经典截长补短法巧解

截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。

通常来证明几条线段的数量关系。

截长补短法有多种方法。

截长法：
（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

……
补短法
（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

……例：
B A
在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系
方法一（好想不好证）
B A
方法二（好证不好想）
M
B A
例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）
F
E
（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。

求证：EF=DE+BF
（1）变形a
正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
（1）变形b
正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
（1）变形c
D
正三角形ABC中，E在AB上，F在AC 上∠EDF=45o。

DB=DC，∠BDC=120o。

请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？
（1）变形
d
F
E
正方形ABCD中，点E在CD上，点F 在BC上，∠EAD=15o，∠FAB=30o。

AD=3
求∆AEF的面积
（1）解：（简单思路）
F
E
延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得
∠ADG=∠ABF=90o
AD=AB
又DG=BF
所以∆ADG≅∆ABF（SAS）
∠GAD=∠FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB
=∠DAF+∠GAD=∠GAF
所以∠GAE=∠GAF-∠EAF
=90o-45o=45o
∠GAE=∠FAE=45o
又AG=AF
AE=AE
所以∆EAG≅∆EAF（SAS）
EF=GE=GD+DE=BF+DE
变形a解：（简单思路）
EF= BF-DE
在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得
∠ADE=∠ABG=90o
AD=AB
又DE=BG
所以∆ADE≅∆ABG（SAS）
∠EAD=∠GAB
AE=AG
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB
=∠DAG+∠EAD=∠GAE
所以∠GAF=∠GAE-∠EAF
=90o-45o=45o
∠GAF=∠EAF=45o
又AG=AE
AF=AF
所以∆EAF≅∆GAF（SAS）
EF=GF=BF-BG=BF-DE
变形b解：（简单思路）
G
EF=DE-BF
在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得
∠ADG=∠ABF=90o
AD=AB
又DG=BF
所以∆ADG≅∆ABF（SAS）
∠GAD=∠FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o =∠DAG+∠GAB =∠BAF+∠GAB=∠GAF 所以∠GAE=∠GAF-∠EAF =90o
-45o
=45o
∠GAE=∠FAE=45o 又AG=AF AE=AE
所以∆EAG ≅∆EAF （SAS ） EF=EG=ED-GD=DE-BF
变形c 解：（简单思路）
G
F
E A
B
C D
EF=BE+FC
延长AC 到点G ，使得CG=BE ，连接DG 。

由∆ABC 是正三角形得
∠ABC=∠ACB=60o 又DB=DC ，∠BDC=120o 所以∠DBC=∠DCB=30o
∠DBE=∠ABC+∠DBC=60o +30o =90o ∠ACD=∠ACB+∠DCB=60o +30o =90o 所以∠GCD=180o -∠ACD=90o
∠DBE=∠DCG=90o 又DB=DC ，BE=CG
所以∆DBE ≅∆DCG （SAS ）
∠EDB=∠GDC DE=DG
又∠DBC=120o =∠EDB+∠EDC =∠GDC+∠EDC=∠EDG 所以∠GDF=∠EDG-∠EDF =120o -60o =60o
∠GDF=∠EDF=60o 又DG=DE
DF=DF
所以∆GDF ≅∆EDF （SAS ） EF=GF=CG+FC=BE+FC
变形d 解：（简单思路）
延长CD 到点G ，使得DG=BF ，连接AG 。

过E 作EH ⊥AG.前面如（1）所证， ∆ADG ≅∆ABF ，∆EAG ≅∆EAF
∠GAD=∠FAB=30o ，S ∆EAG=S ∆EAF 在Rt ∆ADG 中，∠GAD=30o ，AD=3
∠AGD=60o
，AG=2
设EH=x
在Rt ∆EGH 中和Rt ∆EHA 中
∠AGD=60
o
，∠HAE=45o
HG=3
3x ，AH=x
AG=2=HG+AH=3
3x+x,EH=x=3-3
S ∆EAF=S ∆EAG=EH ⨯AG ÷2=3-3.
（第5页题目答案见第6页）
（2）
正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC。

求证：AC/2=AD-EO （2）加强版
M
B
D C
A
正方形ABCD中，M在CD上，N在DA 延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE 平分∠DNM。

请问MN、AD、EF有什么数量关系？
（2）解：（简单思路）
过E作EG⊥AD于G
因为四边形ABCD是正方形
∠ADC=90o，BD平分∠ADC，AC⊥BD 所以∠ADB=∠ADC/2=45o
因为AE平分∠DAC，EO⊥AC，EG⊥AD 所以∠EAO=∠EAG，
∠DGE=∠AOE=∠AGE=90o又AE=AE，
所以∆AEO≅∆AEG（AAS）
所以AG=AO，EO=EG
又∠ADB=45o，∠DGE=90o
所以∆DGE为等腰直角三角形
DG=EG=EO
AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2
（2）加强版解：（简单思路）
M C
A
MN/2=AD-EF 过E作EG⊥AD于G，作EQ⊥AB于Q，过B做BP⊥MN于P
按照（2）的解法，可求证，
∆GNE≅∆FNE（AAS）
∆DGE为等腰直角三角形
AG=AD-DG=AD-EF，
因为四边形ABCD为正方形，
∠ABC=∠GAQ=∠BCM=90o
BD平分∠ABC，BC=BA
∠ABD=∠ABC/2=45o，又∠EQB=90o ∆EQB为等腰Rt三角形，∠BEQ=45o 因为∠GAQ=∠EGA=∠EQA=90o
所以四边形AGEQ为矩形，
EQ=AG=AD-EF，EQ//AG
∠QEN=∠ENG
又∠ENG=∠ENF，所以∠QEN=∠ENF 由BC=BA，∠BCM=∠BAN=90o，CM=AN，
所以∆BCM≅∆BAN（SAS）
BM=BN，∠CBM=∠ABN
∠ABC=90o=∠ABM+∠CBM
=∠ABM+∠ABN=∠MBN，又BM=BN
所以∆MBN为等腰Rt三角形，
又BP⊥斜边MN于P，
所以∆NPB为等腰Rt三角形。

BP=MN/2，∠PNB=45o。

∠BNE=∠ENF+∠PNB
∠BEN=∠QEN+∠QEB
又∠QEN=∠ENF，∠PNB=∠QEB=45o
所以∠BNE=∠BEN
BN=BE，
又∠PNB=∠QEB=45o=∠NBP=∠EBQ
所以∆BEQ≅∆BNP（SAS）
EQ=BP
因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2
所以AD-EF=MN/2。