RLC串联电路的零输入响应
高二物理竞赛课件RLC串联电路的零输入响应
iC 2 (t )
C2
duC 2 (t ) dt
34
d dt
t
[e 25 (t)]
[12
(t
)
12
e
t
25
(t
)]A
25
iC
2
(t
)
[12
(t
)
12 25
e
t
25
(
t
)]A
电流ic2(t)中冲激部分的强度等于电容元件C2上电荷 的跳变量 :
q2 C2uC2(0 ) C2uC2(0 ) (3 4 0) C 12 C
根据节点电荷不变的原则可得
C1uC1(0 ) C2uC 2 (0 ) C1uC1(0 ) C2uC 2 (0 ) (C1 C2 )1 uC (0 )
uC 1 (0
)
uC 2 (0
)
uc
(0
)
C1uC1(0 ) C1
C2uC C2
2
(0
)
210 0 V 4 V 5
2）t = ∞ 时
0.1s
例. 在图示电路中，C1=2 F，C2=3 F，R=5 ， uc1(0)=10 V，uc2(0)=0，求开关S闭合后的uc1(t) 、 ic1(t)、 uc2(t)和ic2(t)。
解：1）换路前t = 0 时 uc1(0)=10 V，uc2(0)=0 t = 0+时两电容并联 ，必有
uC1(0 ) uC2(0 ) uC (0 )
5) 求uL2 (t)
uL2
(t)
L2
diL2 (t ) dt
2
d
t
[(3 e 0.15 ) (t ) ]
dt
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
例8-3 图8-3所示电路，C=1F，L=1/4H，R=1；uC(0)= –1V， iL(0)= 0；t≥0时uoc(t)=0。试求iL(t)，t≥0。
( ) 解：电路固有频率为
s1, 2 = –
R 2L
R
2
–
1
2L
LC
=–2
电路属于临界阻尼状态。
iL(t) = K1e –2 t + K2te –2 t A，t≥0
O 0.5
t
图8-8 临界阻尼时的零输入响应iL(t)
电路分析基础——第二部分：第八章 目录
第八章 二 阶 电 路
1 LC电路中的正弦震荡
2 RLC电路的零输入响应 ——过阻尼情况
3 RLC电路的零输入响应 ——临界阻尼情况
4 RLC电路的零输入响应 ——欠阻尼情况
5 直流RLC串联电路的完全响应
6 GCL并联电路的分析
7 一般二阶电路
电路分析基础——第二部分：8-3
duC dt
=
– uC(0)2Cte – t + iL(0)(1–t)e – t A t≥0
（8-31）
电路分析基础——第二部分：8-3
2/3
从(8-30)和(8-31)两式可知：电路电路响应仍然是非震荡性的，但 如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 < 4L/C，则响应将为震荡性。 因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近震荡状态，称为临 界阻尼(critically damped)情况。
iL(0) = K1 = 0
i’L(0) = s1K1 + K2 = –2K1 + K2 di 又根据KVL，可得 uL(0)+uC(0)+uR(0)=L dt
电路实验报告
实验一 元件特性的示波测量法一、实验目的1、学习用示波器测量正弦信号的相位差。
2、学习用示波器测量电压、电流、磁链、电荷等电路的基本变量3、掌握元件特性的示波测量法，加深对元件特性的理解。
二、实验任务1、 用直接测量法和李萨如图形法测量RC 移相器的相移ϕ∆即uC u sϕϕ-实验原理图如图5-6示。
2、 图5-3接线，测量下列电阻元件的电流、电压波形及相应的伏安特性曲线（电源频率在100Hz~1000Hz 内）： （1）线性电阻元件（阻值自选）（2）给定非线性电阻元件（测量电压范围由指导教师给定）电路如图5-7 3、按图5-4接线，测量电容元件的库伏特性曲线。
4、测量线性电感线圈的韦安特性曲线，电路如图5-55、测量非线性电感线圈的韦安特性曲线，电源通过电源变压器供给，电路如图5-8所示。
图 5-7 图 5-8这里，电源变压器的副边没有保护接地，示波器的公共点可以选图示接地点，以减少误差。
三、思考题1、元件的特性曲线在示波器荧光屏上是如何形成的，试以线性电阻为例加以说明。
答：利用示波器的X-Y方式，此时锯齿波信号被切断，X轴输入电阻的电流信号，经放大后加至水平偏转板。
Y轴输入电阻两端的电压信号经放大后加至垂直偏转板，荧屏上呈现的是u x,u Y的合成的图形。
即电流电压的伏安特性曲线。
3、为什么用示波器测量电路中电流要加取样电阻r，说明对r的阻值有何要求？答：因为示波器不识别电流信号，只识别电压信号。
所以要把电流信号转化为电压信号，而电阻上的电流、电压信号是同相的，只相差r倍。
r的阻值尽可能小，减少对电路的影响。
一般取1-9Ω。
四、实验结果1．电阻元件输入输出波形及伏安特性2．二极管元件输入输出波形及伏安特性实验二 基尔霍夫定律、叠加定理的验证 和线性有源一端口网络等效参数的测定一、实验目的1、加深对基尔霍夫定律、叠加定理和戴维南定理的内容和使用范围的理解。
2、学习线性有源一端口网络等效电路参数的测量方法3、学习自拟实验方案，合理设计电路和正确选用元件、设备、提高分析问题和解决问题的能力 二、实验原理 1、基尔霍夫定律：基尔霍夫定律是电路普遍适用的基本定律。
二阶电路分析——LC震荡的推导
二阶电路分析——LC 震荡的推导如图9.16所示，RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KV L ，得 0=-+C L R u u u按图9.16中标定的电压，电流参考方向有 dtdu Ci C-= dtdu RCRi u CC -== 22dtu d LC dt diL u C L -==将以上各式代入KVL 方程，便可以得出以 C u 为响应变量的微分方程，为022=++C CC u dt du RC dt u d LC ()0≥T （9.10）式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为012=++RCp LCp其特征根为20222,1122ωαα-±-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=LC L R L R p式中：L R 2/=α称为衰减系数；LC /10=ω称为固有振荡角频率。
1.几种不同情况的讨论(1)当(R/2L)2>1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。
特征根为2022,1ω-±-=a a p微分方程的通解为()tp t p C e A e A t u 2121+= （9.11）其中待定常数1A 、2A 由初始条件来确定，其方法是：当+=0t 时刻，则由式(9.11) 可得()21A A t u C +=对式(9.12)求导，可得时刻对+=0t ()t u C t 的导数的初始值为 ()()()Ci p A p A dt t du u t C C+=+-=+=='+0022110联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出1A 、2A 。
根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指 数规律衰减的，为非振荡性质。
()t u C 的波形如图9. 17所示。
（2）.当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根， 称为临界阻尼情况。
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况RLC串联电路是由电感、电阻和电容三个元件组成的电路。
在该电路中，当电源不加电时，电感和电容会有一定的电荷和电流分布，这种分布会导致零输入响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路中的元件之间会通过内部能量的转移来产生一种响应。
在RLC串联电路中的零输入响应，临界阻尼是其中一种情况。
当电路中的电阻大小等于阻尼电阻临界阻值时，电路呈现临界阻尼特性。
临界阻尼是指电路中的电荷和电流衰减的速度最快，衰减到零的时间最短。
在临界阻尼情况下，电路的阻尼电阻大小等于等效电阻R，即R=2√(L/C)，其中L表示电感的感值，C表示电容的容值。
在临界阻尼情况下，电路的特性如下：1.电路的过渡过程较快：在临界阻尼条件下，电路的过渡过程最快，电荷和电流的衰减速度较大，因此电路的过渡时间相对较短。
2.电路的振荡最小：临界阻尼条件下，电路没有振荡现象，电荷和电流没有来回变化的过程。
电路的响应呈现出衰减的趋势，最终衰减至零。
3.电路的振荡频率：在临界阻尼情况下，电路的振荡频率为共振频率，即f=1/(2π√(LC))。
在RLC串联电路临界阻尼情况下，可以通过解微分方程的方法求解零输入响应。
设电容电压为v(t)，电感电流为i(t)。
电路的微分方程为：L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫i(t)dt = 0对该微分方程进行求解，并考虑初始条件，可以得到电流i(t)的表达式：i(t) = I_0e^(-Rt/2L)[cos(ωt) + (R/2L)sin(ωt)] + I_1e^(-Rt/2L)[sin(ωt) - (R/2L)cos(ωt)]其中，I_0和I_1为常数，ω为角频率，ω=√(1/LC-(R/2L)^2)。
零输入响应主要体现在电感电流i(t)和电容电压v(t)的变化上。
通过解析上述表达式，可以得到i(t)和v(t)的变化规律。
在临界阻尼情况下，电路的过渡过程较快，电流和电压的大小随时间呈指数衰减的趋势，直至衰减到零。
串联RLC电路分析
02 2 t K 2 sin 02 2 t
K2 K1
02 2 t
其中
2 K K12 K 2
arctan
4）无阻尼情况（ R 0 ），方程的解形式如下：
uC (t ) K cos 0t
uC V
uC V
过阻尼情况
F ( s) L
f (t ) 0
f (t )e st dt
其中 s j 称为复频率。 拉普拉斯逆变换：
f (t ) 2 j 1
j
j
F ( s)e st ds
拉普拉斯变换的性质
性质 线性性质 微分规则 积分规则
关系式
L a1 f1 (t ) a2 f2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s)
由前面的分析可知通解部分随着时间而衰减，最终会衰减为零，我们所关心的是它 的特解部分，也就是它的稳态响应。
U 其中，
Cm
Um (1 LC ) ( RC )
2 2 2
C arctan(
CR ) 1 LC 2
为了得到正弦稳态响应，而去求解微分方程，这种方法显得呆板而繁琐，不利于实 际应用，那么有没有一种更简单方便的方法用来求解此类电路（二阶电路）正弦稳 态响应？
0
1 LC
0
），微分方程有如下形式的解：
uC (t ) K1es 1 t K2es 2 t
2）临界情况（
0
），方程解的形式如下：
uC (t ) K1est K2test
3）欠阻尼情况（
）且 R 0 ，方程解的形式如下 0
RLC并联电路的零状态响应和全响应
1 C
iL (0 )
1 2
2
1Vs
和
uC(0 ) uC(0 ) 10V 带入上式得：
A1 A1
12 A2
10 1
解方程求得：
A1 A2
2 1
X
解（续）
uC(t) (2 t)et 12 12 (2 t)et V i(t) C duC(t) 2[et (2 t)et ] 2(1 t)et A
为变量的电路方程为：
LC
d2uC (t dt 2
)
RC
duC (t dt
)
uC
(t
)
12
X
解（续）
将元件参数带入微分方程并整理得：
d2uC ( dt 2
t
)
2
duC (t dt
)
uC
(t
)
12
特征方程为：s2 2s 1 0
求得特征根为：s1 s2 1
因为特征根为两个相等的负实根，所以电路处于临 界阻尼状态，通解具有如下形式：
200mH
uC(0 ) 0
-
t 0时：
LC
d2iL (t ) dt 2
L R
diL (t) dt
iL (t)
4
1 L 1 200103
R 100 2
C2
250106 14.14
特征根为一对共轭复根，电路处于欠阻尼状态。
X
解（续）
d2iL dt
(t
2
)
40
diL (t dt
)
20000iL
uCh (t ) ( A1 A2t )et
因为激励为直流，所以设特解为：uCp (t ) B
X
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
电路分析基础自测题(含大纲)-推荐下载
《电路分析》考试大纲（专科，专升本，本科）一.课程性质和目的本课程是高等学校工科（特别是电子类专业）的重要基础课，它具有较强的理论性，而对指导后续课程的学习具有普遍性。
通过学习，使学生掌握电路的基本概念，基本定律，基本定理，分析方法等，提高解题的灵活性。
培养学生分析问题解决问题的能力，为以后课程的学习打好基础。
本课程前修课程为“大学物理”及“高等数学”。
二.主要教材：《电路分析》胡翔骏编高等教育出版社三.内容及考核重点按教材章节列出，有*号的内容对专科不要求。
上篇电阻电路分析第1章电路的基本概念和定律1-1. 电路和电路模型: 集总参数, 电路模型。
1-2.电路的基本物理量：电流，电压，电功率，电位，关联参考方向。
1-3. 基尔霍夫定律：KCL , KVL及其推广。
1-4. 电阻元件：定义，线性非时变电阻的欧姆定律（VCR），功率，开路，短路的概念。
电阻器的额定值。
1-5. 独立电压源及独立电流源：定义及其性质。
1-6. 两类约束及电路方程。
1-7. 支路电流法和支路电压法。
1-8. 分压电路和分流电路：熟记分压分流公式。
第2章线性电阻电路分析2-1.电阻单口网络：线性电阻串联、并联、混联的等效电阻。
独立电压源串联，独立电流源并联。
含独立源电阻单口网络的两种等效电路及等效互换。
*2-2.电阻星形联接与三角形联接：相互等效变换的公式。
2-3.网孔分析法：列写方程的方法和规律，含独立电流源电路网孔方程列写。
2-4.结点分析法：列写方程的方法和规律，含独立电压源电路结点方程列写。
*2-5.含受控源电路分析：四种受控源的描述方程及符号。
含受控源单口网络的等效。
含受控源电路的网孔方程列写及结点方程列写。
2-6.电路分析的基本方法：对本章的总结。
第4章网络定理4-1.叠加定理：线性电路及其性质。
叠加定理解题。
4-2.戴维宁定理：用戴维宁定理解题的步骤方法。
4-3.诺顿定理和含源单口网络的等效电路：用诺顿定理解题的步骤方法。
关于RLC二阶电路的分析方法——电路的微分方程与初始条件(精)
关于RLC 二阶电路的分析方法——电路的微分方程与初始条件
由两个独立储能元件组成的电路，其过渡过程的特征性用二阶微分方程描述，故称为二阶电路。
RLC 串联电路，是典型的二阶电路。
通过对它的分析来明确二阶电路过渡过程的基本概念和分析方法，着重讨论RLC 串联电路的放电过程，即电路的固有响应也就是零输入响应。
也介绍RLC 串联电路的充电过程，即零状态响应和完全响应。
1．电路的微分方程与初始条件
如图4-5所示RLC 串联二阶电
路，0≥t 时以电容电压C u 为变
量描述动态过程特性的微分方程
是图 4-5 RLC 串联二阶电路 022=++C C C u dt du RC dt u d LC
过渡过程中电容电压C u 随时间变化的规律，就是微分方程的解。
方程的求解，需有如下两个初始条件：
)0(C u
C i dt du u L t C C )
0()0(0=='=
只要知道电路的两个初始状态)0(C u 和)0(L i ，按上式便可得出初始条件)0(C u 和)0(C u '。
于是，RLC 串联电路的放电过程的C u ，就是满足上述初始条件齐次微分方程的解；充电过程的C u ，就是满足初始条件非齐次微分方程的解。
+-
C u。
《电路基础》第17讲 二阶电路分析 (1)
uL
L
di dt
0
U 0e
t
sin(
t
)
uC零点： t = -，2- ... n- ， uC 极值点为i零点。
i 零点： t =0, ，2 ... n ， i 极值点为uL零点。
U0
uc uL零点： t = , +，2+ ... n+
uC i
0
U0e
t
+
0 -
2- 2
t
uL
0
U0e
t
14
能量转换关系
0 < t<
uC减小，i 增大
L吸，C释
+
R
C -
L
< t < -
uC减小，i 减小
L释，C释
+
R
C -
L
- < t <
|uC |增大，i 减小
L释，C吸
+
R
C -
L
U0 uc uC i
0 -
0
U0
e
t
+ 2- 2
0
U
0
e
t
衰减振荡
t
欠阻尼
15
特例 R = 0 0
s1,2 ±j 0
us (t) (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS
(t)
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
1 LC
(t)
C + uL L -
18
d 2uC dt 2
实验四冲激响应与阶跃响应零输入与零状态响应概述.
W 1 01 T P10 1 5K
L 1 01 1 0m H
3
C1 02 0 . 01 uF
VCC
• 电路原理图中，其阶跃响应有三种状态：
• 当电阻
L R2 C
时，称过阻尼状态；
• 当电阻
• 当电阻
L 时，称临界阻尼状态； R2 C L 时，称欠阻尼状态。 R2 C
8
2、零输入和零状态响应
R + 则系统的响应为： + Vc(0-) + Vc(t)
实验四
阶跃响应与冲激响应/
零输入与零状态响应
一、实验目的 1、观察和测量RLC串联电路的阶跃响应与冲激响 应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化 对响应状态的影响。
2、掌握有关信号时域的测量方法。
3、熟悉系统的零输入响应与零状态响应的工作原
理及特性的观察方法。
二、实验原理 1、RLC串联电路的阶跃响应与冲激响应
应输出点TP202的波形 ；
（2）零输入响应
调节电位器W202，观察一阶RC系统的零输入
响应输出点TP203的波形 ；
TP202 TP201
零状态响应
TP203
零输入响应
• 分别调节电位器 W201和 W202，观察系统不同 的输入信号表征出不同的响应波形，分析全响应
与零输入响应、零状态响应的关系。
e(t)
VC (t ) e
t RC
1 VC (0) e Rห้องสมุดไป่ตู้ 0
t
1 ( t ) RC
e( )d
第一项与输入激 励无关,称之为 零输入响应
第二项与起始储能无关， 只与输入激励有关，被称 为零状态响应。
典型rlc二阶电路公式大全
典型rlc二阶电路公式大全
RLC二阶电路的公式包括阻抗公式、复数阻抗公式、零输入响应公式、零状态响应公式等。
阻抗公式为Z=R+j(ωL−1/ωC)，其中R表示电阻，j表示虚数单位，ω表示角频率，L表示电感，C表示电容。
复数阻抗公式为Z=R+j(Xr+Xl)，其中R表示电阻，Xr表示串联谐振阻抗，Xl表示并联谐振阻抗。
零输入响应公式包括过阻尼情况、临界阻尼情况和欠阻尼情况。
过阻尼情况为Z1=R+j(ωL−1/ωC)，欠阻尼情况为Z2=R+j√(ω0^2−ω^2)，临界阻尼情况为Z3=R。
零状态响应公式包括全响应情况、非全响应情况和强迫响应情况。
全响应情况为fai(t)=e−αt[fai(0)+fai'(0)t]，非全响应情况为fai(t)=e −αt[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]，强迫响应情况为fai(t)=e−
s1t[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]+e−s2t[fai'(0)t+βt^2]，其中fai表示全响应，α表示自然衰减系数，β表示强迫衰减系数，s1和s2分别表示实部和虚部等于零的频率点。
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应
代入初值：uC(0＋) = U0，ddutC t0 0，得到：
A1 A2 U0 p1A1 p2A2 0
联立解得：
A1
p2U0 p2 p1
A2
p1U0 p2 p1
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
(t=0) R L i + uL - +
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
p1j0ej p2 j 0ej
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
U j2 0 0 eje( j)t0 e je( j)
U0
0etej(tβ)
e-j(tβ)
j2
U0
uc uC
i
U 00etsint()
+
0 -
2- 2
t
iCddC ut UL 0 et sint()
uLLd d tiU 0 0e tsi n t ()
Li
ห้องสมุดไป่ตู้
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uCuLU0sin 0(t2)
i CLU0 sin(0t)
等幅振荡 无阻尼现象
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us(t)Umcosst
激励的频率决定各响应的频率
自由振荡：电路自身决定
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC dd 2utCRC ddutCuCUS
RLC串联电路的零输入响应——欠阻尼情况
4/11
衰减因子或衰减系数： = L/2R 称为衰减因子， 越大，衰减 震荡的振幅衰减得就越快，反之则越慢。
震荡角频率： d 称为震荡角频率， d 越大，衰减震荡的震荡 速度就越快，震荡周期越小，反之则速度越慢、周期越大。
包络线(envelope)： 按 ±Ke – t 变化的曲线， 将震荡信号包裹在 中间，其衰减速度取决于 。
阶段总结
（1）综上所述，电路的零输入响应取决于电路的固有频率 s 。 固有频率可以是实数、复数或虚数，决定了零输入响应是非震荡 过程（过阻尼、临界阻尼）、衰减震荡过程或等幅震荡过程。
（2）我们可以认为固有频率 s 是复频率（固有频率只有实部或 虚部是其特殊情况）。
（3）一阶网络的固有频率 s= – 1/，=RC或L/R，是负实数，表 示一阶网络的零输入响应是按指数规律衰减的非震荡过程。
（8-35）
其中常数K1 和 K2 由初始条件确定。其确定方法为
uC(0) = K1 u’C(0) = –K1
+
dK2
=
iL(0) C
（8-36） （8-37）
K2
=
1 d
iL(0) C
+
K1
=
1 d
iL(0) C
+
uC(0)
（8-38）
为了便于反映响应的特点，将式（8-35）进一步改写为
uC(t) = e – t K12 +K22
等幅震荡： 当电路中电阻为零时， = 0，包络线±Ke – t 变
成 ±K 两条与 t 轴平行的直线， 因此震荡信号就变成幅度恒定 的等幅震荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。
将K1u和C(t)K=2代uC入(0式) （0d 8e-–39t ）cos可(得dt–) +
线性定常RLC串联电路的全响应
(6)
的唯一解。
线性定常RLC串联电路的全响应
把式(3)和(5)相加，有： d2 d LC 2 vCi vCo RC vCi vCo vCi vCo vs dt dt 再把式(4)和(6)相加，得：
(7)
vCi 0 vCo 0 V0 d I0 dt (vCi vCo ) t 0 C
rlc设右图中的rlc串联电路在t接通电容器和电感器分别具有非零初始状态v是要待求的电路响应则它满足线性定常二阶非齐次微分方程
线性定常RLC串联电路的全响应
线性定常RLC串联电路的全响应
设右图中的RLC串联电路在 t=0时与申压源vs(t)接通，电 容器和电感器分别具有非零初 始状态vC(0)=V0和i(0)=I0。
(8)
将式(7)同(1)和将式(8)同(2)相比较后，可知：波形vCi (· )+vCo(· )既满足微分方程(1)，又满足初始条件(2)。于是根 据微分方程解的唯一性定理，全响应vC为
vC (t)= vCi I0 C C
0
(2)
的唯一解。
线性定常RLC串联电路的全响应
设vCi为电路的零输入响应。根据定义，它是满足对应的齐 次微分方程：
d 2vci dvci LC 2 RC vci 0 dt dt
及初始条件：
t≥0
(3)
vCi V0 dvCi I 0 dt C t 0
iL
R L C
iL (0) I 0 vC (0) V0
vs
如果电容器电压vC是要待求的电路响应，则它满足线性定常 二阶非齐次微分方程： d 2vC dvC LC 2 RC vC vs t≥0 (1) dt dt 及初始条件 v 0 V
RLC串联电路的零状态响应
燕山大学课程设计说明书题目： RLC串联电路的零状态响应学院（系）：理学院年级专业： 11级电子信息科学与技术学号：学生姓名：指导教师：教师职称：燕山大学课程设计（论文）任务书院（系）：基层教学单位：说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。
年月日燕山大学课程设计评审意见表RLC串联电路的零状态响应理学院11级电子信息二班摘要：一般的电路教材讲述了二阶电路冲击响应，但没有介绍二阶电路零状态响应，这对于理解二阶电路的特性，特别是在正弦交流电源作用下的二阶电路零状态响应特性是不利的。
本文推导正弦交流电源作用下的RLC串联电路的零状态响应，利用matlab进行模拟，将电容电压和电感电流的零状态响应曲线描绘出来；根据电路参数设置的不同，分过阻尼、欠阻尼、临界阻尼三种情况讨论。
关键字：RLC串联电路零状态响应正弦交流电源matlabThe zero state response of RLC series circuitClass two grade 11 Science College of electronic information Abstract:circuit materials generally tells the story of two order circuit impulse response, but not the zero state response of two order circuit, the understanding of characteristics of two order circuit, especially the zero state two order circuit in a sinusoidal AC power supply under the action of the response is negative. The zero state in this paper, a sinusoidal AC power supply under the action of the RLC series circuit response, was simulated with MATLAB, the zero state of capacitance voltage and inductance current response curve traced; according to the circuit parameter set is different, is divided over damping, less discussed, three kinds of critical damping damping.Keywords:RLC series circuit, the zero state response to sinusoidal AC power supply matlab1、引言电路原理是电子信息学科的主干课程，也是高等学校电子信息与电气信息类专业的基础课程，在电类专业学生知识结构中处于关键地位。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
uC(0) K1 (9 9)
对式(9－5)求导,再令得到
duC (t ) dt
t0
K1s
K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程,可以得到
(9 10)
K1 uC(0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果,代入式（9－8）得到电容电压的 零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感 电流的零输入响应。
四、欠阻尼情况
当 R 2 L 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复
C
数根，它们可以表示为
R s1，2 2L
R 2 1 2L LC
2
0
2 2
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到
uc (t ) K1e2t K2te2t
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值 iL(0)=0得到以下两个方程
uC(0) K1 1
duC(t ) dt
t0
2K1
K2
iL (0) C
0
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2,得到电容电 压的零输入响应
DNAP程序可以画出响应的波形。
三、临界情况
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t ) K1est K2test
(9 8)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。令 式(9-5)中的t=0得到
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率
R s1，2 2L
R 2 1 3 2L LC
32
8
3
1
2 4
将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到
uC (t )
K
e2t
1
K
e4t
2
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值
t0
K1s1 K2s2
iL (0) C
(9 7)
求解以上两个方程,可以得到
K
＝1 1 s2－s1
s2uC
(0)
iL (0) C
K
＝1 2 s1－s2
s1uC
(0)
iL (0) C
由此得到电容电压的零输入响应,再利用KCL方程和电 容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。
例9-1 电路如图9-1所示,已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的
实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t) K1es1t K2es2t
(9 5)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC(0) K1 K2 (9 6)
对式(9－5)求导,再令t=0得到
duC (t ) dt
LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS (t)
(9 1)
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。
零输入响应方程为
LC
d 2 uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
(9 2)
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0 (9 3)
其特征根为
R s1，2 2L
R
2
1
2L LC
(9 4)
duC dt
(3e2t
4e4t )A
(t 0)
从图示电容电压和电感电流的波形曲线,可以看出电路
各元件的能量交换过程。
u C (t)(6 e 2t4 e 4t)(t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL (t) ( 3 e 2 t 4 e 4 t)(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
uC(t) (e2t 2te2t )V
(t 0)
得到电感电流的零输入响应
iL
(t
)
iC
(t
)
C
duC dt
(2e2t 2e2t 4te2t )A
4te2t A
(t 0)
uC(t ) (e2t 2te2t )V iL (t) iC(t) 4te2t A
(t 0) (t 0)
电路微分方程的特征根,称为电路的固有频率。当R，L，
C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1. R 2
L C
时，
s1 ,
s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时，s1 , s2
为两个相等的实根。临界阻尼
情况。
3.
R2
L C
时， s1 , s2 为共轭复数根。欠阻尼情况。
二、过阻尼情况
为了得到图9－1所示RLC
串联电路的微分方程,先列出
KVL方程
图9－1 RLC串联二阶电路
uR (t) uL (t) uC(t) uS (t)
i(t
)
iL
(t
)
iC
(t
)
C
duc dt
uR
(t)
Ri(t )
RC
duc dt
uL (t )
L di dt
LC
d2uc dt 2
根据前述方程得到以下微分方程
第九章 二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程,并 利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨 论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论 电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机程 序分析高阶动态电路。
§9－1 RLC串联电路的零输入响应
一、RLC串联电路的微分方程
例9-2 电路如图9-1所示。已知已知R=1 ,L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电 流的零输入响应。
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R 2 1 2 2L LC
22
4
根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形
曲线,如图9－3所示。
(a) 电容电压的波形
(b) 电感电流的波形
图9－3 临界阻尼情况
u C (t)( e 2 t 2 te 2 t)(t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL(t)4te2t(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
iL(0)=1A得到以下两个方程:
uC(0) K1 K2 2
duC (t ) dt
t0
2K1
4K2
iL (0) C
4
K1=6 K2=-4
最后得到电容电压的零输入响应为
uC(t) (6e2t 4e4t )V
(t 0)
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应
iL(t)
iC(t) C