2020-2021学年北师大版数学必修三课件：3.2.3.2 互斥事件习题课
2020-2021学年数学北师大版必修3课件：3-2-3 互斥事件
第三章
概率
§2 古典概型
2.3 互斥事件
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 互斥事件
[填一填] 1．互斥事件
不能同时发生 的两个事件叫作互斥事件(或称 互不相容事件 )．
2．事件 A 与 B 的并(或和) 一般地，由事件 A 和 B 至少有一个 发生(即 A 发生，或
(5)由(4)的分析可知，事件 E“一种报也不订”仅仅是事件 C 的一种可能，事件 C 与事件 E 可能同时发生，故 C 与 E 不是互 斥事件．
规律方法 互斥事件和对立事件的判断方法 (1)判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验 中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件， 若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件． (2)判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这 两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有 一个发生．如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事 件，只要有一个条件不成立，这两个事件就不是对立事件． 事实上，解决此类问题的关键是明晰“恰”“至少”“至 多”“都”等关键词．
∴P(C)＝366＝16，由对立事件的性质得 P(B)＝1－P(C)＝1－16＝56.
规律方法 (1)求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对 立事件的概率． (2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以 及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用 对立事件求解．
2020-2021学年数学北师大版必修3课件：课时作业 3-2-3 互斥事件
8．在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色
外完全相同，从中摸出 3 个球，至少摸到 2 个黑球的概率等于
( A)
2
3
A.7
B.8
3
9
C.7
D.28
解析：设事件 A＝“至少摸到 2 个黑球”，则它包含两种 情况：“恰好摸到 3 个黑球”记为事件 B 和“恰好摸到 2 个黑 球”记为事件 C，很明显事件 B、C 互斥，又事件 B 中有 1 种 结果，事件 C 中有12×3×2×5＝15 种结果，而试验总共有 8×7×6÷3÷2＝56 种结果，所以 P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝ 516＋1556＝1566＝27.本题也可用对立事件性质解答．
(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：将 5 杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号 1,2,3 表示 A 饮料， 编号 4,5 表示 B 饮料，则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情 况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)， (245)，(345)，共有 10 种．
A．“至少有 1 个白球”和“都是红球” B．“至少有 1 个白球”和“至多有 1 个红球” C．“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球” D．“至多有 1 个白球”和“都是红球”
解析：该试验有三种结果：“恰有 1 个白球”“恰有 2 个 白球”“没有白球”，故“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球” 是互斥事件且不是对立事件．
法 2：记“最高水位在[12,14)内”为事件 B1，记“最高水 位不超过 12 m”为事件 B2，由题意知，事件 B1 和 B2 互为对立 事件，所以 P(B2)＝1－P(B1)＝1－0.5＝0.5.
北师大版高中数学必修三第3章概率3.2.3互斥事件课件
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2.3 互斥事件
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析 典型透析
随堂演练
题型四
互斥事件与对立事件的判断 【例1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10 各10张)中,任抽一张.判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,若 是互斥事件,是否为对立事件,并说明理由: (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”. 分析:互斥事件不能同时发生,对立事件既不能同时发生,又必有 一个发生;定义是判断事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有 效、最简便的基本方法.
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2.3 互斥事件
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
【做一做2-1】 从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和 恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个 奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数. 在上述事件中,是对立事件的是( ) A.① B.②④C.③ D.①③ 解析:从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个数均为奇 数;(2)两个数均为偶数;(3)一个奇数和一个偶数.由对立事件的性质 知只有③为对立事件. 答案:C 【做一做2-2】 若事件A与事件B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B) 等于( ) A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.1 解析:P(B)=1-P(A)=0.4. 答案:A
(4)公式:在一个随机试验中,如果随机事件A和事件B是互斥事件, 那么有P(A+B)=P(A)+P(B).
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2.3 互斥事件
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北师大版高中数学必修3课件3.2互斥事件课件(数学北师大必修3)
第三章 · 概率
§2.3 互斥事件
北京师范大学出版社 高二 | 必修3
学目标
1.理解互斥事件、对立事件的含义，会判断所给事件的类型； 2．掌握互斥事件的概率加法公式并会应用； 3．正确理解互斥、对立事件的关系并能正确区分、判断．
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理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌
”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事 件，又是对立事件．
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(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取 1张，“抽出的牌的点数为 5的倍数”与 “抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因 此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
P(A1)＋P(A2)＋… ＋P(An)
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3．对立事件 (1)两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立 事件记为. (2)对立事件A与必有一个发生，故A＋是必然事件，从而，我们可以得到一 个重要公式：P()＝1－P(A)．
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m ＝ ，几何概型的概率计算公式为P 2．古典概型的概率计算公式为P＝P _______ n
d的测度 P＝ D的测度 ＝____________.
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知新益能
1．互斥事件
不能同时发生 的两个事件称为互斥事件． (1)_______________ (2) 如 果 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 中 的 任何两个都是 _____________ 互斥事件 ，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥． __________ (3) 设 A ， B为互斥事件，若事件 A ， B__________ 至少有一个 发生，我们把这个事件记 作A＋B.
3.2.3.2互斥事件习题课 课件(北师大版必修3)
方法，直接计算事件的概率比较复杂，而计算其对立事件
的概率比较容易时可采用这种方法.
【例1】有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流
量时，设在某一时刻有n个人正在使用电话或等待使用的概 率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到
1 n ( ) P 0 P（n） 2 0
3.有一种电子核辐射检测仪，它可以正常使用的概率为
0.992，则它不能正常使用的概率是_____. 【解析】“正常使用”的对立事件为“不能正常使用”， 所以P( A )=1-P(A)=1-0.992=0.008 答案:0.008
4.已知集合A={1,2,3},a,b∈A，记“点P（a,b)落在直线 x+y=n上”为事件Bn（2≤n≤6,n≤N*),则当n≥3的概率为 ______. 【解析】方法1 事件Bn的总的基本事件个数为3×3=9
当n=3时，落在直线x+y=3上的点为（1，2）、（2，1）含 有2个基本事件； 当n=4时，落在直线x+y=4上的点为（1，3）、（2，2）、
（3，1）含有3个基本事件；
当n=5时，落在直线x+y=5上的点为（2，3）、（3，2）含
有2个基本事件； 当n=6时，落在直线x+y=5上的点为（3，3）含有1个基本事件； 故n≥3的概率为P（n≥3)=P(n=3或n=4或n=5或n=6) .
对立事件的概率
1.对立事件的概率的求法 首先确定对立事件，直接求出对立事件的概率，或利用公 式P（A）=1-P(A)通过求事件A的概率P(A)来求P( A ). 2.求对立事件的概率时应注意的问题 (1)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可 先转化为求其对立事件的概率. (2)在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维
高中数学北师大版必修三《3.2.3互斥事件》课件
P（A1＋A2＋…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
对峙事件 P(A)=1－P(B)=1－ P(A)
1、将一枚质地均匀的硬币先后抛3次，恰好出现一次正
面朝上的概率 3/8
。
2. 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,记事件A:两次 都击中飞机.事件B:两次都没有击中飞机. 事件C:恰有一次 击中飞机.事件D:至少有一次击中飞机.其中互斥事件 是 A与B，A与C，B与C，B与D ．
概率为1,说明事件A+B必然事件,即A和B中必有一个产生
此时，我们把事件B称为事件A的对峙事件。
对峙事件：必有一个产生的两个彼此互斥的事件 （也称互逆事件）
A的对峙事件,记作 P( A) =1-P(A)
从集合的意义上来看对峙事件： 1、A与 的交集为空集 2、A+ 为事件全体，为必然事件。
对峙事件一定是互斥事件 但是互斥未必是对峙事件
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1
0.04
(1)至少3人排队等候的概率是多少? (2) 有人排队等候的概率是多少?
不能少
解:记“有0人等候”为事件A,“有1人等候”为事件B,“有2人等候” 为事件C,“有3人等候”为事件D，“有4人等候”为事件E，“有5人 及至5人以上等候”为事件F，则易知A，B，C，D，E，F互斥
在(1)中,A表示事件“点数为2”,B表示事件”点数为3”,
我们把事件“点数为2或3”记作 A+B
事件A+B产生的意义:事件A和事件B中至少有一个产生
当A与B互斥时,A+B事件指“A产生B不产生”和“A不产生B产生”
2020-2021学年北师大版数学必修三课时素养评价 3.2.3.2 互斥事件习题课Word版含解析
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课时素养评价二十二互斥事件习题课(20分钟·35分)1.事件A与B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于( )A.0.4B.0.5C.0.6D.1【解析】选A.P(B)=1-P(A)=1-0.6=0.4.2.小明说:“本周我至少做完三套练习题.”设小明所说的事件为A,则A的对立事件为( ) A.至多做完三套练习题 B.至多做完二套练习题C.至多做完四套练习题D.至少做完三套练习题【解析】选B.至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完2套练习题.3.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( ) A. B.C. D.1【解析】选B.设“恰有一名女生当选”为事件A,“恰有两名女生当选”为事件B,显然A,B为互斥事件,从10名同学中任选2人共有10×9÷2=45种选法(即45个基本事件),而事件A包括21个基本事件,事件B包括3×2÷2=3个基本事件,故所求概率P=P(A)+P(B)=+=.4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选D.记3个红球分别为a1,a2,a3,2个白球分别为b1,b2.从3个红球、2个白球中任取3个,所包含的基本事件有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10个.由于每个基本事件发生的机会相等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”,则事件包含的基本事件有1个:(a1,a2,a3),所以P()=.故P(A)=1-P()=1-=.5.有一种电子产品,它可以正常使用的概率为0.992,则它不能正常使用的概率是________.【解析】设电子产品可以正常使用为事件A,其对立事件为电子产品不能正常使用,P()=1-P(A)=1-0.992=0.008.答案:0.0086.某次知识竞赛规则如下:主办方预设3个问题,选手若能正确回答出这3个问题,即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0,1,2的概率分别是0.1,0.2,0.3,求该选手晋级下一轮的概率.【解析】记“答对0个问题”为事件A,“答对1个问题”为事件B,“答对2个问题”为事件C,这3个事件彼此互斥,“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D,则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件.显然P()=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.2+0.3=0.6,故P(D)=1-P()=1-0.6=0.4.故事件“晋级下一轮”的概率为0.4.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某产品的设计长度为20 cm,规定误差不超过0.5 cm为合格品,今对一批产品进行测量,测得结果如表:长度(cm) 19.5以下19.5～20.5 20.5以上件数 5 68 7则这批产品的不合格率为( ) A. B. C. D.【解析】选D.由题意得所求概率P==.2.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和小于15的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选D.从中有放回地取2次,所取号码共有8×8=64种,其中和不小于15的有3种,分别是(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率P=1-=.3.若P(X≤n)=1-a,P(X≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤X≤n)等于( )A.(1-a)(1-b)B.1-a(1-b)C.1-(a+b)D.1-b(1-a)【解析】选C.P(m≤X≤n)=P(X≤n)+P(X≥m)-1=(1-a)+(1-b)-1=1-(a+b).4.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为( ) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【解析】选C.由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8,①P(A)=3P(B),②解①②组成的方程组知P(A)=0.6.5.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台,其中甲型彩电至多一台的概率为( )A. B. C. D.【解析】选A.从5台彩电中任取2台,都是甲型彩电的概率P1=,所以甲型彩电至多一台的概率P=1-=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为________.【解析】记事件A:甲或乙被录用.从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共10种可能,而A的对立事件仅有(丙,丁,戊)一种可能,所以A的对立事件的概率P()=,所以P(A)=1-P()=.答案:7.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:日销售量(件) 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率,则当天商店不进货的概率为________.【解析】商店不进货即日销售量少于2件,显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生,彼此互斥.记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件B,“当天商店不进货”为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=+=. 答案:8.已知集合A={1,2,3,4,5},x,y∈A,x≠y.记“实数x,y满足不等式x2+y2>10”为事件B,则事件B发生的概率P(B)=________.【解析】从集合A中任取两个数,则共有10个结果,事件B的对立事件为x2+y2≤10,而满足x2+y2≤10的只有1和2,1和3,故P()==, 所以P(B)=1-P()=1-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(球除颜色外其余均相同),从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:(1)“3只球颜色全相同”的概率;(2)“3只球颜色不全相同”的概率.【解析】(1)“3只球颜色全相同”包括“3只球全是红球”(事件A),“3只球全是黄球”(事件B),“3只球全是白球”(事件C),且它们彼此互斥,故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A+B+C,又P(A)=P(B)=P(C)=,故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= .(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只球颜色全相同”,又P()=P(A+B+C)=,所以P(D)=1-P()=1-=,故“3只球颜色不全相同”的概率为.10.甲工作室有1名高级工程师和3名普通工程师,乙工作室有2名高级工程师和3名普通工程师,现在要从甲工作室中选出2人,从乙工作室中选出1人支援外地建设.(1)求选出的3人均是普通工程师的概率;(2)求选出的3人中至少有1名高级工程师的概率.【解析】记甲工作室的4人分别为甲g,甲1,甲2,甲3,乙工作室的5人分别为乙,乙,乙1,乙2,乙3.从甲工作室选取2人的不同结果为(甲g,甲1),(甲g,甲2),(甲g,甲3), (甲1,甲2),(甲1,甲3),(甲2,甲3),共有6种选法.从乙工作室中选取1人有5种选法,故从甲工作室中选出2人,从乙工作室中选出1人的所有基本事件为(甲g,甲1,乙),(甲g,甲1,乙),(甲g,甲1,乙1),(甲g,甲1,乙2),(甲g,甲1,乙3),…,共有30种.(1)选出的3人均是普通工程师,则从甲工作室中选出的2人都是普通工程师,有(甲1,甲2),(甲1,甲3),(甲2,甲3),共3种情况,从乙工作室中选1名普通工程师的不同结果为乙1,乙2,乙3,共有3种选法,故“选出的3人均是普通工程师”的不同结果为(甲1,甲2,乙1),(甲1,甲2,乙甲1,甲2,乙3),(甲1,甲3,乙1),(甲1,甲3,乙2),(甲1,甲3,乙3),(甲2),(甲3,乙1),(甲2,甲3,乙2),(甲2,甲3,乙3),共有9种选法,记“选出的2,3人均是普通工程师”为事件A,则P(A)==.(2)记“选出的3人中至少有1名高级工程师”为事件B,则事件A,B对立,故P(B)=1-P(A)=.1.四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的一枚硬币,所有人同时抛出自己的硬币.若落在圆桌上时硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选B.抛四枚硬币,总的结果有16种,“没有相邻的两个人站起来”记为事件A,可分为三类:一是没有人站起来,只有1种结果;二是有1人站起来,有4种结果;三是有2人站起来,可以是AC或BD,有2种结果.所以满足题意的结果共有1+4+2=7种结果,P(A)=.2.“顶香居”食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级,等级系数X依次为A,B,C,D,E.现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:X A B C D E频率0.1 0.2 0.45 0.15 0.1从等级系数为A,D,E的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同).(1)求取出的两件样品是等级系数为A与D的概率;(2)求取出的两件样品是不同等级的概率.【解析】(1)A级所取的样品数为20×0.1=2,D级所取的样品数为20×0.15=3,E级所取的样品数为20×0.1=2.将等级系数为A的2件样品分别记为a1,a2;等级系数为D的3件样品分别记为x1,x2,x3;等级系数为E的2件样品分别记为y1,y2.现从a1,a2,x1,x2,x3,y1,y2这7件样品中一次性任取两件,共有21种不同的结果,分别为{a1,a2},{a1,x1},{a1,x2},{a1,x3},{a1,y1},{a1,y2},{a2,x1},{a2,x2},{a2,x3},{a2,y1},{a2,y2},{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}.记事件M为“取出的两件样品是等级系数为A与D”,则事件M所包含的基本事件有6种,分别为{a1,x1},{a1,x2},{a1,x3},{a2,x1},{a2,x2},{a2,x3}.所以事件M的概率P(M)==.(2)记事件L为“取出的两件样品是不同等级”,则事件为“取出的两件样品是同等级”,所以事件所含的基本事件有5种,分别为{a1,a2},{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},所以事件的概率P()=,所以P(L)=1-P()=1-=,即取出的两件样品是不同等级的概率为.关闭Word文档返回原板块。
高中数学 3.2.3互斥事件课件 北师大版必修3
课堂典例讲练
第十七页，共48页。
“互斥事件”与“对立事件”的区别(qūbié)和联 系
判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立 事件，并说明理由．
某小组有 3 Βιβλιοθήκη 男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加 演讲比赛，其中
(1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； (2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生； (3)至少有 1 名男生和全是男生； (4)至少有 1 名男生和全是女生．
第九页，共48页。
相同点是：这两种类型的事件都不可能同时发生． 利用集合的观点来判断 设事件A与B它们所含的结果组成的集合分别(fēnbié)是A、 B ， ① 若 事 件 A 与 B 互 斥 ， 即 集 合 A∩B ＝ ∅ ； ② 若 事 件 A 与 B 对 立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，也即A＝∁IB或B＝∁IA；③对 互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
第二十六页，共48页。
[规范解答] 从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸
到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”分别为事件 A、B、C、
D，四个事件彼此互斥，
则有 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝152，
①
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝152，
②
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－13＝23.③
第三十二页，共48页。
[思路分析] “该生属于不止1个社团”分为属于2个社团， 3个社团两种情况，若直接求解，则较为复杂，可考虑利用 (lìyòng)其对立事件求解．
由①②③，得 P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.
第二十七页，共48页。
2020_2021学年高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案含解析北师大版必修3.doc
考纲定位重难突破1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断.重点：1.互斥事件与对立事件的定义.2.两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用.难点：互斥事件与对立事件的关系.授课提示：对应学生用书第46页[自主梳理]1．互斥事件与对立事件定义公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不可能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件(1)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(2)若A1，A2，…，A n中任意两个事件互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)对立事件事件“A不发生”称为A的对立事件，记作A－__，对立事件也称为逆事件，在每一次试验中，相互对立的事件A与A－不会同时发生，并且一定有一个发生P(A－)＝1－P(A)给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．[双基自测]1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．答案：C2．抽查10件产品，设A＝{至多有1件次品}，则事件A的对立事件是()A．至多有2件正品B．至多有1件次品C．至少有1件正品D．至少有2件次品解析：“至多有1件次品”与“至少有2件次品”不能同时发生，但必有一个发生．答案：D3．一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是() A．0.994 B．0.006C．0 D．1解析：“计算机芯片可以正常使用”(设为事件A)和“计算机芯片不能正常使用”(设为事件B)是对立事件，且P(A)＝0.994，则P(B)＝1－0.994＝0.006.答案：B授课提示：对应学生用书第46页探究一互斥事件、对立事件的判断[典例1]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生．[解析]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件．1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若能同时发生则这两个事件不是互斥事件，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件．主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．1．已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中任选2名去参加医德培训．下列各对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由．(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”；(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”；(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”；(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”．解析：(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由：所选的2名医生中，“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”，它与“恰有2名男医生”不可能同时发生，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能选出“恰有2名女医生”，因此二者不对立．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”，它们共同含有“1名男医生和1名女医生”，能够同时发生，因此不互斥也不对立．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，这与“全是男医生”能够同时发生，因此不互斥也不对立．(4)是互斥事件，也是对立事件．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，它与“全是女医生”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件．探究二 互斥事件与对立事件的概率公式的应用[典例2] 围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是13，都是白子的概率是1330. (1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；(2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率．[解析] (1)设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝13＋1330＝2330， 即任意取出2粒恰好是同一色的概率是2330. (2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D ，由(1)，知事件D 与事件C 是对立事件，且P (C )＝2330， 所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P (D )＝1－P (C )＝1－2330＝730. 互斥事件与对立事件的概率计算的方法解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是直接法：即将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是间接法：即先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．2．向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1，只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．解析：设A 、B 、C 分别表示“炸中第一、第二、第三个军火库”这三个事件，则P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.又设D 表示“军火库爆炸”这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 是彼此互斥的事件．所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.探究三 互斥、对立事件与古典概型的综合应用[典例3] 某市各种血型的人所占比例如下：血型 A B AB O该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35相输血，小明是B 型血，若小明因病需要输血，则：(1)在该市任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)在该市任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[解析] (1)对任一个人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，得P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输血给小明”为事件B ′＋D ′，根据互斥事件的概率加法公式，有P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一：由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输血给小明”为事件A ′＋C ′，并且P (A ′＋C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给小明，两者为对立事件，所以不能输血给小明的概率为1－P (B ′＋D ′)＝1－0.64＝0.36.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．3．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1中恰有1人被选中的概率．解析：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，所以P (M )＝618＝13. (2)法一：设“B 1和C 1恰有1人被选中”这一事件为N ，则该事件有两种情况，B 1被选中，C 1没被选中和B 1没被选中，C 1被选中．用A 表示“B 1被选中，C 1没被选中”这一事件，B 表示“B 1没被选中，C 1被选中”这一事件，则A ＝{(A 1，B 1，C 2)，(A 2，B 1，C 2)，(A 3，B 1，C 2)}，B ＝{(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}所以P (N )＝P (A )＋P (B )＝318＋618＝12. 法二：设“B 1和C 1中恰有1人被选中”这一事件为N ，“B 1和C 1都被选中”这一事件为A ′，“B 1和C 1都没被选中”这一事件为B ′，则P (A ′)＝318＝16，P (B ′)＝618＝13. 所以P (N )＝1－P (A ′)－P (B ′)＝1－16－13＝12.转化与化归思想在概率中的应用[典例] 玻璃盒中装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．(1)求“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．[解析]由题意知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.法一：(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.法二：(1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－16－112＝34，即“取出1球为红球或黑球”的概率为34.(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－112＝1112，即“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为1112.[感悟提高]当一个事件的概率较难求解，而对立事件的概率易求时，应用对立事件公式转化成求对立事件的概率，或是转化成几个易求解的互斥事件的和去求解．转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟悉的问题，事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程.[随堂训练]对应学生用书第48页1．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对解析：两个事件不会同时发生但有可能均不发生，所以是互斥但不对立事件．答案：C2．打靶3次，事件A i表示“击中i发”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1＋A2＋A3表示() A．全部击中B．至少有1发击中C．必然击中D．击中3发解析：A1表示击中1发，A2表示击中2发，A3表示击中3发，则A＝A1＋A2＋A3表示至少击中1发．答案：B3．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200 g的概率为0.2，质量在200～300 g内的概率为0.5，那么质量超过300 g的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8解析：质量超过300 g的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：B(2)求年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率．解析：记这个地区的年降水量在[100，150)(mm)、[150，200)(mm)、[200，250)(mm)、[250，300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.(2)年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.。
高中数学必修三北师大版 互斥事件课件(45张)
提示：(1)根据互斥事件的概念，不能同时发生的事件是互斥 事件，而命中环数大于7环与命中环数为10环可能同时发生，
故此种说法错误.
(2)若A与B两事件互斥，应有P(A)+P(B)≤1，故此种说法错误.
(3)只有A与B互斥时才有P(A+B)=P(A)+P(B)，故此种说法错误.
(4)在一次试验中仅有两个不会同时发生的事件称为互为对立 事件，而互斥事件在一次试验中不一定只有两个，故此种说法 错误. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)C与D；(2)C与E；(3)D与E.
【解题指南】
1.根据互斥事件和对立事件的概念对所给事件进行判断；
2.紧扣互斥事件的概念判断事件是否为互斥事件；在互斥事件
的基础上，再判断它们的并事件是不是必然事件，即可判断是
否为对立事件.
【解析】1.①是互斥事件，不是对立事件.因为所选两名学生 中，“恰有1名男生”选出的是“1名男生1名女生”，它与 “恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，但并事
方法二:利用集合的观点:设事件A和事件B所包含的结果组成的
集合分别记作A,B.(1)事件A和事件B互斥,即A∩B= ;(2)事件
A和事件B对立,即A∩B= 且A∪B=U(U为全集).
【知识拓展】事件与集合间的对应关系
符 Ω ω 号 概率论 必然事件 不可能事件 试验的可能结果 集合论 全集 空集 Ω中的元素
加数学竞赛.下列事件中是互斥事件的有___________；是对立
事件的有___________.
①恰有1名男生和恰有2名男生 ②至少有1名男生和至少有1名女生 ③至少有1名男生和全是男生 ④至少有1名男生和全是女生
互斥事件
抽到的是一等品或三等品” ⑴事件D=“抽到的是一等品或三等品” 事件 抽到的是一等品或三等品 抽到的是二等品或三等品” ⑵事件E=“抽到的是二等品或三等品” 事件 抽到的是二等品或三等品
思考交流 (1)事件 事件A=“点数为 事件 点数为2”,事件 点数3” 事件 点数为 事件B=“点数 点数
(2)事件 事件A=“点数为奇数”,事件 点数为奇数” 事件B=“点数为 点数为4” 事件 点数为奇数 事件 点数为 (3)事件 事件A=“点数不超过 事件 点数不超过3”,事件 点数超过3” 事件 点数不超过 事件B=“点数超过 点数超过
(1) P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B) (2)
1/6 1/6 2/6 2/6
3/6 1/6 4/6 4/6
同时根据你的结果,你发 同时根据你的结果 你发 3/6 现P(A+B)与P(A)+P(B) 与 有什么样大小关系. 3/6 有什么样大小关系 1 1
(3)
P(A+B)=P(A)+P(B)
P（A1＋A2＋…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
自主学习
自己阅读课本第144页 例4 页 自己阅读课本第
从一箱新产品中随机地抽取一件新产品， 从一箱新产品中随机地抽取一件新产品，设A=“抽 抽 到的是一等品” 抽到的是二等品” 到的是一等品”B=“抽到的是二等品”，C=“抽到的是 抽到的是二等品 抽到的是 三等品” 三等品”，且P(A)=0.7，P(B)=0.1,P(C)=0.05.求下列 ， 求下列 事件的概率. 事件的概率.
数学：第三章第二节之 《互斥事件》课件PPT （北师大版必修3）
3.2.3互斥事件 互斥事件
数学北师大版高中必修3高中数学北师大版必修3第三章概率第二节古典概型《互斥事件第二课时》ppt课件
互斥事件:不同时发生的两个或多个事件 若事件A与B互斥： P(A+B) = P(A) + P(B) 事件A1，A2，…，An彼此互斥
P（A1＋A2＋…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
对立事件：必有一个发生的两个互斥事件
P(A)=1－P(B)=1－ P( A)
例7：小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位 概括 数密码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成。小明 在概率计算问题 不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机 解决过程中，当 地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁 事件A比较复杂 的概率是多少？ 而其对立事件比 解：用A表示“输入由2,4,6,8组成的一个四位数， 较简单时，往往 （可能的情况较多，麻烦！） 不是密码”； 通过找对立事件 概率来间接求 其对立事件 A为“输入由2,4,6,8 组成的一个四 P（A）。 位数，恰好是：考虑抽样的顺序； 法二：不考虑抽样的顺序；
2、有放回抽取问题
方法：必须考虑抽样的顺序；
教材P147页
练习2
第 1、 2 题
共同进步！
1 23 P( A) 1 P( A) 1 24 24
例8：班级联欢时，主持人拟出了如下节目：双人 舞、独唱、朗诵等。指定3个男生和2个女生来参 与，把5个人分别编号1,2,3,4,5，其中1,2,3号为 男生，4,5号为女生。将每个人的号分别写在5张 相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每 次从中随机地抽取一张卡片，取出谁的编号谁就 参与表演节目。 （1）为了取出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡 片，求取出的2人不全是男生的概率。 思路二：不考虑 2张卡片号码取出的先后顺序； 思路一：考虑2张卡片号码取出的先后顺序； （所有基本事件数为10 20个）
北师大版数学必修三课件：2.3.2 互斥事件
(2)为了取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并
观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分搅匀
后再从中抽取第二张卡片，求： （i）独唱和朗诵由同一个人表演的概率. 5 1 P2 . 25 5 （ii）取出的2人不全是男生的概率.
9 16 P3 1 . 25 25
P(A) 1 P(A).
2.在求某些复杂事件（如“至多”“至少”)的概率时， 通常有两种方法： (1)将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和. (2)求随机事件A1，A2 ，„，An为两两互
斥事件，则有
P(A1 A2 An ) P(A1 ) P(A2 ) P(An )
1.理解“互斥事件”、“对立事件”.（重点）
2.理解各种事件关系.（重点） 3.掌握概率计算公式及应用.(难点)
对立事件的概念：
互斥事件与对 立事件的联系
(3)不是互斥事件，当然更不可能是对立事件.
例1. 小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位 数密码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成.小
明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随
机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能
打开锁的概率是多少？ 分析：求A＝“不能打开锁”的概率比较复杂，而
求 A ＝“能打开锁”的概率比较简单，我们通常 转化为通过求 P ( A) 来求P(A). 解：用A表示事件“输入由2,4,6,8组成的一个四位 数，不是密码”，A比较复杂，可考虑它的对立事 件，即 A 表示事件“输入由2,4,6,8组成的一个四 位数，恰是密码”，它只有一种结果.
（3）若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+
P（C）=1
2020-2021学年北师大版数学必修3作业课件：3.2 第23课时 互斥事件(1)
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
解析：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事 件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件 不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
6．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品， 在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和 0.03，则抽验一件是正品(甲级品)的概率为( D )
两队夺取冠军的概率分别是
3 7
和
1 4
，则该市球队夺得全省足球冠军
的概率为( D )
31 A.28 B.2
17 19 C.28 D.28
解析：P＝37＋14＝1298.
8．下列四个说法：①对立事件一定是互斥事件；②A，B为 两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互 斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1， 则A，B是对立事件，其中错误说法的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3 解析：所给的四种说法中：①正确；②成立需A与B互斥；③ 中可能还会涉及其他事件；④中两个事件可能并不是在一个试验 中获得的或事件A，B的交集不为空集，故④不正确，故选D.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的 概率为0.5，那么甲不输的概率是 0.8 .
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)记至少有2人排队为事件D，由(1)知少于2人排队为事件A ＋B，那么事件D与A＋B是对立事件，则P(D)＝P( A＋B )＝1－ [P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.
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【解题策略】 解决互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题的方法
解决此类问题的关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必 要时将所求的事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进 而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
书写 表达
(1)从袋子中随机取2个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1和 2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个. 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3,共2个. 因此所求事件的概率为 2 = 1 .
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(2)先从袋中随机取1个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取1个球,
【思路导引】1.明确“甲和乙至多有一人入选”的对立事件是“甲和乙两人都 入选”,然后应用对立事件的概率公式计算. 2.结合Venn图,运用古典概型求概率即可.
【解题策略】 1.含有“至多”“至少”等词语的事件的对立事件
原事件 至少有一个 至少有n个 至多有一个 至多有n个
都
对立事件 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 至少有n+1个
【思路导引】(1)将所求事件“取得80分及80分以上的成绩”表示为已知概率 的事件的和,然后运用公式求解; (2)将所求事件表示为已知概率的事件的和,也可以考虑所求事件的对立事件.
角度2 与古典概型综合问题 【典例】为积极配合世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由4名 同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学 成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的. (1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率; (2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率. 【思路导引】“当选的4名同学中至少有3名女同学”包括两种情况:(1)3女1 男;(2)4女.
n≥m+2的事件的概率P= 3 ,故满足条件n<m+2的事件的概率为1-P=1-
3 = 13 .
16
16 16
注意书写的规范性:
①第(1)问中,按照古典概型步骤求解;
②第(2)问中,满足n<m+2的基本事件较多,可考虑其对立事件.
四步
内容
题后 对立事件也是互斥事件,所以可运用概率加法公式,此时公式可变 反思 为P(A)+P( A )=1,即P(A)=1-P( A ).
周日都有同学参加公益活动的概率为________.
【解析】每位同学有2种选法,基本事件的总数为24=16,其中周六、周日中有一 天无人参加的基本事件有2个,根据对立事件的概率公式知,周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为1- 2 =.7
16 8
答案: 7
8
2.学生的视力下降是十分严峻的问题,通过随机抽样调查某校1 000名在校生, 其中有200名学生裸眼视力在0.6以下,有450名学生祼眼视力在0.6～1.0,剩下 的能达到1.0及以上,问: (1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少? (2)这个学校在校生视力合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少?
【解题策略】 1.当直接计算符合条件的事件个数较多时,可先计算其对立事件的概率,再由公 式P(A)=1-P( A )间接地求出符合条件的事件的概率,培养正难则反的思想. 2.应用公式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏.
【跟踪训练】
1.有4位同学,他们各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、
第2课时 互斥事件习题课
关键能力·合作学习
类型一 对立事件公式的应用(逻辑推理) 【典例】一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取2个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率; (2)先从袋中随机取1个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取1个 球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.
类型二 含有“至多”“至少”的事件(逻辑推理) 【典例】1.从包含甲、乙的4名同学中任选2名参加植树节的义务劳动,则甲和 乙至多有1人入选的概率为________.
2.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不只参加了 一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率.
医生人数 0
1
2
34
概率 0.18 0.25 0.36 0.1 0.1
5及其以上 0.01
(1)求派出至多2名医生的概率; (2)求派出至少3名医生的概率.
类型三 概率加法公式的综合应用(数学建模) 角度1 概率加法公式的实际应用 【典例】在数学考试中,小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18,在80～89 分(包括80分与89分,下同)的概率是0.51,在70～79分的概率是0.15,在60～69 分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率: (1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩; (2)小明考试及格(60分及60分以上为及格).
四步
内容
理解 题意
条件:一个袋中装有4个球,编号分别为1,2,3,4. 结论:(1)随机抽取2个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率; (2)先随机取1个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机 取1个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.
思路 探求
(1)利用列举法求出基本事件的总数,进而求出概率; (2)是有放回抽样,所取的编号有先后次序之分,基本事件的总数 为16,利用“正难则反”思想求解.
不都
2.含有“至多”“至少”等词语的复杂事件的概率的常用解法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,一定要将事件分拆成若干互斥的事 件,不能重复和遗漏. (2)先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解.一定要找准其对立事件,否则 容易出现错误.
【跟踪训练】 某医院一天内派出医生下乡医疗,派出医生的人数及其概率如下:
记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4),共16个.
书写 表达
满足条件n≥m+2的结果为(1,3),(1,4),(2,4),共3个.所以满足条件