《大学物理课件》稳恒磁场

2
B dl 0I d
L
2 L
L 与 I 成右手螺旋
B 0I 2r
B dl L
0I
说明： B 的环流值与环路的 大小、形状无关。
c. 取任意环路不包围电流
A I
O L2 C
B dl B dl B dl
L
L1
L2
L1
Bdl cos Bdl cos
L1
L2
L
Brd Brd
2R
三．运动电荷的磁场。
电流激发的磁场可以视为所有运动电荷所激发的磁 场叠加,取载流导线上电流元 Idl ，其截面积为S ，
单度位为体v积,每内个作电定荷向带运电动为的q电。荷数为 n ，定向运动速
Idl
I
r
p
S
q
v
I
I dl
代入
dB 0 4
Idl r r3
0 4
nqsvdl r r3
在个运电动流电元荷中(有q， 电荷v)数在为rd处N的磁n感dV应，强则度一
电流元可作为计算电流磁场的基本单元。然后根据 叠加原理，就可以求出任意电流的磁场分布。
2．毕奥—萨伐尔定律
任意载流为Ｉ的导体，所激发的磁场。
取电流元 Id（l 方向：电流流向），
在Ｐd点B 的 磁0感Id应l 强 e度r dB为
4 r 2
dB
0 4
Idl sin
r2
I
Idl
er
p
r
或
dB
３．磁感应强度：描述磁
场性质的重要物理量
与电学类似，通过运
动电荷在磁场中所受的作用力来定量描
述磁场
在磁场中某点Ｐ处，放入一速度 v
运（（动１ ２的））正大v电小在荷与某q一q00，特和其定v受方有磁向关场（，力或且F反F 平行v）
时，电荷不受力（此方向为磁场方向）
（３）当
v
与上述磁场方向
垂直时，受力最大 Fm
用磁场叠加原理作对称性分析：
I
PI
B
B1
B2
解：1) 对称性分析：螺线管内的磁感线是一组平行于 轴线的直线；且距轴线同远的点其 B 的大小相同；外 部磁感强度趋于零 ，即 B = 0。
++++++++++++
2) 选回路 L
回路 L 方向与所包围的 B
电流 I 成右螺旋。
N
O
M
LP
B dl B dl B dl B dl B dl
(B Fm 对p点有确定值）
q0v
应反映磁场性质
定义：大小 B Fm
q0v 方向：磁场中某一点的磁感应强度
的方向为该点处小磁针稳定时，Ｎ 极的指向
单位：tesla（T），1T=10000Gauss
二、毕奥—萨伐尔定律 （计算恒定电流所激发的磁场的分布）
1. 电流元的磁场
计算磁场的基本方法与在静电场中计算带电体的电 场可将时载的流方导法线相分仿成，无为限了多求个恒小定的电流电流的磁元场Id，l 的我叠们加也。
则
1 0，2
B 0I 2r0
若1
线）
2
，
2
（半“无限长”直流导
z 2
B 0I 4r0
Idz oz
x 1
dB
p
y
例2：求圆电流中心的磁感强度
dB 0 4
Idl eR R2
Idl
y
R
0 4
Idl R2
o×
x
B dB 0 Idl 0 I dl
l
0 I
l 4 R2
4 R2 l
L3 I
L3
B • dl 20I
L4
L1 L2 I
L4
来自百度文库
五、用安培环路定理求解磁场
基本步骤： 1. 首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析； 2. 根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路， 使 B 能以标量的形式从积分号内提出； 3. 利用环路定理求磁感强度。
◆几个典型的例子 例1 无限长载流直螺线管内的磁场（n，I）
解：建立图示坐标系，取电流元
r0 Idz
dB
0 4
Idz sin
r2
方向：图示
（负ox方向）
z
2
Idz
o zr
r0
x 1
dB p y
所有电流元在Ｐ点的 dB 方
向相同，则
B
dB
0 4
Idz sin
r2
因（z为Ird0czt与gr，夹角）
z
2
dz r0 csc2 d
Idz
o zr
L1
L2
0I ( d d)
2 L1
L2
0I [ ] 0 2
说明：当闭合路径 L 不包围电流时，该电流对沿这一 闭合路径的 B 环流无贡献。
一般的，对于任意闭合的恒定电流：
B dl L
0I
根据磁场叠加原理，当有若干个闭合恒定电流存在 时，沿任一闭合路径 L 的合磁场 B 的环路积分为：
三、五、六(合力矩不求)
d
R1 R2 R r R
B
0
N
2 R
I
0nI
R
注意：密绕细螺线管内部磁场与长直载流螺线管内部 的磁场相同。
例3 无限长均匀载流圆柱体的磁场
解：1) 对称性分析 2) 选取回路
rR
B dl L
0I
2 rB 0I
××××
××××× ××××××
L
×××××××
××××××
×××××
××××
B dl 0I dl
L
2 r L
说明：B 沿此圆形环路的 环流只与闭合环路所包围 的电流 I 有关，而与环路 的大小无关。
Ldl 2r
B dl L
0I
b. 取任意环路包围电流
B dl Bdl cos
d B
dl
I
O
r
L
dl cos rd
B dl 0I rd 0I d
2 r
以无限长载流直导线产生的磁场为例，证明安培环 路定理的正确性。
a. 取对称环 路包围电流
b. 取任意环 路包围电流
c. 取任意环路 不包围电流
I
I
L
L
I L
注：回路均在垂直于导线的平面内
2. 安培环路定理的验证
a. 取对称环路包围电流
B 0I
I
2r
方向与圆周相切
B r
dl
取环路的绕行方向为逆时针方向 B dl Bdlcos0 0I dl 2 r
I 2dl2
I2
所安以 培作 力d用F在2 电B流1I元2dlI22dl2的
I1I 2 2r
dl2
则载流
I
导线上单
2
位长度所作用的磁力
dF2 0 I1I 2
dl2
2r
方向 图示
I1dl1
B2
B1
dF1 dF2
I1
r
I 2 dl2
I2
同样可得载流 所作用的磁力 dF1
dl1
I1，20导I1rI线2 上方图单向示位长度
0 4
Idl r
r3
式中0 4 107 N • A，2 真
空中磁导率
是 Idl与矢量
r的夹角
因此，由磁场叠加原理可得到载流
导线在Ｐ点B的磁 d感B应强40度
Idl
r2
er
3．定律应用举例
例题一：载流长直导线的
磁场。一通有电流Ｉ的长
直导线，求导线外任一点Ｐ的磁感应强
度 B ，已知Ｐ与导线垂直距离为
１．安培定律
a讨I论取载一流电Ｉ流的元B导II线ddl，l在I磁Fb场所d以F载dF流（B导安I中线d培受Il受d定力l力律B）B
ab
ab
2例题安１培：定均律匀应磁用场举B例中，
半圆形导线通有电流Ｉ，
其半径为Ｒ，磁场与导线平面垂直，求
半圆形导线的磁场力
解：取图示 oxy坐标系，在半圆中取一
电流元
Idl，dF
即通过磁场中任一闭合曲面的磁 通量恒等于零（磁场是无源场）
四．安培环路定理
１．安培环路定理：磁感
应强度沿任一闭合路径的
线积分，等于该闭合路径
I1
包围的所有电流的代数和
乘以0，即
I2
n
L
B • dl 0 Ii i 1
I3
I4
通常取电流流向与积分回路呈右螺
旋关系，电流取正值。反之，取负值
2. 安培环路定理的验证
的磁力，等效于弯曲导线起 点到终点的直导线在磁场中 所受的力。
y dF
Idl
d
o x
例题4：计算两平行长直导
线间相互作用力，设两导
线相距为ｒ，分别载流 I1
和 力
I
，如图，求导线单位长度所受的磁
2
解：电流 处的磁场
I1在导线
I
2
B1
0 I1 2r
I1dl1
方向图示
B2
dF1
B1 dF2
I1
r
F qv B
洛伦兹力
洛伦兹力的大小为： F q vBsin
洛伦兹力的方向为：服从右手螺旋法则 洛伦兹力始终与运动方向垂直，故洛伦兹力对运动 电荷永不做功！
作业
思考题：《大学物理》6-2,6-3,6-5 练习题：《大学物理》6-1，6-2,6-3,6-4，
6-5 作业： 《大学物理学习指导》第148页，
将 dF分解为
IdlB
方向图示
y
Idl
dF
dFx dF cos dFy dF sin
d
o x
由于半圆对称于y轴，
Fx dFx 0
而
Fy F dF sin IBdl sin 0 BI sin Rd 2BIR IB(2R)
推断：一个任意弯曲的平面 dF
载流 导线在均匀磁场中 （ B垂直于该平面）所受到
L
MN
NO
OP
PM
B MN 0nMNI
B 0nI
结论：无限长载流螺线管内部磁场处处相等（均匀 场），外部磁场为零。
例2 求载流螺绕环的磁场分布
I
(N,I,R1,R2,d)
解：1) 对称性分析；B 线为与 螺绕环共轴的圆周。
2) 选回路 L。
L
L B dl B L dl B2 r 0 Iint 0NI
B
dB dN
0 4
qv r r3
或写成
S
q
v
I
B
B
B 0 qv er 4 r 2
r
pI
dl
r
v
p v
方向：右螺旋法则 q
q
第二节 磁场的高斯定理与安培环 路定理
一．磁场线：形象描述磁 场的假想曲线
规
磁场线上每一点切线方向与该点 磁感应强度方向一致
定 通积过 上某 磁点 场的线垂数直等磁于场该方点向B上的单大位小面
B 0I 2 r
0rR
B dl L
0
r2 R2
I
2 rB
0r 2
R2
I
B
0 Ir 2 R2
I
RR
r B
I . dB
dI B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
r R,
B
0 Ir 2 R2
B 0I 2 r
I
R
0I B
2 R
oR r
第三节 磁场对电流和运动电荷的作用
一、安培力（载流导线在磁场中所受的宏观力）
L R1 d L
r
B 0 NI 2 r
(R1 r R2 ) R2
B 0 (r R1, r R2 )
注意
B 0 NI 2 r
(R1 r R2 )
(1) 对均匀密绕螺绕环，磁场几乎全部集中于管内，在 环的外部空间，磁感应强度处处为零。
(2) 当 2R d 时，螺绕环内
可视为均匀场。
讨论：
（1）不难判断，当两电流
dF1 0I1I2 dl1 2 r
同方向时，磁力互相吸引，
当两电流反方向时，磁力互相排斥。
（2）电流单位安培的定义：在真空中，
相距１m的两条平行长直导线通以相同
的电流，如果每米长度导线上所受的磁
场力为
2.0107 N， m那1么导线中的电
流为１安培。
二 带电粒子在磁场中的运动 1. 洛伦兹力 实验和理论证明，在磁感强度为 B 的磁场中，电荷 为 q、运动速度为 v 的带电粒子，所受的磁场力为：
L B dl 0 I
安培环路定理
两点说明（1）稳恒磁场是非保守场
（2）若电流回路为螺旋形，而电流N次穿过积分环路 则
B dl L
0NI
L N
讨论题
1 通以电流 I 的线圈如图所
示，在图中有四条闭合曲
线，则其环流分别为
B • dl 0I
L1
B • dl 20I
L2
B • dl 20I
I
S
I
S
N
N
特点：闭合曲线，互不相交
二．磁通量：通过磁场中 某给定面积的磁场线总数
d B • ds
B • ds Bds cos
s
s
式中 是面 积元的
法线单位矢量en与 B 的
s
夹角
en
B
ds
三．磁场的高斯定理—描 述磁场性质的的基本定理
由于磁场线是无头无尾的闭合曲
线，所以
B • ds 0
第六章 稳恒磁场
基本内容：讨论恒定电流激发的 磁场的规律和性质
第一节 磁感应强度
一、 磁场
１．安培关于物质磁场本 质的假设
一切磁场现象起源于电荷的运动：任何 物质中的分子，都存在有回路电流——分子 电流，分子电流相当于一个基本磁场
２．磁场
运动电荷（电流）激发磁场，其周围存 在着磁场，磁场对运动电荷、载流导体和永 久磁铁等有磁场力的作用
r
r0
sin
r0 csc
r0
x 1
dB p y
所以
B 0
4
Ir0 csc2 d sin r02 csc2
0I 2 sin d
4 r0 1
Idz
z 2
dB
0 I 4 r0
(cos1
cos2 )
oz x 1
p
y
1， 2 分别是直电流
始点与终点处电流流向与
r
的夹角
讨论（1）若直导线视为“无限长”，