概率论习题1.1-1.4详解

P( B) 与 P(C ) .注意：求 P ( A) ， P( B) 与 P(C ) 时，基本事件的总数应该有所不同.
解： （区分两粒骰子）① n = 6 × 6
A ={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)},∴ r ( A) = 5 ,∴ P ( A) = 5 36 ; B ={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)}, ∴ r ((B) = 4 r,∴ P ( B ) = 4/36;
T4 ≥ T3 ≥ T2 ≥ T1 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 与 [C ] 等价．
（ D ）{ T4 ≥ t 0 }． （ A ）{ T1 ≥ t 0 };（ B ）{ T2 ≥ t 0 };（ C ）{ T3 ≥ t 0 }； 解： E ={两个温控显示温度不低于临界温度 t 0 },当 T3 ≥ t 0 时 T4 ≥ T3 ≥ t 0 故 E ={ T3 ≥ t 0 }. 9.在某系的学生中任选一人,设 A ={他是男学生}, B ={他是一年级学生}, C ={他是田径运动 员 } ，试说明：①事件 ABC 的意义;②事件 ABC 的意义;③事件 ABC 的意义;④事件
∫x
0
1
2
dx = ，
2 3
∴ P ( A) = M ( A) M (G ) =
1 2 , P ( B ) = M ( B ) M (G ) = ． 8 3
0
1/2
1
9. 有一个均匀的陀螺, 它的半个圆周上均匀的刻有区间[０,１]上的各个数字标记，另半个 圆周上均匀地刻有区间［1，3］上的各个数字标记．如果让它旋转并在他停下来时观察 到圆周上接触桌面处的数字标记在区间[０.５,１.５]上，那么此事件的概率等于＿＿＿. 解：设 A ={接触桌面处的数字标记在区间[０,１]上}, B ={接触桌面处的数字标记在区间[1,3] 上}, C ={接触桌面处的数字标记在区间[０.5,１.5]上},则
④ ( A ∪ B )( A − B ) = ( A ∪ B )( A B ) = A B
（ Q A B ⊂ A ⊂ ( A ∪ B) ） ．
习题 1.2 解答 1．上抛一枚硬币来决定乒乓球比赛的先发球权，方法是选手分别猜{正面朝上}或{反面朝 上}，根据上抛硬币的结果猜中的选手先发球，试说明此方法的公平性． 解：∵ P {正面朝上}= P {反面朝上}=0.5 ∴此方法公平． 2．上抛两枚硬币若 A ={有两枚正面朝上}， B ={有一枚正面朝上}， C ={至少有一枚正面朝 上}，则 P ( A) = _________， P ( B ) = ________， P(C ) = _________． 解： （区分两硬币） ∵ Ω = {( H , H )( H , T ), (T , H ), (T , T )}, n = 2 × 2 = 4 , 而 r ( A) = 1 , r (( B) = 2 , r (C ) = 3 ， ∴ P( A) =
r ( A) =0.25, n
P( B) = r (. n
3. 丢掷两粒骰子,若 A ={朝上的点数之和是 6}， B ={朝上的点数之和是 6 并且有一粒的点 数超过 3}， C ={已知朝上的点数之和是 6，在此条件下有一粒点数超过 3}，试求 P( A) ，
P(C ) = P ( AC ) + P( BC ) = P( A) P (C | A) + P ( B) P (C | B) =
1 1 1 1 =0.375． × ＋ × 2 2 2 4
（注:基本事件不是等可能的发生）
10. 甲乙两艘轮船分别驶向某一个码头停泊,甲轮船停泊两小时,乙轮船停泊一小时,他们在 一昼夜内到达码头的时刻是等可能的．如果这个码头不能同时停泊两艘轮船,并且先到 达的轮船不需要等候,试计算这两艘轮船都不需要等候的概率． 解：用 x, y 分别表示甲乙到达码头的时刻， 则 G={ ( x, y) | 0 ≤ x, y ≤ 24 }
B ={小麦减产},试用 A, B 表示事件:①棉花、小麦都减产；②棉花减产,小麦不减产；③棉
花、小麦至少有一样减产；④棉花、小麦至少有一样不减产． 解：① AB ；② A B ；③ A U B ；④ A U B ． 6．调查甲 乙 丙收看某电视剧的情况，如果记 A ={甲收看}， B ={乙收看}， C ={丙收看}， 试用 A, B , C 表示事件：①甲收看，乙收看，病未收看；②甲 乙 丙之中有一人收看； ③甲 乙 丙之中有两人未收看；④甲 乙 丙至少有一人未收看．
ABC = C 的意义.
解：① ABC ={他是男生，他是一年级学生，但不是田径运动员}; ② ABC ={他至少具备:不是男生,不是一年级学生,不是田径运动员三条件之一}; ③ ABC ={他不是男生,不是一年级学生，不是田径运动员}; ④若 ABC = C ⇒ AB ⊇ C ,即 C ={他是田径运动员} ⊂ {他是一年级男生}, 即田径运动员都是一年级的男生（方法：可画韦氏图或可用运算性质） ． 10. 已知事件 A 与 B ，试用较为简单的方式表示下列事件： ① AB + AB ；② AB + AB + AB ；③ （ A ∪ B） ( A ∪ B ) ;④ ( A ∪ B )( A − B ) ．
② n = 5 ， C / A ={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)},∴ r (C / A) = 4 , ∴ P(C ) = 4/5. 4. 袋中装有 4 个红球 3 个白球，①从中任取一球，计算取得红球的概率；②从中任取两球， 计算取得两个红球的概率．
1 解：① P {从中任取一球,取得红球}= C1 4 C7 = 4 ； 7 2 ． 7
Ω = {(1,1); (1, 2 ); (1,3); (1, 4 ); (1,5); (1,6 ); ( 2, 2 ); ( 2,3); ( 2, 4 ); ( 2,5); ( 2,6 ); (3,3); (3, 4 ); (3,5);
(3,6 ); ( 4, 4 ); ( 4,5); ( 4,6 ); (5,5); (5,6 )( 6,6 )} , 即： Ω = {(i , j ) | i ≤ j , i或 j = 1, 2,3, 4,5,6} .
2 C2 = ② P {从中任取两球,取得两红球}= C4 7
5. 袋中装有 4 个红球 3 个白球，如果用取后放回的方法，每次取一个球，共取两次，试计 算：①第二次取出红球的概率；②两次都取出红球的概率． 解： （取后放回） （ 基本事件个数： n = 7 × 7 ） ① P {第二次取得红球}=
7. 设 x < y,k 为任意一实数， ①若 A ={ x | x < k }，B = { y | y < k} ， 试比较 P( A) 与 P( B) 的大小； ②若 A ={ x x > k }， B = { y | y > k} ，试比较 P( A) 与 P( B) 的大小． 解：①∵ x < y ,∴由 y < k ⇒ x < k ;即 B = { y | y < k} 出现导致 A ={ x | x < k }出现, ∴ A ⊃ B , ∴ P( B) ≤ P( A) . ②∵ x < y ∴由 x > k ⇒ y > k ; 即 A ={ x | x > k }出现导致 B = { y | y > k} 出现, ∴ A ⊂ B , ∴ P( A) ≤ P( B) . 8. 若正方形由 x 轴 y 轴 直线 x = 1 和 y = 1 所围成正方形内部的点坐标为 ( x, y) 且
∴ M (G ) = S 正方形 =1, M ( A) = S A = × ×
1 2 M ( B) = S阴 =1- ∫ x 2 dx =1- x 3 |1 0 = 3 ,或 0 3
1
1 1 1 1 = 2 2 2 8
1
1/2
M ( B) = ∫
1 1
0 x2
∫
dydx =
∫ [1 − x
0
1
2
]dx =1-
4 3 ① P {4 张中有 1 张 A }= C1 4C 48 C52 ； 4 2 ②P{4 张中有 2 张 A }= C2 4C 48 C52 ； 1 4 ③ P {4 张中有 3 张 A }= C3 4C 48 C52 ；
4 n = C 52
4C 0 C 4 = 1 C 4 . ④ P {4 张都是 4 张 A }= C4 52 48 52
7×4 4 = ； 7×7 7 4 × 4 16 ② P {两次都取得红球}= ． = 7 × 7 49
6．从 52 张扑克牌中任取 4 张，试计算：①4 张中有 1 张 A 的概率；②4 张中有 2 张 A 的概 率；③4 张中有 3 张 A 的概率；④4 张都是 4 张 A 的概率．
解：基本空间 Ω={从 52 张扑克牌中任取 4 张的所有取法},
３．三粒同一批号的水稻种子做发芽试验，①观察发芽种子的粒数，②观察种子甲、乙、丙 发芽或不发芽，发芽记作 F ，不发芽记作 F ，试写出随机试验①与②的样本空间． 解：① Ω = {0,1, 2,3}. ②Ω = { FFF , FF F , F F F , F FF , F F F , F F F , F F F , F F F } , 其中 ( F 表示发芽 , F 表示不发芽 ). 注：区分甲,乙,丙. 4.袋中装有三粒弹子，一红一绿一白，① 从中任取一粒放在桌上，再任取一粒；② 从中任 取一粒，看过顏色后，将它放回袋中，再任取一粒。试根据取出的两粒弹子的颜色，不考 虑先后，写出随机试验①与②的样本空间． 解：①Q 不考虑先后且取后不放回∴ Ω={1 红 1 绿，1 红 1 白；1 绿 1 白} ②Q 不考虑先后且取后放回∴ Ω={2 红，2 绿，2 白，1 红 1 绿，1 红 1 白；1 绿 1 白} 5．某棉麦连作地区，因受气候条件影响，棉花、小麦都可能减产，如果记 A ={棉花减产}，