几种典型窗口函数数字信号处理教程

华东师范大学出版社中等职业教育分社
理论分析
时域相乘，频域卷
积
H
(e
jw
)

1
2
[Hd
(e
jw ) *WR (e
jw )]
矩形窗的频谱：

WR (e jw ) wR (n)e jnw n
N 1 2
sin Nw
e jnw
2
sin w n N 1 2 华2东师范大学出版社中等职业教育分社
7.2 窗口法
设计FIR数字滤波器一般不借助于模拟滤波器，而是直接逼近所要求的频率 响应。
• 理想低通数字滤波器的频率响 应
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• 通过逆变换求得冲激响应
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• 得到FIR滤波器的冲击响应，最直接的方 法是将它截短：
相当于将其与矩形窗函数相乘：
(e
j 2
N
k
)
N
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可以对理想的频响Hd(ejw)取样，由此确定H（k）的值
j 2 k
H (k) Hd (e N )
以这些采样点按7.52式就能得到FIR滤波器系统函数H（z） H（z）就是理想滤波器系统函数Hd(z)的逼近
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• 4. Blackman窗
为进一步抑制旁瓣，对升余弦窗再加一个二次谐波的余弦分量：
幅度频谱为：
W
(w)

0.42WR
(w)

0.25[WR (w

2 )
N 1
WR (w

2 )]
N 1
0.04[WR
(w

4 )
N 1
WR
(w

4 )]
N 1
• 矩形窗频谱波形：
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根据7.32式:
H (e jw ) 1
2

Hd
(e
j
)WR[e
j (w
)
]d
H (e jw) 1
2
wc wc
WR
[e
j
(
w
)
]d
等于由 wc到wc区间曲线WR[e j(w ) ]下的面积
w变化时，曲线左右移动，面积也发生变化
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• 5. 凯塞窗
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设计方法小结
（1） 7.2.2节作的分析虽然是针对矩形 窗，但其基本原则和结论对采用其它窗也 完全适用。
（2）上述分析涉及的序列是非因果的
问题：如何得到因果FLeabharlann BaiduR滤波器的h(n)?
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• 因果FIR滤波器的h(n)的要求： 1. 序列区间为：
0 n N 1
2. 关于（n-1)/2处偶对称
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方法一
若记非因果理想滤波器的冲击响应： 特点：无限长；关于n=0偶对称。
hd '(n)
可以先由
hd移位'(得n到) ：
sin Nw
WR (w)
2 sin w
（图7.8）
2
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• 2. 升余弦窗-汉宁窗
幅度响应为：
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• 3. 哈明窗
幅度响应：
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• 汉宁窗和哈明窗的统一表示：
汉宁窗： =0.5 哈明窗： =0.54
hd (n)
hd
(n)

hd
'(n

N 1) 2
然后将该序列截短（乘以窗函数）
h(n) hd (n)w(n)
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方法二
h (n) d
。 可以由理想滤波器的频响的傅氏反变换得到
hd
(n)

1
2

Hd
(e
jw )e
jnwdw
sin[wc (n )] (n )
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H (e jw ) 1
2
wc
wc
WR
[e
j
(
w
)
]d
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7.2.3 几种常用的窗函数 若窗函数记为 W(n) 窗函数的频谱：
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• 1. 矩形窗
频率取样法：
以有限个频响取样去近似理想的频率响应
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FIR滤波器的系统函数：H（z) 其冲激响应的DFT: H(k)
H (z) 1 zN N
N1 H (k) k0 1WNk z1
H
(k)

H
(z)
|z WN k

H
(e
jw )
|
w
2
k

H
对比前面的（7.28）式： 其中心点由n=0移到了：
n
N 1
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然后同样将该序列截短得到因果的FIR滤波器的冲击响应：
h(n) hd (n)w(n)
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7.3 频率取样法
窗口法：
以有限长单位取样响应h(n)去近似理想的单位取样响应
w(n)

1 0
0 n N 1 其它
对中心点在n=0的非因果矩形窗求出的频谱为：
sin Nw
WR (e jw )
2 sin w
2
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现将中心点移到(N-1)/2处，其频谱为：
WR
(e
jw )


e
j
N 1w 2
sin Nw 2
sin w
2
对照（7.35式）其幅度谱为：