函数的定义和表示

函数定义域与值域

1.函数的概念

本节我们将学习一种特殊的对应—映射。

看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集

求平方

B B

说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：

映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f : 映射与函数的区别：

3.函数的三种表示法

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系

（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系

4.求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等

5 区间的表示：

],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x

6 如果A ，B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （C ⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f(x). 明确函数的三要素：定义域、值域、解析式

二 典型例题

例1．若函数y ＝f(x)的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是 ( )

变式：设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示：

其中能表示为M 到N 的函数关系的为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 例2．给出下列两个集合,A B A B →及的对应f ：

①{}{}1,0,1,1,0,1:A B f A

=-=-,中的数的平方; ②{}{}0,1,1,0,1:A B f A

==-,中的数的开方; ③Z,:A B Q f A ==,中的数的倒数;

④{}

,:A R B f A

==正实数,中的数取绝对值; ⑤{}{}1

234,246810:2,,A B f n m n A m B ===∈∈，，，，，，，,其中; 其中是A 到B 的函数有 个．

例3、下列各组函数表示同一函数的是( )

①f(x)=|x|，g(x)=⎩

⎨⎧<-≥)0()0(x x x x ②f(x)=24

2--x x ，g(x)=x+2

③f(x)=2

x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x g(x)=0 x ∈{－1，1}

A.①③

B.①

C.②④

D.①④

例4、求下列函数的定义域： ⑴221533x x y x --=

+- ⑵2

11()1

x y x -=-+ ⑶021(21)4111

y x x x =

+--+-

例5．若函数)12(-x f 的定义域为[]3,3-，则()f x 的定义域为 ____________．

变式1、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x

+的定义域为 。

2．知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

例5．已知函数2,0(),00,0x x f x x x π⎧>⎪

==⎨⎪<⎩

，则((3))f f -=（ ）

A ．0

B ．π

C ．2π

D ．9

例6．设函数()22,2

2,2

x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()38f a =，则a = ．

例7求函数的解析式

1．若2

)12(x x f =-，求)(x f

2．若12)1(2+=+x x f ，求)(x f

3．若一次函数)(x f 满足x x f f 21)]([+=，求)(x f

变式：根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 (1)2

21)1(x

x x x f +

=+ x x f x f 3)1(2)()2(=+ （3）13)2(2

++=-x x x f

例8求下列函数的值域。

()()[)3,1,121∈-=x x x f

()()[)4,1,3422∈+-=x x x x f

()()[)5,3,2

2

3∈-=

x x x f

()()124+-

=x x x f

例9、若函数()f x = 3

44

2++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）

A 、(－∞,+∞)

B 、(0,43]

C 、(43,+∞)

D 、[0, 4

3

)

例10 、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤