矩阵s

• 我们发现每一个产地到每一个销售地的配 送的量我们都知道，再按照我们的规定放 到相应的位置，这样的矩阵就代表了所有 的调配方案。
结论
• 所以现实生活中的物资调配，我们的调配 方案完全可以用我们的矩阵来表示。
常见旅途我们也可以用矩阵表示
• 我们举了北京上海济南广州这四个城市
• 图是这四个城市之间的航线图。只要有箭头就 表示有单向航线。
• 有的教材上写0矩阵不是那种普通的零，而 是花写的零我们要理解
• 两个0矩阵的比较：两个零矩阵必须得是同 型矩阵的时候才相等。不同型的零矩阵之 间也不能去划等号。
4.对角矩阵
• （定义由来）我们在第一章的时候学过对角行 列式，所以直接照搬过来对角行列式就可以了。
• （定义）就是主对角线以外的元素全为零。主 对角线上可以有百度文库元的。
（aij）m*n，（aij）mn。 • 方阵，用An来表示 • 行矩阵和列矩阵：用大写或者是小写字母
开头，=，一行元素要加逗号隔开，一列元 素竖着写下来就可以了。
• 零矩阵，零矩阵就是0或者是0mn
• 对角阵/n阶对角矩阵，A=diag（入1，入 2，…入n）
• 单位矩阵/n阶单位矩阵，大写字母E。
• 注意对应元素相加的话，他必须要有对应 元素才行，所以两个矩阵可以做加法的前 提就是他们得是同型矩阵。
• 第一行：13 11 4 • 第二行：7 -4 4 • 最后一行 6 8 9
• 只要把这些对应数相加，我们就很容易算 出这两个矩阵的和了。
加法在运算中有一些运算规律于需 要知道：
• 假设ABC都是m*n阶矩阵。
• 既然这个矩阵是由元素构成的那么我们自 然就会想到这个元素是什么元素，他所构 成的也就应该是什么样的矩阵。
• 如果所有的元素都是实数，那么这样的矩 阵就叫做实矩阵。而如果不全为实数，有 负数那么这样的矩阵就叫做复矩阵。
两个矩阵的比较（宏观）
• 既然矩阵有行也有列，行列又不一定相同， 那么两个矩阵在进行比较的时候，我们肯 定就会关心他的行数和列数是不是一样。
• 这个形式我们就会发现，就是由若干个数 按照一定的次序所构成的一个数表。
• 咱们把这样的数表称为是矩阵。
矩阵的基本概念和它的运算
• 什么是矩阵？刚才也说了矩阵本质上就是 一个若干个元素按一定次序排列起来的数 表。
• 由m*n个数，aij，i从一到m，j从一到n所排 成的m行n列的数表。
• A11 a12 一直到a1n，a21 a22一直到a2n， am1 am2一直到amn，这就是一个m行n列的 数表，咱们把这个数表称为m行n列的矩阵。 有时候我们直接写他是一个m*n的矩阵。
• 这样的一个航线图我们也可以把它用矩阵来表 示，只要你把他里面的元素给他设定好就行了。
• 规定如果从i到j有单向航线的话，那我们这个 元素就去取1.没有就取0.每一个aij都可以根据 这个航线图写出来了。
• 20个城市用网状图很难表示，矩阵就很容易。
第三个
• 这是一个二次的曲线方程。
Ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0
• 如果两个矩阵的行数相同，列数也相同， 他的形状就是一样的，这种我们就会把它 叫做同型矩阵。
=
• 什么时候，我们才称两个矩阵相等？两个矩阵 如果说明他相等，我么刚才也是说了，他必须 得是一模一样的。
• 1.首先他得是同型矩阵。（在这个前提下有下 面）
• 2.他里面的元素完全相同，我们一般这麽说就 是他的对应元素（即对应位置的元素）相等。 也就是说：矩阵a的i行j列一定要跟矩阵b的i行j 列的哪个元素相同。Aij=bij，i j可以取遍所有 值。
• 写法：既然行数和列数相等的话我们就没 必要把行数和列数都给他写出来，所以我 们一般就写成An或者是Am。
• 名称：n阶方阵/m阶方阵
一个m*n的矩阵，m表示的是行数，特殊的如 果m=1，那么这样的矩阵应该是只有一行。
我们把这样的矩阵称为是行矩阵，或者是行 向量。
M=1
只有一行
行矩阵
行矩阵，行向量应该去如何表示
• （命名由来）对角矩阵一定是一个方阵。因为 不是方阵我们画不出它的主对角线来。所以像 这种主对角线以外的元素全为零的方阵我们可 以把它叫做n阶对角矩阵，或者直接简称为对 角阵。
• 我们在写n阶对角矩阵-对角阵的时候，由于
这样整体去写书写量可能比较大，有时候 我们可能会有简化写法。A=diag（入1入2….. 入n）.表示主对角线是入1到入n的一个对角 阵，n阶对角矩阵。
• 例一：有m个产煤地，a1到am，n个销售地 b1到bn，我们说从产煤地到销售地的任意 一个调配方案，其实可以用下面这一个矩 阵来表示。
这是一个调配方案
• 我们只要把这个矩阵里的元素给他做一下 规定就行。这里边的元素aij指的是由产煤地 ai到销售地bj所配送的煤炭量。
• 也就是说a11，代表的是从产地a1到销售地 b1所配送的煤炭的量。
特殊的对角阵
• 特殊的n阶对角矩阵，其实就是单位矩阵。 特殊在主对角线上的元素全部都取1.
• 主对角线上的元素全部都取1的n阶对角矩 阵我们称为是。n阶单位矩阵。
• 我们用大写字母E去表示。
总结矩阵的表示
• 对于一般的矩阵，用大写字母A来表示 • A=（里面是aij，i从1到n，j从1到m）；A=
• 对于这样一个二次曲线方程，左边的这个 二元二次的多项式他其实也可以用矩阵来 表示。
• 咱们先把这面的起决定性作用的xy1先放在 这个边框上。
怎么填？
X
Y
1
X
2a
b
d
Y
b
c
e
1
d
e
f
• 大家会发现，当我们在其中选择其中一行， 选择其中一列的时候，就会在对应的地方 形成一个框。比如横着对应x，竖着对应着x， 乘起来就是x2，那我们就在对应的框的上面 写上它的系数。
矩阵的用途
• 无论是实际中的调配问题还是航线问题还 是我们数学几何中的一些问题我们都可以 用矩阵的方法来解决。从这我们可以看到 矩阵的重要用途。
特殊的矩阵
• 刚才说了对于矩阵来说，m和n不一定相等， 但是也会有特殊情况就是：m和n相等。这 样从整体上来看他就是一个正方形。所以 这种矩阵我们一般把它称为是方阵。
• 1.首先加法一定满足交换律，因为里面都是
两个数相加，两个数相加当然可以交换次 序。
• 2.加法还满足结合律，（A+B）+C=A+(B+C) • 3.我们可以规定负矩阵（怎么规定呢？）把
矩阵的每一个元素都加上负号，得到的这 个矩阵我们可以记做-A,称为原来矩阵的负 矩阵。两个作用1.定义减法2.计算A+(-A)=0
• 本来在m行n列的时候我们每一个元素我们 写的是aij。i代表行标，j代表列表，现在既 然只有一行，那么这个行标我么就没有必 有去写了。
• 因此一般的行矩阵我们就用一个下标去写。
• 但是这样写的话这个元素容易混淆，所以 我们一般写的时候会在这些元素之间加上 逗号。以示分割。
• 这就是一个一般的行矩阵
• 在这个方程组中在未知元x1，x2，xn给定情 况下，除去未知元，除去这些加号和等号，
其实这个方程组中真正起作用的是这些系 数aij，和等号右边的这些常数项bx。其他的无非是
一些运算符号和一些未知元。
• 既然如此我们就可以把方程组当中所有的 系数和它的常数项，原来在它的方程组中 的位置不变，照搬下来。
• XY出现在了两个地方，那我们就把这个2b 分成两个部分，分别放在这两个位置。
结论
• 给于一个二次的曲面方程，只要它的左边 的这个二元二次的多项式，只要x，y，1的 位置确定了，那么他就可以用一个3*3的矩 阵来表示了。
• 反过来任给这样一个三行三列的矩阵，我 门按照同样的思路，用a作为x2的系数，用 b+b作为xy的系数。。。。。。也就可以写 出这样唯一形式的二次曲线方程。一一对 应
矩阵的运算
矩阵的运算
• 矩阵的运算大体可以分为两类：
1.线性运算 2.乘法
线性运算-加法
• 两个m*n的矩阵A=（aij）m*n，B=(bij)m*n • 我们可以把A与B的和记为是A+B，规定A与
B的和就是下面这个矩阵： • a11+b11，a12+b12，…，a1n+b1n • am1+bm1………..………….，一直加到amn+bmn • 也就是说两个元素对应相加就行
矩阵的数乘运算
加法可能比较容易理解，将两个矩阵相加，即把 两个同型矩阵里面的对应元素都加起来就会得到 一个新的矩阵了。
矩阵的数乘可能比较难以理解，就是一个数去和 一个矩阵做乘积。 定义：假设一个数 入，和一个矩阵A，他们两个 的乘积我们记做为：入A或者是A入。（也就是 这个数既可以放在矩阵的左边也可以放在矩阵的 右边）（因为是两个不同的元素所以有左右之分）
• 他们有本质的区别，行列式是m行n列但是他 们本质上是一个数。行列式他最终得到的是行 列式里面的这些数经过一定的运算最终所算出 的一个数。而矩阵只是一个数表，两个矩阵一 样必须得数表完全一样才行
• 2.矩阵是m行n列，并没有告诉我们m等于几， n等于几。也就是说m和n可以不相等。但是
行列式行数和列数一定是相同的，不然他 没有办法构成行列式。
• 3.我们在计算行列式的过程当中全部用的是 等号，无论中间的形式有什么区别他最后 都等于最终的那个数（所以他会使用等 号）。但是矩阵我们一般不再用等号了， 因为刚才说了两个矩阵想要相等必须得一 模一样才行
矩阵的表示方法
• 如果我们只写成刚才那种形式，大家会发现， 占得篇幅是比较大的。所以在实际当中矩阵也 会有简化写法。
矩阵
矩阵的概念和矩阵的运算
• 在这一章之前我们也说过现实生活中的很 多问题，我们最终都可以通过数字处理， 最终把它转化成线性方程组（未知元一次） 的问题。也就是说我们可以把生活中的很 多问题最终转化成方程组的求解问题。
• 重要的也就是这些方程组了，咱们先看一 个一般的n元线性方程组。
• 仔细观察这个方程组我们可以发现，这个 方程组中有m个方程，有n个未知元。所以 这是含有m个方程n个未知元的一般的n元线 性方程组。
• 规定入A=A入=？
• 规定：入A=A入=我在每一个aij上都乘上一 个入就行了，最终的得到的就是入aij。
数乘的运算规则
• 如果A B都是m*n阶的矩阵，入 u都是数 • 结合率：(入u)A可以拆开，写成 入（uA）
或u(入A) • 分配率：（入+u）*A可以把入 u拆开写成 • 入A+uA。 入（A+B）=入A+入B。 入A=0：要么这个入=0要么这个矩阵A是零矩 阵0mn
列矩阵
• 如果n=1，这样的矩阵就只有一列，我们会 把它叫做列矩阵/列向量。同样我们在写的 时候也没必要把列标也加上了
• 这是一个列矩阵，用大写字母B去表示
• 为了把行矩阵，行向量，列矩阵，列向量 与其他的矩阵相区分，我们习惯上会用行 列向量用小写字母去表示。
零矩阵
• 一个矩阵的元素如果全部都是0，这样的矩 阵我们称为是零矩阵。你可以记做0mn是一 个m*n的矩阵。也可以直接记为0.
矩阵的一般写法
• 表示这一个数表一个整体，一般的我们都 会在外边加上一个圆括号，或者有些教材 上用的是方括号，并且一般会用大写字母A B来表示他。所以A=（）这就是一个矩阵了。 这是矩阵的一般写法。
有了写法之后需要注意的几点问题
• 1.上一章我们讲的是行列式，这一章我们讲的 是矩阵，我们仔细看它的形式，我们发现从形 式上来看他们是很像的。都是有一些行有一些 列，只不过有一些画的是括号，有一些画的是 竖线。
结论
• 当两个元素是同型矩阵，所有的元素又对 应相等的时候，我们才能说这两个矩阵是 相等的。才能在这两个矩阵之间画等号A=B
• 所以等号我们用的不是很多。
• 知道了什么是矩阵，矩阵的表示，以及我 们需要注意的一些注意事项和两个矩阵在
什么时候相等以后。我们来了解一下矩阵 在实际生活中有哪些应用。
矩阵在实际生活中的运用
• 不如A=（aij）m*n，这就代表着a是一个 m*n的矩阵，它的一般元素就是aij， 如果我们不关心它是几行几列的我们 可以把m*n去掉，我们也可以把乘号 去掉直接写成mn，他们表示同样的一 个矩阵。
aij
• 这里的aij（因为讲到这里才出现了aij）像行 列式一样可以称为是这个矩阵的元素。而 且第一个下表依然代表他在哪一行当中是 行标，而j依然表示他在那一列当中是列标。 所以啊aij就表示就是这个矩阵A的第i行第j 列位置的那个元素。