二次函数与方程的关系

淇滨区第一中学教案

九年级班执课教师：执课时间：年月日课题二次函数与方程的关系课时安排第课时

教学课型新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□

教学目标1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。

2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标

教学重点

利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值教学难点

抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根．

课前准备二次函数的解析式中的一般式是: y = a x²+ bx +c (a≠0)

顶点式：y = a(x-h) 2+ k

交点式：y = a(x-x1)(x-x2)

教学环

节

内容设计意图

教学构架

一、知识梳理二、错题再现三、知识新授四、小结与

预习

一、一元二次函数与一元二次方程的关系

1、从形式上看：

二次函数：y=ax²＋bx＋c (a≠0)

一元二次方程：ax²＋bx＋c=0 (a≠0)

2、从内容上看：

二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；

一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值

3、相互关系：

二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的

根。

如：y=x²－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二

次方程x²－4x＋3=0的根是x=1或x=3

（1）二次函数y=a x²+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:

a、有两个交点,

b、有一个交点,

c、没有交点.

(2)当二次函数y=a x²+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横

坐标就是当y=0时自变量x的值, 即

一元二次方程a x²+bx+c=0的根.

教学环节教学内容设计意图

(3)完成下列表格，观察二次函数y=a x²+bx+c的图象和x

轴交点的坐标与一元二次方程a x²+bx+c=0的根及一元二

次方程的根的判别式有什么关系?

二次函数

y=a x²+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程

a x²+bx+c=0的根

一元二次方程

a x²+bx+c=0根的

判别式Δ=b2-4ac

有两个交点有两个相异的实

数根

b2-4ac > 0

有一个交点有两个相等的实

数根

b2-4ac = 0

没有交点没有实数根b2-4ac ＜0

（4）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线

与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

二、一次函数的图像与二次函数

的图像的交点，由方程组

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点；

②方程组只有一组解时与只有一个交点；

③方程组无解时与没有交点．

例2. 已知函数的图象与x轴只有一个交点，且交点在y轴左侧，抛物线开口向下，求此交点的横坐标．

解：∵抛物线与x轴只有一个交点，例1、下列抛物线中，与x轴有两个焦点

的是（）

A.y=5 x²-7x+5

B .y=16 x²-24x+9

C. y=2 x²+3x-4

D.y=3 x²-26x+2

变式1.抛物线

2

283

y x x

=--与x轴有____个交点，因为其判别式

____0，相应二次方程2

3280

x x

-+=

的根的情况为____

．

变式2.函数

22

y mx x m =+-

（m是常数）的图像与x轴的交点个数为______

教学环节教学内容设计意图

∴关于x的方程有两个相等的实数根∴△＝

解得，．

∵抛物线开口向下，∴即，∴．

将代入得：

将代入得：

解得

即交点的横坐标是．

点拨：本题主要是由抛物线图象与x轴交点的个数来判断的正负性．

例3. 已知二次函数

（1）求证：无论k为何值，图象与x轴总有交点；

（2）当k为何值时，图象经过原点？

（3）在（2）图象中，当x取何值时，？当取何值时，？

解：∵△＝

无论取何值，即△

∴无论k取何值时，抛物线与x轴总有交点．

（2）∵图象经过原点，∴k＝0．

（3）当k＝0时，二次函数解析式为

若，即>0，则或．

若，即，则

∴当时，．

点拨：1）抛物线与x轴交点的个数由△的正负决定；

2）图象经过原点，则．

3）注意结合图象来判断不等式的解集．

例4. 已知二次函数

（1）若的

图象如图所示，且OA+OB＝6，

求此函数解析式．

（2）如图，C、D在抛物线

对称轴上，求．变式1：二次函数

y＝－2 x²+x－½，当x＝______时，y有最______值，为______．它的图象与x轴______交点（填“有”或“没有”）．

2.抛物线

y＝k x²－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）

变式3：如果抛物线

y＝－2 x²+mx－3的顶点在x轴正

半轴上，则m＝______．

（2

6）

5. 不论自变量x取什么实数，二次函数y＝2 x²－6x+m的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程

2 x²－6x+m＝0的解的情况是______（填“有解”或“无解”）．6. 某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______（只写一个），此类函数都有______值（填“最大”“最小”）．9. 关于二次函数

y＝a x²+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题