快速傅里叶变换(FFT)
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数字图像处理
Digital Image Processing
信息工程学院 School of Information Engineering
Chapter 4 Image Transformation
4.1 Continuous Fourier Transform 4.2 Discrete Fourier Transform
2
I u u arctan Ru
10
4.1 Continuous Fourier Transformation
Fourier transform can be easily extended to two dimensional case. 设函数 f x, y 是连续可积，且 F u, v 可积，则存在如下 的傅里叶变换对：
In 1822,Fourier proposed Fourier transformation. 甚至非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正弦 或余弦乘以加权函数的积分来表示。 这就是Fourier变换，在大多数实际应用中比Fourier 级数更广泛。 用Fourier级数或变换表示的函数特征可以完全通过 Fourier反过程来重建，不丢失任何信息。 函数可以用“频率域”特征表示，而且转换回函数的 原始域时不丢失任何信息。
7
4.1 Continuous Fourier Transformation One-dimensional Fourier transform and its inverse
transform
:
其中， j 2 1
1
F u
f x e j 2ux dx
，x是时域变量，u是频域变量。
在周期2内：
a0 f ( x) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
系数： a0 ak bk f ( x)dx
1
f ( x) cos kxdx
1
f ( x)sin kxdx
1
4
5
Chapter 4 Image Transformation
Two dimensional function Fourier spectrum, energy and phase spectrum:
Fourier spectrum：
F u, v R2 u, v I 2 u, v
1 2
Phase：
Energy spectrum：
Imaginary part: I u
Байду номын сангаас
f t sin2ut dt
Amplitude:
F u R2 u I 2 u
1 2
9
4.1 Continuous Fourier Transformation
Energy: Phase:
E u F u R2 u I 2 u
:
f x F ue j 2ux du
正反傅里叶变换的惟一区别是幂的符号。函数 f(x)和 F(u) 被称作一个傅里叶变换对。
8
4.1 Continuous Fourier Transformation
这里 f x 是实函数，它的傅里叶变换 F u 通常是 复函数。 F u 的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如 下： Ru f t cos2ut dt Real part:
F f x , y F u, v f x , y e j 2 ux vy dxdy
F 1 F u, v f x , y F u, v e j 2 ux vy dudv
式中
u、v 是频率变量。
11
4.1 Continuous Fourier Transformation
6
Chapter 4 Image Transformation
20世纪50年代后期，数字计算机的出现和快速 Fourier变换算法的“发明”在信号处理领域产 生了巨大变革。这两个核心技术可以对人类本身 的特殊信号和工业的重要信号进行实际处理和有 意义的解释。 在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要 的作用，用它可完成图像分析、图像增强及图像 压缩等工作。
I u, v u, v arctan Ru, v
E u, v R2 u, v I 2 u, v
12
4.2 Discrete Fourier Transform
在数字图像处理中应用傅里叶变换，需要解决两个问题： （1）数学中进行傅里叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而 计算机处理的是数字（图像数据）信号。 （2）数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计 算。 提出了离散傅里叶变换
Background
Why?
图像变换是将图像从空间（2D平面）变换到频 率域。 变换的目的是根据图像在频率域的某些性质对 其进行处理。通常，这些性质在空间域难以获取， 在变换域处理完毕后，将处理结果再反变换到空 间域。
3
Chapter 4 Image Transformation
In 1807,Fourier proposed Fourier series. 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和或余弦和 的形式，每个正弦和或余弦乘以不同的系数。
4.3 Fast Fourier Transform
4.4 Properties of Fourier Transform
4.5 Examples of Image Fourier Transform 4.6 Other Discrete transforms
2
Chapter 4 Image Transformation
13
4.2 Discrete Fourier Transform
One dimensional discrete Fourier transform of
Digital Image Processing
信息工程学院 School of Information Engineering
Chapter 4 Image Transformation
4.1 Continuous Fourier Transform 4.2 Discrete Fourier Transform
2
I u u arctan Ru
10
4.1 Continuous Fourier Transformation
Fourier transform can be easily extended to two dimensional case. 设函数 f x, y 是连续可积，且 F u, v 可积，则存在如下 的傅里叶变换对：
In 1822,Fourier proposed Fourier transformation. 甚至非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正弦 或余弦乘以加权函数的积分来表示。 这就是Fourier变换，在大多数实际应用中比Fourier 级数更广泛。 用Fourier级数或变换表示的函数特征可以完全通过 Fourier反过程来重建，不丢失任何信息。 函数可以用“频率域”特征表示，而且转换回函数的 原始域时不丢失任何信息。
7
4.1 Continuous Fourier Transformation One-dimensional Fourier transform and its inverse
transform
:
其中， j 2 1
1
F u
f x e j 2ux dx
，x是时域变量，u是频域变量。
在周期2内：
a0 f ( x) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
系数： a0 ak bk f ( x)dx
1
f ( x) cos kxdx
1
f ( x)sin kxdx
1
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Chapter 4 Image Transformation
Two dimensional function Fourier spectrum, energy and phase spectrum:
Fourier spectrum：
F u, v R2 u, v I 2 u, v
1 2
Phase：
Energy spectrum：
Imaginary part: I u
Байду номын сангаас
f t sin2ut dt
Amplitude:
F u R2 u I 2 u
1 2
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4.1 Continuous Fourier Transformation
Energy: Phase:
E u F u R2 u I 2 u
:
f x F ue j 2ux du
正反傅里叶变换的惟一区别是幂的符号。函数 f(x)和 F(u) 被称作一个傅里叶变换对。
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4.1 Continuous Fourier Transformation
这里 f x 是实函数，它的傅里叶变换 F u 通常是 复函数。 F u 的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如 下： Ru f t cos2ut dt Real part:
F f x , y F u, v f x , y e j 2 ux vy dxdy
F 1 F u, v f x , y F u, v e j 2 ux vy dudv
式中
u、v 是频率变量。
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4.1 Continuous Fourier Transformation
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Chapter 4 Image Transformation
20世纪50年代后期，数字计算机的出现和快速 Fourier变换算法的“发明”在信号处理领域产 生了巨大变革。这两个核心技术可以对人类本身 的特殊信号和工业的重要信号进行实际处理和有 意义的解释。 在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要 的作用，用它可完成图像分析、图像增强及图像 压缩等工作。
I u, v u, v arctan Ru, v
E u, v R2 u, v I 2 u, v
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4.2 Discrete Fourier Transform
在数字图像处理中应用傅里叶变换，需要解决两个问题： （1）数学中进行傅里叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而 计算机处理的是数字（图像数据）信号。 （2）数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计 算。 提出了离散傅里叶变换
Background
Why?
图像变换是将图像从空间（2D平面）变换到频 率域。 变换的目的是根据图像在频率域的某些性质对 其进行处理。通常，这些性质在空间域难以获取， 在变换域处理完毕后，将处理结果再反变换到空 间域。
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Chapter 4 Image Transformation
In 1807,Fourier proposed Fourier series. 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和或余弦和 的形式，每个正弦和或余弦乘以不同的系数。
4.3 Fast Fourier Transform
4.4 Properties of Fourier Transform
4.5 Examples of Image Fourier Transform 4.6 Other Discrete transforms
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Chapter 4 Image Transformation
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4.2 Discrete Fourier Transform
One dimensional discrete Fourier transform of