图论第四章 平面图及着色

推论2 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简单图，其 推论2 是带v个顶点， 条边的连通的平面简单图， 且没有长度为3的圈， 中v≥3且没有长度为3的圈，则e≤2v-4。 证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G 证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G的每个面的度数 至少为4.因此有2e= d(f)≥ 4.因此有2e=∑ 至少为4.因此有2e=∑d(f)≥4r (1) 其中r 的面数. 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2 v+e,代入(1)中有 r=2代入(1)中有: 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e≥4(2 v+e) 2e≥4(2-v+e) 即e ≤2 v - 4 。 例3 都是非平面图。 K5和K3.3都是非平面图。 解:图K5有5个顶点10条边,而3*5-6=9,即10>9,由 个顶点10条边, 3*5-6=9,即10>9,由 10条边
G1
G2
G3
定理1 一个图G是非平面的，当且仅当它包含一个同 定理1 一个图G是非平面的，当且仅当它包含一个同 胚于K 的子图。（证略） 。（证略 胚于K3.3或K5的子图。（证略） 例1 说明彼得森图不是平面图。 说明彼得森图不是平面图。 解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H.而H 删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H.而 (a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H. 胚于K ,所以皮得森不是平面图. 胚于K3.3a 所以皮得森不是平面图.
推论1 是带v个顶点， 推论1 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简 单图，其中v 单图，其中v≥3，则e≤3v-6。 证明:由于G是简单图, 中无环和无平行边. 证明:由于G是简单图,则G中无环和无平行边.因此 的任何面的度数至少为3. 3.故 G的任何面的度数至少为3.故 2e=∑d(f)≥ 2e=∑d(f)≥3r (1) 其中r 的面数. 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2 v+e,代入(1)中有 r=2代入(1)中有: 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e≥3(2 v+e) 2e≥3(2-v+e) 即 e ≤ 3 v -6。
定理2 对任何平面图G 定理2 对任何平面图G，面的度数之和是边数的二倍。 是 。 证明:对内部面而言,因为其任何一条非割 证明:对内部面而言,因为其任何一条非割边同时在两个 面中,故每增加一条边图的度数必增加2. 2.对外部面的边 面中,故每增加一条边图的度数必增加2.对外部面的边 若某条边不同时在两个面中, 边必为割边, 界,若某条边不同时在两个面中, 边必为割边,由于边界 是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立. 2.从而结论成立 是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立. 定理3 是带v个顶点， 条边， 定理3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的连通的平面 图，则 v-e+r=2。（欧拉公式） e+r=2。（欧拉公式） 。（欧拉公式 证明:(1)当n=e=1时 如下图,结论显然成立. 证明:(1)当n=e=1时,如下图,结论显然成立. :(1)
e j i d c (a) (b)H f g h e i h e i (c)K3,3 h f b a c d g j f d
j
说明:库拉图斯基给出了平面图的充要条件,但用它并不能 说明:库拉图斯基给出了平面图的充要条件, 判别一个图是否是平面图的有效算法. 判别一个图是否是平面图的有效算法. 定义2 设G是阶大于等于3的简单可平面图，若在任意两 定义2 是阶大于等于3的简单可平面图， 个不相邻的结点v 之间加入边{v 个不相邻的结点vi,vj之间加入边{vi,vj}，就会破坏图的 平面性，则称G 平面性，则称G是极大平面图。极大平面图的平面表示称 。 为三角剖分平面图. . 定理2. 极大平面图的判别定理:v阶简单平面图G是极大平 :v阶简单平面图 定理2. 极大平面图的判别定理:v阶简单平面图G 面图的充要条件是: 面图的 是 （1）G中每个面的度数都是3 中每个面的度数都是3 中有e条边r个面， （2） G中有e条边r个面，则3r=2e （3）设G带有v个顶点，e条边，r个面则 带有v个顶点， 条边， e=3v-6,r=2ve=3v-6,r=2v-4.
证明:首先建立图G=<V,E>,其中V就取平面上给定的n 证明:首先建立图G=<V,E>,其中V就取平面上给定的n G=<V,E>,其中 个点( ),当两个顶点之间的距离为 个点(位置相同),当两个顶点之间的距离为1时,两顶 ),当两个顶点之间的距离为1 点之间用一条直线段连接,显然图G是一个n阶简单图. 点之间用一条直线段连接,显然图G是一个n阶简单图.
推论4 推论4
设G是任意平面简单图，则δ(G)≤5。 是任意平面简单图， (G)≤
证明: 证明:设G有v个顶点e条边.若e≤6,结论显然成立; 个顶点e条边. 6,结论显然成立; 结论显然成立 e>6,假设 的每个顶点的度数≥6,则由推论1,有 假设G 则由推论1, 若e>6,假设G的每个顶点的度数≥6,则由推论1,有 2(3v6v ≤2e ≤2(3v-6) 矛盾,所以δ(G)≤ 矛盾,所以δ(G)≤5. 平面上有n个顶点， 例4 平面上有n个顶点，其中任两个点之间的距 离至少为1 证明：在这n个点中距离恰好为1 离至少为1，证明：在这n个点中距离恰好为1的 的点对数至多是3n 3n的点对数至多是3n-6。
v=2,e=1,r=1
v=1,e=1,r=2
(2)下用 下用数学归纳法证明 证明. 下用 证明 假设公式对n条边的图成立 设 有 条边. 假设公式对 条边的图成立.设G有n+1条边 条边的图成立 条边 任取一点x,从结点 开始沿路行走.因 若G不含圈,任取一点 从结点 开始沿路行走 因G 任取一点 从结点x开始沿路行走 不含圈,所以每次沿一边总能达到一个新结点 所以每次沿一边总能达到一个新结点,最后会 不含圈 所以每次沿一边总能达到一个新结点 最后会 达到一个度数为1的结点 不妨设为a,在结点 的结点,不妨设为 在结点a不能再继 达到一个度数为 的结点 不妨设为 在结点 不能再继 续前进.删除结点 及其关联的边得图G’,G’含有 条边. 续前进 删除结点a及其关联的边得图 含有n条边 删除结点 及其关联的边得图 含有 条边 由假设公式对G’成立 成立,而 比 多一个结点和一条边 多一个结点和一条边,且 由假设公式对 成立 而G比G’多一个结点和一条边 且 G与G’面数相同 故公式也适合于 面数相同,故公式也适合于 与 面数相同 故公式也适合于G. 是圈C上的一边 则边y一定是两个 若G含有圈C,设y是圈 上的一边 则边 一定是两个 设 是圈 上的一边,则边 不同面的边界的一部分.删除边 得图G’,则 有 条边 删除边y得图 条边. 不同面的边界的一部分 删除边 得图 则G’有n条边 由假设公式对G’成立而 成立而G比 由假设公式对 成立而 比G’多一边和多一面,G与G’ 和 与 得顶点数相同.故公式也成立 故公式也成立. 得顶点数相同 故公式也成立
第四章 平面图 第一节 平面图 定义1 如果图G能示画在曲面S(如球面，环面)上且 使得它的边仅在端点处相交，则称G可嵌入曲面S。 如果G可嵌入平面上，则称G是可平面图，已经嵌 是可平面图 ~ G 入平面上的图，称为G的平面表示 的平面表示。 的平面表示
~ 可平面图G与G的平面表示 G 同构，都简称为
平面图。 平面图 (球极投影)
定理1 可嵌入球面⇔ 可嵌入平面。 定理1 图G可嵌入球面⇔图G可嵌入平面。 例1 是否可平面性？ Q3是否可平面性？
定义2 (平面图的面 边界和度数). 平面图的面, 定义2 (平面图的面,边界和度数). 设G是一个平面图，由G中的边所包围的区域， 是一个平面图， 中的边所包围的区域， 在区域内既不包含G的结点，也不包含G的边， 在区域内既不包含G的结点，也不包含G的边， 这样的区域称为G 这样的区域称为G的一个面。有界区域称为 。有界区域称为内 部面，无界区域称为 ，无界区域称为外部面。包围面的长度最 。 短的闭链称为该面的边界。面的边界的长度称 短的闭链称为 。 为该面的度数。 。
推论1 是非平面图. 推论1知,K5是非平面图. 显然K 没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边, 显然K3,3没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边, 因而9>2*6 4,由推论 9>2*6- 由推论2 是非平面图. 因而9>2*6-4,由推论2知K3,3是非平面图. 推论3 是带v个顶点， 条边， 推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面 r=1+w。其中w 的连通分支数。 图，则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。 证明:由欧拉公式有: =2(i=1,2,…,w) 证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2, ,w) 从而有 ∑ vi- ∑ ei+ ∑ ri =2w =r+(w-1)(外部面被重 又∑ vi=v, ∑ ei=e, ∑ ri =r+(w-1)(外部面被重 复计算了w ).所以有 所以有: 复计算了w-1次.).所以有: e+r+(wV-e+r+(w-1)=2w 整理即得: v整理即得: v- e+ r=1+w.
a o
θ
y b
a
x b (b) y
x
(a)
第2 节
库拉图斯基定理与极大平面
定义1 定义1 设G是一个平面图，通过删除G的一条边{x、y},并 增加一个新结点a和两条边{x 、a}与{a、y}（所获得的任 何图也是平面图），这样的操作称为初等细分 初等细分。若可以从 初等细分 相同的图G通过一系列初等细分来获得图G1和G2，称G1和G2 称 是同胚的. 是同胚的. 如下图G1,G2,G3是同胚的.
证明:必要性: 证明:必要性:因G是简单图,故G中没有环和平行边,故不 是简单图, 中没有环和平行边, 存在度数为1 的面.假设G存在度数大于3的面f, f,不妨 存在度数为1或2的面.假设G存在度数大于3的面f,不妨 为内部面,如下图G,显然v G,显然 不相邻,在面f 设f为内部面,如下图G,显然v1与v3不相邻,在面f内加入 },图 的平面性显然没有改变,这与图G 面{v1,v3},图G的平面性显然没有改变,这与图G是极大平 面图矛盾.因此图G的每个面的度数为3,所以有3r=2e 3,所以有3r=2e且 面图矛盾.因此图G的每个面的度数为3,所以有3r=2e且 e=3v-6,r=2v-4(欧拉公式 欧拉公式) e=3v-6,r=2v-4(欧拉公式) 充分性显然. 充分性显然.
指出下图所示平面图的面、 例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。 面的度数。
e1 f1 e 4 4 f4 e5 e2 e3 6 5 f5
3
1
e10 2 e7 f 3 e6 Байду номын сангаас2 e8 e9 7
其边界1e 解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 其边界1e 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 其边界2e 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 其边界3e 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f 外部面f5, 其边界1e 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
由推论1,只要证明 为一平面图时 即知结论成立. 由推论 只要证明G为一平面图时 即知结论成立 只要证明 为一平面图时,即知结论成立 中存在两条不同的边{a,b}和{x,y}相交于 相交于非端点 反设 G中存在两条不同的边 中存在两条不同的边 和 相交于 如下图(a)所示 其夹角为θ 处o,如下图 所示 其夹角为θ(0< θ <π). 如下图 所示,其夹角为 π 这时如下图(b),显然存在两点距离小于 若θ =π,这时如下图 显然存在两点距离小于 π 这时如下图 显然存在两点距离小于1,与已知 矛盾,从而 从而0< 由于a到 的距离为 的距离为1,x到 的距离为 的距离为1, 矛盾 从而 θ <π.由于 到b的距离为 到y的距离为 π 由于 因此a,b,x,y中至少有两个点 从交点 到这两点的距离不 中至少有两个点,从交点 因此 中至少有两个点 从交点o到这两点的距离不 超过1/2,不妨设为 则点 与x之间的距离小于 不妨设为a,x,则点 则点a与 之间的距离小于 之间的距离小于1,与已知 超过 不妨设为 矛盾,所以 中的边除端点外不再有其它交点,即G为平面 所以G中的边除端点外不再有其它交点 即 为平面 所以 中的边除端点外不再有其它交点 再据推论1知 结论成立 结论成立. 图.再据推论 知,结论成立 再据推论