必修一错解剖析

第一章集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为A B或B A；如果A B，并且A B，这时集合A称为集合B的真子集，记为A B或B⊂A.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足A B、B A，则A=B.5.补集：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A B.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，⊃，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x ∈R },N={y|y =x ＋1,x ∈R }，则M ∩N=（ ） A ．（0，1），（1，2） B ．{（0，1），（1，2）} C ．{y|y=1,或y=2} D ．{y|y ≥1} 错解：求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==20y x或⎩⎨⎧==21y x∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x ∈R )，y =x ＋1(x ∈R )的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x ∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R }={y|y ∈R }． ∴M ∩N={y |y ≥1}∩{y|(y ∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2． 当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A ∪B=A. 当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 正解：∵A ∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或 ∴C={0，1，2}[例3]已知m A,n B, 且集合A=，B=，又C=，则有： （ ）A ．m +n A B. m +nB C.m +nC D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个 错解：∵m A ，∴m =2a ,a ,同理n =2a +1,a Z, ∴m +n =4a +1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵m A, ∴设m=2a 1,a1Z,又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+n B, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使B A，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由B A得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5]已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6]设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1 A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A －1∈A ∈A 2∈A∴ A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ?∈A ?∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7]设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：A B．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N+),∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*∴ a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得A B．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0， x∈ Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16 B．14 C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－ } C．{±2，± } D．{，－} 3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．Q C．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则M N＝（）A． B．C． D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.第二章函数概念与基本初等函数§2.1 映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B 的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都有原象，这样的对应叫做B的一个函数，记作.从集合A到集合对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的.或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识的理解知道y=与的含义是一样的，它们都表示是（1）对函数符号的函数，其中(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法.3.对反函数概念的认识（1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图象关于y=x对称.三、经典例题导讲[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足(a)>(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有，共6个映射(2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个,[例2]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，∴的定义域是[1，2]错因：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.正解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足，∴的定义域是[－1，0][例3]已知：，求.错解：∵，∴故，∴＝3－3＝0.错因：没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：∵，∴＝＝＝7-5＝2[例4]已知的反函数是，如果与的图象有交点，那么交点必在直线上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图象关于直线对称这一性质理解不深，比如函数的图象的交点中，点不在直线上，由此可以说明“两互为反函数图象的交点必在直线上”是不正确的.[例5]求函数，的值域.错解：又，的值域是错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y的取值范围了.正解：配方，得∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2，的值域是[例6]已知，求函数的解析式.错解：由已知得即，∴错因：将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求，再去得到.正解：因为的反函数为＝，所以＝＝[例7]根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函数，若，求.（2）已知，求（3）若满足求解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设＝由于得，又由，∴即因此：＝(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设∴＝（）（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解用代可得：与联列可消去得：＝.点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.[例8]已知，试求的最大值.分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.解由得又当时，有最大值，最大值为点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由得当时，取最大值，最大值为这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图象着手，这样才能正确地解题..[例9]设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.解法一：由，设，得，所以＝解法二：令，得即又将用代换到上式中得＝点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.四、典型习题导练1. 已知函数f(x)，x ∈F ，那么集合{(x ，y)|y=f(x)，x ∈F}∩{(x ，y)|x=1｝中所含元素的个数是（ ）A.0B.1C.0或1D.1或2 2.对函数作代换x =g(t)，则总不改变f (x )值域的代换是( ) A.B.C.g(t)=(t －1)2D.g(t)=cost3.方程f (x ,y)=0的曲线如图所示，那么方程f (2－x ,y)=0的曲线是 ( )4.（06年高考全国II ）函数f (x )＝的最小值为A ．190 B.171 C.90 D.45 5. 若函数f (x )=(x ≠)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A.3 B. C.－D.－36.已知函数满足：，，则. 7.已知函数f (x )满足f (log a x )= (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式.8.已知函数是函数（R）的反函数，函数的图象与函数的图象关于直线y ＝x －1成轴对称图形，记＝+.（1）求函数F （x ）的解析式及定义域；（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.§2.2函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图象：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图象.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3. 用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数的单调性.错解：是减函数错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.正解：令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，∴是增函数[例2]判断函数的奇偶性.错解：∵＝∴∴是偶函数错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：有意义时必须满足即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3] 判断的奇偶性.错解：∵∴且所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵＝＝＝－∴是奇函数方法二：∵＝∴是奇函数[例4]函数y=的单调增区间是_________.错解：因为函数的对称轴是，图象是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是[例5]已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)= f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x＜3错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.正解：由,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<}, [例6] 作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2).分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图)(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象.[例7]若f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围解：设由f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数得∴a＞点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.[例8]已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.四、典型习题导练1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )2. （05年高考重庆卷）若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是（）A. B. C. D.（－2，2）3. （05年高考江西卷）若函数是奇函数，则a= .4. （05年高考辽宁卷）已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则（）A. B. C. D..5.已知是定义在R上的奇函数，且当时，＝，求.6. 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.7.已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.在解决指数函数与对数函数问题中，由于同学们对相关概念和性质理解不透，会出现各种形式的错解，现就几种常见情形举例剖析如下，供参考．一、忽视函数的定义域例1. 已知函数())af x的图像恒在x轴上方，求实数a的取值范围．x=-x(21>-错解：由于()1g是指数函数且()x2-x=xg为单调增函数，则021>-x ，依题意021>--a x 恒成立，即12-<x a 恒成立，所以0<a . 剖析：错解中忽视了已给定义域0>x 的限制，把定义域视为实数集Ｒ了． 正解：由于()12-=x x g是指数函数，()x g 为单调增函数，且0>x , 则2121>-x ，依题意021>--a x 恒成立，即12-<x a 恒成立，所以0<a . 例２ 试求函数()()267log x x x f a-+=的单调递增区间．错解：设()(),16367,log 224+--=-+===x x x x g u u y对于二次函数(),x g u =当3≤x 时，()x g 为增函数；当3≥x 时，()x g 为减函数． u y 4log =是增函数，由复合函数的单调性，知所求函数，()x f 的单凋递增区间 为(]3,∞- 剖析：上述解答中忽视了函数()x f 的定义域{}71<<-x x ,函数()x f 的单调区间是函数定义域的子区间．正解：由0672>-+x x ，得函数()x f 的定义域为{}71<<-x x .设()(),16367,log 224+--=-+===x x x x g u u y ，则当3≤x 时，函数()x g 为增函数；当3≥x 时，函数()x g 为减函数．又u y 4log =是增函数，所以函数()x f 的单调递增区间是(]3,1-. 评注：由于函数的单调性是一个局部概念，单调区间是定义域的一个子区间，因此，在解答函数的单调性问题时必须首先考虑函数的定义域． 例4:已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是 错解：∵是由，复合而成，又＞0∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，∴＞1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义. 正解：∵是由，复合而成，又＞0∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，∴＞1又由于在[0，1]上时有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可， ∴＜2综上可知所求的取值范围是1＜＜2二. 忽视对底数的辨别 例3 求函数()32221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 值域．错解：因为()2213222≥+-=+-x x x ，所以()4121212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛=+-x x x f 函数()x f 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41.剖析：错解中没有考虑指数函数底数是21，因为函数()ux f ⎪⎭⎫⎝⎛=21是减函数。