1-1-1集合的概念及其表示(分层次)
1.1.1集合的含义与表示
问题提出
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉 语解释为:许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学 语言，我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究（一）
考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）华侨中学所有的高一同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
形式如 :{ | }
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2 2 0的所有实数根组成的集合;
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 : (1)设方程x2 2 0的实数根为x,并且满足条 件x2 2 0,因此,用描述法表示为
A { x R | x2 2 0}. 方程 x2 2 0有两个实数根 2, 2,因此, 用列举法表示为A { 2, 2}. (2)设 大 于10小 于20的 整 数 为x,它 满 足 条 件x Z 且10 x 20,因 此,用 描 述 法 表 示 为
例1 用列举法表示下列集合： (1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2 x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列 举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举方 法．例如 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不 能组成一个集合,因为其元素不确定
(2)已知2是集合M={0，a，a2-3a+2}中的元素，
则实数a为( C )
1.1.1--集合的含义与表示
4.{x︱x2-1=0} 设集合A={1，x2+5x},集合 A={1，6},且A=B,求实数x的值 解： ∵ A=B ∴ x2+5x= 6 解得 x= 1或 x= -6 经检验当x= 1或 x= -6时， A=B ={1，6}
2 A -2 A 7
3 ∈ A， -1
∈
A
5， A
-5， A
典型例题 例1 已知x2∈{1，0，X},求实数x的值
B {11,12,13,14,15,16,17,18,19}
5.Venn图：（读作：韦恩图）
用平面上封闭曲线的内部代表集合， 这种图称为Venn图。
注：1.适用范围：元素个数较少的集合.
2.使用方法：把元素写在封闭曲线的内部. 3.常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形. 练习： 如图的Venn图表示的集合为（ Ａ ）
练习：
读作：a不属于集合A
设M是所有偶数组成的集合M，则有（ C ）
A.3 M
B.1 M C.2 M
D.2 M
6.数学中常用的数集的符号：
二、集合的表示方法：
1.自然语言表示法：
用文字语言形式来表示集合的方法.
例如：小于3的实数组成的集合。
2.字母表示法：
用大写字母A,B,C,…表示集合的方法.
例题1：下列能构成集合的是（
B）
A、中央电视台著名节目主持人 B、2010年广州亚运会中的志愿者
C、2010年上海世博园中所有漂亮的展馆
D、世界上的高楼
下列对象能构成集合吗?
1、著名的科学家； 2、1,2,2,3这四个数字； 3、我们班上的高个子男生.
Hale Waihona Puke 【互异性】对于一个给定的集合，它的任何两个元素都 是不同的。即同一元素在集合中不能重复出现.
1.1.1-1集合的含义与表示知识要点
1.1.1-1集合的含义与表示知识要点 一知识要点1．集合的概念（1）集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成为一个集合（set ）。
常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B 。
（2）元素：集合中每个对象称为该集合的元素（element ），简称元素常用小写的拉丁字母来表示，如a 、b 、c ……2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.3．常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：自然数集内排除0的集合记作N *或N + ，{},3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q（5）实数集：全体实数的集合记作R ．4．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)A ，记作a ∈A ．注意“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)A ，记作a ∉A5．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。
注：1．大括号不能缺失.2．有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}３．区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.４．用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{|()}x p x 的形式。
1.1集合的概念及表示
1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。
1-1-1 集合的概念
1.1.1 集合的概念教材知识检索考点知识清单1．集合、元素 （1）集合：一般地'把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的 构成的集合（或集），通常用____表示．(2)元素：构成集合的 叫做这个集合的元素（或成员），通常用 表示． 2. 元素与集合的关系(1)如果 ，就说a 属于“A ”，记作 ．(2)如果 ，就说a 不属 于A ，读作“a 不属于A ”，记作 。
3.集合中元素的性质特征 (1) ;(2)____ ;(3)____ . 4.集合的分类5.常见的数集的专用符号自然数集 ，正整数集 ，有理数集 ，实数集 .要点核心解读1．集合集合是一个原始概念，一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合．集合一般用英语大写字母表示，集合中的元素一般用英语小写字母表示． 2．元素与集合之间的从属关系如果a 是集合A 的元素，称a 属于A ，记作,A a ∈否则.A a ∉ 3．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(1)确定性：对于集合A 和某一对象x ，有一个明确的判断标准可以鉴定,A x ∈还是,A x ∉二者必居其一，而且只居其一．(2)互异性：集合中没有相同的元素．如方程0122=+-x x 的解集用集合记为{1}，丽不能记作{1，l}．(3)无序性：集合中的元素是不排序的．如集合{l ，2}与{2，1}是同一个集合，4．集合的类型含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集；不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅．5．特定集合的记法N(自然数集),N *或N+（正整数集） ，z （整数集），Q （有理数集），R(实数集)． 6．需要注意的几个问题．(1)符号””““∉∈只能用在元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系，如.*0,0N N ∉∈ 除此之外，””““∉∈没有其他用途． (2)无论何时何地，“∅∈x ”的写法都是错误的，∅∉x 是永恒的真理．(3)a 与{a}是不同的，a 表示一个元素，{a}表示 由一个元素a 构成的集合，一般称{a}为单元素集，特别地；O 与{0}是不同的．(4){O}与∅是不同韵，{0}表示由一个 元素O 构成的集合，∅是不含任何元素的集合.典例分类剖析考点1 集合的有关概念问题【例1】考查下列每组对象： (1)著名的数学家；， (2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程092=-x 在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．其中能构成集合的是( )．)3)(1.(A )3)(2.(B )4)(3.(C )5)(2)(1.(D[试解]： ．（做后再看答案，发挥母~功能）[解析] (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家？不能构成一个集合，类似地，(2)也不能构成集合．(3)任给一个实数x ， 可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“20200>≤≤x x ”与“或,0”<x 两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合，类似地，(4)也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“ 一些点”中无法确定，因此“ 直角坐标平面内第一象限的一些点” 不能构成集合. [答案] C[点拨] 由一些元素构成的集合必须具有以下两个特点：一是整体性，二是确定性其中“整体” 一语说明 集合是指某些对象的整体，而不是指其中的个别对象，这就是集合的整体性．一个对象要么是集合的元素，要么不是集合的元素二者必居其一，这就是集合的确定性．母体迁移 1．下面各组对象能否构成集合： (1)所有漂亮的人；。
1-1-1集合的含义与表示
[分析] 首先搞清楚集合的元素是什么，然 后选用适当的方法表示集合．
[解析] (1){1,2,3,4,6,8,12,24}； (2){大于3小于10的整数}＝{x∈Z|3＜x＜10} ＝{4,5,6,7,8,9}； (3){x|x2＋ax＋b＝0}； (4){(x，y)|x<0且y＞0}；
(5)∵ x＋3≥0，|y－2|≥0，
[解析]
(1)∵1 是 A 的元素∴1 是方程 ax2＋2x＋1＝0
的一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即 a＝－3， ∴方程即为－3x2＋2x＋1＝0， 1 1 ∴x1＝1，x2＝－ ，∴集合 A 中的其它元素为－ . 3 3 (2)若 a＝0，方程化为 2x＋1＝0，此时有且仅有一个根 1 x＝－2；
若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1 ＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元 素， ∴所求集合B＝{0,1}； (3)集合A中至多有一个元素包括两种情况： ①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0 或a＝1； ②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0， 且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1； 综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a
[例2] 若x∈{1,3，x3}，则有 ( ) A．x＝0或x＝－1B．x＝－1或x＝3 C．x＝0或x＝－1或x＝3D．x＝0或x＝3 [答案] C [解析] ∵x∈{1,3，x3} ∴x＝1或3或x3 当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3， ∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.
[例3] 若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求 实数x的值． [解析] ∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等， ∴两集合含有相同的元素 即{x，x2}一定含有－1这个元素 由于x2≥0，∴x＝－1.
1-1-1集合的 概念
本节课学习的内容 （1）集合的有关概念：集合、元素；
（2）元素与集合的关系：属于、不属于；
（3）集合中元素的特性； （4）集合的分类：有限集、无限集； （5）常用数集的定义及记法．
教材 P 4，练习 A 组第 1、2、3 题．
集 集合 合 1.1.2 集合的表示方法
集合 集合
1. 集合、元素、有限集和无限集的概念是什么？
(3) 比 2 大 3 的实数的全体；
解：{ 5 }.
注：有的集合只有一个元素如 { a }等，但是 { a }是集合，a 是集合{ a }的一个元素，有 a { a }．
想一想：{1，2} 与 {2，1} 是否表示同一个集合？
注：用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序．
例1
用列举法表示下列集合：
(1) 所有大于 3 且小于 10 的奇数构成的集合； (2) 方程 x2－5 x＋6＝0 的根的全体构成的集合． 解 (1) {5，7，9}； (2) {2，3}．
练习1
用列举法表示下列集合：
(1) 大于 3 小于 9 的自然数； { 4，5，6，7，8 }．
(2) 绝对值等于 1 的实数的全体； { -1，1 }．
集 集合 合 1.1.1 集合的概念
集合 集合
问题1
物以类聚„„
“中国所有的大熊猫”
阅读教材，解决问题： （1）集合、元素概念是如何定义的？ （2）集合与元素之间有什么关系？ 是用什么符号表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（4）集合的分类有哪些？ （5）常用数集如何表示？
集合的概念：一般地，把一些能够确定的对象看成 一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全 体构成的集合（简称为集）. 元素：构成集合的每个对象都叫做集合的元素． 例如：(1) 某职业学校学生的全体； (2) 正数全体； (3) 平行四边形全体； (4) 数轴上所有点的坐标的全体．
1.1.1集合的含义与表示
2
用列举法表示为A = { 2 ,− 2}.
(2)设大于 小于20的整数为 , 它满足条件 ∈ Z 10 x x 且10 < x < 20,因此, 用描述法表示为 B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}. 大于 小于20的整数有 ,12,13,14,15,16,17,18, 10 11 19,因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
我们以前已经接触过的集合: 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合； 自然数集合，正分数集合，有理数集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合；
是角平分线
到线段的两个端点距离相等的所有点的集合； 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；
是线段垂直平分线
1.1.1 集合的含义与表示
1、集合的含义： 、集合的含义：
把研究对象统称为元素， 把研究对象统称为元素，把一些 元素 元素组成的总体叫做集合 简称集）。 集合（ 元素组成的总体叫做集合（简称集）。 用大写字母A， ， 表示集合， 用大写字母 ，B，C…表示集合，用 表示集合 小写字母a,b， 小写字母 ，c …表示集合中的元素 表示集合中的元素
2、 若方程x2－5x+6=0和方程 若方程x 5x+6=0和方程 x2－x－2=0的解为元素的集合 则 2=0的解为元素的集合M,则 的解为元素的集合 M中元素的个数为 （ C） 中元素的个数为 A．1 ． B．2 ． 3、已知集合 、 C．3 ． D．4 ．
1.1.1集合的含义与表示
课堂练习
5．用适当的方法表示下列集合： (1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}； (2)平面直角坐标系中所有第二象限的点．
解 (1)∵x∈N*，y∈N*，∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1， ∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(2){(x，y)|x＜0，y＞0}．
提示 集合{0,1,2,3,4,5,6,7}表示前7个自然数，故用描述法可 表示为{x∈N|x≤7}．
课堂练习
4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝ ___{0_,_1_}__.
提示 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1； 当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
2.判断正误： (1){(1,2)}={(2,1)}
(2){(1,2)，(2,1)}={(2,1)，(1,2)}
课堂练习
3．集合{0,1,2,3,4,5,6,7}用描述法可表示为( B )． A．{x|x是不大于7的整数} B．{x∈N|x≤7} C．{x∈Q|0≤x≤7} D．{x|0≤x≤7}
【答案】 (1){x|x＝3n＋2，n∈N}． (2){(x，y)|xy＝0}．
典例精讲：题型三：列举法与描述法的综合应用
例3：集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素， 试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【思路探索】集合A的代表元素x为方程的解，集合A只有1个元 素，意味着方程kx2－8x＋16＝0只有1解.
（3）2，3，1这三个数；
探究3
集合相等
集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就 称这两个集合是相等的.
小于“2”的自然数组成的集合.
人教版数学必修1 1.1.1 集合的含义与表示 (共17张PPT)
概念认识
知识点1：元素与集合的概念及关系 (3)元素与集合的关系
若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A；
若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a A
．
讨论2对不等式的解集是怎么定义的？ 含有未知数的不等式的所有解就组成了这个不等式 的解的集合，简称这个不等式的解集。
2.初中几何中对圆是如何定义的呢？ 到一定点的距离等于定长的点的集合就构成了圆。
讨论3 1.你能举出一些集合的例子吗？
合作探究
知识点2：常用数集的意义及表示:
自然数
正整数
N
＋
整数
有理数
实数
讨论3 1. 集合元素有什么性质特征？
练习
思考
1．“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？
【提示】“高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性， 多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么， 是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它 们都是一些不能够确定的对象．因此，它们都不能构成集 合．
试分别用列举法和描述法 表示下列集合：
（1）方程 x2 -20 的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
知识点5：集合的分类 有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合 空集：不含有任何元素的集合
φ
1.集合与元素的概念及关系; 2.常用数集及有关符号： 3.集合元素的性质：确定性;互异性;无序性； 4.集合的表示方法： 5.集合的分类：
练习
例2 用描述法表示下列集合：
（1）小于10的所有有理数组成的集合； （2）所有偶数组成的集合.
解：（1）小于10的所有有理数组成的集合用描述法可 表示为 {xQx10}； （2）偶数是能被2整除的数，可以写成x=2n(n∈Z)的形 式，因此，偶数的集合用描述法可表示为
1-1-1集合的含义与表示
集
合
1．1.1
集合的含义与表示
1 ． 我 们在 初 中 接 触 过 “ 正 数的 集 合 ” 、 “负数的集合”等，集合的含义又是什么呢？ ①解不等式 2x － 1 ＞ 3 得 x ＞ 2 ，所有大于 2 的 实数集在一起称为这个不等式的解集． ②平面几何中，圆是到定点的距离等于定长 的点的集合． ③自然数的集合0,1,2,3，…… ④高一(5)班全体同学组成一个集合． 请想一想，集合这个概念应该怎样描述？
本节重点：集合的概念，集合中元素的三个 特性及集合的表示方法． 本节难点：集合中元素的性质的理解．
正确理解概念，准确使用符号，熟练进行集 合不同表示方法的转换是学好本节的关键． 1．要辩证理解集合和元素这两个概念： (1)符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的， 不能用来表示集合之间的关系．元素与集合 之间是个体与整体的关系，不存在大小与相 等关系． (2)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条 件的对象都是它的元素；只要是它的元素就 必须符合条件．
(2) 集合中的元素必须是互不相同的，由 1 ， －1,1,3组成的集合为 {1，－1,3} ； 若 a∈{a2,1}则a＝ 0 . (3)若构成两集合的元素是一样的，则称两集 合 相等 ， 若 集 合 {1,2} 与 集 合 {a,1} 相 等 ， 则 a ＝ 2. 4．常见的数集符号：自然数集：N ；正整数 集： N＋；整数集： Z ；有理数集： Q ；实数 集：R . 5．把集合中的元素一一列举出来． 花括号“{ }” 括 起 来 表 示 集 合 的 方 并用 法叫做 列举法 ，如大于－ 1 且小于 10 的偶数
3．正确理解列举法 (1)元素间用分隔号“，”隔开； (2)元素不重复； (3)对于含较ห้องสมุดไป่ตู้元素的集合，如果构成该集合 的元素有明显规律，可用列举法，但是必须 把元素间的规律显示清楚后才能用省略号． 4．合理选用集合的表示方法 列举法与描述法各有优点，列举法可以看清 集合的元素，描述法可以看清集合元素的特 征，一般含有较多或无数多个元素时不宜采 用列举法，因为不能将集合中的元素一一列 举出来，而没有列举出来的元素往往难以确
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1-1-1集合的概念及其表示
（一）基础过关
一、选择题
1．下列各项中，可以构成集合的是（ ）
A ．高一数学中的难题
B ．直角坐标平面第一象限的一些点
C ．接近于0的数
D ．不等于0的偶数
2．下面有四个命题：
（1）集合N 中最小的数是1；
（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；
（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；
（4）x x 212
=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3．集合A 中含有三个元素2，4，6，若∈a A ，且6-∈a A ，那么a 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．24或
D ．0
4．下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A ．(){}(){}3,2,2,3=
=M N B ．{}{}3,2,2,3==M N C ．(){}{},1,1=+==+=M x y x y N y x y D ．{}{}3,2,2,4==M N
5．下列命题正确的是（ ）
A ．集合{}21,==∈A x x x R 中有两个元素
B ．集合{}0=B 中没有元素
C {＜∈x R x
D ．集合{}21,230与⎧
⎫==∈+-=⎨⎬⎩⎭
A B x R x x 是不同的集合 二、填空题
6．用符号“∈”或“∉”填空
（1）0______+N , 16______N ，0-______Z ,
（2）1_____________2
，π-Q Q ))22
11______+Q
（3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈
7．已知集合A 含有两个元素2和a a ，若1∈A ，则实数a 的值为 .
8．已知某集合中有三个元素：20,,-x x ，则实数x 应满足条件 .
9．方程组2219+=⎧⎨-=⎩
x y x y 的解构成的集合用列举法表示是 . 10．已知{}1,2,0,1=--A ，{}
2,==∈B x x y y A ，则=B . 三、解答题：
11．分别用描述法和列举法表示下列集合
（1）不大于10的非负偶数组成的集合.
（2）由方程32
20--=x x x 的解构成的集合.
（3）函数23103=-+y x x 与x 轴和y 轴的交点构成的集合.
12．设集合A 是由满足不等式7＜x 的自然数所组成的集合，若3且∈∈a A a A ,求a 的值.
（二）强化提高
一、选择题
1．下列命题正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}
1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36
11,,,,0.5242
-这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集；
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2. 下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）
A ．{}21∈=x R x
B ．{}1,1-
C ．{}22＜＜∈-x Z x
D ．1⎧
⎫∈=⎨⎬⎩⎭
x Q x x
3. 已知{}{}1,2,3,1,2==A B ，定义集合,A B 间的运算{}
*=且∈∉A B x x A x B ，则集合 *=A B （ ）
A ．{}1,2,3
B ．{}2,4
C ．{}1,3
D ．{}2
4. 已知定义运算{}
2210∈+-=x R mx x 只有一个元素，则m 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．0或1-
5. 已知,,a b c 是非零实数，为代数式++++a b c ab abc a b c ab abc
的所有可能取值，则m 的值组成的集合为M ，则下列说法错误的是（ ）
A ．1-∈M
B ．1∉M
C ．M 中有4个元素
D ．M 中所有元素之和为2
二、填空题
6．用符号“∈”或“∉”填空：
2∈≤+x R x ⎝⎭
(){},1=+x y y x
}
,,=∈∈z z m n m Z n Z
7．由实数,-x x 所组成的集合最多有 个元素，最少有 个元素.
8．已知集合{}1,,=0,,⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
b a b a b a ，则-=a b . 9．若对某个集合中的任意两个元素进行某种运算，得到的运算结果仍在此集合中，则称此集合对
该运算是封闭的. 已知集合M 由所有正整数的平方所组成，则M 对下列运算封闭的是 （填序号）.
①加法；②减法；③乘法；④除法.
三、解答题
10．已知集合86⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭A x N
N x ，试用列举法表示集合A .
11．已知集合{}
210,=++=∈A x x ax a R . （1）若集合A 中只有一个元素，求a 的值；
（2）若集合A 中有两个元素，求a 的取值范围.
12．已知集合M 满足条件：若1,,0,11则+∈∈≠≠±-a a M M a a a
. （1）若3∈M ,试由此确定M 的其他元素；
（2）若∈a M ,试由此确定M 的其他元素.
（二）高考链接
一、选择题
1. 已知集合{}1,2,345，，=A ，(){}=,,,∈∈-∈B x y x A y A x y A ，
则B 中所含元素个数为（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．10
2. 若集合{}{}1,1,0,2=-=A B ，则集合{},,=+∈∈z z x y x A y B 中的元素个数为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3. 已知集合{}0,1,2=A ，则集合{}=,-∈∈B x y x A y A 中的元素个数为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
4. 若集合{}
210,=∈++=∈A x R ax ax a R 中只有一个元素，则=a （ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4
二、填空题
5．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是 .
6．设A 中的元素都是整数，且对于∈k A ，如果1-∉k A ，且1+∉k A ，那么称k 是集合A 的 一个“孤立元素”.给定集合{}1,2,345,6,7,8，，=S ,则由S 中任意三个元素构成的集合中，不含 “孤立元素”的集合共有 .
三、解答题：
7．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B x x x A ，且A B ⊆，求实数p 的取值范围.。