九年级数学上册 第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减练习 (新版)华东师大版
华师大版数学九年级上册全册复习课件精选全文
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
第22章┃ 复习
3．一元二次方程根的判别式 由于一元二次方程的根的个数由代数式_b_2_－__4_a_c_____的符 号决定，因此把_b_2_－__4_a_c____叫做一元二次方程根的判别式． (1)当_b_2_－__4_a_c_＞__0___时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有 x2＝两_个__不_－_相_b_－等__的2_ba_实2_－_数_4_a根_c_，__即__x_1_＝_____．－__b_＋___2_ab_2－__4_a_c________，
•第二十一章 二次根式 •21.1《二次根式》 •21.2二次根式的乘除法 •21.3二次根式的加减法
第21章┃ 复习
1．二次根式的概念 一般地，我们把形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式．
第21章┃ 复习
2．二次根式的性质
(1) a≥___0___(a≥0)；(2)( a)2＝___a___(a≥0)；
解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝ 2± 5，所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
Байду номын сангаас
第22章┃ 复习
方法技巧 如果方程具备(x＋a)2＝b(b≥0)型，用直接开平方法解较简 单，如果不具备，应考虑因式分解法．用因式分解法解方程时， 应先把右边化为 0，再把左边因式分解，因式分解法简单，但 有局限性．因式分解法不能用时，观察如果二次项系数是 1， 一次项系数是偶数，用配方法解较简单．如果都不行，就用公 式法，公式法是解一元二次方程的万能方法，但要先化成一般 式确定 a，b，c，计算 b2－4ac.
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
【新华东师大版】九年级数学上册：21《二次根式》章末复习学案(含答案)
第21章知识升华3 .几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 .2^.8; ^.18是同类二次根式. 4、二次根式的主要性质-..a (a >0)是一个非负数，即、.a >0 (a >0);5、二次根式的运算分别合并(类似整式中的合并同类项)三、考点例析2 .满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(即被开方数不含分母)；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如2・a b等(2) 2(；a ) =a (a 》0)； (3)(4) 二次根式的乘法法则:、a , b 、ab (a 0, b 0)(5) 二次根式的除法法则:a(a 0, b 0)(1) (1)二次根式的加减：二次根式相加减, 先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式(2)二次根式的乘除：二次根式相乘除, 把被开方数相乘除，根指数不变、知识结构图1 •形如(a > 0)的式子叫做二次根式•事实上 ,a (a > 0)表示非负数a 的算术平方根.等不是最简二次根式.3是最简二次根式.但 8;考点1:最简二次根式例1、（2010年哈尔滨市）在下列根式4.5a; - 2a ［、b; , 8x 中，最简二次根式的个数为（）,2a 3中有因式a 2可以开出，.8x 中有因数22可以开出,所以、:2a 3; 8X 不是最简二次根式.故选C.考点2：同类二次根式 例2、（2010年北京市）下列根式中，能与合并的是（） A .24B..12C. ， 3D. 18分析：能与.3合并的应是.3的同类二次根式， 这几个二次根式都不是最简二次根式，应先化为最简二次根式，刀=厶6;忑23;于；•吊3巨所以与4是同类二次根C.考点3:二次根式的运算A . 4个 B. 3个 C. 2 个 D.1分析：4.5a; _ b 是最简二次根式, 例3、（2010年青海省）若最简二次根式/1 人3 4 A. aB. a —43C. a 1D.a 1a 与2a 的被开方数相同，则a 的值为（） 的被开方数相同；即1a 4 2a ，解得a 1 ,故选4、（2010年山东省东营市F 列计算正确的是（）A . B.「43C.D.分析：由二次根式的性质和运算法则的 2 2,2 .2、2.而B 选项中明显用被开方数除以非被开方数，错用二次根式除法法则 ；C 选项用平方差公式即可得 4— 5 = — 1;D 选项丢了才1这”故选A.例5、（2010年江西省）化简2 2 2得（ ）式的是,12，故选B.分析：最简二次根式四、热点、易混点追踪1、概念理解模糊、审题不清例1、有下列命题：（1）二次根式的被开方数是相负数,最简二次根式；（3）若， 是二次根式，则a 0,b 0.其中正确的个数有（A .— 2 B. C. 2D.4.2 2分析：由二次根式的性质和运算法则得, 、,8 J ,22 2,2 2 2“ 2.故选 A.考点4:化简2例6、 （2010年北京市）计算近1分析：原式=2(2 1)2 .2 1 1.考点5:运用二次根式的性质化简 例7、（ 2010年江西省） 已知 a 2,贝,,(a 2)2分析:a 2, a0,2 a.例8、 （2010年绍兴） 化简 \ 4x 24x 1 2x2得（ A . 2B.4x 4C.D.4x 4.分析:由2x 3 0,得2x 10 ,所以,4x 2 4x 1. 2x 3 22x (2x 3) = 2x 2x 3 2，故应选A.考点6:二次根式成立的条件例9、（2010年山西省课该实验区）代数式1厂有意义时，字母x 的取值范围（A . x 1 B.x 1 C.D.x 0 且 x 1.分析：由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以 x 10,即x 1.故选A考点7:估算二次根式例10、（2010年沈阳课改） 估算 ,24 3的值为（）A . 在 5和6之间 B. 在6和7之间C. 在7和8之间D.在8和9之间.分析：因为\ 16、；24、、25 即 4^.24 5，所以 7 .243 8.故选 C.则其值是非负数；（2）... x 2 y 2是)个.A 、0B 、1C 、2错解：选D.剖析：本例中，(1)错在对二次根式概念的狭隘理解，认为形如,.a a 0的式子就是二次.事实上，—2 .. a a 0等也是二次根式，但它是非正数.(2) (3)错在将二次根式的概念与其性质.a aa 0,b\ b Jb例2、已知,2x 3与,5是同类二次根式，则 x 的值为( )选项A 错在是解2x 3 5而得，这考虑仅仅是最简二次根式的情况 .当2x52x 5也是同类二次根式，故选C.2、对性质成立的条件理解不透定成立的有( )个.A 、0B 、1 错解：选D.必须满足a 0,b 0 .故选A.3、忽视几何图形中的条件限制2 例4、已知a,b,c ABC 的三边长，求• a b c错解：原式=abcbac 2b 2c .剖析：本例错在忽视了“三角形两边之和大于第三边”条件的限制，而导致错误 原式=a b c b a c 2a .4、计算不依据法则，随意而为 例5、下列计算：(1).2a . 3a . 5a ； (2)3. 2 2、、2 1 ； (3) 2 . 2 2. 2； (4).132 122132 ，122 1 ; (5)亦2 <4 2.正确的个数有()A 、3B 、4C 、5D 、非上述答案 错解：选C.根式，而二次根式的值是非负数的 错在忽视了 X 2y 2 0的条件. 为一谈了，事实上只要满足 -b0即可•故选A.A 、 4B 、5C 、无数个D、非上述答案错解: 选A.剖析: 例3、有下列各式：(1) . ab 2b ；(2) . a 211 ;(3)1ab b剖析：(1)错在a b 不一定是非负数,(2)错在忽视了a 1的条件, (3)错在等式要成立,的值.剖析： (1 )错在臆造 2 .、3 ,5 ; (2)错在合并冋类二次根式是只考虑了“系数”；(3)错在套用了整数与分数相加的法则； (4 )、(5)错在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5个都错，选D.5、求解顾后不瞻前f ---------例6、若'4—X 有意义，则x 的取值范围是V x 14x0错解：由题意，得，解得0 x 4.x 0剖析：本例虽然考虑到被开方数的取值情况，但忽视了分母不能为零这个条件，正确结果为0 x 4 且 x 1.例7、先化简 X —1.. x 2 x ，然后再选择合适的数求值•J x 1----- 2错解：原式="X 1 _ J'x x 1 X 1 j x .当x =0时，原式=0. y/x 16、忽视隐含条件，使结论多解、漏解 例9、化简a错解：原式=•• xy xy 2 _ xy 2 3剖析：虽然xy 3，但我们并不知道 x, y 的取值符号，因此要进行讨论.(1 )当x 0, y 0 时，原式=xy xy 2 xy 2 3; ( 2 ) 当 x 0, y 0时，原式=、xy xy 2 xy 2 3.故填 2 3.剖析: 由题意，知x1 ,当x =0时，原式无意义， 因此只可取x1的数求值.如取x =4时,原式=6.例8、2解方程：x2 x 24错解: 原方程变为：2x 4x 4x 4x 4，解得:X 1 2,X 2 2.剖析: 只顾一直做下去, 以为求得解了就大功告成，是犯这类错误的特点.如果解题后，回过头来验证一下，就可以避免这类错误了，本题中, x =— 2时，x 无意义，所以x =2.错解：原式=a3 2a2a 5(a 1(a 3)3)剖析：本例隐含着.2 a0，则a 2，化简得原式=1.7、已知xy 3， y i —的值是；y8米的正方形大厅，它是由大小完全相同的黑白方砖密铺而成，则每一块方砖的边长为（ ） A 、8B、2 + 1C 、2 D五、本章达标测试、选择题（每小题 3分，共30分）：1、已知、、2卩 与、一5是同类二次根式，则 x 的值为（ A 、 4、无数个D 、非上述答案2、有下列各式: a 1a 1 ； ( 2) ： a b $ a b ；( 3)定成立的有（ A 、如果实数x, y 满足x 0，则的值为A 、若.14.02 x10，y 的值为（A 、 14.02、0.1402、1.402A 、 A 、 C 、A 、 8、 A 、如果」一x 2yx 2y F 列运算正确的是（1.52 0.521.5 如果代数式 第一象限F 列各组二次根式中, 4xy 4y 22y1，贝U x,2 y 的关系为、x 2yx 2y0.5、2.0?2x、第二象限那么直角坐标系中点C 、第三象限x 的取值范围相同的是（m, n 的位置在（、第四象限9、如图所示，有一边长为 D二、填空题（每小题2分，共20分）：10、请写出一个无理数使它与「3 1的积是有理数：___________ . __________11若常a a 0，贝U a的取值范围是 ___________________________ .若=7a & ，贝卩a的取值范围是12、已知二次根式J2a 1与J7是同类二次根式，试写出三个a的可能取值13、一个密码系统的原理如下所示：输入x T x21 T输出，如果输出结果为13时，则输入的x =15、已知0.2 a , 「03 b，则.0.24用含a,b的代数式表示为.16、已知A n】，B 3. n 2 （n为正整数），当n 5时，有A B.请用计算器计算当n 62时，A、B的若干值，并由此归纳出当n 6时，A B间的大小关系为17、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简.（a 1）2（b 1）2. （a b）2= _____ .18、已知长方形相邻两边之比为 2 : 3,对角线长为.39，则长方形的面积为 _.19、规定两种新运算：a b a b,c d .c - d，如3 2 329,2 3 .2 .3 .6 ,1那么12 - 3 = .2三、解答题（70 分）:20、（8分）不使用计算器，计算，113.14 0- 4554* 54' 521、（10分）已知x y 2 .3, y x2、、3，求x2y2 2 z xy xz yz 的值.22、（10分）图1是-种两种口味的火锅，为了制造这种火锅，我们把这个实际问题转化为一个26、数学问题就是在一圆筒里放入两种不同的物体， 并用一个长方形的金属薄片（金属厚度忽略不计） 分隔开来（如图2）,已知圆筒高为20cm ，容积为25120cm 3，问这个长方形玻璃薄片的面积为 多少？（ 取3.14，玻璃薄片的上边与圆筒的上底面持平）25、（7分）阅读理解:.12 .48r（10分）同学们都知道对于 -a 的式子，可以将分子、分母同乘以.b 来化去分母中的根号,Vb23、（ 10分）边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为 a的正方形方孔.3若沿图中虚线锯开,可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.24、（ 7分）已知： ,a^=| a2ab b 2 a b 2，一个同学在化简.7 4.3时是这样化简的：7 4-3 ,44.3 3 ,22 才水3 (奇.(2 G)2=2+ G .请仿照这个同学的做法化简:J4 6 5阶行列式，规定它的运算法则为ad be ,如2 6 5 48，现在请你计算2、2图1如1_ -_22，那么如果分母中是形如、a b的形式，该怎么办呢？办法有的是，我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以Ja b ,从而化去分母中的根号，如参考答案一、 1 〜9、C A D C B D B C C 二、 10、、、3 1 11、 a 0, O v a w 1 12、 3, 31, 87 13、 土 2.3 14、 土 22 15、 2ab 16、 A B 17、 一 2 18、18 19、~7、20、 x51221、1522、解: 设圆柱形圆筒的底面半径为X ，则：x =25120 V 3.1420 20cm ，故长方形玻璃薄片的面积应为:20 40 800 cm 2 .23、解: 设新正方形的边长为x , 根据题意有： 2 2x a1 a 2，解得X 2 &a .3324、3 —:』5cu 47 L25、6626、 (1) 10 4、. 543 11 1 .3 1-L J .根据以上介绍，请你解答下面的问题:2(1) 4已知------- 的整数部分为.5 1a ，小数部分为b ，求a 2 b 2的值. (2) 1 试着化简：1 .22<3(2)原式=—L1—吕迈9康i忑近i 近运忑丘''、品屆4^晶。
华东师大版九年级数学上册第21章《二次根式的加减》课时练习题
21.3 二次根式的加减一、选择题（本题包括5小题.每小题只有1个选项符合题意）1．下列根式，与3是同类二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列各式计算正确的是（）A．3a3+2a2=5a6 B．2+=3C．a4•a2=a8 D．（ab2）3=ab6 3．计算-9的结果是（）A．- B． C．- D．4．下列根式，不能与合并的是（）A．B．C． D．5.下列运算正确的是（）A．a2+2a＝3a3B．（﹣2a3）2＝4a5C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．二、填空题（本题包括3小题）6．计算：-3+=______．7. 若最简二次根式与﹣3能够合并，则a＝．8．下列计算正确的序号是______．①2-=2；②sin30°=；③|-2|=2．三、解答题（本题包括3小题）9. 计算：（1）（﹣）﹣2（﹣）；（2）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）10. 已知一个矩形相邻的两边长分别为a，b，且a＝，b＝．（1）求此矩形的周长；（2）求与此矩形面积相等的正方形的对角线的长．11. 已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．（第10题图）21.3 二次根式的加减参考答案一、选择题（本题包括5小题.每小题只有1个选项符合题意）1．B 2．B 3．B 4．C 5.C二、填空题（本题包括3小题）6. 7.5 8.③三、解答题（本题包括3小题）9.解：（1）原式＝2﹣﹣+2＝4﹣；（2）原式＝9﹣5﹣（3﹣2+1）＝4﹣4+2＝2．10. 解：（1）此矩形的周长为（+）×2＝（2+）×2＝3×2＝6；（2）×＝2×＝4，故与此矩形面积相等的正方形的对角线的长＝2．11. 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，AB＝2，∴AB边上的高是：＝，即AB边上的高是．。
21.3 二次根式的加减(课件)华东师大版数学九年级上册
第一课时 二次根式的加减
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归纳总结
考
点
判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根
清
单 式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关.
解
读
第一课时 二次根式的加减
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例2
（1）
计算：
+
；
（2） - + ；
（3） +
被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小
）
第一课时 二次根式的加减
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方
例 比较大小：7- ______3- （选填“＞”“=”
法
技 或“＜”）.
巧
点
［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4拨
＞0，∴7- ＞3- .
［答案］ >
第二课时 二次根式的混合运算
的方法
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开
方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
第一课时 二次根式的加减
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考
点
清 合并同 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数，
单
解 类二次 被开方数和根指数不变
读 根式 如m +n =（m+n） ，
的法则 m -n =（m-n）
第一课时 二次根式的加减
易
错
易
混
分
析
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［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下
的数按有理数相加减.
【练闯考】华师版九年级数学上册全章学案：第21章%E3%80%80二次根式
第21章 二次根式21．1 二次根式1.a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a (a ≥0)是一个非负数，它的平方等于a ，即有：(1)a __≥__0(a ≥0)；(2)(a )2＝__a __(a ≥0)． 2．形如a __(a ≥0)__的式子叫做二次根式．3.a 2＝|a |＝⎩⎨⎧ a （a ≥0）－a （a <0）知识点1：(a )2＝a (a ≥0) 1．计算：(2015)2＝__2015__；(53)2＝__53__． 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)7＝；(2)8.3＝；(3)112＝；(4)t ＝t ≥0)． 知识点2：二次根式的概念3．下列式子：①4；②12；③－5；④38；⑤（－1）2.其中二次根式的个数有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列式子中，一定是二次根式的有( C ) a ，－22，－x 2＋1，（－13）2，3－2，32x 2，π.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 知识点3：二次根式有意义的条件5．(2014·武汉)若x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 6．(2014·巴中)要使式子m ＋1m －1有意义，则m 的取值范围是( D ) A ．m >－1 B ．m ≥－1C ．m >－1且m ≠1D ．m ≥－1且m ≠17．下列四个式子中，x 的取值范围为x ≥2的是( C )A.x －2x －2 B.1x －2C.x －2D.2－x8．使二次根式－（x －1）2有意义的x 的取值范围是__x ＝1__． 知识点4：二次根式的性质 9．计算（－3）2的结果是( B ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．9 10．如果（3a －2）2＝2－3a ，则( B ) A ．a <23 B ．a ≤23C ．a >23D ．a ≥2311．化简下列各式： (1)4； 解：2 (2)49； 解：7(3)2025； 解：45(4)（－5）2； 解：5 (5)－（13）2； 解：－13(6)4×10－4. 解：2×10－212．已知－1≤a ≤1，下列是二次根式的为( C ) A.a －12B.1－1aC.1－a 2D.a13．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为( B )A ．5B ．6C ．7D ．814．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为( A )A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定15．已知点P (x ，y )在函数y ＝1x 2＋－x 的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．(2014·张家界)若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2014等于( B ) A ．－1 B ．1 C ．2014 D ．－2014 17．使代数式2x －13－x有意义的x 的取值范围是__x ≥12且x ≠3__．18．(2014·德州)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y)y ＝__14__．19．x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)x ＋1－2－x ； 解：－1≤x ≤2 (2)53－2x； 解：x<32(3)41－x . 解：x ≥0且x ≠120．(1)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，试求x 2015－y 2015的值．(2)若a ，b 为实数，且a ＝b －7＋14－2b ＋2，求a ＋b 的平方根．解：(1)由已知得1＋x ＋(1－y )1－y ＝0，由于1＋x ≥0，1－y ≥0，故根据非负数的性质可得：1＋x ＝0，1－y ＝0，解得x ＝－1，y ＝1，代入则有x 2015－y 2015＝(－1)2015－12015＝－1－1＝－2 (2)由于b －7≥0，14－2b ≥0，则有b ≥7，b ≤7，故b ＝7，所以a ＝2，所以a ＋b 的平方根为±321．甲、乙两位同学做一道相同的题目： 化简求值：1a ＋1a 2＋a 2－2，其中a ＝15. 甲同学的解法是：原式＝1a ＋（1a －a ）2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝10－15＝495. 乙同学的解法是：原式＝1a＋（a －1a ）2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15.请问哪位同学的解法正确？请说明理由． 解：甲同学的解法是正确的，理由如下：∵1a2＋a 2－2＝（a －1a ）2＝|1a－a|，且a＝15，即1a ＝5.∴1a >a.∴1a －a>0.∴|1a －a|＝1a －a.乙同学在去绝对值时忽略了1a 与a 的大小关系，导致错误21.2 二次根式的乘除21．2.1 二次根式的乘法 21．2.2 积的算术平方根1.a ·b ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的__积__的算术平方根．2.ab ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的__积__．知识点1：二次根式的乘法 1．计算：(2014·河北)8×12＝__2__；2×18＝__6__；35×16920＝__34__． 2．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( C ) A ．x >1 B ．x <－1C ．x ≥1D ．x ≤－13．下列各等式成立的是( D )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 6 4．计算： (1)98×2； 解：14(2)52×10； 解：5(3)36×167；解：1242(4)6a 3×3a2(a ≥0)． 解：3a 25．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地考察，为了考查一下同学们的数学应用能力，他把长方形的基地设计长为8020米，宽为345米，请同学们算出这块实验基地的面积．解：这块实验基地的面积为8020×345＝240900＝240×30＝7 200(平方米)知识点2：积的算术平方根6．化简二次根式（－3）2×6得( B ) A ．－3 6 B ．3 6 C ．±3 6 D ．67．若等式9－x2＝3－x·3＋x成立，则x的取值范围是( A )A．－3≤x≤3 B．x>－3C．x<3 D．－3<x<38．化简：(1)48＝；(2)－72＝；(3)－135＝．9．化简：(1)108；解：63(2)（－5）×（－90）；解：152(3)292－212；解：20(4)18x2yz3(x≥0，y≥0，z≥0)．解：3xz2yz10．下列化简正确的是( B )A.（－4）×（－9）＝－4×－9＝6B.12×27＝4×81＝18C.16＋4＝16＋4＝4＋2＝6D.414＝4×14＝2×12＝111．若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边长是( B )A．3 2 cm B．3 3 cmC ．9 cmD ．27 cm12．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示54，则下列正确的是( A ) A ．3ab B ．2ab C ．ab 2 D ．a 2b 13．已知m ＝(－33)×(－221)，则有( A ) A ．5<m <6 B ．4<m <5C ．－5<m <－4D ．－6<m <－514．若点P (x ，y )在第二象限内，化简x 2y 的结果是． 15．比较大小：(1)23__<__32；(2)－211__>__－3 5. 16．将根号外面的因数移到根号内：35＝，212＝；－656＝，a －1a＝． 17．若20n 是整数，则正整数n 的最小值是__5__． 18．计算： (1)15×60； 解：23 (2)6×1218； 解：33(3)3220×(－1215)×(－1324)． 解：15219．化简： (1)3200；解：402 (2)－21×（－28）； 解：143(3)43×92×5；解：725 (4)1327x 2y 3z 4(xy ≥0)．解：xyz 23y20．小强在计算机课上设计了一幅长140π cm ，宽35π cm 的矩形图片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径．解：设圆的半径为r cm ，则140π×35π＝πr 2，35×4×35π2＝πr 2，∴70π＝πr 2，∴r 2＝70，∴r ＝70，即圆的半径为70 cm21．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 338＝3＋38. 验证： 338＝32×38＝338＝33－3＋332－1＝3（32－1）＋332－1＝3（32－1）32－1＋332－1＝3＋38 同理可得：4415＝4＋415，5524＝5＋524，……通过上述探究你能猜测出：a aa 2－1＝a >1)，并验证你的结论． 解：a aa 2－1＝a ＋a a 2－1，验证：a aa 2－1＝a 2·a a 2－1＝a 3a 2－1＝a 3－a ＋aa 2－1＝a 3－a a 2－1＋aa 2－1＝a （a 2－1）a 2－1＋aa 2－1＝a ＋aa 2－121.2.3 二次根式的除法1.a b＝a __≥__0，b __>__0)．即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的__商__的算术平方根．2.a b ＝a __≥__，b __>__0)．即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根与除式的算术平方根的__商__．3．被开方数中不含__分母__，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于__2__的二次根式称为最简二次根式．4．二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子，分母同乘以一个__恰当的二次根式__就可以了，这种化简过程称为分母有理化．知识点1：二次根式的除法 1．计算：10÷2＝( A ) A.5 B ．5 C.52 D.1022．菱形ABCD 的面积为27，对角线AC 的长为23，则对角线BD 的长为( D ) A.92 B ．9 C.32D ．3 3．等式x x －2＝xx －2成立的条件为__x>2__．4．计算下列各题： (1)60÷5；解：23 (2)2423；解：2 (3)45÷215； 解：6 (4)2a 2bb(a ≥0)．解：2a知识点2：商的算术平方根5．下列各式计算正确的是( C )A.－4－9＝－4－9＝－2－3＝23B.429＝213 2C.4×225＝25 2D.1249＝7126．(2014·济宁)如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b，其中正确的是( B )A．①②B．②③C．①③D．①②③7．化简：(1)11549；(2)6316；(3)25a481b2(b>0)．解：(1)87(2)374(3)5a29b知识点3：最简二次根式8．下列式子中，属于最简二次根式的是( B )A.9B.7C.20D.139．把下列各个二次根式化为最简二次根式．(1)8a2b3(a≥0)；解：2ab2b(2)83；解：236(3) 4.8；解：2305(4)3y32x2(x>0)．解：y 2x6y10．下列各式计算正确的是( C ) A.483＝16 B.326＝13C.3663＝22D.698＝27 11．下列二次根式中：12，12a ，30， 1.6，a 2－b 2，5a 3，a 2，a2，9x ＋18y ，最简二次根式有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．在化简323时，甲、乙、丙三位同学化简的方法分别是：甲：原式＝3×23＝3×2×33×3＝6；乙：原式＝3×69＝3×69＝6；丙：原式＝32×23＝ 6.其中解答正确的是( D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．都正确13．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.24，则下列表示正确的是( B ) A ．2ab B ．0.2ab C ．0.1ab 2 D ．0.1a 2b14．计算：(1)3850＝__65__；(2)26315＝15；(3)－3227＝__3；(4)12＋13＝6．15．已知点A (x 1，－3)，B (22，y 2)都在反比例函数y ＝－32x的图象上，则x 1＝__，y 2＝__－32__．16．把(a －b )1b －a的根号外的因式移到根号内的结果是． 17．计算： (1)18÷8×272；解：946(2)30×32223÷2212； 解：32 (3)945÷212×32223. 解：54318．先化简，再求值：xx 3－2x 2÷x －2x －2，其中x ＝8. 解：原式＝1x，当x ＝8时，原式＝2419．进行二次根式化简时，有时会碰到像53，23＋1这样的式子，其实还可以将其进一步化简：53＝5×33×3＝533；23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－12＝3－1. 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23＋1还可以这样化简：23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.请选择适当的方法化简：(1)13－1；(2)25＋3；(3)143－7.解：(1)13－1＝3＋1（3－1）（3＋1）＝3＋12(2)25＋3＝（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－3(3)143－7＝43＋7（43－7）（43＋7）＝43＋7－1＝－43－721.3二次根式的加减1．几个二次根式化成最简二次根式后，如果__被开方数相同__，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2．二次根式相加减时，先把各个二次根式__化简__，再将__同类二次根式__合并．知识点1：同类二次根式1．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与2合并的是( C )A.12 B.8 C.12 D.182．下列各式中与3是同类二次根式的是( C )A.24B.23 C.27 D.0.33．如果最简二次根式3a－8和17－2a是同类二次根式，那么a＝__5__．知识点2：二次根式的加减4．下列计算正确的是( C )A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝ 2 D．3＋22＝5 25．(2014·哈尔滨)计算：12－3＝．6．计算：(1)45－1480＋515－53145；解：25(2)(30.5－613)－(218－20－2927)． 解：2－433＋25知识点3：二次根式的运算与乘法公式7．若x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，则xy 的值是( D ) A ．2a B ．2b C ．a ＋b D ．a －b8．已知a ＝22＋3，b ＝22－3，则：(1)a ＋b ＝； (2)a －b ＝__6__； (3)ab ＝__－1__； (4)a 2＋b 2＝__34__；(5)a 2－2ab ＋b 2＝__36__． 9．计算：(1)(2＋3)(2－3)； 解：－1 (2)(2－12)2； 解：12(3)(5＋32)2. 解：23＋610知识点4：二次根式的混合运算 10．(2014·台湾)算式(6＋10×15)×3之值为何？( D ) A ．242 B ．12 5 C ．1213 D ．18 211．计算：24－18×13＝．12．计算：(1)(54－12＋1)÷3； 解：32－2＋33(2)45×35＋3(5－2)． 解：3＋1513．计算412＋313－8的结果是( B ) A.3＋2 B.3 C.33D.3－ 2 14．下列计算正确的是( D ) A ．(22－3)(2＋3)＝－1 B ．(2＋5)(2－5)＝1 C.6÷(2－3)＝3－ 2D.27－123＝9－4＝115．计算32×12＋2×5的结果估计在( A ) A ．7到8之间 B ．8到9之间 C ．9到10之间 D ．10到11之间16．已知a ＝5＋2，b ＝5－2，则a 2＋b 2＋7的值为( C ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．617．计算：(26＋5)2015×(26－5)2016＝．18．工厂因实际需要，用钢材焊制三个面积分别为2 m 2，18 m 2，32 m 2的正方形铁框，则焊工师傅需用钢材的总长度为19．计算：(1)(212－6118＋348)×52；解：806－10(2)(318＋1550－412)÷32； 解：2(3)(2014·荆门)24×13－4×18×(1－2)0. 解：220．已知a ＝7＋2，b ＝7－2，求下列代数式的值： (1)ab 2＋a 2b ；解：原式＝ab (b ＋a )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝67(2)a 2－2ab ＋b 2；解：原式＝(a －b )2.当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝16(3)a 2－b 2.解：原式＝(a ＋b )(a －b )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝8721．阅读下列解题过程：12＋1＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－1， 13＋2＝1×（3－2）（3＋2）（3－2）＝3－ 2.请回答下面的问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出1n ＋n －1的值；(2)利用上面的规律计算： (11＋2＋12＋3＋13＋4＋…＋12013＋2014＋12014＋2015)×(1＋2015)． 解：(1)1n ＋n －1＝n －n －1 (2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…2014－2013＋2015－2014)×(1＋2015)＝(2015－1)(2015＋1)＝(2015)2－12＝2014综合练习 二次根式的化简与运算1．(2014·徐州)下列运算中错误的是( A ) A.2＋3＝5 B.2×3＝ 6 C.8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 2．计算48－913的结果是( B ) A ．－ 3 B. 3 C ．－113 3 D.11333．估算50＋232的值在( C ) A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 4．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．55．等式（4－x ）2（6－x ）＝(x －4)6－x 成立的条件是( B ) A ．x ≥4 B ．4≤x ≤6 C ．x ≥6 D ．x ≤4或x ≥66．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，那么a ＋b 等于( D ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．107．若a ＝3－10，则代数式a 2－6a －2的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.108．(2014·黔南州)实数a 在数轴上的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝__1__．9．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝__－6__．10．已知等腰三角形的两边长为32和45，则此等腰三角形的周长为． 11．观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，请写出满足上述规律的用n (n 为任意自然数，且n ≥3)表示的等式：__．12．计算：(1)32－212－418＋348； 解：22＋83(2)(0.5－213)－(132－75)； 解：382＋1333(3)212÷1550×1234； 解：322(4)(548＋12－627)÷3； 解：4(5)(3＋2－5)(3－2－5)． 解：6－21513．化简：18－92－3＋63＋(3－2)0＋（1－2）2.解：原式＝32－322－(1＋2)＋1＋|1－2|＝32－322－1－2＋1＋2－1＝322－114．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝5.求8※12的值．解：8※12＝8＋128－12＝20－4＝25－4＝－5215．已知x－1＝3，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．解：原式＝(x＋1－2)2＝(x－1)2，当x－1＝3时，原式＝(3)2＝316．已知x，y为实数，且y＝3－x＋4x－12＋1，化简(5－x)2|y－3|－y2－8y＋16.解：∵3－x≥0，4x－12≥0，∴x＝3，y＝1，∴原式＝(5－x)(3－y)－（y－4）2＝(5－x)(3－y)－(4－y)＝(5－3)×(3－1)－(4－1)＝2×2－3＝4－3＝117．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，E点在AB上，DE＝AE＝EB＝ 5.求▱ABCD的周长和面积．解：∵DE ⊥AB ，DE ＝AE ＝5，∴AD ＝AE 2＋ED 2＝（5）2＋（5）2＝10.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，DC ＝AB ＝2 5.∴▱ABCD 的周长为AD ＋DC ＋CB ＋AB ＝2(10＋25)＝210＋4 5.▱ABCD 的面积为AB ×DE ＝25×5＝1018．已知a －b ＝5＋3，b －c ＝5－ 3. (1)求a －c 的值；解：a －c ＝(a －b )＋(b －c )＝25(2)求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值．解：a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]＝1819．已知等式|a －2014|＋a －2015＝a 成立，求a －20142的值． 解：∵a －2015≥0，∴a ≥2015.∴|a －2014|＝a －2014.∴a －2014＋a －2015＝a.∴a －2015＝2014.∴a －2015＝20142.∴a －20142＝201520．已知11－1的整数部分是a ，小数部分是b ，试求(11＋a )(b ＋1)的值． 解：∵3<11<4，∴2<11－1<3，故11－1的整数部分是2，即a ＝2，∴11－1的小数部分是11－1－2＝11－3，即b ＝11－3.∴(11＋a )(b ＋1)＝(11＋2)(11－3＋1)＝第21页 (11＋2)(11－2)＝(11)2－22＝721．观察下列等式及验证过程： 12－13＝1223；12（13－14）＝1338； 13（14－15）＝14415. 验证：12－13＝222×3＝1223； 12（13－14）＝12×3×4＝32×32×4＝1338. (1)请按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想14（15－16）的变形结果及验证过程； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n 表示的等式，并验证．(n 为自然数) 解：(1)14（15－16）＝15524 验证：14（15－16）＝14×5×6＝54×52×6＝15524(2)1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1 验证：1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ·（n ＋1）（n ＋2）＝n ＋1n （n ＋1）2（n ＋2）＝1n ＋1n ＋1n （n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1。
九年级数学上册第21章二次根式21.3二次根式的加减作业华东师大版(2021年整理)
2018年秋九年级数学上册第21章二次根式21.3 二次根式的加减作业（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第21章二次根式21.3 二次根式的加减作业（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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21．3 二次根式的加减1．通过回忆同类项的概念，类比理解同类二次根式的概念，并能准确识别出同类二次根式．2．通过自学阅读，类比整式加减运算的方法，讨论归纳出二次根式加减的法则，并用该法则进行二次根式的加减运算．3．通过回顾整式的混合运算，理解二次根式混合运算中加、减、乘、除、乘方、开方等运算的运算顺序,能正确进行二次根式的混合运算．目标一会识别同类二次根式例1 教材补充例题下列二次根式中,与错误!是同类二次根式的是（）A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!【归纳总结】1．判断同类二次根式的“一化、二看、三判断”法：2．同类二次根式的“两相同、一无关":目标二会利用法则进行二次根式的加减运算例2 教材例1针对训练计算：2 错误!＋3 错误!－5 错误!－3 错误!。
例3 教材例2针对训练计算：（1)错误!＋错误!－错误!；(2)3 8＋2错误!－错误!；(3）错误!错误!－2错误!＋错误!－3 错误!.【归纳总结】二次根式加减运算“三步法”:目标三会进行二次根式的混合运算例4 教材例3针对训练计算：（1）（错误!＋2错误!－错误!）×2 错误!；（2)（错误!＋错误!）2＋(错误!－错误!）2.【归纳总结】二次根式混合运算的“五点注意”：（1)确定运算顺序：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的；(2）灵活运用运算律;(3）正确使用乘法公式；(4）有些运算中约分可使运算简便；（5)最后将结果化为最简二次根式或整式．小结◆◆◆知识点一同类二次根式的概念几个二次根式化为最简二次根式后，如果________________，那么这几个根式叫做同类二次根式．知识点二二次根式的加减法法则法则：二次根式的加减类似于整式的加减,关键是____________________．通常应先将各个二次根式化简（化为最简二次根式),再将同类二次根式合并．知识点三二次根式的混合运算二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，实质上就是实数的混合运算和代数式的混合运算．◆◆◆计算：错误!÷错误!.解：错误!÷错误!＝错误!÷错误!＋错误!÷错误!＝2＋错误!.以上解答正确吗？若不正确，请指出错误,并给出正确答案．详解详析【目标突破】例1［解析]B先把它们化成最简二次根式,再进行判断．因为错误!＝2 错误!,错误!＝2 错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以错误!与错误!是同类二次根式．故选B.例2解：原式＝(2－5)错误!＋(3－3)错误!＝－3 错误!.[备选例题］若最简二次根式错误!与x错误!是同类二次根式，则x的值是多少？解:因为错误!与x错误!都是最简二次根式,且是同类二次根式，所以5x＋7＝8x－2，解得x＝3.例3［解析］先化简，再合并．解:(1）错误!＋错误!－错误!＝错误!＋2 错误!－3 错误!＝0。
数学 九年级 上册 华师 配套册答案
姨26-m 是同类二次根式.
6. 解析 假设它们是同类二次根
式.
则
1 2
2
（2x-y）=
1 2
（y+6）=2
x+y=3x+y-2，
x=1，
解得 y=-2.
x=1，
∵ 当 y=-2 时，
x+y=-1，3x+y-2=-1.
=-10
姨 姨 （2）姨3a3 ÷
a = 3a3×3
3
a
=姨9a2 =3a 题组二 1. B 2. C
∴ 该汽车的经济时速为
90km／h.
当 x=90 时，百千米耗油量为
2 100×
1 + 450 18 8 100
≈11.1（L）.
第 22 章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
+2）=4-3-1-2姨 2 -2=-2-2姨 2 .
题组一 1. B 2. -6 3. 1 4. 2
2 题组二 1. C 2. 4+2 姨 3 3. -7+6 姨 2
不是负数的有 姨 2 ， 姨a2+b2 ，
姨x2+2
014
，
3
姨
5
，故属于二
意义.
02x+3≥0，
7. 解析 根据题意，得
解
x+1≠0，
得
x≥-
3 2
且 x≠-1.
所以当 x≥
-
3 2
且 x≠-1 时， 姨2x+3
+
1 x+1
次根式的有： 姨 2 ， 姨a2+b2 ， 姨x2+2 014 ，共 3 个.
数学九年级上册专题一二次根式的化简与运算课件 华东师大版
＋
b a
＞0，∴
a b
＋
b a
＝
9 2
＝3 2 2
15．已知等式|a－2 019|＋ a－2 020 ＝a 成立，求 a－2 0192 的值．
解：∵a－2 020≥0，∴a≥2 020，∴|a－2 019|＝a－2 019， ∴a－2 019＋ a－2 020 ＝a，∴ a－2 020 ＝2 019， ∴a－2 020＝2 0192，∴a－2 0192＝2 020
第21章 二次根式
21．3 二次根式的加减法
专题一 二次根式的化简与运算
1．下列计算正确的是( D )
A．2 3 ×3 3 ＝6 3 B． 2 ＋ 3 ＝ 5
C．5 5 －2 2 ＝3 3
D．
2÷
3
＝
6 3
2．对任意实数 a，下列等式一定成立的是( D )
A． a2 ＝a B． a2 ＝－a
C． a2 ＝±a D． a2 ＝|a|
C．a≥－3 D．a≥3
6．当 x＝2＋ 3 时，x2－4x＋2 021＝_2_0_2_0．
7．计算：
(1)( 18 －4
1 2
＋
1 3＋
2
)÷
3 3
；
解：原式＝3
1 (2)2 (
3 －1)2＋
1 2－1
＋
3
－(
2 2
)－1；
解：原式＝3
(3) 18 －
9 2
－
3＋ 3
6 ＋(
3－
2 )0＋
（1－
解：(1) 14（15－16） ＝15
5 24
，验证略
(2) n1（n＋1 1－n＋1 2） ＝n＋1 1
华东师大版九年级数学上册第21章《二次根式》教案
第21章二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a≥0）；（2）当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取..本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2 二次根式的乘除法1.二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化简.理解b【过程与方法】a•=ab（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.由具体数据发现规律，导出b【情感态度】a•=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养通过探究b学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.b【教学难点】a•=ab（a≥0,b≥0）.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.a•=ab（a≥0,b 【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出b≥0）.二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为ba•=ab（a≥0，b≥0）.：【教学说明】引导学生应用公式a•=ab（a≥0,b≥0）.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab（a≥0,b≥0）.2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.a•=ab（a≥0,b 这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.2.积的算术平方根【知识与技能】a•（a≥0,b≥0）；1.理解ab=ba•（a≥0,b≥0）.2.运用ab=b【过程与方法】a•（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.利用逆向思维，得出ab=b【情感态度】a•（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，让学生推导ab=b增强学生准确解题的能力.【教学重点】a•（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a•（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab（a≥0,b≥0）.反过来，一般地，对二次根式的乘法规定为ba•（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向a•（a≥0,b≥0）.思维，得出ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab =b a •（a ≥0,b ≥0）直接化简即可. 例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.2.自由落体的公式为s=21gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为120m ，则下落的时间是 s.四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab =b a •（a ≥0,b ≥0）.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.3.二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【情感态度】 通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），bab a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评. 二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b ab a =（a ≥0,b ＞0） 反过来,bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1 计算：【教学说明】 直接利用b aba （a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.化简：3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.21.3二次根式的加减法【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.本章复习【知识与技能】掌握本章重要知识，能熟练运用二次根式的有关运算法则进行运算.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的类比思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生兴趣.【教学重点】回顾本章知识点，构建知识体系.【教学难点】利用二次根式的有关运算法则、性质解决实际问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，边回顾边建立结构图.二、释疑解感，加深理解1.二次根式的意义：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，注意二次根式有意义的条件是被开方数a≥0，a表示a的算术平方根，它具有双重非负性，即a ≥0（a ≥0）.2.二次根式的性质：主要要理解公式的应用.①）（2a =a （a ≥0）,3.二次根式的化简与运算：（1）掌握的应用.（2）掌握二次根式的乘法运算：ab b a =•（a ≥0,b ≥0）. （3）掌握积的算术平方根的运算b a ab •=（a ≥0，b ≥0）. （4）掌握二次根式的除法运算：b a b a =（a ≥0,b ＞0）,反过来bab a =（a ≥0,b ＞0）.（5）掌握二次根式的加减法运算：先化成最简二次根式再进行合并，在二次根式的运算过程中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用，最后结果一定要化成最简二次根式.三、典例精析，复习新知 例1 若21-+x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 【分析】1+x 有意义的条件为x+1≥0，同时注意分母x-2≠0这一条件，所以x 的取值范围为x ≥-1且x ≠2.例2若5-a +(b+2)2=0，则a+b 的值为 .四、复习训练，巩固提高五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关二次根式的知识吗？能熟练进行二次根式的有关运算吗？你还有哪些困惑与疑问？1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.本节课通过学习归纳本章内容，以二次根式的概念及其有意义的条件、二次根式的性质及应用、二次根式的化简与运算等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，，加强对重点知识的训练，使学生在全面掌握知识点的前提下抓住重点.。
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《21_3二次根式的加减》同步练习题(附答案)
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《21.3二次根式的加减》同步练习题（附答案）一．选择题1．在、、中与能合并的二次根式的个数是（）A．0B．1C．2D．32．下列运算正确的是（）A．﹣＝B．＝2C．﹣＝D．＝2﹣3．计算×﹣的结果是（）A．7B．6C．7D．24．若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+）y的值是（）A．B．3C．D．﹣35．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A．78 cm2B．cm2C．cm2D．cm2二．填空题6．计算：（）0＝．7．已知x、y满足方程组，则3x﹣y的值为．8．如果最简二次根式与能合并，那么a＝．9．计算＝．10．（+）2021×（﹣）2022＝．11．当x＝1+时，代数式x2﹣2x+2021＝．12．已知三角形底边的边长是cm，面积是cm2，则此边的高线长cm．三．解答题13．计算：．14．化简15．计算：（3﹣）÷+（1﹣）．16．已知a＝+1，b＝﹣1，计算：（1）2a+2b（2）a2+b217．已知，（1）求a+b，a﹣b的值（2）求代数式的值．18．化简：（4﹣6）÷﹣（+）（﹣）19．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：OA1＝1；OA2＝＝；S1＝×1×1＝；OA3＝＝；S2＝××1＝；OA4＝＝；S3＝××1＝；（1）推算出OA10＝．（2）若一个三角形的面积是．则它是第个三角形．（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．20．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（海伦公式），S＝（秦九韶公式）．请选择合适的公式求下列三角形的面积：（1）三角形的三边长依次为a＝5，b＝6，c＝7．（2）三角形的三边长依次为a＝，b＝，c＝．参考答案一．选择题1．解：＝3、＝、＝，∴与能合并有和，共2个．故选：C．2．解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、＝，故本选项错误；C、﹣＝2﹣＝，故本选项正确；D、＝﹣2，故本选项错误．故选：C．3．解：原式＝×﹣＝××﹣＝7﹣＝6．故选：B．4．解：∵3＜＜4，∴的整数部分x＝2，则小数部分是：6﹣﹣2＝4﹣，则（2x+）y＝（4+）（4﹣）＝16﹣13＝3．故选：B．5．解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝（+4）cm，留下部分（即阴影部分）的面积是（+4）2﹣30﹣48＝8＝24（cm2）．故选：D．二．填空题6．解：原式＝3﹣﹣+1＝+1．7．解：，①+②得：3x﹣y＝4，故答案为：4．8．解：根据题意得，1+a＝4a﹣2，移项合并，得3a＝3，系数化为1，得a＝1．故答案为：1．9．解：原式＝＝3．10．解：原式＝[（+）×（﹣）]2021×（﹣）＝（﹣1）2021×（﹣）＝﹣1×（﹣）＝﹣，故答案为：﹣．11．解：∵x＝1+时，∴x﹣1＝，∴（x﹣1）2＝3，∴x2﹣2x+1＝3，∴x2﹣2x＝2，∴原式＝2+2021＝2023，故答案为：2023．12．解：设三角形此边上的高为x厘米，由题意，得×x＝，解得x＝2．故答案为：2．三．解答题13．解：原式＝﹣3+2+2＝3﹣．14．解：原式＝4+﹣12﹣＝﹣8．15．解：原式＝3﹣+﹣6＝﹣3．16．解：（1）当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝2（a+b）＝2×（+1+﹣1）＝2×2＝4；（2）当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝（+1）2+（﹣1）2＝3+2+3﹣2＝6．17．解：（1）∵a＝2+，b＝2﹣，∴a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2；（2）（1﹣）÷（）＝.，＝a﹣b，由（1）的结论得：原式＝2．18．解：原式＝（4﹣2）÷﹣（5﹣3）＝2÷﹣2＝2﹣2＝0．19．解：（1））∵OA n2＝n，∴OA10＝．故答案为：；（2）若一个三角形的面积是，∵S n＝＝，∴＝2＝，∴它是第20个三角形．故答案为：20；（3）结合已知数据，可得：OA n2＝n；S n＝；（4）S12+S22+S23+…+S2100＝++++…+＝＝20．解：（1）∵，由海伦公式得：＝＝＝；（2）设，，，代入秦九韶公式，得：＝＝＝＝；。
华东师大九年级上册 版第21章《二次根式》章节测试题(含解析答案)
华东师大版九年级上册第22章《二次根式》章节测试题本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间100分钟。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。
） 1、下列各式中，是二次根式的是（ ）A 、1B 、4-C 、38D 、π-3 2、若式子2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、2 xB 、2 xC 、2≥xD 、2≤x3、下列计算正确的是（ ）A 、2312=÷B 、652535=⋅C 、523=+D 、228=- 4、下列属于最简二次根式的是（ ） A 、8 B 、5C 、12D 、315、下列二次根式中，与3能合并的是（ ）A 、6B 、24C 、32D 、43 6、实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则2a b a --的结果为（ ） A 、bB 、b a -2C 、b -D 、a b 2-7、已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m ，则（ ） A 、56-- m B 、65 m C 、67-- m D 、76 m 8、若xx x x -+=-+3333成立，则x 的取值范围是（ ） A 、33 x ≤- B 、3 x C 、3- x D 、33≤-x 9、若最简二次根式b a +7与36+-b b a 是同类二次根式，则b a +的值为（ ） A 、2 B 、2- C 、1- D 、1 10、如果0 ab ，0 b a +，那么下列各式：①ba ba=，②1=⋅a b b a ，③b ba ab -=÷，其中正确的是（ ）学校： 考号： 姓名： 班级：※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线※※※※※※※※※※※※※A 、①②B 、②③C 、①③D 、①②③11、如果()3322b a +=+，a ，b 为有理数，那么=-b a （ ） A 、3B 、34-C 、2D 、2-12、把()aa --212根号外的因式移入根号内，结果（ ） A 、a -2 B 、a --2 C 、2-a D 、2--a二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、如果144+-+-=x x y ，则y x +2的值是_______； 14、已知32+=a ，32-=b ，则_________22=+ab b a ； 15、若12-=x ，则2019323+-+x x x 的值为 ； 16、化简：()()________252520182019=+-.三、解答题：（本大题共6个小题，共56分。
人教版数学九年级上册 第21章 21.1---21.3练习题
人教版数学九年级上册第21章21.1---21.3练习题含答案21.1一元二次方程一．选择题1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2011B．2015C．2019D．20202．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5B．﹣4C．3D．﹣13．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣3＝0B．x2﹣2y＝0C．＝﹣3D．x2＝04．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．5．已知x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．0D．0或46．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和37．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣18．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a＜0C．a≠0D．a≤19．将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（）A．1，2，5B．1，﹣2，﹣5C．1，﹣2，5D．1，2，﹣5 10．已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2019的值是（）A．2018B．2019C．2020D．2021二．填空题11．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．m是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，则代数式11+6m﹣m2的值是．13．若x＝2是一元二次方程x2+x+c＝0的一个解，则c2＝．14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的一个根是0，则a的值是．15．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则2a2﹣5a﹣2+的值为．三．解答题16．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．17．已知方程x2﹣bx+3＝0的一个根是1，求b的值和方程的另外一个根．18．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．19．若m是一个一元二次方程x|a+1|﹣x﹣5＝0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．故选：C．2．【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．故选：B．3．【解答】解：A、是一元一次方程，故A不合题意；B、是二元二次方程，故B不合题意；C、是分式方程，故C不合题意；D、是一元二次方程，故D符合题意．故选：D．4．【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选：C．5．【解答】解：因为x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，所以4﹣2m+4＝0解得m＝4．6．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．7．【解答】解：由方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0，得，解得m＝3，故方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝3．故选：B．8．【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．9．【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣5＝0，则a，b，c的值分别是1，2，﹣5，故选：D．10．【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2019＝a（a2+a）+a2+2019＝a+a2+2019，＝1+2019故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：由题意，得|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2．12．【解答】解：∵a是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，∴a2﹣6a﹣5＝0，整理得，a2﹣6a＝5，∴11+6m﹣m2＝﹣（m2﹣6m）+11，＝﹣5+11，＝6．故答案为：6．13．【解答】解：依题意，得22+2+c＝0，解得，c＝﹣6，则c2＝（﹣6）2＝36．故答案为：36．14．【解答】解：根据题意知，x＝0是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的根，∴a2+2a﹣3＝0，解得，a＝﹣3或a＝1，∵a﹣1≠0，∴a≠1．故答案是：﹣3．15．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，∴2a2﹣5a﹣2+＝2（3a﹣1）﹣5a﹣2+＝a+﹣4＝﹣4＝﹣4＝3﹣4＝﹣1．故答案为﹣1．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．17．【解答】解：把x＝1代入x2﹣bx+3＝0得1﹣b+3＝0，解得b＝4，方程化为x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，所以x1＝1，x2＝3，即方程的另一个解为3．18．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣3＝0，即m2＝m+3，∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m+3﹣m）＝3×＝3×2＝6．19．【解答】解：（1）根据题意得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3；（2）∵m是一个一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣5＝0，∴m2﹣m＝521.2解一元二次方程一、选择题（共12题）1、一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝32、一元二次方程x2-2x-1=0配方后可化为（）A.(x-1)2= 2B.(x-1)2= 1C.(x + 1)2= 1D.(x -1)2=03、方程的解是（）A．x1=2，x2= 3 B．x1=2，x2=1 C．x=2 D．x=34、若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠05、方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2 B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根6、下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 7、一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定8、关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A． B． C． D．09、关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a 的值为 ( )A.2B.0C.1D.2或010、若是关于x的一元二次方程的一个解，的值是A． 17 B． 1026 C． 2018 D． 405311、已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±112、一个等腰三角形的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是 ( )A.12B.9C.13D.12或9二、填空题（共5题）1、已知关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为______．2、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．3、关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．4、如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是_____．5、定义新运算“※”，规则：a※b=ab﹣a﹣b，如1※2=1×2﹣1﹣2=﹣1，若x2+x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1※x2= ．三、解答题（共4题）1、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．2、关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．（1）求m的取值范围．（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.3、关于x的一元二次方程kx2-(2k-2)x+(k-2)=0(k≠0).(1)求证:无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)要使得方程的两个实数根都是整数,求整数k可能的取值.4、阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得①﹣②，得（k﹣6）m=k﹣6 ③显然，当k=6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m=1，代入②式，得k=﹣6，此时两个方程有一相同根x=1．∴当k=﹣6时，有一相同根x=1；当k=6时，有两个相同根是﹣1和7.聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根．参考答案一、选择题1、D;2、A.;3、A;4、B;5、D;6、B;7、B;8、A;9、B;10、B;11、C;12、A;二、填空题1、 22、 k＞0且k≠1.3、 04、 a＞﹣1且a≠﹣且a≠且a≠﹣5、0，三、解答题1、解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根为x1=x2=2．2、（1）m≤3.25．（2）m=-3.3、解:(1)证明:∵kx2-(2k-2)x+(k-2)=0(k≠0),∴Δ=[-(2k-2)]2-4k(k-2)=4>0,∴无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根.(2)由求根公式可求得x1=1,x2=1-,要使得方程的两个实数根都是整数,则整数k为2的因数, ∴k=±1或k=±2.4、解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0，相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1，若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根和．若k≠1，则a==1，即相同实根是x=1，代入方程，得12+k×1﹣1=0，k=0综上当k=0或k=1时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根21.3实际问题与一元二次方程一．选择题1．一个矩形的长比宽多2，面积是99，则矩形的两边长分别为（）A．9和7B．11和9C．1+，﹣1+D．1+3，﹣1+32．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．173．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．50×30﹣50x﹣30x+2x2＝800B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800D．（50﹣x）（30﹣2x）＝8004．如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（）A．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22B．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22C．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×22D．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×225．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200B．x（49﹣2x）＝200C．x（49+1﹣2x）＝200D．x（49﹣1﹣2x）＝2006．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）7．如表是一张月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个数（如1，2，8，9），如果圈出的四个数中的最小数与最大数的积为308，那么这四个数的和为（）12345 678910111213141516171819202122232425262728293031A．68B．72C．74D．768．如图是某公司去年8～12月份生产成本统计图，设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据图中信息，得到x所满足的方程是（）A．30（1﹣x）2＝15B．15（1+x）2＝30C．30（1﹣2x）4＝15D．15（1+2x）2＝309．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（）A．x2﹣8＝（x﹣3）2B．x2+82＝（x﹣3）2C．x2﹣82＝（x﹣3）2D．x2+8＝（x﹣3）210．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（）A．6B．﹣C．﹣2D．5﹣5二．填空题11．某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是．（用含x的代数式表示）12．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过秒钟后，P，Q两点间距离为4厘米．13．如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程是．14．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为m．15．如图，在足够大的空地上有一段长为3米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了16米木栏．所围成的矩形菜园的面积为14平方米，则所利用旧墙AD的长为．三．解答题16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，AP＝CQ？（2）经过几秒后，△PBQ的面积等于15cm2？17．10月份，是柚子上市的季节，柚子味酸甜，略带苦味，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．有健胃补血，降血糖等功效，百果园大型水果超市的红心柚与沙田柚这两种水果很受欢迎，红心柚售价12元/千克，沙田柚售价9元/千克．（1）若第一周红心柚的销量比沙田柚的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心柚多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心柚和沙田柚的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心柚售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，沙田柚的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了%，求a的值．18．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？若设每个支干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为；②从主干中长出的支干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述支干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．19．如图①，用一块长100cm，宽80cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，可以做成如图②所示的底面积为4800cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为（x﹣2），则x（x﹣2）＝99，解得x＝11，（舍去负值）．则x﹣2＝9，答：矩形的两边长分别为11和9，故选：B．2．【解答】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），答：x为14，故选：A．3．【解答】解：依题意，得：（50﹣2x）（30﹣x）＝800，故选：C．4．【解答】解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22．故选：B．5．【解答】解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，故选：C．6．【解答】解：依题意，得y＝5（1+x）2．故选：C．7．【解答】解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，由题意得：x（x+8）＝308，解得：x1＝14，x2＝﹣22（不合题意，舍去），14+8＝22，则四个数为：14，15，21，22，14+15+21+22＝72，故选：B．8．【解答】解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：30（1﹣x）2＝15，故选：A．9．【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，故选：C．10．【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：50+×4＝50+25＝75，∴该方程的正数解为﹣×2＝5﹣5．故选：D．二．填空题11．【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，故答案为：100（1+x）2．12．【解答】解：设t秒后PQ＝4，则BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴（6﹣t）2+（2t）2＝（4）2，解得t＝或2（舍弃）．答：秒后PQ间的距离为4，故答案为：．13．【解答】解：设无门的那边长为x米，则平行于墙的一面长为120+3﹣2x＝123﹣2x，∴工地面积为x（123﹣2x）＝2000．故答案为x（123﹣2x）＝2000．14．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，依题意，得：x（20﹣3x+2）＝40，整理，得：3x2﹣22x+40＝0，解得：x 1＝，x2＝4．当x＝时，20﹣3x+2＝12＞11，不合题意，舍去；当x＝4时，20﹣3x+2＝10，符合题意．故答案为：4．15．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（16﹣2x）米，依题意得：x（16﹣2x）＝14，解得：x1＝1，x2＝7．当x＝1时，16﹣2x＝14＞3，不合题意舍去；当x＝7时，16﹣2x＝2．答：所利用旧墙AD的长为2米．故答案为：2米．三．解答题16．【解答】解：（1）设经过x秒后，AP＝CQ，则AP＝xcm，CQ＝（10﹣2x）cm，依题意，得：x＝10﹣2x，解得：x＝．答：经过秒后，AP＝CQ．（2）设经过y秒后，△PBQ的面积等于15cm2，则BP＝（8﹣y）cm，BQ＝2ycm，依题意，得：（8﹣y）×2y＝15，化简，得：y2﹣8y+15＝0，解得：y1＝3，y2＝5．答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2．17．【解答】解：（1）设第一周销售红心柚x千克．则沙田柚（x﹣200）千克，根据题意得：12x+9（x﹣200）≥6600，解得：x≥400．答：第一周至少销售红心柚400千克；（2）根据题意得：12（1﹣a%）×400（1+a%）+9×200（1+a%）＝6600（1+%），∴a1＝45，a2＝0（舍去）．答：a的值为45．18．【解答】解：（Ⅰ）①根据题意得主干的数目为1；②从主干中长出的支干的数目为小x；③又从上述支干中长出的小分支的数目为x2；（Ⅱ）设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），答：每个支干长出9个小分支．19．【解答】解：设截去的小正方形的边长为xcm，则长方形盒子的底面为长（100﹣2x）cm，宽为（80﹣2x）cm的长方形，依题意，得：（100﹣2x）（80﹣2x）＝4800，化简，得：x2﹣90x+800＝0，解得：x1＝10，x2＝80（不合题意，舍去）．答：截去的小正方形的边长为10cm．。
九年级数学上册达标训练(21.3二次根式的加减)
数学九年级上学期测试达标训练基础·巩固·达标1．下列根式，不能与48合并的是（ ）*A.12.0 * B.18* C.311 * D.75 *提示：将二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同才能合并.3575,3511001212.0,3448 ，故选B.**答案：*B2．计算：2145051183.提示：二次根式加减运算时,可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.*解:282219222292145051183 .*3.计算：(5+62)(62-5).****提示：利用乘法公式进行计算.*解: 1252456256262522 .*4．计算：(1)628 ； (2)2510 ；****(3)(6-1)2； (4)(3+1)(3-1).*提示：根据ab b a (a ≥0,b ≥0)与b ab a (a ≥0,b>0)可求.*解：（1）264616628628 .*（2）52525025021052510 .*（3） 62716261622 .*（4）2131313132 .*5．计算：1435 （精确到0.001）.提示：可借助计算器，但精确要求应严格执行，不应忽略.*解：5×3-14=15-14=3.873-3.742=0.131.6．化简：（1）|23||32||21| ;****（2）｜a -b ｜+｜b -c ｜+｜c -a ｜（c >b >a ）.*提示：先去绝对值符号，再化简.*解：（1）∵2>3>2>1，∴｜1-2｜+｜ 23｜+｜3-2｜=2-1+23 +2-3=1.*（2）∵c>b>a ，∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=（b-a ）+（c-b ）+（c-a ）=2c-2a.7．如果一个长方形的长是27 m,宽是12 m ，长方形的周长是多少？ (3≈1.732，结果精确到0.1)**提示： 长方形的周长=2(长+宽).*解：长方形的周长为2(27+12)=2(33+23)=103≈10×1.732≈17.3（m ）.***8．设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简式子m cd+（a +b ）m -|m |.提示：∵a 与b 互为相反数，∴a+b=0.又∵c 与d 互为倒数，∴cd=1.*又∵m 的倒数等于它本身，∴m=±1.*解：当m=1时，m cd +(a+b)m-｜m ｜=11+0×1-1=0;当m=-1时，m cd +(a+b)m-｜m ｜=-1+0×-1-1=-2.9．已知实数x ,y ,z 满足｜4x -4y +1｜+zy 231+z 2-z +41=0,求(y +z )·x 2的值.*提示：从｜4x-4y+1｜≥0,z 2y ≥0,z 2-z+41=(z-21)2≥0出发，可利用非负性求解.有限个非负数之和为零，则每一个数都为零.*解：把已知等式化为｜4x-4y+1｜+31z 2y +(z-21)2=0,*∵|4x-4y+1|≥0，z 2y ≥0,(z-12)2≥0,*∴ .021,02,0144z z y y x ∴214121z y x *∴(y+z)·x 2=1612121412.*综合·应用·创新10．已知x +x 1=2+10，求x 2+21x 的值.*提示：由x 2+21x 与x+x 1的关系求值.*解：221x x =(x x 1 )2-2=(102 )2-2=14+410-2=12+410.*答案：12+410*11.已知一个直角三角形的两直角边的长是（3+5） cm 和（5-3） cm ，求这个直角三角形的周长和面积.*提示：由勾股定理求出斜边的长,再求三角形的周长;两直角边乘积的一半就是三角形的面积.*解：斜边的长是 142563102831028355322 ,直角三角形的周长是 (3+5)+(5-3)+214=10+214 (cm)；*面积是21(3+5)(5-3)=21(25-3)=11(cm 2).12．已知正数a 和b ，有下列命题：*（1）若a +b =2，则ab ≤1；（2）若a +b =3，则ab ≤23；（3）若a +b =6，则ab ≤3.*根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a +b =9，则ab ≤ .*提示：根据规律可以看出ab ≤2b a ，所以若a+b=9，则ab ≤29.*答案：92*13．如图21-3-2所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长，EF 的长，△AEH 的面积.*图21-3-2提示： 由正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，容易得到AD ＝7 cm,EF ＝5 cm ，然后得到△AEH ≌△DHG ≌△CGF ≌△BFE ，即可求出△AEH 的面积.*解：∵ 正方形ABCD 面积为49 cm 2，*∴AD ＝7 cm.*∵ 正方形EFGH 的面积是25 cm 2,*∴ EF ＝5 cm.*又∵ 四边形ABCD 是正方形， AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ,*∴ △AEH ≌△DHG ≌△CGF ≌△BFE .*。
【配套K12】2018年秋九年级数学上册第21章二次根式21.3二次根式的加减同步练习无答案新版华东
21.3 二次根式的加减知识点 1 同类二次根式1．下面与2是同类二次根式的是( )A. 3B.12C.8D.202．［2016·巴中改编］下列二次根式中，能与3合并的是( )A.18B.13C.24D.0.33．下列二次根式中，属于同类二次根式的是( )A．2 3与 6 B. 13与23C. 18与12D. 4a与8a4．已知最简二次根式3a－8与17－2a是同类二次根式，求a的值．知识点 2 二次根式的加减5．计算：27＋3＝________＋3＝(________＋________)3＝________．6．计算8－612的结果是________．7．计算414＋313－8的结果是__________．8．计算：(1)1048－627＋312；(2)13－12＋273；(3)45＋45－8＋4 2.知识点 3 二次根式的混合运算9．计算：(3＋2)(3－2)＝________．10．［教材练习第2题变式］计算：(1)(5＋2)2; (2)(23－2)2.11．下列各数中，与2－3的积为有理数的是( ) A．2＋ 3 B．2－ 3C．－2＋ 3 D. 312．若a，b为有理数，且4＋18＋18＝a＋b2，则ab的值为( )A.34B.134C.132D．213．已知a－b＝2 3－1，ab＝3，则(a＋1)(b－1)的值为________．14．若等腰三角形的两边长分别为 2 3和 5 2，则这个等腰三角形的周长是__________．15．若a，b分别是6－13的整数部分和小数部分，则2a－b的值是________．16．计算：(1)20＋55－13×12；(2)(3 2＋4 3)(4 2－3 3)；(3)(1048－624＋412)÷6；(4)⎝⎛⎭⎪⎫5－5102－(－210)．17．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a ＋b a －b，例如：3※2＝3＋23－2＝ 5.求4※1＋8※12的值．18．若a ＝3－10，求代数式a 2－6a －2的值．19．如图21－3－1，有一张边长为6 2 cm 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 2 cm.求：(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；(2)长方体盒子的体积．图21－3－120．已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求(23x 9x ＋y 2 x y 3)－(x 21x －5x y x)的值．1．C2. B3. C4．解：由已知可得3a －8＝17－2a ，解得a ＝5.5．3 3 3 1 4 36．－ 27. 2＋3－2 28．解：(1)原式＝10×4 3－6×3 3＋3×2 3＝(40－18＋6)3＝28 3. (2)原式＝33－2 3＋3＝－2 33. (3)原式＝4 5＋3 5－2 2＋4 2＝7 5＋2 2.9．710．解：(1)原式＝5＋4 5＋4＝9＋4 5. (2)原式＝12－4 6＋2＝14－4 6.11． A 12． C13．－ 3 14．10 2＋2 315．1316．解：(1)原式＝2 5＋55－13×12＝3－2＝1. (2)原式＝3 2×4 2－3 2×3 3＋4 3×4 2－4 3×3 3＝24－9 6＋16 6－36＝7 6－12.(3)原式＝10 486－6 246＋4 126＝10 8－6 4＋4 2＝20 2－12＋4 2＝24 2－12.(4)原式＝5－2 5×510＋2510＋2 10＝5－5 2＋52＋2 10＝152－5 2＋2 10. 17．解：4※1＝4＋14－1＝53，8※12＝8＋128－12＝－204＝－52， 所以4※1＋8※12＝53－52＝－56. 18．解：解法一：原式＝(3－10)2－6×(3－10)－2＝9－6 10＋10－18＋6 10－2＝－1.解法二：因为a ＝3－10，所以a －3＝－10，两边同时平方，得a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＝1，所以a 2－6a －2＝－1.19．解：(1)制作长方体盒子的纸板的面积： (6 2)2－4×(2)2＝64(cm 2)．(2)长方体盒子的体积：(6 2－2 2)×(6 2－2 2)×2＝32 2(cm 3)．20．解：∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，∴(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 9x ＋y 2x y 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21x －5x y x ＝()2x x ＋xy －(x x －5xy ) ＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6 xy .当x ＝12，y ＝3时， 原式＝1212＋6 32＝24＋3 6.。
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[21.3 二次根式的加减]
一、选择题
1．以下二次根式：①12；②22；③
23
；④27中，与3是同类二次根式的是( ) A ．①和②B ．②和③ C ．①和④D ．③和④
2．xx·十堰下列运算正确的是( ) A.2＋3＝5B ．2 2×3
2＝6
2
C.8÷2＝2 D ．3
2－2＝3
3．计算48－9
1
3
的结果是链接听课例3归纳总结( ) A ．－3B.3C.1133D ．－11
3
3
4．xx·聊城计算(51
5
－2 45)÷(－5)的结果为( )
A ．5
B ．－5
C ．7
D ．－7
5．对于任意的正数m ，n ，定义运算“※”为：m ※n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m －n （m ≥n ），
m ＋n （m <n ）.
计算(3
※2)×(8※12)的结果为( )
A ．2－4
6B ．2C ．2
5D ．20
二、填空题
6．计算：(1)xx·衡阳8－2＝________；
(2)xx·山西4 18－9 2＝________． 7．xx·西宁计算：(2－2
3)2＝________．
8．若最简二次根式7a －1与6a ＋1是同类二次根式，则a ＝________．
9．若一个三角形的三边长分别为8cm ，12cm ，18cm ，则这个三角形的周长为________cm.
10．(1)若x ＝2＋7，y ＝7－2，则x ＋y ＝________，xy ＝________；链接听课例4归纳总结 (2)若x ＝2－1，则x 2＋2x ＋1＝________． 11．计算(5＋2)xx ×(5－2)xx 的结果是________． 三、解答题
12．计算：(1)523－346＋323＋1
46；
(2)32－1
28＋
1
2
；链接听课例3归纳总结
(3)(2 2－3 6)(2 2＋3 6)；链接听课例4归纳总结
(4)(10－215)÷ 5.
13．已知x＝2－3，求代数式(7＋4 3)x2＋(2＋3)x＋3的值．
14．先化简，再求值：x 2＋y 2－2xy x －y ÷(x y －y
x
)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.
15.2017年9月28日，由袁隆平挂帅的“海水稻”项目测产结果为最高亩产620.95千克，其中一块长方形试验土地的长是宽的3倍，面积是3600平方米，则这块试验田的周长约是多少米？(精确到1米，3≈1.732)
16.已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．
模拟应用在进行二次根式的除法运算时，我们有时会碰上如5
3，
23，23＋1
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
5
3＝5×33×3＝5 33(一)；
2
3＝2×33×3＝6
3
(二)； 2
3＋1＝2（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）
（3）2
－1＝3－1(三)． 以上这种化简的步骤叫分母有理化． 2
3＋1
还可以用以下方法化简： 2
3＋1＝3－1
3＋1＝（3）2－13＋1＝（3＋1）（3－1）
3＋1
＝3－1(四)． (1)请用不同的方法化简：25＋3
.
①参照(三)式得
25＋3
＝______________；
②参照(四)式得
2
5＋3
＝_____________.
(2)化简：1
3＋1
＋
1
5＋3
＋
1
7＋5
＋…＋
1
2n＋1＋2n－1
.
详解详析
【课时作业】[课堂达标]
1．[解析]C∵12＝2 3，22＝2，2
3
＝
6
3
，27＝3 3，∴与3是同类二次
根式的是①和④，故选C.
2．[解析]C A.2与3不能合并，所以A选项错误；B.原式＝2×3×(2)2＝6×2＝12，所以B选项错误；C.原式＝8÷2＝2，所以C选项正确；D.原式＝2 2，所以D选项错误．故选C.
3．[解析]B48－9 1
3
＝42×3－9
3×1
3×3
＝4 3－9×
3
3
＝(4－3)3＝ 3.
4．[解析]A原式＝(5－6 5)÷(－5)＝(－5 5)÷(－5)＝5，故选A.
5．[全品导学号：34942178][解析]B原式＝(3－2)(8＋12)＝(3－2)(2 3＋2 2)＝2(3－2)(3＋2)＝2[(3)2－(2)2]＝2×(3－2)＝2.故选B.
6．[答案] (1) 2 (2)3 2
[解析] (1)原式＝2 2－2＝ 2.
(2)原式＝12 2－9 2＝3 2.
7．[答案] 16－8 3
[解析] 原式＝4－8 3＋12＝16－8 3.
8．[答案] 2
[解析] 由题意，得7a－1＝6a＋1，解得a＝2.
9．[答案] (5 2＋2 3)
[解析] 这个三角形的周长为(8＋12＋18)cm，先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，8＋12＋18＝2 2＋2 3＋3 2＝(5 2＋2 3)cm.
10. [答案] (1)2 7 3 (2)2
[解析] (2)∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴当x＝2－1时，原式＝(2－1＋1)2＝(2)2＝2.
11．[答案]5－2
[解析] (5＋2)xx ×(5－2)xx ＝[(5＋2)xx ×(5－2)xx ]×(5－2)＝[(5＋2)×(5－2)]xx
×(5－2)＝[(5)2－22]xx ×(5－2)＝1xx ×(5－2)＝5－2.
12．解：(1)原式＝(523＋323)＋(－346＋146)＝(52＋3
2
)
3＋(－34＋14
)
6
＝4 3－
1
2
6. (2)原式＝4
2－2＋22＝7
2 2.
(3)原式＝(2
2)2－(3
6)2＝8－54＝－46.
(4)原式＝105－2 15
5
＝2－2
3.
13．解：把x ＝2－3代入代数式(7＋4 3)x 2＋(2＋3)x ＋3，得(7＋4 3)(2－3)2
＋(2＋3)(2－3)＋3＝(7＋4
3)(7－4
3)＋4－3＋3＝49－48＋1＋3＝2＋ 3.
14．解：原式＝（x －y ）2x －y ÷x 2－y 2xy ＝（x －y ）2x －y ·xy （x ＋y ）（x －y ）＝xy
x ＋y .
当x ＝2＋1，y ＝2－1时，
原式＝（2＋1）（2－1）（2＋1）＋（2－1）＝12 2＝2
4.
15．解：设这块试验田的宽是x 米，则长是3x 米． 依题意得3x·x＝3600， 解得x ＝20
3(负值已舍去)，则3x ＝60
3.
所以这块试验田的周长是(20 3＋60
3)×2＝160
3≈277(米)．
答：这块试验田的周长约是277米．
16．解：∵x＝1－2，y＝1＋2，∴x－y＝(1－2)－(1＋2)＝－2 2，xy＝(1－2)(1＋2)＝－1，
∴x2＋y2－xy－2x＋2y
＝(x－y)2－2(x－y)＋xy
＝(－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)
＝7＋4 2.
[素养提升]
解：(1)①2（5－3）
（5＋3）（5－3）＝
2（5－3）
（5）2－（3）2
＝5－3
②5－3
5＋3
＝
（5）2－（3）2
5＋3
＝
（5＋3）（5－3）
5＋3
＝5－3
(2)1
3＋1
＋
1
5＋3
＋
1
7＋5
＋…＋
1
2n＋1＋2n－1
＝
3－1＋5－3＋7－5＋…＋2n＋1－2n－1
2
＝
2n＋1－1
2
.。