随机变量的数学期望
第四章 随机变量的数学期望
1 dxdy y xe 2 x
x
x2 y2 2
dxdy
dy
e
x2 2
dx
ye
y2 2
1 dy 2
e
y2 2
y
xe
x2 2
dx
1
4.1.4
数学期望的性质
（1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E(
2 2
2 2
2
0
(x ) e
( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
2 x 2 e 0 2 2 2
2 2
(x ) d 2 2
2
3 2 1 ( ) 2 2 2
4.2.3
EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有
EZ
g ( x , y ) f ( x , y ) dx dy
例1：设 X～B（n，p），求EX(X－1)。 解：因X～B（n，p），则X的分布律为
1 x2 y2 f ( x, y ) exp{ } 2 2 1 x2 y2 E[max{ X , Y }] max{ X , Y }exp{ 2 }dxdy 2
1 2
1 2
x y
解：由题设，(X，Y)的联合密度为
ye
数学期望的计算公式
数学期望的计算公式数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。
数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。
本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。
一、离散型随机变量的数学期望计算公式对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)]其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。
我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。
设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。
二、连续型随机变量的数学期望计算公式对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。
我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。
设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。
因此，X的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。
综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。
随机变量的数学期望
P{ X = xiY = y j } = pij ,i , j = 1,2,
则 E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( x i , y j ) pij .
j i
型随机变量, (2) 若(X,Y)是连续型随机变量,联合概率密度为 , ) 连续型随机变量 f(x,y),则 ( , )
1 k 1 1 k k E 因此, 因此, ( X ) = q + (1 + ) (1 q ) = 1 q + , k k k
N个人需化验的次数的数学期望为 个人需化验的次数的数学期望为 例如, 例如,
0.9910 0.1 = 0.804 , 1 k 就能减少验血次数. 当 q > 时, 就能减少验血次数.
E( X) = ∫ xf ( x)dx
∞
+∞
13
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望. 求X的数学期望. 的数学期望
解
E( X ) = ∫
+∞ ∞
1 0
xf ( x ) dx
2
=∫
3 x 3 x dx = . 4
+∞
+∞
=∫
+∞ 0
x e dx = 2 .
2
18
x
设随机变量( , ) 例8 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 y f ( x, y) = 2 x y x 0, else 1 ). 求 E(Y ), E( XY
解 E(Y ) =
4.3 随机变量函数的数学期望
4
04
0
3
E(Y ) yf ( x, y)dxdy
2
1
1
xdx
y(1
3 y2 )dy
5
04
0
8
E( X Y ) ( x y) f ( x, y)dxdy
数学期望的性质
xf ( x, y)dxdy yf ( x, y)dxdy
例4.设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为
f
(
x,
y)
1 4
x(1
3
y2
),
0,
求E(X), E(Y), E(X+Y), E(XY).
0 x 2, 0 y 1, 其它
解：E( X )
xf ( x,
y)dxdy
2
x1
1
xdx (1 3 y2 )dy
若 g( x) f ( x)dx 绝对收敛，则有E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
g( xk ) pk ,
X 离散型
E(Y
)
E[ g( X
)]
k1
g(
x
)
f
(
x
)dx
,
X
连续型
该公式的重要性在于：当求E[g(X)]时，不必知道g(X)的分布，而只 需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.来自ap)k (1
期望方差协方差
随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),(-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。
随机变量函数的数学期望
(二) 方差的性质
1、常数的方差等于0
证明： D(c) E(c Ec)2 E(c c)2 0
2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明：
D( c) E[ c E( c)]2 E[ c E c]2 E( E )2 D
§4.1 数学期望与方差
一.数学期望
随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.
(一)离散型随机变量的数学期望
定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)
若级数 xk pk 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 k 1
ba 2
2
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
2.随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)
(若1)若 Xg是(x离k ) 散pk绝型对 随机收变敛量,则,它E的(Y分) 布E律[g为( XP{)X] =xk}=gp(kx. k
K=1,2,..
k x) 2
f
(x)dx
1
a (x3 kx)2 dx
2a a
a2 (15a4 42ka2 35k) E(C)=C.
(2) E( +C)=E +C
证明：对离散型随机变量
E( C) (xi C) p(xi ) xi p(xi ) Cp(xi ) E C
E1 0.2 (80 85 90 95 100) 90 E2 0.2 (85 87.5 90 92.5 95) 90 D1 (80 90)2 0.2 (85 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量是概率论和统计学中的重要概念，用来表示随机试验的结果。
在研究随机变量时，我们常常关注它们的数学特征，其中最常用的指标是数学期望和方差。
一、数学期望数学期望是描述随机变量平均取值的一个指标，记作E(X)。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的平均取值。
例如，假设我们抛一枚公平的硬币，正面为1，反面为0。
随机变量 X 表示硬币正面朝上的次数，那么 X 的所有可能取值及其概率为：X = 0，P(X = 0) = 1/2X = 1，P(X = 1) = 1/2根据数学期望的计算公式，我们可以计算得到该随机变量的数学期望为：E(X) = 0 * 1/2 + 1 * 1/2 = 1/2这意味着，在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的平均次数大约为 1/2。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式稍有不同，可以使用积分的方法计算。
二、方差方差是描述随机变量取值分散程度的一个指标，记作Var(X)或σ²。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))² * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，E(X)表示随机变量的数学期望，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的方差。
方差的计算公式可以拆解为方差等于随机变量与数学期望的偏差的平方乘以概率的和。
这意味着方差可以用来衡量随机变量的取值与其期望值之间的差异程度。
例如，我们继续以抛硬币的例子来说明方差的计算过程。
在之前的例子中，我们已经计算出随机变量 X 的数学期望为 1/2。
现在，我们可以使用方差的公式来计算方差：Var(X) = (0 - 1/2)² * 1/2 + (1 - 1/2)² * 1/2 = 1/4这意味着在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的次数与其期望值的差异程度可以用方差 1/4 来描述。
随机变量的数学期望
思考 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、数学期望的概念 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数
xk pk k 1
绝对收敛，则称级数
xk pk k 1
例8 设风速V在(0, a )上服从均匀分布,即具有概率
密度
1 0va f (v ) a 0 其它
2
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 : W kV ( k 0, 常数), 求W的数学期望.
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分 望不存在。
x f ( x)dx 发散，则称X的数学期
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。
对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。
数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。
3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。
二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。
解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。
则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。
解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。
解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。
解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量在概率论中具有重要地位，它描述了随机事件的变化规律，数学期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
一、数学期望数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)，其中X为随机变量。
数学期望可以理解为长期重复试验中，随机变量取值的平均结果。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X=x))其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值发生的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值分散程度的度量，记作Var(X)或σ^2，其中X为随机变量。
方差描述的是随机变量取值与其数学期望之间的偏离情况。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))^2 * P(X=x))其中x为随机变量的取值，E(X)为该随机变量的数学期望。
对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
三、应用举例为了更好理解数学期望与方差的作用和计算方法，下面以骰子为例进行说明。
假设我们有一个六面骰子，其取值范围为1到6，每个面出现的概率相等。
我们可以定义骰子的随机变量X表示投掷后骰子的结果。
1. 计算数学期望：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5所以，这个六面骰子的数学期望为3.5，即在长期重复的投掷中，平均每次的点数是3.5。
2. 计算方差：Var(X) = ((1-3.5)^2 * 1/6) + ((2-3.5)^2 * 1/6) + ((3-3.5)^2 * 1/6) + ((4-3.5)^2 * 1/6) + ((5-3.5)^2 * 1/6) + ((6-3.5)^2 * 1/6) ≈ 2.92所以，这个六面骰子的方差为2.92，即在长期重复的投掷中，每次投掷结果与平均值3.5偏离的程度。
随机变量的期望与方差知识点
随机变量的期望与方差知识点统计学中的随机变量是指在一次试验中可以取得不同数值的变量。
对于随机变量，我们常常关注它的期望与方差，这些是描述随机变量性质的重要指标。
本文将介绍随机变量的期望与方差的概念、计算方法以及它们的实际含义。
一、随机变量的期望随机变量的期望是一个数学期望值，用来衡量随机变量的平均取值水平。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中Σ 表示求和，x 表示随机变量X可以取到的值，P(X=x) 表示随机变量X取到值x的概率。
对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∫ [x * f(x)]dx其中∫ 表示积分，x 表示随机变量X可以取到的值，f(x) 表示X的密度函数。
期望的计算方法可以帮助我们了解随机变量的平均取值水平。
例如，在某个游戏中，随机变量X表示一次投掷骰子的结果。
假设骰子是均匀的，那么它的每个面出现的概率都是1/6。
我们可以通过计算期望来了解投掷骰子的平均结果是多少。
二、随机变量的方差随机变量的方差是衡量随机变量取值的离散程度，它描述了随机变量偏离期望的程度。
方差的定义如下：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中 E(X) 表示随机变量X的期望。
方差的计算方法可以帮助我们了解随机变量取值的离散程度。
对于同样表示投掷骰子结果的随机变量X，假设我们想知道投掷10次骰子的结果的离散程度。
我们可以通过计算方差来了解。
三、随机变量期望与方差的实际含义随机变量的期望和方差都是对随机变量的性质进行描述的重要指标。
它们不仅有着严格的数学定义，也有着实际的含义。
期望是描述随机变量的平均取值水平，它可以用来预测随机变量的未来表现。
例如，在股票市场中，可以用过去的股价数据计算股票未来收益的期望，帮助投资者做出投资决策。
方差是描述随机变量取值离散程度的指标，它可以用来评估随机变量的风险。
例如，在金融领域中，可以利用方差来衡量投资组合的风险。
随机变量的数学期望资料
那么，他立即扩展所期望的利润为
328 2 (80) 3 83.2 (万元)
5
5
9
如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是 3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为
328 2 (80) 3 83.2 (万元)
5
5
而推迟扩展所期望的利润为
160 2 16 3 73.6 (万元)
5
5
按此计算结果，则立即扩展较为有利。
解 记 q 1 p , 则 k 个人的混合血样呈阳性的概率为
1 qk ,
用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为
11
用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为
1
Xk
1 1 k
P qk 1 qk
因此，E( X ) 1 qk (1 1 ) (1 qk ) 1 q k 1 ,
E( X ) xk pk k 1
6
例2 面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金 1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500 张。若某人购买1张彩票，则他获奖金额X的数学 期望E(X)为多少？
解X P
1000
20
5
0
0.0002 0.005 0.05 0.9448
则 E( X ) 1000 0.0002 20 0.005 5 0.05 0.55 .
8
市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3, 如果立即 扩展，则利润的期望值是
328 1 (80) 2 56 (万元)
3
3
如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为
160 1 16 2 64 (万元)
3
3
按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利。
随机变量的数学期望4-1
d (e 2 2 )
8
f
X
(
x)
x3
, x2
,
0 , 其它
则 E (XY ) ＝ ( C ).
2y , 0y1
fY(y)
0 , 其它
A. 4 / 3 B. 5 / 3
C. 8 / 3
D. 7 / 3
E(X)
2
8 x2
dx
4
,
E(Y) 1 2y2dy 2
0
3
EXYEXEY8
3
返回
退出
*例4-6 天若无雨, 水果商每天可赚100元; 天若有雨, 水果商 每天损失10元. 一年365天, 贩卖水果地的下雨日约130日. 问 水果商在该地卖水果, 每天可期望赚多少钱 ?
10
X Yi i1
，从而就有
10
E(X) E(Yi ) . i1
因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为1/10，
不下车的概率为9/10，从而
P{Yi
0}( 9 )20 10
,
P{Yi
1}1( 9)20 10
,
10
E(X) E(Yi)=10E(Yi)
i1
1 0 {0(9)2 0+ 1[1(9)2 0]}8 .7 8 4 .
返回
退出
( 设 C 是常数 )
1) E(C) C
E (X C )E (X )C
2) E(CX)CE(X )
xf (x, y)dxdy
yf (x, y)dxdy
E(X)E(Y) .
3) E (X Y ) E (X ) E (Y ) 又当 X，Y 相互独立时 E (X Y ) xyf(x,y)dxdy
随机变量的数学期望
k qk1 p
qk
k 1
k 1
k1
p
1
1
q2
p
1 p2
1. p
这是因为 kxk1 ( x k )
k 1
k 1
x
1
1
1
x
1
.
常见离散型分布的数学期望小结
分布
分布律
01 分布
X~B(1, p)
二项分布
X~B(n, p)
泊松分布
X ~ Pλ
P{ X k} pk (1 p)1k k0,1
对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以由类似于定理3.1得到.
1. 二维离散型情形 设X,Y为二维离散型随机变量, Z f X, Y为 二元函数, 如果EZ存在,
EZ E f X ,Y f ( xi , y j )pij
i1 j1
其中X, Y的联合概率分布为pij .
2. 二维连续型情形 设X,Y为二维连续型随机变量, Z f X, Y为 二元连续函数, 如果EZ存在, 则
(300x 200a)dx
20 10
20 a
EH X
1
(600
x2
a 100ax)
20
2
10
1
(300
x2
30 200ax)
20
2
a
7.5a2 350a 5250.
因此 7.5a2 350a 5250 9280,
解得 20 2 a 26, 即最少进货量为21单. 3
(二) 二维随机变量函数的数学期望
单调连续, x f 1y为其反函数, 并且可导,
同时 y , 则
f
xpX
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
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nk k 3.37. n k 0
设射手命中的环数为随机变量 Y .
5
nk 平均射中环数 k n k 0 随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ?
nk k n k 0
5
5
频率随机波动
n 逐渐增大
k pk
k 0
5
随机波动 “平均射中环数”等于
稳定值
射中环数的可能值与其概率之积的累加
1 qk
pk
X 的数学期望为
1 k 1 1 k k E ( X ) q 1 (1 q ) 1 q . k k k 1 k N 个人平均需化验的次数为 N 1 q . k
因此, 只要选择 k 使
1 1 q 1, k
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
3 1 200 0 150(元). 4 4
X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2
射击问题
设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射 击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记 录如下
命中环数 k
的期望值与算术平均值相等.
例1 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率
8
9
10
0.3 0.1 0.6
8 9 10
乙射手
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
X
pk
10 1 6
30 3 6
50 2 6
候车时间的数学期望为
1 3 2 E ( X ) 10 30 50 6 6 6
33.33(分 ).
(ii) X 的分布律为
X
pk
10 3 6
30 2 6
50 1 1 6 6
70 1 3 6 6
90 1 2 6 6
候车时间的数学期望为
k
则 N 个人平均需化验的次数 N . 当 p 固定时, 选取 k 使得
1 L 1 q k
k
小于1且取到最小值 ,
此时可得到最好的分组 方法.
例6
按规定, 某车站每天 8 : 00 ~ 9 : 00, 9 : 00 ~
10 : 00 都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机 的, 且两者到站的时间相互独立 . 其规律为
绝对收敛 , 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机变量
X 的数学期望, 记为 E ( X ) . 即 E( X ) x f ( x)d x .
例7
顾客平均等待多长时间?
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分 计)服从指数分布,其概率密度为
1 x 5 e , f ( x) 5 0, x 0, x 0.
Y
1500
0.0952
2000
2500
3000
0.7408
pk
得
0.0861
0.0779
E (Y ) 2732.15,
即平均一台家用电器收费 2732.15 元 .
例5
分组验血
在一个人数很多的团体中普查某种疾病, 为此 要抽验 N 个人的血 , 可以用两种方法进行.
(i) 将每个人的血分别去化验 , 这就需化验 N 次.
命中次数 nk
nk 频率 n
0
2
1
13
2
15
3 10
10 90
4 20
20 90
5
30
30 90
2 90
13 90
15 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
解
射中靶的总环数 平均射中环数 射击次数
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90
解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1 2 E ( X ) 10000 5 5000 5 0 p0 10 10
2 X 3 , 一台付款 2500 元 ; X 3 , 一台付款3000元 .
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 e , x 0, f ( x ) 10 0, x 0. 试求该商店一台家用电器收费 Y 的数学期望.
解
1 x 10 1 e0.1 0.0952, P{ X 1} e dx 0 10 2 1 P{1 X 2} e x 10 d x 1 10
(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平 均值不同.
假设
X
p
1
2
0.02
0.98
1 2 1.5 , 随机变量 X 的算术平均值为 2
E ( X ) 1 0.02 2 0.98 1.98.
O
1
2
x
它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.
当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时, X
1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
因此, A 能“期望”得到的数目应 为 3 1 200 0 150(元), 4 4 而B 能“期望”得到的数目, 则为
1 3 200 0 50(元). 4 4
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为:
设 X 为投资利润，则
X p
E ( X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元),
8 0.3
2 0.7
存入银行的利息: 10 5% 0.5 (万元) , 故应选择投资.
例4
商店的销售策略 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付
款的方式, 记使用寿命为 X ( 以年计 ) , 规定 : X 1 , 一台付款 1500 元 ; 1 X 2, 一台付款 2000 元 ;
故甲射手的技术比较好.
例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元.设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千 元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖 金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票 的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利 润.
0.5(元),
每张彩票平均可赚
2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
100000 1.2 120000(元).
例3 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成 功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会 为70，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利 率为5% ，问是否作此项投资? 解
E( X ) 3 2 1 1 1 3 1 2 10 30 50 70 90 6 6 6 6 6 6 6 6
27.22(分 ).
三.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 若 积分
x f ( x ) d x
k 1
分赌本问题
A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
3 1 E ( X ) 200 0 150(元). 4 4 射击问题
“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望
E (Y ) 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 5 p5 .
随机变量的数学期望
一、引例与背景 二、离散型随机变量的数学期望 三、连续型随机Leabharlann 量的数学期望四、数学期望的性质
五、随机变量函数的数学期望
一、引例1 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出赌金100元,并约 定先胜三局者为胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌 博, 如果要分赌金,该如何分配才算公平?
1
e0.1 e0.2 0.0861,
1 x 10 P{2 X 3} e dx 2 10
3
e0.2 e0.3 0.0779,
P { X 3}
3
1 x 10 e dx 10
e0.3 0.7408.
因而一台收费Y 的分布律为
到站时刻 概率
8 : 10 9 : 10 1 6
8 : 30 9 : 30 3 6
8 : 50 9 : 50 2 6
(i) 一旅客 8 : 00 到车站, 求他候车时间的数学期望 . (ii) 一旅客 8 : 20 到车站, 求他候车时间的数学期望 .
解 设旅客的候车时间为X (以分计).
(i) X的分布律为
二. 离散型随机变量的数学期望
定义设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X xk } pk , k 1 , 2 ,. 若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk 为随机