认识三角形自主学习导学案

认识三角形

【学习目标】

认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类

【学习重难点】

重点：概括三角形的概念，认识三角形各部分的名称，知道三角形的底和高。

难点：会画三角形的高。

【学习过程】

一、基础知识回顾

三角形基本要素及基本性质

1． 三角形概念及表示

（1）由 的三条 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 如图中三角形，可以记作 ，它有三边 ； 三个角 ；三个顶点 。

2． 与三角形有关的三边、角性质

（1）三边关系：三角形的任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边。

（2）三角形的内角之和为 。直角三角形两锐角 。

（3）三角形的三边关系决定了三角形具有 性。

3． 三角形的分类

（1）按三角形角的大小分，有⎪⎩

⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形

锐角三角形 （2）按边的相等关系分，有⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧形底与腰不等的等腰三角等边三角形等腰三角形不等边三角形 4． 三角形重要的特殊线段

（1）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个顶 点和交点之间的线段叫做 。如图AD 是∠BAC 的角平分线，

（D 在BC 所在直线上），那么∠BAD= =21 。 三角形的三条角平分线一定在三角形的内部，且它们都交于 。 （2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做 。 如图，AE 是BC 边上的中线（E 在BC 所在直线上），

那么BE= = BC ．

三角形的三条中线一定在三角形的内部，且它们

都交于 。

（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的 叫做 三角形的高。三角形的三条高都交于 。其中，锐角三角形的三条高在 交于一点； 直角三角形的三条高在 交于一点；钝角三角形的三条高在 交于一点。

二、图形全等概念、特征、图案设计

能够 图形称为全等图形；全等图形的 都相等。

三角形是特殊的图形，全等三角形的概念与全等图形的概念是一致的。

全等三角形的对应边 ，对应角 。

三、探索三角形全等的条件

根据全等三角形的定义说明两个三角形全等，要求各边、各角都要对应相等。要使两 个三角形全等，至少需要 个条件（其中须有边的条件）。探索三角形全等的条件可以 归纳为：

1． 对应相等（简记为“SSS ”）； 2． 对应相等（简记为“SAS ”）；

3． 对应相等（简记为“ASA ”）； 4． 对应相等（简记为“AAS ”）；

四、探索直角三角形全等的条件

直角三角形全等的条件除了上述的“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”之外，还可以

利用“HL ”来判断，即 和 对应相等的两个三角形全等。 特别说明：全等条件 “HL ”不能用于非直角三角形使用。

五、三角形全等的应用

（1）会用尺规作三角形，以及与全等三角形有关的图形；

（2）会利用全等三角形测量距离。复习时注意理解尺规作三角形的依据就是全等三角形，还要关尺规作与全等三角形有关的图形；掌握用全等三角形进行实际测量的基本方法。

二、主要思想方法

转化思想

例1 如图1，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他没有量角器，只有一把

刻度尺，他是这样操作的：（1）分别在BA和CA上取BE、CG，使BE=CG；（2）在BC上取BD=CF；（3）量出DE的长为a米，FG的长为b米，若a=b，则说明∠B=∠C．他的这种做法合理吗？为什么？

分析：判断这种做法是否合理，关键要看这种

做法是否能检测出∠B=∠C，这就要利用三角形全等

的知识，通过转化的思想方法可以解决。

解：这种做法合理。因为若a=b，则由题意可得△BDE≌△CFG（SSS），故∠B=∠C．

评注：本题贴近生活，说明数学在实际生活中具有重要作用，在这里往往把实际问题转化为三角形全等的数学问题，构造出全等三角形是利用三角形全等的知识解决实际问题的关键。

二、分类讨论思想

例2 五条线段长分别为1．2．3．4．5，以其中三条线段为边长可以构成三角形有（）。

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

分析：五条线段中，由三条线段组成一组，共有10组，用分类讨论的思路一一列出来，再用三角形三边关系得以解决。

解：这五个数中，三个一组可写出为：①1．2．3；②1．2．4；③1．2．5；④1．3．4；

⑤1．3．5；⑥1．4．5；⑦2．3．4；⑧2．3．5；⑨2．4．5；⑩3．4．5．根据三角形三边之间的关系判断，其中能组成三角形的线段组有⑦2．3．4；⑨2．4．5；⑩3．4．5共3组。

故选A．

评注：分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐步进行研究和求解的一种数学解题思想。对问题进行分类讨论时，必须按同一标准分类，且做到不重不漏。

三、易错点突破

1．运用三角形三边的关系性质时不严谨

例1 若一等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边的长为5cm，则它的周长为。

错解：因为三角形是等腰三角形，当2cm为腰长时，底边为5cm，所以周长为9cm；当5cm 为腰长时，底边为2cm，所以周长为12cm；故答案为5cm或12cm。

分析：上述解题的病症在于忽略了三角形三边关系性质的准确运用，分类作了讨论是很好的，其中假设当当2cm为腰长时，底边为5cm，这种情形是不能构成三角形的，因为2+2<5，本问题错误就体现在这里。

正解：本题只能把5cm作为腰，2cm长作为底，这样此等腰三角形的周长应为12cm。

2．三角形全等条件的误用