27、勾股定理与旋转

F
E D C
B A 勾股定理与旋转
1、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
2、（09崇文一模）在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒
=∠60MDN ,︒
=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
图1 图2 图3
（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时
=L
Q
； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还
成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用
x 、L 表示）
．
图2
图1
A'
B
阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '
上时,此题可解（如图2）．
请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）
图3
小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且
3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.
小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中.
（1）请你回答：︒=
∠AOB . （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB =60°，∠DCB =30°，AC =5，CD =4.求四边形ABCD 的面积. 解：
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 图⑶
O
C
B
A
问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且P A ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．
小娜同学的想法是：不妨设P A=1， PB=2，PC=3，设法把P A 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决．
请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：
如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．
（1）在图3中画出并指明以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画
图痕迹）；
（2）求出以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等
于 ．
E
D
D
P
P
P
C
C
C
B
B
B
A
A
A
图1 图2 图3
【练习巩固】
1、（2012一模西城） 阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC 的度数． 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP′A （如图2），然后连结PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且PA =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．
2、（2012一模东城） 在ABC △中，AB 、BC 、AC 求这个三角形的面积．
小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展： （2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．
．若ABC △、（0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）
画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：
（3）若ABC △（0a >），且ABC △的面积为2
2a ，
试运用构图法．．．
在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．
3、（2012一模朝阳）阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，
DC =2．求BD 的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决．
（1）请你回答：图中BD 的长为 ；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，
若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．
图① 图②
4、（2012东城一模）已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），
分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ,连结QE 并延长交BP 于点F .
（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写
出结果）；
（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能
添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关
系式．。