随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案.docx

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随机信号分析 第三章习题答案

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求

（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）

（2）

3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232

()(16)

X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？

②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？

解

[][]()[]2

()cos 2

11

,cos 5cos 22

X E X t E A E t B A B R t t EA τττ

=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立

()()()2

1521()lim

2T

T T E X t X t X t X t dt A

T

-→∞⎡⎤=<∞

⇒⎣⎦==⎰是平稳过程

()()[]()()41122

11222222

2

4

2'

4(1)24()()444(0)4

1132

(1)2244144

14(2)121tan 132

24X X X

E X t G d R

F

G F e R G d d d arc x x τ

τωωωωω

ππωωπωωπ

ω

π

ωω∞

----∞∞

-∞-∞∞--∞∞

⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦

====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=

++⎝⎭

=

⎰

⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()

方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)

2

d ω

=

3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为

()()()Y t X t X t T =--。证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-

[][]:

()[()()]

{()()}{()(}2()()()

()()()()

()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式

利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳

换的延时特性

2()2()22()(1cos )

j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤

+-⎢⎥⎣⎦=-

3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为

2

16

()16

X G ωω=+

22()16

Y G ωωω=

+

令新的随机过程

()()()()()()

Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:

()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0

()()(,)[()][()]0()()(2)()()()

()[()()]

[()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R e

E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τ

τ

τωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立

稳

[][]{}

2214||

()]()()()()()0

()()()

16

()()()1

16(3)()0()0

(4)()[()()]()()()()()

()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||

)[()()]

[()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-