋势时;选用泛克里金；当只需要了解属性值是否超过某一阈值时;选用指示克里金；当同一事物的两种属性存在相关关系时;且一种属性不易获取时;选用协同克里金;借助另一属性实现该属性的空间内插；当假设属性值的期望值为某一已知常数时;选用简单克里金；当假设属性值的期望值是未知的;选用普通克里金..4 国内外研究进展从克里金方法被提出到现在已有完善的理论;并在很多领域得到了实际的应用;在某些领域的应用又推动了克里金理论的发展3..它的发展可归纳为四个时期;每个时期都是以每一届地质统计学大会的召开为标志..第一时期;初次提出了地质统计学理论;将地质统计学与传统的统计学分开;且提出了区域化变量、简单克里金、普通克里金、泛克里金的概念..第二时期;地质统计学的理论逐步的幵始改进和完善..第三时期;地质统计学克里金在实践应用的发展相对理论发展更快;形成了两种类型的理论体系：一类是有参数的克里金方法;另一类是没有参数的克里金方法;有参数的克里金方法是指所研究的数据必须符合正态分布;如析取克里金；而没有参数的克里金方法对所研究的变量的分布没有特殊要求;如指示克里金和概率克里金..第四时期;克里金方法的应用领域不断扩展壮大;在研究中有很多新的课题产生;克里金所研究对象已经不再局限于空间领域的变量;随着某些领域的需求;正在向时间-空间领域扩展4..从目前来看;克里金技术的发展可以概括如下：1形成了一套完整的理论体系..线性平稳地质统计学是地质统计学的基础部分;包含基本概念：区域化变量理论；基本工具：变差函数；基本假设：二阶平稳假设和本征假设；基本公式：估计反差和普通克里金法；线性非平稳地质统计学包括了泛克里金和K阶本征函数法等..平稳非线性地质统计学包含析取克里金等..2编制了一些实际有效的程序以及软件..例如斯坦福大学的Geostatistical Earth Modeling Software..3地质统计学的提出原本是为了解决矿产储量的估计;但是随着地质统计学的发展;人们发现其研究对象存在于很多种自然现象中..于是;地质统计学不再是研究地质领域的特有方法;而成为研究某类自然现象通用的方法;例如降水量的分布、水文层的渗透率和孔隙度等属性值、在医学上对骨豁的三维重建5等等..目前国内外学者利用克里金插值法做了大量研究..翟进乾应用克里金插值方法对煤层分布监测进行了系统分析研究6；张蕾、陈晓宏将克里金插值方法用于珠江三角洲网河区水位空间插值7；尚庆生、郭建文等将克里金插值方法用于计算青藏铁路钻孔地温数据;实现了数据的体视化8；颜辉武;祝国瑞等采用克里金插值方法建立水文地质层三维模型9;并利用体绘制技术进行可视化表达;取得了良好的效果；刘承香、阮双深、伍小芹提出基于克里金插值方法进行水深数据插值形成规则网格数字高程模型的算法;对海底数字地图的模拟具有重要参考价值;数字仿真结果证明该算法可行10..参考文献：1 汤国安;杨昕.ArcGIS地理信息系统空间分析实验教程M.北京:科学出版社;2011.2 孟俊贞.克里金插值近似网格算法在栅格数据投影变换中的应用D.长沙:中南大学;2009.3 曲寿利;王鑫.国内外物探技术现状与展望M.石油工业出版社;2003.4 姚兴苗.快速三维克里金插值方法研究及实现D.成都:电子科技大学;2013.5 胡岩;王田苗;王君臣.基于Kriging算法的手术导航三维形变技术J.北京航空航天大学学报;2010;5: 12.6 翟进乾.克里金kriging插值方法在煤层分布检测中的应用研究D.太原:太原理工大学;2008.7 张蕾;陈晓宏.珠江三角洲网河区水位空间插值的kriging方法J.中山大学学报自然科学版.2004;435:112一114;8 尚庆生;郭建文.基于Kriging插值的钻孔地温数据体视化J.遥感技术与应用;2006;84:302～305.9 颜辉武;祝国瑞.基于kriging水文地质层的三维建模与体视化J.武汉大学学报信息科学版.2004;297:611～614.10 刘承香;阮双深;伍小芹.基于kriging插值的数字地图生成算法研究J.深圳大学学报理工版;2004;214:295～299.。
Kriging插值法
Kriging插值法克⾥⾦法是通过⼀组具有 z 值的分散点⽣成估计表⾯的⾼级地统计过程。
与插值⼯具集中的其他插值⽅法不同，选择⽤于⽣成输出表⾯的最佳估算⽅法之前，有效使⽤⼯具涉及 z 值表⽰的现象的空间⾏为的交互研究。
什么是克⾥⾦法？IDW（反距离加权法）和样条函数法插值⼯具被称为确定性插值⽅法，因为这些⽅法直接基于周围的测量值或确定⽣成表⾯的平滑度的指定数学公式。
第⼆类插值⽅法由地统计⽅法（如克⾥⾦法）组成，该⽅法基于包含⾃相关（即，测量点之间的统计关系）的统计模型。
因此，地统计⽅法不仅具有产⽣预测表⾯的功能，⽽且能够对预测的确定性或准确性提供某种度量。
克⾥⾦法假定采样点之间的距离或⽅向可以反映可⽤于说明表⾯变化的空间相关性。
克⾥⾦法⼯具可将数学函数与指定数量的点或指定半径内的所有点进⾏拟合以确定每个位置的输出值。
克⾥⾦法是⼀个多步过程；它包括数据的探索性统计分析、变异函数建模和创建表⾯，还包括研究⽅差表⾯。
当您了解数据中存在空间相关距离或⽅向偏差后，便会认为克⾥⾦法是最适合的⽅法。
该⽅法通常⽤在⼟壤科学和地质中。
克⾥⾦法公式由于克⾥⾦法可对周围的测量值进⾏加权以得出未测量位置的预测，因此它与反距离权重法类似。
这两种插值器的常⽤公式均由数据的加权总和组成：其中：Z(s i) = 第i个位置处的测量值λi = 第i个位置处的测量值的未知权重s0 = 预测位置N = 测量值数在反距离权重法中，权重λi仅取决于预测位置的距离。
但是，使⽤克⾥⾦⽅法时，权重不仅取决于测量点之间的距离、预测位置，还取决于基于测量点的整体空间排列。
要在权重中使⽤空间排列，必须量化空间⾃相关。
因此，在普通克⾥⾦法中，权重λi取决于测量点、预测位置的距离和预测位置周围的测量值之间空间关系的拟合模型。
以下部分将讨论如何使⽤常⽤克⾥⾦法公式创建预测表⾯地图和预测准确性地图。
使⽤克⾥⾦法创建预测表⾯地图要使⽤克⾥⾦法插值⽅法进⾏预测，有两个任务是必需的：找到依存规则。
克里金插值法原理
克里金插值法原理克里金插值法是插值法中使用最广泛的一种方法，也是数值分析中最重要的一部分。
克里金插值法以克里金为代表人物，是一种基于特定函数的插值方法，可以用于在一定的范围内准确的计算函数的极值点。
简而言之，克里金插值法就是从一组给定的节点值（常常是数值解）中构造出一个函数，该函数的值在这些节点点处等于给定的值。
克里金插值法可以用于构造有限多项式（重新插值），主要应用于多项式曲线和函数在有限范围内的拟合，也可以用于求解积分及微分方程等数值分析问题。
克里金插值法基于拉格朗日插值法，由拉格朗日插值法发展而来，被命名为“克里金插值”。
克里金插值的特殊之处在于将函数由一个变为多个，从而使得插值更加准确和精确。
克里金插值法可以应用于任何函数，当节点数增加时，插值的精度也会随之提高，可以满足更高精度的需求。
克里金插值法的计算过程总结如下：（1）首先，确定插值节点，指定每个节点点处的函数值。
（2）计算插值多项式的系数。
（3）对函数的值进行插值，求得函数在任何节点点处的函数值。
克里金插值法的数学推导及运用有以下优点：（1）克里金插值法可以用于极端情况，弥补离散点不适合拉格朗日插值法的不足。
（2）克里金插值法能够精确地估算极端情形，可以最大限度地减少误差，控制误差最大值。
（3）克里金插值法拥有良好的数值稳定性，并且计算速度更快，可以更好地满足实际应用需求。
克里金插值法在科学研究和工程应用中发挥着重要作用，它可以快速、准确的插入有限的数据，求得更加准确的结果。
同时，克里金插值法也可以用于求解积分、微分方程等数值分析的问题。
此外，克里金插值法也可以应用于拟合平滑曲线，提高编程的性能，增强程序的实用性。
总之，克里金插值法是当今数学建模和计算方法中应用最广泛的一种算法，可以应用与多个领域，并对计算精度起到积极的作用，因此，有必要加以重视和借鉴。
克里金插值
在二阶平稳假设，或作本征假设，此时：
E[Z(x)-Z(x+h)] = 0
则：
h
( x, h ) =
=
1 2 Var[Z(x)-Z(x+h)] 1 E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2 2
( x, h ) =
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2
其简算公式为
Cov(ξ,η) = E (ξη)-E(ξ) ·E(η)
二、统计推断与平稳要求
任何统计推断（cdf，数学期望等）均要求重复取样。
但在储层预测中，一个位置只能有一个样品。 同一位置重复取样，得到cdf，不现实
P
考虑邻近点，推断待估点
区域化变量： 能用其空间分布来表征一个自然现象的变量。
x
k 1
k
pk
②设连续型随机变量ξ的可能取值区间为(-∞，+∞)， p(x)为其概率密度函数，若无穷积分 xp( x)dx 绝对收敛，则称它为ξ的数学期望，记为E(ξ)。
E(ξ) =
xp( x)dx
数学期望是随机变量的最基本的数字特征，
相当于随机变量以其取值概率为权的加权平均数。 从矩的角度说，数学期望是ξ的一阶原点矩。
（将空间位置作为随机函数的自变量）
空间一点处的观测值可解释为一个随机变量在该点
处的一个随机实现。 空间各点处随机变量的集合构成一个随机函数。
（可以应用随机函数理论解决插值和模拟问题）
考虑邻近点，推断待估点 ----空间统计推断要求平稳假设 严格平稳
F (u1, , u K ; z1, , z K ) F (u1 h, , u K h; z1, , z K )
第5章克里格法PPT课件
实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布，即要获知研究区内任一点x处随机变量Z(x)的概率分布。 还会碰到采样数据中存在特异值的问题。（特异值是指那些比全部数值的均值或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起，而是实际存在于所研究的总体之中）。 指示克立格法就是为解决上述问题而发展起来的一种非参数地统计学方法。 指示克立格法不必去掉重要而实际存在的高值数据的条件下处理各种不同现象，并能够给出某点x处随机变量Z(x)的概率分布。
二、线性克里金法
1、简单克里金法
设区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设，其数学期望为常数m，协方差函数C(h)和变异函数γ (h)存在且平稳。 现要估计中心点在x0 的待估块段V 的均值Z(x)， Z(x)表达式为 由于 E[Z(x)]=m已知 令 Y(x)=Z(x)-m 则 E[Y(x)]=E[Z(x)-m]= E[Z(x)]-m=0 待估块段新待估值
（3）Z(x)的泛克里金法估计
求出函数F对n个权系数λi的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立如下方程组。 整理得估计Z (x)的泛克里金方程组：
泛克里金方程组可用矩阵表示为： 其中
（3）Z(x)的泛克里金法估计
从泛克里金方程组可得以下两等式： 将等式带入估计方差公式可得泛克里金方差，记为： 用变异函数γ(h)表示如下：
或 普通克里金方程组用矩阵形式表达为： 或 权重系数 或 普通克里金估计方差用矩阵表达为： 或
2、普通克里金法
普通克里金计算示例： 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。 数据如下，点的空间分布如图所示。现用普通克里金方法根据已知五个点的气温数据估算0点处的气温值。
克里金插值算法原理
克里金插值算法原理克里金插值算法是一种常用的地统计学方法，用于估计未知位置的属性值。
它基于空间自相关性的假设，通过已知点的属性值来推断未知点的属性值。
克里金插值算法的原理可以简单概括为以下几个步骤。
1. 数据收集和预处理在进行克里金插值之前，首先需要收集一定数量的已知点数据。
这些数据应该包含位置信息和对应的属性值。
收集到的数据应该经过预处理，包括数据清洗、异常值处理和数据转换等步骤，以确保数据的准确性和可靠性。
2. 空间自相关性分析克里金插值算法的核心思想是基于空间自相关性。
通过分析已知点之间的空间关系，可以确定属性值在空间上的变异性。
常用的方法是计算半方差函数，该函数描述了不同点对之间的属性值差异。
半方差函数的图像可以反映出属性值的空间相关性，从而确定合适的插值模型。
3. 插值模型的建立根据半方差函数的图像，可以选择合适的插值模型。
常用的插值模型包括球型模型、指数模型和高斯模型等。
选择合适的插值模型需要考虑数据的空间特征和变异性。
插值模型的建立可以通过拟合半方差函数来实现，拟合的结果可以用于后续的插值计算。
4. 插值计算在插值计算阶段，需要根据已知点的属性值和位置信息，以及插值模型的参数，推断未知点的属性值。
克里金插值算法通过对已知点进行加权平均来估计未知点的属性值。
加权平均的权重由插值模型和已知点与未知点之间的距离决定。
距离越近的已知点权重越大，距离越远的已知点权重越小。
5. 结果验证和误差分析插值计算完成后，需要对结果进行验证和误差分析。
可以通过交叉验证等方法来评估插值结果的准确性和可靠性。
误差分析可以帮助我们了解插值误差的分布情况，从而对插值结果进行修正和优化。
克里金插值算法的原理基于空间自相关性的假设，通过已知点的属性值来推断未知点的属性值。
它在地统计学、地质学、环境科学等领域有着广泛的应用。
通过合理选择插值模型和进行结果验证，克里金插值算法可以提供准确可靠的空间插值结果，为决策提供科学依据。
gaussian克里金插值法
克里金插值法（Kriging Interpolation）是一种在空间分析中广泛使用的插值方法，用于估计未知点的值。
高斯克里金（Gaussian Kriging）是克里金插值法的一种，它假设变异函数具有高斯（或正态）分布的形式。
高斯克里金插值的步骤如下：
1.变异函数模型：首先，需要确定一个合适的变异函数模型，通常选择高斯模型。
变异函数描述了区域变量在空间中的变异程度。
2.拟合变异函数模型：使用已知样本点的数据，拟合选定的变异函数模型。
这通常涉及到估计模型的参数，例如块金值、变差系数和范围参数。
3.预测未知点的值：使用拟合的变异函数模型，结合已知样本点的权重，计算未知点的预测值。
4.不确定性评估：高斯克里金插值还可以估计预测的不确定性，例如预测标准误差和置信区间。
高斯克里金插值法的优点包括：它可以处理具有空间相关性的数据；它可以提供预测的不确定性评估；它适用于各种类型的区域变量。
然而，它也有一些局限性，例如需要选择合适的变异函数模型，并且对于非正态分布的数据可能不适用。
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
克里金插值
D(ξ)=E(ξ2) –[E(ξ)]2
方差的平方根为标准差，记为σξ
σξ=
D( ) E[ - E( )]2 E( 2) -[E( )]2
•从矩的角度说，方差是ξ的二阶中心矩。
2. 随机函数
研究范围内的一组随机变量。
{Z(u),u 研究范围} 简记为 Z(u)
P
考虑邻近点，推断待估点
区域化变量： 能用其空间分布来表征一个自然现象的变量。
（将空间位置作为随机函数的自变量）
•空间一点处的观测值可解释为一个随机变量在该点
处的一个随机实现。
• 空间各点处随机变量的集合构成一个随机函数。
（可以应用随机函数理论解决插值和模拟问题）
考虑邻近点，推断待估点 ----空间统计推断要求平稳假设
井眼 地震
第一节 基本原理
一、随机变量与随机函数 1. 随机变量
为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值。 每次取值（观测）结果z为一个确定的数值，称为 随机变量Z的一个实现。
P
连续变量：
累积分布函数（cdf）
Z (u)
cumulative distribution function
F(u; z) Pr ob{Z(u) z}
P
条件累积分布函数（ccdf） conditional cumulative distribution function
F(u; z | (n)) Pr ob{Z(u) z | (n)}
离散变量（类型变量）：
P
F(u;k | (n)) Prob{Z(u) k | (n)}
不同的取值方式：估计（estimation）
条件累积分布函数（ccdf）
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。