部分高中高三元月调考数学文试卷含答案[640512]
【数学】湖北省宜昌市高三元月调研考试试题(文)(解析版)
湖北省宜昌市高三元月调研考试数学试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B 由可知：， 由得：故选：D 2.命题：“，”，则为（ ）A. ，B. ，C.，D.，【答案】C【解析】由全称命题的否定直接判断。
命题：“，”， 则为：，故选：C 3.等比数列的前项和为，若，则公比（ ）A. 1B. -1C.D. -2【答案】C【解析】利用等比数列的通项公式及的记法即可得出．且为等比数列，又故选：C 4.已知直线的倾斜角为，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】由得：，tan α=3，又=故选：D 。
5.已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解． ，即：又，向量与向量的夹角的余弦为，向量与向量的夹角为： 故选：B 6.已知的内角，，所对三边分别为，，，则“”是“为钝角”的（ ）条件.A. 充分不必要B. 充要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】，又为钝角，但为钝角“”是“为钝角”的必要不充分条件.7.我国古代《九章算术》将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。
如图是一个鳖臑的三视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖臑的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的体对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥；扩展为长方体，使其外接于球，它的对角线的长为球的直径： 长方体对角线的长为：该三棱锥的外接球的表面积为：。
2020届湖北省第五届高考测评活动高三元月调考数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省第五届高考测评活动高三元月调考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，集合{}2|0B x x x =-<，则A B =I （ ）A ．∅B ．(,1)-∞C ．(0,1)D ．(,0)-∞【答案】D【解析】解不等式求得集合B,即可根据交集的运算求得A B I . 【详解】集合{}2|0B x x x =-<,即{}|01B x x x =<>或 集合{}|1A x x =≤所以A B =I {}{}{}|1|01|0x x x x x x x =≤⋂<>=<或 故选:D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合交集的简单运算,属于基础题 2．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【答案】C【解析】试题分析：∴(1)1z i i -=+，∴z=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C. 【考点】复数运算3．已知直线1:10l ax y ++=，22:0l x ay ++=，则“1a =”是“直线1l 与2l 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分必要条件的判断方法,将1a =代入,由斜率关系判断两条直线是否平行;由两条直线平行时斜率相等,求得a 的值即可判断. 【详解】直线1:10l ax y ++=,22:0l x ay ++=,当1a =时,代入可得直线1:10l x y ++=,22:0l x y ++=则121k k ==-且12b b ≠,所以12l l P ,即“1a =”是“直线1l 与2l 平行”的充分条件;当12l l P 时,因为1k 的斜率一定存在,所以满足12k k =,即1a a-=-,解方程得1a =±,所以“1a =”是“直线1l 与2l 平行”的不必要条件.综上可知, “1a =”是“直线1l 与2l 平行”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】本题考查了直线平行时斜率关系,充分必要条件的判断,属于基础题.4．函数2ln(1)()x x f x +-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别计算()0f ，()1f 的值，利用函数值的对应性进行排除即可． 【详解】()ln1002f ==，排除C ，D ；())1ln 2110f e e-=<+，排除B ，故选A ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等. 5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A ．964B ．449C ．225D ．27【答案】B【解析】求得120ADB ∠=︒，在ABD V 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒Q ，在ABD V 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=Q ，224()749DEF ABC S S ∴==V V ． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．执行如图的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．-1B ．32-C ．0D ．12【答案】B【解析】根据程序框图中三角函数解析式,可知263T ππ==,因而计算出前6个循环的S值,由周期性写出后面几项,即可得输出的S 值. 【详解】由程序框图可知,0,1S n ==,cos3n S S π=+则 10cos,32S π=+=因为12019,≤所以2n = 12cos 0,23S π=+=因为22019,≤所以3n =0cos 1,S π=+=-因为32019,≤所以4n = 431cos,32S π=-+=-因为42019,≤所以5n = 35cos 1,23S π=-+=-因为52019,≤所以6n =1cos20,S π=-+=因为62019,≤所以7n =由以上可知,当6,n k k Z +=∈时0S =所以32015cos 1,23S π=-+=-因为20152019,≤所以2016n = 20161cos 0,3S π=-+=因为20162019,≤所以2017n =201710cos ,32S π=+=因为20172019,≤所以2018=n12018cos 0,23S π=+=因为20182019,≤所以2019n =20190cos 1,3S π=+=-因为20192019,≤所以2020n =202031cos ,32S π=-+=-因为20202019≥所以输出S输出的32S =-故选:B 【点睛】本题考查了程序框图中循环结构的应用,利用周期性判断最后输出的值,三角函数周期性的应用,属于中档题.7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的图象如图，则满足()()0f m x f m x +--=的最小正数m 的值为（ ）A ．12πB ．6π C ．3π D ．512π 【答案】A【解析】根据函数图象,先求得函数()f x 的解析式.再根据()()0f m x f m x +--=可知x m =为函数的对称轴,即可根据正弦函数的对称性求得最小正数m 的值. 【详解】由函数()f x 的图象可知,1A =23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯所以22πωπ==即()()sin 2f x x ϕ=+,||2πϕ⎛⎫<⎪⎝⎭将7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解析式可得71sin 212πϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭即7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=+∈ 因为||2ϕπ<所以当0k =时, 3πϕ=即()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭由()()0f m x f m x +--=可知函数()f x 关于x m =对称 则2,32πππ+=+∈x k k Z解得,122k x k Z ππ=+∈所以当0k =时, 12x m π==即最小正数m 的值为12π故选:A 【点睛】本题考查了根据部分函数图象求三角函数解析式,由正弦函数的性质求对称轴,属于基础题.8．已知ln a π=，5log 2b =，12c π-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数函数和幂函数图像与性质,结合中间量法,即可比较大小. 【详解】由对数的图像与性质可知ln ln 1a e π=>=,所以1a >由对数的图像与性质可得5510log 2log 2b <=<=,所以102b <<而212121c πππ--⎛⎫= ⎪⎭==⎝,所以2111142π⎛⎫>>= ⎪⎝⎭,即2212c ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以112c <<综上可知, b c a << 故选:D 【点睛】本题考查了对数函数与幂函数的图像与性质,由中间量法比较大小,属于中档题.9．已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点，点P 在椭圆上，满足||||OP OF =（O 为坐标原点），则OPF △的面积为（ ）A ．14B ．12C D ．34【答案】B【解析】根据题意,设另一个焦点为1F .画出椭圆的图形,由边长||||OP OF =相等关系可证明焦点三角形1OPF 为直角三角形.由焦点三角形面积公式即可求得21F PF S ∆,进而求得OPF S ∆.【详解】由F 为椭圆2214x y +=的一个焦点,设另一个焦点为1F ,几何图形如下图所示:因为||||OP OF =,则1||||||OP OF OF == 所以11,PFO OPF PF O OPF ∠=∠∠=∠由三角形内角和定理可知1190PFO PF O OPF OPF ∠+∠=∠+∠=o即焦点三角形1OPF 为直角三角形. 所以2121tan 1tan 4512F PF FPF S b ∆∠==⨯=o 则211111222OPF F PF S S ∆∆==⨯= 当P 关于y 轴对称,此时11111222OPF OPF S S ∆∆==⨯=成立 综上可知, 12OPF S ∆= 故选:B 【点睛】本题考查了椭圆中焦点三角形的面积求法,椭圆的几何性质应用,属于基础题.10．已知点(2,0)A -，(5,7)B ，圆22:40C x y x m +-+=，若在圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ︒∠=，则m =（ ）A ．2B ．68-C ．2或68-D ．2-或68-【答案】C【解析】根据圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ︒∠=,可知以(2,0)A -,(5,7)B 为直径的圆与圆22:40C x y x m +-+=相切即可,分别讨论内切与外切两种情况,由圆与圆相切时两个圆半径的关系即可求得m 的值. 【详解】因为圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ︒∠=所以以(2,0)A -,(5,7)B 为直径的圆与圆22:40C x y x m +-+=相切 由中点坐标公式可得(2,0)A -,(5,7)B 两点的中点坐标37,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭由两点间距离公式可知B A == 所以以AB 为直径的圆M的半径为1r =将圆22:40C x y x m +-+=化简可得()2224x y m -+=-,因而圆C 的圆心为()2,0,半径为2r =当圆M 与圆C 外切时, 12MC r r =+,=0=,方程无解,所以不存在m 的值使圆M 与圆C 外切当圆M 与圆C 内切时, 12MC r r =-,=化简可得2=若22=-=解得2m =若22==解得68m =- 所以当2m =或68m =-时满足圆M 与圆C 内切,即此时圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ︒∠=故选:C 【点睛】本题考查了圆的几何性质,圆与圆位置关系的判断与应用,圆与圆内切与外切两种情况下的半径关系及分类讨论,属于中档题.11．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设()13sgn 2n n a n +=-，n S 为数列{}n a 的前n项和，则使0n S =的所有n 值的和为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】A【解析】令()132n f n n +-=,求得函数的零点,并根据函数单调性增长的快慢,即可求得0n S =时n 的值,进而即可求得所有满足0n S =的n 的和.【详解】 令()132n f n n +-=则函数()f n 的零点为1320n n +-=, 当2n =时, ()0f n =当8n =时, ()0f n =,根据指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度可知, 函数()f n 只有这两个零点而当1n =时, 1320n n +-> 当28,n n N <<∈时, 1320n n +-< 当8,n n N <∈时,1320n n +->而由符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,()13sgn 2n n a n +=-,n S 为数列{}n a 的前n 项和因为()()()10,20,30f f f >=<所以()()()12311,20,31a f a f a f ======-,即()31231010S a a a =++=++-=同理可得38,n n N <<∈时, ()1n a f n ==-,即45674a a a a +++=- 而8,n n N <∈时, ()1n a f n == 若0n S =,则需91011124a a a a +++=所以1234567891011120S S a a a a a a a a a =+++++++++= 综上可知,满足0n S =时n 的值分别为3n =和12n = 所以0n S =时n 的值的和为31215+= 故选:A【点睛】本题考查了新定义的应用,符号函数的用法,数列中片段求和的应用,属于中档题. 12．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x --=，当0x >时，()1f x '>，若(21)()1f x f x x --≥-，则x 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】根据()()2f x f x x --=,将不等式(21)()1f x f x x --≥-变形为(21)(21)()f x x f x x ---≥-.构造函数()()g x f x x =-,由()1f x '>可知()g x 在0x >时为单调递增函数,可解不等式求解.再令0x <,代入不等式求解即可.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x --=,则()()f x x f x x -=-+ 令()()g x f x x =-,则()''()1g x f x =- 当0x >时,()1f x '> 即()10f x '->所以当0x >时, ()()g x f x x =-单调递增函数.由()()f x x f x x -=-+得()()g x g x =-，所以()g x 为偶函数. 而不等式(21)()1f x f x x --≥-可化为(21)(21)()f x x f x x ---≥- 即(21)()g x g x -≥，即(|21|)(||)g x g x -≥ 由()()g x f x x =-在0x >时单调递增 可知|21|||x x -≥,解不等式可得1x ≥或13x ≤综上可知,不等式的解集为1,[1,)3x ⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦故选:C 【点睛】本题考查了导数在函数的单调性中的综合应用,由导数性质解不等式,构造函数法是导数中常用来研究函数的方法,属于难题.二、填空题13．已知平面向量a b r r，满足(1,1)a =-r ，||1b =u u r，|2|a b +=r ra r 与b r的夹角为________. 【答案】34π【解析】将|2|a b +=rr两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a r 与b r 的夹角的余弦值,进而求得a r 与b r的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-r,则a =r因为|2|a b +=r r,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=r r r r代入a =r ||1b =u u r可得1a b ⋅=-r r设,a b r r夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得cos a b a bα⋅==⋅=r r r r 因为0απ≤≤ 所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.14．若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最小值为________.【答案】3【解析】根据不等式组,画出可行域,即可求得线性目标函数2z x y =+的最小值. 【详解】根据不等式组,画出可行域如下图所示:由图像可知,将12y x =-平移可得122z y x =-+所以当经过点A 时,直线所得截距最小,解方程组210210x y x y --=⎧⎨-+=⎩可得()1,1A则21213z x y =+=+⨯= 即2z x y =+的最小值为3 故答案为:3 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数最值的求法,属于基础题. 15．若tan tan 42424απαπ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin cos αα=________. 【答案】25【解析】根据正切函数的和角与差角公式,展开化简并结合正切的二倍角公式,可求得tan α.再由同角三角函数关系式及正弦的二倍角公式,即可求得sin cos αα的值.【详解】根据正切函数的和角与差角公式,将tan tan 42424απαπ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开化简可得 tantantantan242441tan tan 1tan tan 2424απαπαπαπ-++=+⋅-⋅,即tan1tan 12241tan 1tan22αααα-++=+- 通分化简可得222tan241tan 2αα⨯=-由正切的二倍角公式22tan2tan 1tan2ααα=-可知2tan 4α=即tan 2α=由同角三角函数关系式可知22sin 2cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 解得22sin 2cos 4sin 51cos 5αααα⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,因为22sin cos 2cos 5ααα== 故答案为: 25【点睛】本题考查了正切函数的和角公式与差角公式的应用,正弦与正切二倍角公式的用法,同角三角函数关系式的应用,属于中档题.16．过抛物线212y x =的焦点F 直线交抛物线于A ，B 两点，设||AF m =，||BF n =.①当4m =时，n =________；②18m n-的最小值为________. 【答案】126 【解析】根据抛物线过焦点弦的性质112||||AF BF p+=即可求得||BF n =的值;将112||||AF BF p+=等式代入,结合基本不等式即可求解. 【详解】过抛物线212y x =的焦点F 直线交抛物线于A ,B 两点,设||AF m =,||BF n = 则由抛物线方程可知6p =由过抛物线焦点弦的性质可知112||||AF BF p +=,即1126m n += 当4m =时,11246n +=,解得12n = 因为1126m n +=则1216n m=- 所以1821181866m m m n m m ⎛⎫-=-⨯-=+- ⎪⎝⎭因为0m >由基本不等式可知18666m m+-≥=当且仅当18m m=时取等号,即m =所以18m n-的最小值为6 【点睛】本题考查了抛物线焦点弦的性质及应用,利用基本不等式求最值,属于中档题.三、解答题17．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21(2)n n n a S S n -=+≥，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b a kn =+，若{}n b 是递增数列，求实数k 的取值范围.【答案】（1）n a n =；（2）(3,)-+∞【解析】（1）利用递推公式可得211n n n a S S ++=+,再与原式作差即可得数列{}n a 的公差,结合首项11a =, 可求得数列{}n a 的通项公式.检验2n =时也成立即可.（2）根据数列的单调递增,可知10n n b b +->,将数列{}n a 的通项公式代入,解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）由已知,21(2)n n n a S S n -=+≥利用递推公式可得211(1)n n n a S S n ++=+≥两式相减,11(2)n n a a n +-=≥2n =时,22121a a a a =++ ∴2222a a =+,20a >,22a =因此2n =时,11n n a a --=成立 ∴数列{}n a 是等差数列,公差为1,11a =∴11n a n n =+-=（2）将n a n =代入数列{}n b ,可得2n b n kn =+∵{}n b 为递增数列∴10n n b b +->对任意正整数n 恒成立 即10n n b b +->所以()()22110n k n n kn +++--> ∴21>--k n 对任意正整数n 恒成立 ∴max (21)3k n >--=- ∴实数k 的取值范围是(3,)-+∞. 【点睛】本题考查了递推公式在数列中的综合应用,等差数列通项公式的求法,根据数列的单调性求参数的取值范围,属于基础题.18．在ABC V 中，AC =AD 为BAC ∠的平分线，点D 在线段BC 上，CD =，4ADC π∠=.（1）求AD 的长； （2）求cos B 的值.【答案】（1）5；（2 【解析】（1）设AD x =,在ACD ∆中,由余弦定理即可求得AD 的长;（2）设2A θ=,在ACD ∆中,由余弦定理可求得cos θ,由4B πθ=-及sin 13θ=即可利用余弦的差角公式求得cos B . 【详解】 （1）设AD x =在ACD ∆中,由余弦定理22824AC x x π=+-⨯⨯∴2450x x --=,得5x =,即5AD = （2）设2Aθ=∴θ为锐角.在ACD ∆中,由余弦定理222313cos 213AC AD CD AC AD θ+-==⨯ ∴213sin θ= ∵4B πθ=-∴526cos cos cos cos sin sin 444B πθθππθ⎛⎫- ⎪⎝+=⎭==. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,余弦的差角公式在三角形中的应用,属于基础题.19．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为合理配置旅游资源，现对已游览某签约景区的游客进行满意度调查.随机抽取100位游客进行调查评分（满分100分），评分的频率分布直方图如图.（1）求a 的值并估计评分的平均数；（2）为了了解游客心声，调研机构用分层抽样的方法从评分为[60,65)，[65,70)的游客中抽取了6名，听取他们对该景区建设的建议.现从这6名游客中选取2人，求这2人中至少有一个人的评分在[60,65)内的概率；（3）为更广泛了解游客想法，调研机构对所有评分从低到高排序的前86%游客进行了网上问卷调查并随调查表赠送小礼品，估计收到问卷调查表的游客的最高分数. 【答案】（1）0.03a =，78.25；（2）35；（3）87 【解析】（1）根据频率和为1即可求得a 的值;根据平均数的求法,代入即可求得评分的平均数.（2）在[60,65),[65,70)的游客中抽取了6名,其中在[60,65)抽取2人,在[65,70)中抽取4人,根据古典概型概率求法,列举出所有可能,即可求得至少有一个人的评分在[60,65)内的概率.（3）先求得从低分到高分排列, 最低的前86%最高分落在的评分区间,利用百分比即可求得最高分. 【详解】（1）由5(0.010.0220.060.040.01)1a ⨯+++++=,得0.03a =. 游客评分的平均数为：62.50.0567.50.172.50.1577.50.382.50.287.50.1592.50.0578.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）抽取的6名游客,评分在[)65,70内的4个,记为1,2,3,4, 在[)60,65内的2个,记为5,6从这6人随机选取2人,有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,35,56共15中选法,其中至少有一个在[)60,65内有15,16,25,26,35,36,45,46,56共9种 由古典概型,93155P ==. （3）评分低于85分的概率为0.050.10.150.30.20.8++++= 故评分最低的前86%最高分在[)85,90 设最高分为x ,由(85)0.030.06x -⨯= 得87x = 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,由频率分布直方图求参数及平均值,古典概型概率的求法,属于基础题.20．已知()sin cos sin f x kx x x a x =-+（k ，a 为实数） （1）当0k =，1a =时，求()f x 在[0,]π上的极值； （2）当2k =时，若()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围.【答案】（1（2）11a -≤≤ 【解析】（1）代入0k =,1a =,求得()sin cos sin f x x x x =-+,并求得导函数()(2cos 1)(1cos )f x x x '=+-,令()'0f x =求得极值点,根据极值点两侧函数的单调性即可求得在[0,]π上的极值.（2）代入2k =,利用22()2(cos sin )cos 0f x x x a x '=--+≥对x ∀∈R 恒成立,可得关于cos x 的二次不等式,根据二次不等式性质即可a 的取值范围. 【详解】（1）当0k =,1a =时,()sin cos sin f x x x x =-+222()(cos sin )cos 2cos cos 1(2cos 1)(1cos )f x x x x x x x x '=--+=-++=+-∴23()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭==极大值 （2）()f x 在R 上单调递增,则22()2(cos sin )cos 0f x x x a x '=--+≥对x ∀∈R 恒成立.得22cos cos 30x a x --≤设[]cos 1,1t x =∈-,2()23g t t at =--则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立由二次函数图象(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩得11a -≤≤ 【点睛】本题考查了导数在函数极值中的应用,根据导数求参数的取值范围,属于基础题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，直线l 经过2F 与椭圆交于P ，Q 两点.当1PF 与y 轴的交点是线段1PF 的中点时，||3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 不垂直于x 轴，若(,0)T t 满足||||TP TQ =，求t 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】（1）根据椭圆的离心率及通径即可得a b c 、、的等量关系,进而求得a b c 、、的值,即可得椭圆的标准方程.（2）当l 与x 轴重合时易得0t =,当l 不与x 轴平行时,设:1l x my =+,11(,)P x y ,22(,)Q x y .联立椭圆方程,由韦达定理表示出PQ 中点D ,进而表示出直线DT 的方程,用m 表示出t ,即可求得t 的取值范围. 【详解】（1）当1PF 与y 轴的交点是1PF 的中点时,l y P 轴,PQ 为通径由21232c a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得2a =,b =1c =椭圆方程22143x y +=（2）当l 与x 轴重合,PQ 为长轴二端点,T 为原点,此时0t = 否则设:1l x my =+,由题意0m ≠,代入椭圆方程22(34)690m y my ++-=,2144(1)0m ∆=+>恒成立设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,设PQ 中点00(,)D x y 则12023234y y m y m +-==+,0024134x my m =+=+ 直线DT 的斜率为m -,224343:34m DT y m m x m ⎛⎫- ⎪++⎝-+⎭=,0m ≠,0y = 得2134t m =+∴10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上,10,4t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,过定点的直线与抛物线的位置关系,韦达定理在圆锥曲线中的应用,属于中档题.22．已知()(1)ln 1()xe f x a x x a e=--+-∈R ，其中e 为自然对数的底数.（1）设()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（2）若1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）2a ≤【解析】（1）先求得定义域,再求得()f x ',即可根据()g x '的符号判断()g x 的单调性,进而求得单调区间.（2）根据（1）,结合x 的取值范围,即可求得()2f x a '≥-,对a 分类讨论,分析()f x 的单调性,进而可知在0(1,1ln )x a ∈+时,0()0f x '=.最后根据题意舍去不符合要求的解,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞1()x e f x a e x '=+-,1()()xe g xf x a e x '==+-∵21()x e g x e x'=-,()g x '在(0,)+∞上递增,且(1)0g '=∴(0,1)x ∈时,()0g x '<,则()g x 在(0,1)上单调递减(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 在(1,)+∞上单调递增（2）由（1）()g x 在(1,)+∞上单调递增,即()f x '在(1,)+∞上递增则1x ≥时,()(0)2g x g a ≥=-,即()2f x a '≥-∴2a ≤时,()0f x '≥,()f x 在[)1+∞，上递增,()(1)0f x f ≥=,符合题意 2a >时,()f x '在[)1+∞，上递增 ∵(1)20f a '=-<,1(1ln )0ln 1f a a '+=>+故存在0(1,1ln )x a ∈+时,0()0f x '=则0(0,)x x ∈时,()0f x '<,此时()(1)0f x f ≤=,不合题意,舍去.第 21 页 共 21 页 综上,若1x ≥时,()0f x ≥恒成立,则2a ≤【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用,由导数解决不等式中的参数取值范围问题,综合性强,是高考的重难点,属于难题.。
湖北省2021-2022届高三数学上学期元月调考试题文(含解析)
湖北省荆门市2020届高三数学上学期元月调考试题文（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.1.已知集合A={I I0<X<1}, fi = （xl3l<l）.则（）A. AD8 = {m<0}B. AUB = Rc. AuB = {xlxvl} D. AQB = 0【答案】D【解析】【分析】首先利用指数函数的单调性求岀集合B,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由 ^ = {xl3t<l} = {.v|x<0}, A={x\0<x<\},所以人C|B = 0, A<J B={X\X<0或Ovxvl},故选：D【点睛】本题考查了集合的交、补运算，同时考査了指数函数的单调性解不等式，届于基础题.2.设i是虚数单位，则（1-0-|等于A. 0B. 4C. 2D. y/2【答案】D【解析】，U丁）匚2=izl=Lz22i=]+j,所以p-O-y =|i+，|=7i试题分析：因为（IT）_E=故答案为D.考点：复数的运算.3.下列各式中错误的是（）• ♦A. 08’>0.73B. lgl.6>lgl.4C. log05 0.4> log050.6D.0.75^* < O.7504t答案】D【解析】【分析】构造基本初等函数，结合函数的单调性判断.【详解】函数），= ?为增函数，所以O.8SO.73.故选项A正确；函数.y = lgx为增函数，所以lgl.6>lgl.4,故选项B正确；函数y = logo.5 x减函数.所以logos。
高三上册文科数学第一次月考试题(有答案)
高三上册文科数学第一次月考试题（有答案）2021高三上册文科数学第一次月考试题〔有答案〕测试时间：120分钟全卷总分值150分第一卷一、选择题：(本大题共有12道小题，每题5分，在每题所给的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的。
)1.集合，，那么 ( )A. B. C. D.2. 设，那么 ( )A. B. C. D.3.假定偶函数在上是增函数，那么以下关系式中成立的是( )A. B.C. D.4.函数的定义域是( )A. B. C. D.5.设表示中的最小数，表示中的最大数，假定是恣意不相等的两个实数，，那么 ( )A. B. C. D.6.设点 ( )都在函数 ( 且 )的图象上，那么与的大小关系是( )A. B.C. D. 与的大小与的取值状况有关7.下面给出四个命题：：假定，那么的逆否命题是假定，那么：是假命题，那么都是假命题;：的否认是：设集合，，那么是的充沛不用要条件其中为真命题的是( )A. 和B. 和C. 和D. 和8.设实数是函数的零点，那么( )A. B. C. D.9.函数的图象大致是( )10.函数与函数互为反函数，且有，假定，那么的最小值为( )A. B. C. D.11.函数，关于，以下不等式恒成立的是( )A. B. C. D.12.定义在上的奇函数，当时，，那么在上关于的函数 ( )的一切的零点之和为( )A. B. C. D.第二卷二、填空题：(本大题共有4道小题，每题5分)13.幂函数的图象经过点，那么此函数的解析式表达式是 .14.设，那么的最小值是 .15.命题，命题，假定是的必要条件，那么实数的取值范围是 .16.下面给出四个命题：①函数的零点在区间内;②假定函数满足，，那么③假定都是奇数，那么是偶数的逆否命题是假定不是偶数，那么都不是奇数④假定，那么函数只要一个零点的逆命题为真命题.其中一切正确的命题序号是 .三、解答题：(有6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤)17.(此题总分值12分)设函数f(x)=log2(ax-bx) 且f(1)=1，f(2)=log212.(1)求a、b的值;(2)当x[1,2]时，求f(x)的最大值.18.(此题总分值12分)函数f(x)=x+1x+2.(1) 求f(x)的值域;(2) 假定g(x)=f(x)x+ax，且g(x)在区间(0,1)及(1,2)上区分存在一个零点，务实数a的取值范围.19.(此题总分值12分)函数f(x)=(x+2)|x-2|.(1) 假定不等式f(x)a在[-3,1]上恒成立，务实数a的取值范围;(2) 解不等式f(x)3x.20.(此题总分值12分)某服装厂消费一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓舞销售商订购，决议当一次订购量超越100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，依据市场调查，销售商一次订购量不会超越600件.(1)设一次订购x件，服装的实践出厂单价为p元，写出函数p=f(x)的表达式;(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂取得的利润最大?其最大利润是多少?21.(此题总分值12分)设函数，其中，区间 .(1)求区间的长度;(区间的长度定义为 )(2)给定常数，当时，求区间长度的最小值.四、选做题：22.(此题总分值10分)选修41：几何证明选讲如图，是直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，衔接交圆于点 .(1)求证：、、、四点共圆;(2)求证：23.(此题总分值10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相反的长度单位，树立极坐标系，设曲线C 参数方程为 ( 为参数)，直线的极坐标方程为 .(1)写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点到直线的最大距离.24.(此题总分值10分)选修45：不等式选讲(1) 、都是正实数，求证： ;(2)设不等的两个正数、满足，求的取值范围.。
湖北省武汉市江岸区元月调考2024届高三数学答案
２０２３~２０２４学年度高三元月调考数学试卷参考答案一㊁选择题:１．B ㊀㊀２．C ㊀㊀３．A㊀㊀４．A㊀㊀５．C ㊀㊀６．B ㊀㊀７．B ㊀㊀８．A 二㊁选择题:９．B C ㊀㊀１０．A C D㊀㊀１１．A B D㊀㊀１２．A C D 三㊁填空题:１３．１１或１７㊀㊀㊀㊀㊀㊀１４．２３６,１３３éëêêöø÷１５．５６２３㊀㊀㊀㊀㊀１６．２＋１２四㊁解答题:１７．(１)已知２c o s B ＋C ()b c ＝c o s B a b ＋c o s C a c,由B ＋C ＝π－A ,有c o s B ＋C ()＝－c o s A ,所以－２c o s A b c ＝c o s B a b ＋c o s Ca c,两边同乘以a b c 得:－２a c o s A ＝c c o s B ＋b c o s C ．由正弦定理得:－２s i n A c o s A ＝s i n C c o s B ＋c o s C s i n B ＝s i n B ＋C ()＝s i n A ．由A ɪ０,π(),s i n A ʂ０,所以c o s A ＝－１２,A ＝２π３．(２)因为D 在B C 边上,且B D ＝３D C ,所以A D ң＝A B ң＋B D ң＝A B ң＋３４B C ң＝A B ң＋３４A C ң－A B ң()＝１４A B ң＋３４A C ң．因为D A ʅB A ,所以A D ң A B ң＝０,则１４A B ң＋３４A C ңæèçöø÷ AB ң＝０即A B ң２＋３AC ң A B ң＝０,得A Bң２＝－３A C ң A B ң c o s A ,所以c ２＝３２b c ,２c ＝３b ．不妨设b ＝２,c ＝３．在әA B C 中,由余弦定理:a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝４＋９＋６＝１９,所以a ＝１９．由余弦定理:c o s C ＝a ２＋b ２－c ２２a b ＝１９＋４－９２ˑ１９ˑ２＝７１９３８．１８．(１)因为四边形A B C D 为平行四边形,且әA D E 为等边三角形,所以øB C E ＝１２０ʎ．又因为E 为C D 的中点,则C E ＝E D ＝D A ＝C B ,所以әB C E 为等腰三角形,可得øC E B ＝３０ʎ,øA E B ＝１８０ʎ－øA E D －øB C E ＝９０ʎ,即B E ʅA E ,因为平面A P E ʅ平面A B C E ,平面A P E ɘ平面A B C E ＝A E ,B E ⊂平面A B C E ,则B E ʅ平面A P E ,且A P ⊂平面A P E ,所以A P ʅB E ．１(２)作P O ʅA E ,过O 作O y ʊEB ,由面A P E ʅ面A BC E 得P O ʅ面A B CE则O A ,O y ,O P 两两垂直,建立如图所示空间直角坐标系．P (０,０,３),A (１,０,０),E (－１,０,０)B (－１,２３,０),C (－２,３,０)设平面P A C 的一个法向量为 m ＝(x １,y １,z １)由 m P A ң＝０ m A C ң＝０{知x １＝３z １y １＝３x １{可取 m ＝(３,３,１)同理得平面P B E 的一个法向量 n ＝(－３,０,１)．设平面P A C 与平面P B E 的夹角为θ．则c o s θ＝mn | m ||n |＝－３＋１１３ˑ２＝１３１３．ʑ面P A C 与面P B E 夹角的余弦值为１３１３．１９．(１)函数f x ()＝e －a ()e x ＋x a ɪR (),x ɪR ,则f ᶄ(x )＝(e －a )e x＋１,当e －a ȡ０,即a ɤe 时,f ᶄ(x )＞０恒成立,即f (x )在R 上单调递增;当e －a ＜０,即a ＞e 时,令f ᶄ(x )＝０,解得x ＝－l n (a －e),x(－¥,－l n (a －e))－l n (a －e )(－l n (a －e ),＋¥)fᶄ(x )＋０－f (x )↗极大值↘综上所述,当a ɤe 是,f (x )在R 上单调递增;当a ＞e 时,f (x )在(－¥,－l n (a －e ))上单调递增,在(－l n (a －e ),＋¥)上单调递减．(２)f (x )ɤλa 等价于(e －a )e x ＋x －λa ɤ０,令h (x )＝(e －a )e x＋x －λa ,当a ɤe 时,h (１＋λa )＝(e －a )e １＋λa ＋１＞０,所以h (x )ɤ０不恒成立,不合题意．当a ＞e 时,f (x )ɤλa 等价于λa ȡf (a )m a x ,由(１)可知f (x )m a x ＝f (－l n (a －e ))＝－１－l n (a －e ),所以λa ȡ－１－l n (a －e ),对a ＞e 有解,所以λȡ－１－l n (a －e)a对a ＞e 有解,因此原命题转化为存在a ＞e ,使得λȡ－１－l n (a －e)a．令u (a )＝－l n (a －e )－１a,a ＞e ,则λȡu (a )m i n ,u ᶄ(a )＝－a a －e －l n (a －e )a ２＋１a ２＝l n (a －e )－ea －ea２,２令φ(a )＝l n (a －e )－e a －e ,则φᶄ(a )＝１a －e ＋e(a －e)２＞０,所以φ(a )在(e ,＋¥)上单调递增,又φ(２e )＝－e ２e －e ＋l n (２e －e )＝０,所以当e ＜a ＜２e 时,φ(a )＜０,u ᶄ(a )＜０,故u (a )在(e ,２e )上单调递减,当a ＞２e 时,φ(a )＞０,u ᶄ(a )＞０,故u (a )在(２e ,＋¥)上单调递增,所以u (a )m i n ＝u (２e )＝－１e ,所以λȡ－１e ,即实数λ的取值范围是－１e ,＋¥éëêêöø÷．２０．(１)设b n ＝a n ＋－１()n ,则b １＝－１,b n ＋１＝a n ＋１＋－１()n ＋１＝－a n ２＋１２－１()n －－１()n ＝－a n２－１２－１()n ＝－１２b n ．因此数列a n ＋－１()n{}是首项为－１,公比为－１２的等比数列,且a n ＋－１()n＝－－１２æèçöø÷n －１．(２)由(１),a n ＝－１()n －１－－１２æèçöø÷n －１,所以S n ＝１－－１()n １－－１()－１－－１２æèçöø÷n１－－１２æèçöø÷＝－１６－１２－１()n ＋２３－１２æèçöø÷n．取数列r n ＝－２３－１２æèçöø÷n ,则r n {}是等比数列,并且S n ＋r n ＝－１６－１２－１()n ．因此集合S n ＋r n |n ɪN ∗{}＝－２３,１３{}．所以数列S n {}具有P ２()性质．２１．解:(１)n ＝３㊀即３次摸换球后ξ的可能取值为１,２,３当ξ＝１㊀即３次摸球都摸到黑球P (ξ＝１)＝１３ˑ１３ˑ１３＝１２７当ξ＝２㊀即３次摸球中有且仅有２次摸到黑球,１次白球P (ξ＝２)＝P (黑黑白)＋P (黑白黑)＋P (白黑黑)＝１３ˑ１３ˑ２３＋１３ˑ２３ˑ２３＋２３ˑ２３ˑ２３＝１４２７当ξ＝３㊀即３次摸球中有且仅有１次摸到黑球,２次白球P (ξ＝３)＝P (黑白白)＋P (白黑白)＋P (白白黑)＝１３ˑ２３ˑ１３＋２３ˑ２３ˑ１３＋２３ˑ１３ˑ１＝１２２７３ʑ分布列为ξ１２３P１２７１４２７１２２７(２)n ＝k (k ȡ３)时,即k 次摸球换球后,黑球个数ξ可能取值为１,２,３同(１)当ξ＝１,即k 次摸球都摸到黑球P (ξ＝１)＝(１３)k当ξ＝２,即k 次摸球有且仅有 k －１ 次摸到黑球,１次摸到白球P (ξ＝２)＝P (白黑 黑)＋P (黑白黑 黑)＋ ＋P (黑黑 黑白)＝２３ˑ(２３)k －１＋１３ˑ２３ˑ(２３)k －２＋ ＋(１３)k －１ˑ２３＝１３k (２k ＋２k －１＋ ＋２)＝１３k２(１－２k)１－２＝２ ２k －１３k当ξ＝３,P (ξ＝３)＝１－P (ξ＝１)－P (ξ＝２)＝１－(１３)k －２(２k－１)３k＝１－２k ＋１－１３kʑE ξ＝(１３)k ＋４(２k －１)３k ＋３－３(２k ＋１－１)３k ＝３－２ ２k３k＝３－２(２３)k２２．(１)设M (x ０,y ０),A (x １,y １),B (x ２,y ２)．则切线MA 方程为y －y １＝x １２(x －x １)整理得x １x ＝２(y ＋y １)同理,M B 方程为x ２x ＝２(y ＋y ２)又M 在MA ,M B 上ʑx １x ０＝２(y ０＋y １)x ２x ０＝２(y ０＋y ２){ʑl A B :x ０x ＝２(y ０＋y )ȵM (x ０,y ０)在x ２＝４(y ＋１)上㊀㊀ʑy ０＝x ０２４－１４ʑl A B :x ０x ＝２(y ＋x ０２４－１)(２)设l M F :y ＝k x ＋１,D (x ３,y ３)联立y ＝k x ＋１x ２＝４(y ＋１){㊀ʑx ２－４k x －８＝０㊀ʑx ０＋x ３＝４k x ０x ３＝－８{ʑ|MD |＝１＋k ２|x ０－x ３|＝１＋k ２１６k ２＋３２＝４１＋k ２k ２＋２设A ㊁B 到l M F 的距离为d １㊁d ２．则d １＋d ２＝|k x １－y １＋１|１＋k ２＋|k x ２－y ２＋１|１＋k ２＝|k (x １－x ２)－(y １－y ２)|１＋k ２＝k (x １－x ２)－x １２－x ２２４１＋k ２＝|x １－x ２|４１＋k２|４k －(x １＋x ２)|联立x ２＝４yx ０x ＝２(y ０＋y ){㊀㊀ʑx ２－２x ０x ＋４y ０＝０㊀㊀ʑx １＋x ２＝２x ０x １x ２＝４y ０{ʑd １＋d ２＝４x ０２－１６y ０４１＋k ２|４k －２x ０|＝２|２k －x ０|１＋k２,(其中４x ０２－１６y ０＝４ˑ４(y ０＋１)－１６y ０＝２)ʑS 四边形M A D B ＝１２|MD |(d １＋d ２)＝２１＋k ２２＋k ２ ２|２k －x ０|１＋k ２＝４２＋k ２|２k －x ０|又x ０２＝４(y ０＋１)(y ０＞０)k ＝y ０－１x ０ìîíïïïï㊀ʑk ＝x ０２－８４x ０代入得ʑS 四边形M A D B ＝４２＋１１６(x ０－８x ０)２x ０２－８２x ０－x ０＝１２(x ０－８x ０)２＋３２ x ０＋８x ０＝１２(x ０＋８x ０)２ȡ１２(２８)２＝１６当且仅当x ０＝２２,即M (２２,１)取最小值．５。
高三元月调研考试数学(文)试题(扫描版)
高三元月调研考试数学（文）试题（扫描版）荆门市2019年高三年级元月调考数学（文科）参考答案一、 选择题：二、填空题：13．13-14．8850 15．3216．5+三、解答题：17．解：（Ⅰ）由正弦定理：sin sin a b A B =，又由已知cos sin a A B=，所以cos a A =3分tan A = 因为(0,)A π∈，所以3A π=．……………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得，1sin 2ABC S bc A ∆===，则12bc =， ABC ∆中，由余弦定理，222222cos12143a b c bc b c π=+-=+-=，则2226b c +=……………………………………………………………………………10分故()222214b c b c bc +=+-=，b c +=所以ABC ∆的周长为a b c ++=．…………………………………………12分 18. 解：（Ⅰ）取AD 中点，连结,OP OB ，因为PAD △为等边三角形，所以PO AD ⊥． …………………………………………2分 因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =， 又因为60DAB ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥． …………………………………………………………………………3分 因为OPOB O =，所以AD ⊥平面PBO ，因为PB ⊂平面PBO ，所以AD PB ⊥． ………………………………………………6分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 为三棱锥P ABC -的高． ………………………………………………………7分所以PO BO=所以PB=，又因为2AP AB==，所以12PABS=△9分因为2,180120AB BC ABC DAB==∠=︒-∠=︒，所以122sin1202ABCS=⨯⨯⨯︒△…………………………………………………10分设三棱锥C PAB-的高为，因为C PAB P ABCV V--=，所以1133PAB ABCS h S PO⋅=⋅△△，=，解得h=………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5实测答对人数8 8 7 7 2实测难度0.8 0.8 0.7 0.7 0.2…………………3分所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题．………………………………4分（Ⅱ）记编号为的学生为(1,2,3,4,5)iA i=，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A，13(,)A A，14(,)A A，25(,)A A，35(,)A A，45(,)A A，共6种．………………………………………………………………………6分所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P==．……………………………………………8分（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S=-+-+-+-+-0.012=．………………………………………………………………………………………………………………11分因为0.0120.05S=<，所以，该次测试的难度预估是合理的．………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）∵点(1, )P y，∴122p+=，解得2p=，…………………………………… 2分PB故抛物线的方程为：24y x =，当1x =时，02y =， ∴1l 的方程为4233y x =+，联立24y x =可得，14Q x =，………………………… 3分 又∵524Q p QF x =+=，22P pPF x =+=，∴58QF PF =． ………………………… 5分（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程可得2440y ty m --=，设11(, )A x y 22(, )B x y ，则124y y t +=，124y y m =-，①…………………………7分 由OA OB ⊥得：1212()()0ty m ty m y y +++=，整理得221212(1)()0t y y tm y y m ++++=，②………………………………………… 9分 将①代入②解得4m =，∴直线2: 4l x ty =+，……………………………………10分法一：∵圆心到直线2l的距离d =，∴||DE =， 显然当4a =时，||2DE =，||DE 的长为定值．……………………………………………………12分 法二：直线2l 过定点(4,0)，而圆心(,0)N a ，当直线2l 过圆心时，||DE 的长为直径，即为定长，则4a =． 法三：因为圆N 的半径为定值，要使得||DE 的长为定长，只需要圆心到直线2l 的距离与无关，则4a =．21.解：（Ⅰ）()()()()22211111a x ax x ax f x x x x x +-++'=+=++（），…………………………………2分 ∵()f x 在区间(0,4)上有两个极值点，∴'()0f x =在(0,4)上有两个根．…………3分∴2(1)0x ax ++=，即22112x x a x x x++-==++在(0,4)上有两个根， 即y a =-与12y x x=++在(0,4)上有两个交点， 则254,4a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故的取值范围为25,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭． …………………………………5分 （Ⅱ）设切点为()00x y ，，则002y x =，()02f x '=，0000ln 1ax y x x =++， ∴()200121ax x +=+① 且00002ln 1ax x x x =++②………………………………………………………………7分 由①得2001(2)(1)a x x =-+代入②得00002ln (21)(1)x x x x =+-+即2000ln 210x x x +--=．………………………………………………………………8分令()2ln 21F x x x x =+--，则()214141x x F x x x x-+'=+-=，∵2410x x -+=的150∆=-<，∴2410x x -+>恒成立． ∴'()F x 在(0,)+∞上恒为正值，∴()F x 在(0,)+∞上单调递增，∵(1)0F =，∴01x =代入①式得4a =． ……………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）消去参数可得圆的直角坐标方程式为()2224x y +-=……………………2分由极坐标与直角坐标互化公式得()()22cos sin 24p p θθ+-=化简得4sin p θ=. …………………………………………………………………………5分（Ⅱ）直线的参数方程3cos454sin 45x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（为参数）， ………………………………6分即34x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）代入圆方程得：290t ++=， ………………………8分 设、对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=-129t t =，于是1212|||MB||t ||||t |9MA t t ⋅=⋅=⋅=．…………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）依题意有：()|23|||3a a a -<--， ………………………………………1分若32a ≥，则233a -<， 332a ≤<∴， 若302a ≤<，则323a -<， 302a <<∴， 若0a ≤，则()323a a a -<---，无解， ………………………………………………4分 综上所述，的取值范围为()0,3．……………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，当[]1,1x ∈-时()()f x g x <恒成立，||3x a +<∴恒成立，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立，22a -<<∴．……………………………………………………………………………10分。
2024届湖北高三元月调考数学答案
湖北省部分市州2024年元月高三期末联考数学参考答案一、单选题，每小题5分.1.B2.A3.A4.B5.B6.D7.C8.D8.【解析】对于A ，⎪⎭⎫⎝⎛≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛=4)0(,224,1)0(ππf f f f ，∴4π≠T ，A 错误；对于B ，⎪⎭⎫ ⎝⎛->=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-4)0(,2244)(πππf f f f x f 连续， ，∴)(x f 不可能在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-04π上单调递减，B 错误；对于C ，()12)0(≠=+πf f ，∴)(x f 的图象不可能关于点⎪⎭⎫⎝⎛212，π中心对称；【对于A ，B ，C 三个选项也可以直接推理论证，可以得出同样的结论.】对于D ，∵)(x f 是偶函数，2π=T .不妨研究⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x ,此时()()()()x x x x x x x x x x x x x f cos sin 1cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin )(2233-+=+-+=+=令⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin πx x x t ，则(]21，∈t ，21cos sin 2-=t x x ，∴t t t t t g x f 2321211)()(32+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==，(21，∈t 0)1(232323)(22'<-=+-=t t t g 在(21，∈t 时恒成立)(t g ∴在(]21，∈t 时单调递减，∴()22223221)()(3minmin =+⨯-==t g x f ，∴D 正确.∴应选择D.附)(x f图象：二、多选题，每小题5分，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.9.ACD10.AC11.BC12.BC11.【解析】如图，设)31,(t a t A -+为直线上任意一点，过点A 作a x x x f +-=233)(的切线，切点为))(,(00x f x B ，x x x f 63)(2'-=，则函数a x x x f +-=233)(图象在点B 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-，即))(63()3(00202030x x x x a x x y --=+--，))(63()3()31(00202030x t x x a x x t a --=+---+∴（*）整理得，0)132()1(020=+--t x x ，解得213100-==t x x 或∴当1=t 时，2131-=t ，方程（*）仅有一个实根，切线仅可以作1条；当1≠t 时，2131-≠t ，方程（*）有两个不同实根，切线可以作2条.∴答案为BC.12.【解析】根据题意可以构造长宽高分别为6cm,4cm,4cm 的长方体，如图.对于A ，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为135，A 错误；对于B ，当F 为BC 的中点时，EF 垂直于长方体的上下底面，此时线段EF 的最小值为cm 4，B 正确；对于C ，工艺品P ABCD 的体积)(48446213134462cm V =⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=，C 正确;对于D ，由于P ABCD 的顶点都在长方体的顶点处，∴P ABCD 的外接球即为长方体的外接球，设P ABCD 的外接球半径为R ，则()68446R 22222=++=，外接球的表面积为π68，∵π68>π64，∴P ABCD 不可以完全内置于表面积为264cm π的球内，D 错误.∴答案为BC.三、填空题,每小题5分.13.1±14.715.(]{}01(01)a a -∞≤= ，写或不扣分16.⎦⎤⎝⎛3233，15【解析】∵0ln 1)1(1=---+-x x a e ax ，0>xxe x x ax e x ax ln ln 1ln 1+=+=-+∴-令x e xf x +=)(，则)(ln )1(x f ax f =-，而R )(在x f 上递增∴xax ln 1=-结合函数x y ax y ln 1=-=和的图象易知，01≤=a a 或.16.【解析】设椭圆右焦点为F ，直线ca x 2=与x 轴交于点H ，∵PC AP λ=，结合图形知，]2,1[11222222∈-=-+=-+=-+===e e e e e c a ac c c ca a c FH AF PC AP λ，∴3221≤≤λ又32tan tan <∠⋅∠QBA QAB ，32<-PB P A k k 即计算得，22a b k k PBP A -=，所以3222<a b ，∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-==133122，a b a c e ∴⎥⎦⎤⎝⎛∈3233，e .四、解答题17.（10分）【解析】（1）∵EB AE 2=，∴ABCBCE S S ∆∆=31而21232218cos 182sin 6621sin 21=⨯=∠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∠⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆CAD CAD BAC AC AB S ABC π，∴2431==∆∆ABC BCE S S .……………………………………5分（2）解法①：∵cos ∠CAD =322，∠CAD ),0(π∈，∴sin ∠CAD =31∴31sin 2cos cos -=∠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∠=∠CAD CAD CAB π在△ABC 中，96316623636cos 2222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=CAB AC AB AC AB BC∴64=BC ，∴在等腰△ABC 中，3666221cos ===BA BCB ∴ABD Rt ∆中，BDBD BA B 636cos ===，∴63=BD ∴23365422=-=-=BA BD AD .…………………………………………10分解法②：由ACD ABD ABC S S S ∆∆∆+=得，CAD AD AD CAD ∠⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+∠⨯⨯sin 6216212sin 6621，23=∴AD ………………10分18.（12分）【解析】(1)连接AC ，BD 交于点O ，则AC ⊥BD ，建系如图，则)1,0,3(),2,1,0(),0,1,0(),0,0,3(--F E B A ,∴),1,1,3(),2,2,0(),0,1,3(--=-=-=BF BE AB ………………………………1分设平面ABE ，平面BEF 的法向量分别为),,,(),,,(22221111z y x n z y x n ==则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅003111111z y n BE y n AB ，取()3,3,11=n 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+--=⋅0032222222z y n BE z y x n BF ，取()1,1,02=n ……………………………………3分设二面角A-BE-F 的大小为θ，∴7422732,cos cos 21-=⨯-==><-=n n θ…………………………5分∴77cos 1sin 2=-=θθ所以二面角A-BE-F 的正弦值为77.…………………………………………6分（2）存在H 符合题意，且41=ED EH .理由如下：………………………………………7分解法①：（几何法）取FC 中点M ，连接GM ，则GM //B F,而GM ⊄平面BEF ，BF ⊂平面BEF ，∴GM //平面BEF ；………………………………………………8分过M 作MN //EF 交ED 于N ，连接MN ，NG .同理可知，M N //平面BEF ；由GM ∩MN =M ，∴平面GMN //平面BEF ，………………………………………10分∴GN //平面BEF ，∴点N 即为所求的点H .∵四边形EFMN 为平行四边形，EN =FM ，DE =2FC =2，所以41=ED EH .∴H 为DE 靠近点E 的四等分点（即ED EH 41=）.………………………………12分解法②：（向量法）令])1,0[(∈=λλED EH ，则)0,1,0(-D ，)20,0()20,0(λλ-=-=，，EH ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=λλ22,23,23)20,0(2,23,23，EH GE GH 若GH //平面BEF ，∵GH ⊄平面BEF ，∴02=⋅n GH ∴022230=-+-λ∴41=λ∴ED EH 41=∴41=ED EH 注：其他解法，可以酌情给分.19.（12分）【解析】（1）比赛进行4局后甲获胜，则甲在前3场需要胜2局，第4局胜,∴278323132223=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P ………………………………………………4分（2）由题意知，X 的取值可能为3,4,5.()313132333=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，()27103132313231324223223=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ，()27827103115=--==X P ∴X 的分布列为：X345P312710278………………………………………8分∴E(X)=27107278527104313=⨯+⨯+⨯………………………………………10分（3）乙应该选择3局2胜制.…………………………………………12分附理由如下：（供研究使用，考生无需在答题卡上计算）“3局2胜制”，乙可能2:0，2:1两种方式获胜，获胜概率：277313132C 31P 1221=⨯⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛=“5局3胜制”，乙可能3:0，3:1，3:2三种方式获胜，获胜概率：8117313132C 313132C 31P 222421332=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=因为21P P >，所以乙应该选择3局2胜制对自己更有利.20.（12分）【解析】（1）证明：当1=n 时，1111212a a a S =+=，由于0>n a ，∴11=a 当2≥n 时，11112---+-=+=n n n n n n n S S S S a a S ,∴111---=+n n n n S S S S ，即1212=--n n S S （2≥n ）∴数列{}2nS 是首项为1，公差为1的等差数列.………………………………5分（2）由（1）知，n n S S n=⨯-+=1)1(212…………………………………6分211-=-+n b b b n n n，∴n n b n b n )12()12(1+=-+，12121-=+∴+n b n b nn∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n b n 是常数列.1121211==-=-∴b bn b n ，12-=∴n b n ………………………………………………8分【12-=n b n 也可以由累乘法或迭代法求得】()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=+-⋅-=⋅-∴+1211211)12)(12(414112n n n n nb b S n n n n n n ………………………………9分⎪⎭⎫ ⎝⎛++--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∴121121)1(71515131311n n T n n 12)1(1+-+-=n n……………………………………………………………12分也可分类讨论得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+--+-=++-=为奇数，为偶数，n n n n n n nn T n 122212111221211.…………………………12分21.（12分）【解析】（1）证明：先证当20π<<x 时，0sin >-x x .令x x x m sin )(-=，则0cos 1)('>-=x m 在20π<<x 时恒成立，∴x x x m sin )(-=在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增，∴0)0()(=>m x m ，即当20π<<x 时,0sin >-x x .……………………………………………2分要证2sin tan >--x x x x ，只需证明)sin (2tan x x x x ->-，即证03sin 2tan >-+x x x 令⎪⎭⎫⎝⎛∈-+=2,0,3sin 2tan )(πϕx x x x x ，则.0cos )1cos 2()1(cos cos 1cos 3cos 23cos 2cos 1)(222232'>+-=+-=-+=ϕxx x x x x x x x ）（或03cos cos cos 133cos 2cos 1322=-⋅⋅⨯≥-+x x xx x 当且仅当1cos =x 时等号成立，而1cos 0<<x ，∴0)('>x ϕ……………………4分∴在)(x ϕ在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增，∴0)0()(=>ϕϕx ，即03sin 2tan >-+x x x ∴当20π<<x 时，2sin tan >--xx x x .………………………………………………5分(2)令⎪⎭⎫⎝⎛∈-+=2,0,sin 2tan )(πx ax x x x f ，则0)0(=f ,a x x x f -+=cos 2cos 1)(2',令,cos x t =则t 在⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，x 上单调递减，)1,0(∈t ,a t t t g x f -+==21)()(2',而022)(3'<+-=t t g ，∴)(t g 在)1,0(∈t 上递减，∴)('x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，x 上递增………7分∴)('x f 的值域为()+∞-,3a （I ）当03≥-a ，即3≤a 时，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，x 递增，∴0)(>x f ，∴3≤a 符合题意；………………………………………………9分（II ）当03<-a ，即3>a 时，0)0('<f ，∴存在⎪⎭⎫⎝⎛∈2,00πx 使得0)(0'=x f ∴当()0,0x x ∈时，0)('<x f ，)(x f 递减，此时0)(<x f ,矛盾，舍.综上知，3≤a .……………………………………………………12分22.（12分）【解析】（1）设双曲线C 的方程为142222=-bx b y )0(>b ，其上焦点坐标为)5,0(b ，一条渐近线方程为02=-y x ，则2)1(2522=-+b ，∴2=b ，∴C 的方程为141622=-x y .………………………………………………2分设),(y x N ，则141622=-x y ，要使||MN 最小，结合图形和题意知4≥y .于是4245244)(||2222222-+-=+-+-=-+=t ty y t ty y y t y x MN 45544522-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t y ①当454≤t ，即54≤<t 时，||PM 在),4[+∞∈y 递增，∴当4=y 时，4||min -=t PM ；②当454>t ，即5>t 时，||MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡t 54,4递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,54t 递增，∴当t y 54=时，100551451||22min -=-=t t MN .综上，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=)5(,100551)54(,4||2min t t t t MN .………………………………………5分（2）（I ）联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=141622x y m kx y 得，()01624222=-++-m kmx x k ，由题意知)2,0()0,2( -∈k ，0164022=-+⇒=∆m k ，………………………………6分∴4222--=k km x P ，∴mkk km x P442=--=∴mm m k m m k m kx y P P 1644222=+=+=+=∴16,4(mm k P ……………………7分∴直线1l 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m k x k m y 4116，令0=x 得，my 200=；令0=y 得，m k x 200=∴⎪⎭⎫⎝⎛m m k Q 20,20………………8分∵12010012025122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯m k m ∴点),(00y x Q 的轨迹方程是)0(11002522≠=-x x y 方程表示去除上下顶点的双曲线.…………………………………10分（II ）点),(00y x Q 的轨迹方程是)0(122222222≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x b b a x a b a y ……………………12分注：若（I ）（II ）两问没注明)0(≠x ，只扣1分.。
湖北省部分高中高三数学元月调考试题 文(含解析)新人教A版
2015届高三元月调考 数学（文科）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、抛物线、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。
50分.在每小题给出的四个选项中，只有一【题文】1，集合 ，全集{1,2,3,4,5,6}U =， 则集合(U M C N ⋂A ．{1}C ．D ．{1,2,4,5} 【答案】B【解析】由题意得,则)M N ={1,2} 【题文】2．复数z （ ．2i - L4 【答案】B 【解析】51i z i +=+-2 【题文】33x π-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π3π个单位长度 C ．向左平移6π3π个单位长度【知识点】函数)y ϕC4 【答案】A【解析】∵将函数得到y=cos2（x- 6π）=y=cos(2x-3π) 【思路点拨】根据左加右减，看出三角函数的图象平移的方向，再根据平移的大小确定函数x 的系数是1来说的．【题文】4．若y x ,满足约束条件020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2B ． 4C ． 2-D ．4- 【知识点】简单的线性规划问题E5 【答案】C【解析】由020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩可行域知，2z x y =-在（0,2）处取得最小值，z=2⨯0-2=-2.【思路点拨】根据可行域及目标函数的单调性确定在（0,2）处取得最小值求出。
【题文】5．已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为（ ）A ．623+B ．643+C ．1243+D ．842+【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案】A【解析】由三视图得，该几何体为底面和两个侧面为直角边边长为2的等腰直角三角形， 另外一个侧面是一个边长为22的等边三角形，故该棱锥的表面积为S=3×12×2×2+34×(22)2=623+.【思路点拨】先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用三棱锥的表面积公式求出该几何体的表面积． 【题文】6.命题“00,20x x R ∃∈≤”的否定为（ ）A ．00,20x x R ∀∈≤ B ．00,20x x R ∀∈≥C ．00,20x x R ∀∈< D ．00,20x x R ∀∈>【知识点】命题及其关系A2【答案】D【解析】00,20x x R ∃∈≤的否定为00,20x x R ∀∈>【思路点拨】根据存在量词全称量词关系求得。
高考数学-元月调考数学答案
２０２２~２０２３学年度高三元月调考数学试卷参考答案一㊁选择题:１．C ㊀㊀２．A㊀㊀３．C ㊀㊀４．B ㊀㊀５．D㊀㊀６．A㊀㊀７．C ㊀㊀８．A 二㊁选择题:９．A C ㊀㊀１０．A B C ㊀㊀１１．A D㊀㊀１２．A B D 三㊁填空题:１３．－６００㊀㊀１４．１２＋８２㊀㊀１５．１６３９㊀㊀１６．１３或１０四㊁解答题:１７．解ʒ(１)c o s (A －C )－c o s B ＝１２⇒c o s (A －C )＋c o s (A ＋C )＝１２⇒c o s A c o s C ＝１４．㊀㊀①又b ２＝a c ,则s i n ２B ＝s i n A s i n C ㊀㊀②故１４－s i n ２B ＝c o s A c o s C －s i n A s i n C ＝c o s (A ＋C )＝－c o s B ⇒４c o s ２B ＋４c o s B －３＝０⇒c o s B ＝１２或c o s B ＝－３２(舍去)．又０＜øB ＜π２,从而,øB ＝π３．(２)由(１)结论,①＋②得c o s (A －C )＝１４＋s i n ２B ＝１则øA ＝øC ．故әA B C 为等边三角形．设әA B C 的边长为x ．则０＜x ＜５．故A C ң C D ＝ң|A C ң||C D ң|c o s ６０ʎ＝１２x (５－x )＝－１２x －５２æèçöø÷２－２５４æèçöø÷ɪ０,２５８æèçùûúú,当且仅当x ＝５２时,上式等号成立．故A C ң C D ң的取值范围是０,２５８æèçùûúú．１８．解ʒ(１)由题意知a n ＞０,因为a n ＋１＝(２－１)a n a n ＋１＋２a n ,所以(a n ＋１＋a n )(a n ＋１－２a n )＝０．因为a n ＞０,所以a n ＋１＋a n ʂ０,所以a n ＋１－２a n ＝０,所以a n ＋１a n ＝２,即a n ＋１a n＝２,１所以{a n }是以１为首项,２为公比的等比数列,所以a n ＝２n －１(n ɪN ∗)．设数列b n {}公差为d ,则１b １b ２＋１b ２b ３＋ １b m －１b m ＝ðm －１i ＝１b i ＋１－b i d b i b i ＋１＝１d ðm －１i ＝１(１b i －１b i ＋１)＝１d (１b １－１b m )＝３㊀㊀ʑd ＝１６,b n ＝n ＋５６．(２)因为C n ＝６b n ＋b １９－a ５＝n －７,所以C n ＝７－n ,n ɤ７,n －７,n ＞７,{所以当n ɤ７时,数列{c n }的前n 项和S n ＝１３n －n ２２;当n ＞７时,数列{c n }的前n 项和S n ＝n ２－１３n ＋８４２．１９．解ʒ(１)P (X ＝３)＝１６æèçöø÷３＝１２１６,当k 次才停止时,必有第k 次取出的是红球,前k －１中有２次取出红球,k －３次取出的是其它颜色球．所以P X ＝k ()＝１６C ２k －１１６æèçöø÷２５６æèçöø÷k －３＝(k －１)(k －２) ５k －３２ ６k ,k ȡ３．(２)当Y ＝４时,有X ＝３,４,故?P Y ＝４()＝P X ＝３()＋P X ＝４()＝１２１６＋５４３２＝７４３２当Y ＝５时,有X ȡ５,故P Y ＝５()＝P X ȡ５()＝１－P X ＝３()＋P X ＝４()()＝４２５４３２于是可得E Y ()＝４P Y ＝４()＋５P Y ＝５()＝２１５３４３２．２０．解ʒ(１)在四边形A E B F 中,ȵәA B E 和әA B F 均为等腰直角三角形,且øB A E ＝øA F B ＝９０ʎ,ʑøB A F ＝øA B E ＝４５ʎ,ʑA F ʊB E ,ȵ四边形A B C D 为正方形,ʑD A ʅA B ,又ȵ平面A B C D ʅ平面A E B F ,D A ⊂平面A B C D ,平面A B C D ɘ平面A E B F ＝A B ,ʑD A ʅ平面A E B F ,V ＝V E －A B C D ＋V F －A B C D ＝４(２)如图建立空间直角坐标系,２设P ０,λ,２－λ(),则B ２,０,０(),C ２,０,２(),F １,－１,０(),A ０,０,０(),ʑB C ң＝０,０,２(),B F ң＝－１,－１,０(),设平面B C F 的一个法向量为n ң＝x ,y ,z (),则n ң B C ң＝０n ң B F ң＝０ìîíïïï,即２z ＝０－x －y ＝０{,令x ＝１,则n ң＝１,－１,０(),设A P 与平面B C F 所成角为θ,又A P ң＝０,λ,２－λ(),ʑs i n θ＝n ң A P ңn ңA P ң＝－λ２λ２＋２－λ()２＝２２ λ２λ２－４λ＋４,要使s i n θ最大,λʂ０,ʑs i n θ＝λ２２λ２－４λ＋４＝２２１４λ２－４λ＋２＝２２ １４１λ－１２æèçöø÷２＋１ɤ２２,ʑθɤπ４,即A P 与平面B C F 所成角的最大值为π４．２１．解ʒ(１)x ２９＋y ２５＝１(２)设点M (x １,y １),N (x ２,y ２),P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q ),F １(－２,０),F ２(２,０),则x ２１a ２＋y ２１b ２＝１,x ２２a ２＋y ２２b２＝１,由于M ,N ,F １三点共线,则y １x １＋２＝y ２x ２＋２⇒x １y ２－x ２y １＝２(y １－y ２),直线MD 的方程为y ＝y １x １－１(x －１),联立椭圆C ʒx ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的方程可得:x ２a ２＋y ２１b ２(x －１)２(x １－１)２＝１,３化简有ʒ(a ２＋１－２x １)x ２－２(a ２－x ２１)x ＋２a ２x １－(a ２＋１)x ２１＝０,由韦达定理可知ʒx １x P ＝２a ２x １－(a ２＋１)x ２１a ２＋１－２x １⇒x P ＝２a ２－(a ２＋１)x １a ２＋１－２x １,⇒y P ＝y １x １－１２a ２－(a ２＋１)x １a ２＋１－２x １－１æèçöø÷＝(１－a ２)y １a ２＋１－２x １,同理x Q ＝２a ２－(a ２＋１)x ２a ２＋１－２x ２,y Q ＝(１－a ２)y ２a ２＋１－２x ２,k ２＝y P －y Q x P －x Q ＝y １(１－a ２)(a ２＋１－２x ２)－y ２(１－a ２)(a ２＋１－２x １)(a ２＋１－２x ２)(２a ２－(a ２＋１)x １)－(a ２＋１－２x １)(２a ２－(a ２＋１)x ２)＝(a ４－１)(y ２－y １)－２(a ２－１)(x １y ２－x ２y １)(a ２－１)２(x ２－x １)＝a ２＋５a ２－１y ２－y １x ２－x １＝a ２＋５a ２－１k １,从而f (a )＝k ２k １＝a ２＋５a ２－１,由于a ２ɪ(４,＋ɕ),则f (a )ɪ(１,３)．㊀综上ʒf (a )＝a ２＋５a ２－１,且值域为(１,３)．２２．解:(１)f (x )ɤ０,ʑ(x ＋２)l n (x ＋２)ɤ(x ＋１－a )(x ＋２),ʑl n (x ＋２)ɤx ＋１－a ʑa ɤx ＋１－l n (x ＋２)设h (x )＝x ＋１－l n (x ＋２),h ᶄ(x )＝x ＋１x ＋２当(－２,－１)时,h ᶄ(x )＜０,当(－１,＋¥)时,h ᶄ(x )＞０h (x )m i n ＝h (－１)＝０,ʑa ɤ０(２)由(１),知x ＋１＞l n (x ＋２),则l n x ɤx －１,l n a k ɤa k －１,b k l n a k ɤa k b k －b k ,l n a k b k ɤa k b k －b kðn k ＝１l n a k b k ɤðnk ＝１a k b k －ðn k ＝１b k ㊀㊀㊀㊀l n a １b １a ２b ２ a n b n ɤ０,a １b １a ２b ２ a n b n ɤ１． ４。
高三数学上学期元月调考试题文含解析试题
2021届高三数学上学期元月调考试题 文〔含解析〕考前须知：1．在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填在答题卡上.2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3．填空题和解答题答在答题卡上每一小题对应的答题区域内，答在试题卷上无效. 一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.请将正确之答案填涂在答题卡上.{|01}A x x =<<，{|31}x B x =<，那么〔 〕A. {|0}AB x x =< B. A B R = C. {|1}A B x x ⋃=< D. AB =∅【答案】D 【解析】 【分析】首先利用指数函数的单调性求出集合B ，再利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】由{}{|31}0xB x x x =<=<，{|01}A x x =<<， 所以A B =∅，{0A B x x ⋃=<或者}01x <<，应选：D【点睛】此题考察了集合的交、补运算，同时考察了指数函数的单调性解不等式，属于根底题.i 是虚数单位，那么2(1)i i--等于 A. 0 B. 4C. 2D. 2【答案】D 【解析】试题分析：因为()()()1212111i i i i i i i i i i i i------====+⋅，所以故答案为D ．考点：复数的运算． 错误的选项是．．．．．．〔 〕 A. 330.80.7>B. lg1.6lg1.4>C. 0.50.5log 0.4log 0.6>D.0.10.10.750.75-<【答案】D 【解析】 【分析】构造根本初等函数，结合函数的单调性判断.【详解】函数3y x =为增函数，所以330.80.7>，应选项A 正确； 函数lg y x =为增函数，所以lg1.6lg1.4>，应选项B 正确；函数0.5log y x =为减函数，所以0.50.5log 0.4log 0.6>，应选项C 正确； 函数0.75xy =为减函数，所以0.10.10.750.75->，应选项D 错误. 应选D.【点睛】此题主要考察指数式和对数式的大小比拟，构造适宜的函数是求解的主要策略，结合函数的单调性可得，侧重考察数学抽象的核心素养.()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点一样，双曲线C 的一条渐近线方程为30x y +=，那么双曲线C 的方程为〔 〕A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 221412x y -=D. 221124x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线与抛物线的根本量求解即可.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0,故双曲线2c =.又渐近线为30x y +=,即3y x =-,故3b a =,故221334b a a b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩ ,故双曲线方程为2213y x -=.应选：B【点睛】此题主要考察了双曲线与抛物线中的根本量求解,属于根底题.()()sin f x A x ωϕ=+〔0,0A ω>>，π2<ϕ〕的局部图象如下图，那么⋅=ωϕ〔 〕A.π6B.π4C.π3D. 2π3【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到2A =，将点()0,1代入结合||2ϕπ<，可得ϕ，将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得ω的值，进而可求得结果. 【详解】由函数图象可得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又()01f =，所以1sin 2ϕ=， 结合图象可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=， 又因为11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即11sin 0126ππω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，结合图得112,126k k Z ππωπ⋅+=∈， 又因为21112T ππω=>，所以24011ω<<，故=2ω 所以π3ωϕ⋅=，应选C. 【点睛】此题给出了函数()sin y A ωx φ=+的局部图象，要确定其解析式，着重考察了三角函数根本概念和函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的知识点，属于中档题． 6.1tan 4,tan θθ+=那么sin 2θ=〔 〕 A.15 B.14C.12D.34【答案】C 【解析】 【分析】首先利用1tan 4,tan θθ+=可得2tan 1tan 4θθ+=，再利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数的根本关系22tan sin 22sin cos tan 1θθθθθ==+，代入即可求解.【详解】由1tan 4,tan θθ+=那么2tan 1tan 4θθ+= 2222sin cos 2tan 1sin 22sin cos sin cos tan 12θθθθθθθθθ====++.应选：C【点睛】此题考察了二倍角的正弦公式、齐次式的运算，属于根底题.S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设361=3S S ，那么612S S 为〔 〕A.310B.13C.18D.19【答案】A 【解析】 设,根据36396129,,,S S S S S S S ---是一个首项为a,公差为a 的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a.6123323410S a S a a a a ==+++. 8.太极图被称为“中华第一图〞．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到HY 、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因此被称为“阴阳鱼太极图〞．在如下图的阴阳鱼图案中，阴影局部可表示为()(){}()2222224,11{(,)|11}0x y x y x y x y x y x ⎧+≤⎪⎪Ω=+-≤⋃++≥⎨⎪≤⎪⎩，设点(,)∈x y A ，那么2z x y =+的取值范围是〔 〕A. 15,25⎡-⎣B. 552,2-⎡⎣C. 25,15⎡⎤-+⎣⎦D. 4,15⎡⎤-+⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据线性规划的方法,分析目的函数直线方程2z x y =+与阴影局部相切时的临界条件即可.【详解】作直线20x y +=,当直线上移与圆()2211x y +-=相切时, 2z x y =+取最大值； 此时圆心()0,1到20x y z +-=的间隔 为1,即221121z -=+,即最大值51z =+.当直线下移与圆224x y +=相切时, 2z x y =+取最小值；此时圆心()0,0到20x y z +-=的间隔 为2,即22221z -=+,即最小值25z =-故2z x y =+的取值范围是25,15⎡⎤-+⎣⎦应选：C【点睛】此题主要考察了线性规划与直线与圆相切的问题综合运用,需要根据题意分析出临界条件,再根据圆与直线相切利用公式求解即可.属于中档题.9.灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色.春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次时机．游戏开场前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进展了预测，预测结果如下：甲说：“我或者乙能中奖〞；乙说：“丁能中奖〞’；丙说：“我或者乙能中奖〞；丁说：“甲不能中奖〞．游戏完毕以后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，那么中奖的同学是〔〕A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】【分析】根据四句话中的提及到同一人的中奖情况进展打破口分析即可.【详解】由甲说：“我或者乙能中奖〞；丙说：“我或者乙能中奖〞；且只有一位同学的预测结果正确可知,乙没有中奖.又甲说：“我或者乙能中奖〞；丁说：“甲不能中奖〞.故甲丁两人中必有一人预测正确.故乙,丙预测不正确.故乙,丙,丁均未中奖.故甲为中奖者.应选：A【点睛】遇到逻辑推理的问题一般是找语句中均谈到的同一个人中奖情况进展分析,从而进展排除分析.属于根底题.ln 1()xf x ex=+的大致图象为〔〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】分析：考察函数的符号和函数的奇偶性排除错误选项即可求得最终结果. 详解：利用排除法： 当0x >时，ln 0x e >，10x>，那么函数()0f x >，据此可排除AB 选项； 且：()()ln 1xf x ef x x-=-≠-，即函数的图象不关于坐标原点对称，排除D 选项. 此题选择C 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、挑选选项．l αβ--为060，点P 、Q 分别在、内且PQ l ⊥，P 到的间隔 为3，Q 到的间隔3那么PQ 两点之间的间隔 为〔 〕 3 B. 1C. 22【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别作,PC QD βα⊥⊥，过C 作CM l ⊥，连接,PM QM ，在,Rt PMC Rt QMD∆∆中，分别求出,QM PM ，再在PMQ ∆中，利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，作,PC QD βα⊥⊥，过C 作CM l ⊥，连接,PM QM ， 由l αβ=，所以,PC l QD l ⊥⊥，又PQ l ⊥ ，l ⊥平面QCDP ，即l ⊥平面QMP由二面角l αβ--为060，P 到的间隔 为3，Q 到的间隔 3在Rt QMD ∆中，3QD =,60QMD ∠=，321sin 60QM == 在Rt PCM ∆中，3PC =,60QMD ∠=，3260PM ==，在PMQ ∆中，22212cos60142232QP QM PM QM PM =+-⋅=+-⨯⨯=， 所以3PQ =应选：A【点睛】此题考察了由面面角求间隔 、余弦定理解三角形，考察了空间想象才能，属于根底题.12.1F ，2F 是椭圆和双曲线的公一共焦点，P 是它们的一个公一共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，那么221213e e +=〔 〕 A. 12C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆与双曲线的HY 方程分别为：2222111x y a b +=，2222221x y a b -=()11,0,,1,2i i a b a b i >>=，222221122a b a b c -=+=，0c >，设12,PF m PF n ==，可得122,2m n a n m a +=-=，123F PF π∠=，在12F PF ∆中，由余弦定理可得：()22222cos3c m n mn π=+-，化简整理由离心率公式即可得出. 【详解】如下图：设椭圆与双曲线的HY 方程分别为：2222111x y a b +=，2222221x y a b -=()11,0,,1,2i i a b a b i >>=， 222221122a b a b c -=+=，0c >，设12,PF m PF n ==，那么122,2m n a n m a +=-=， 解得1212,,m a a n a a =-=+ 由123F PF π∠=，在12F PF ∆中，由余弦定理可得：()22222cos3c m n mn π=+-，()()()()222121212124c a a a a a a a a ∴=-++--+，化为2221243=+c a a ，化为2221314e e +=.应选：D【点睛】此题考察了椭圆和双曲线的定义与性质，属于中档题. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.某为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进展调查，假设一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列〔下表为随机数表的前2行〕的开场，依次向右，直到取足样本，那么第五个编号为____.【答案】43. 【解析】 【分析】从随机数表的第1行第5、6列开场，依次向右读取为65,14,08,02,63,14,07,02,43,69,，其中14,08,02,07,43符合条件，故可得结论.【详解】从随机数表的第1行第5、6列开场，依次向右选取两个数字65,14,08,02,63,14,07,02,43,69,，选取编号在01到50之间，并且去掉重复的数字， 符合条件的为14,08,02,07,43.故答案为：43.【点睛】此题考察了随机数表的读法，注意在读取符合编号中的数据的同时重复数据只取一次，属于根底题.,a b 满足3,(3,3)a b ==且()0a a b ⋅+=，那么,a b 的夹角为________.【答案】56π【解析】 【分析】根据向量的数量积公式运算即可.【详解】设,a b 的夹角为θ,那么()20+09339cos 0a a b a a b θ⋅+=⇒⋅=⇒++⋅=,解得3cos 2θ=-,又[]0,θπ∈,故56πθ=.故答案为：56π. 【点睛】此题主要考察了平面向量数量积的运算,属于根底题.15.如下图：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树〞．假设某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，那么其最小正方形的边长为________．【答案】132【解析】由题意，正方形的边长构成以2为首项，以 2为公比的等比数列，现一共得到1023个正方形，那么有11221023n -++⋯+=，∴10n =，∴最小正方形的边长为9132=⎝⎭，故答案为132. P -ABC 外接球的外表积为100π，PA ⊥平面ABC ，8PA =，060BAC ∠=，那么三棱锥体积的最大值为______.【答案】【解析】 【分析】根据三棱锥P ABC -的外接球的外表积可求得底面ABC 的外接圆面积,进而利用正弦定理与060BAC ∠=求得BC 长度,再根据余弦定理与面积公式求解底面ABC 的最大值即可.【详解】由题,设底面ABC 外接圆直径为d ,那么因为PA ⊥平面ABC 且8PA =, 故()2281006dd ππ+=⇒=.在底面ABC 中利用正弦定理有6sin BCd BAC==∠,解得BC =在ABC 中用余弦定理有2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠,化简得()222273AB AC AB AC AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅,即()2327AB AC AB AC +=⋅+,根据根本不等式有()23274AB AC AB AC AB AC +=⋅+≥⋅,解得27AB AC ⋅≤.故三棱锥体积111827332ABCV S PA AB AC AB AC =⋅⋅=⋅⋅=⋅≤=故答案为：【点睛】此题主要考察了三棱锥外接球的问题,需要根据题意建立三棱锥高与底面外接圆半径以及三角形的关系,并利用根本不等式求最值.属于中档题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.{}n a 中，12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕假设数列{}n b 满足：212log n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】〔Ⅰ〕2n n a =〔Ⅱ〕2112n n n ++-【解析】 【分析】〔Ⅰ〕设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据1a ,2a ,32a -成等差数列求解即可.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得2nn a =，代入有122nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再分组利用等比和等差数列的求和公式求解即可.【详解】〔Ⅰ〕设等比数列{}n a 的公比为q , ∵1a ,2a ,32a -成等差数列,21322a a a ∴=+-,3222n n a q a a ∴==⇒= 〔Ⅱ〕221112log 2log 2222nnn n n n b a n a ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,231111246...22222n n S n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦231111+..24...22222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2111221111212n n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++=++- ⎪⎝⎭-. 【点睛】此题主要考察了等差数列的根本量求解以及等差等比数列求和公式，属于根底题. 18.如下图,在四棱锥A BCDE -中,平面BCDE ⊥平面,,6,43,30ABC BE EC BC AB ABC ⊥==∠=︒.(1)求证:AC BE ⊥;(2)假设二面角B AC E --为45︒,求直线AB 与平面ACE 所成的角的正弦值. 【答案】〔1〕见解析.〔2〕64【解析】分析：〔1〕在ACB 中由余弦定理得23AC =，由此得222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥．再根据平面BCDE ⊥平面ABC 得到AC ⊥平面BCDE ，故得AC BE ⊥．〔2〕可证得BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，从而45BCE ∠=．又证得BE ⊥平面ACE ，所以BAE ∠是直线AB 与平面ACE 所成的角．解三角形可得sin BE BAE AB ∠==，即为所求．详解：(1)在ACB 中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以AC BC ⊥．因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC BC AC =⊥，， 所以AC ⊥平面BCDE ． 又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥．(2)因为AC ⊥平面BCDE CE ，⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥．又BC AC ⊥，平面ACE ⋂平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角， 所以45BCE ∠=．因为BE EC AC BE EC AC C ⊥⊥⋂=，，， 所以BE ⊥平面ACE ，所以BAE ∠是直线AB 与平面ACE 所成的角． 在Rt BCE 中，sin4532BE BC ==，所以在Rt BAE 中，sin BE BAE AB ∠==即直线AB 与平面ACE 所成的角的正弦值为64． 点睛：用几何法求空间角的步骤为“一找、二证、三计算〞，即根据空间角的定义作出所求的角，并给出证明，最后通过解三角形可得所求解或者其三角函数值．另外，在立体几何的计算题中往往穿插着推理，同时在推理中又穿插着计算．19.我国是世界上严重缺水的国家之一，城缺水问题较为突出．某为了节约生活用水，方案在本试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量HY ：用水量不超过a 的局部按照平价收费，超过a 的局部按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个HY ，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组[)[)[)0,0.5,0.51,,,3,3.5，制作了频率分布直方图，〔Ⅰ〕用该样本估计总体：〔1〕估计该居民月均用水量的平均数；〔2〕假如希望86%的居民每月的用水量不超出HY ，那么月均用水量a 的最低HY 定为多少吨？ 〔Ⅱ〕在该样本中．．．．月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？【答案】〔Ⅰ〕〔1〕1.875；〔2〕2.7吨；〔Ⅱ〕25. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕〔1〕根据平均数=小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和，代入数据即可求解；〔2〕由图可得()3-0.30.50.1186% 2.7a a ⨯+⨯=-⇒=，解方程即可.〔Ⅱ〕由直方图可知月均用水量在[)0,0.5的人数为2，记为：,a b ；月均用水量在[)0.51，的人数为4，记为：A ，B ，C ，D ，列举出抽取两人所有可能的情况，找出月均用水量都在[)0.51，的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】〔Ⅰ〕〔1〕月均用水量0.250.050.750.1 1.250.15 1.750.2 2.250.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.750.153.250.05 1.875+⨯+⨯=〔2〕由直方图易知：()2.5,3a ∈，由()3-0.30.50.1186% 2.7a a ⨯+⨯=-⇒=吨 故月均用水量a 的HY 定为2.7吨.〔Ⅱ〕由直方图可知：月均用水量在[)0,0.5的人数为：400.10.5=2⨯⨯人， 记为：,a b月均用水量在[)0.51，的人数为：400.20.5=4⨯⨯人，记为：A ，B ，C ，D从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD 一共15种， 其中月均用水量都在[)0.51，的情况有：AB,AC,AD,BC,BD,CD,一共6种，故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率:62155P == 【点睛】此题考察了有频率分布直方图求样本数据、古典概型的概率计算公式，属于根底题.()2222:10x y E a b a b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E 的长轴为直径的圆与直线20x y +-=相切．〔Ⅰ〕求椭圆E 的HY 方程；〔Ⅱ〕,,A B C 为椭圆E 上不同的三点，O 为坐标原点，假设0OA OB OC ++=，试问：ABC 的面积是否为定值？假设是，恳求出定值；假设不是，请说明理由．【答案】〔Ⅰ〕2212x y +=【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据题意利用圆心到直线的间隔 与半径相等列出关于a 的关系,再根据一个焦点与上下顶点构成直角三角形可得b c =,再联立求解即可.〔Ⅱ〕分当AB AB 斜率存在时设直线:AB y kx m =+,再联立方程写出韦达定理,再根据0OA OB OC ++=得出C 关于()11,A x y ,()22,B x y 的关系,代入2222x y +=化简可得22421m k =+，再求出面积的表达式,代入22421m k =+化简证明即可.【详解】〔Ⅰ〕由题意知,222b c a b c a =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.那么椭圆C 的方程是：2212x y +=〔Ⅱ〕①当AB 斜率不存在时,不妨设()C,22A ⎛ ⎝⎭,22B ⎛- ⎝⎭1224S ==②设:AB y kx m =+由()()2222212421022y kx m k x mkx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 设()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 那么122412mk x x k +=-+,()21222112m x x k-=+.由()()312312x x xOA OB OCy y y⎧=-+⎪++=⇒⎨=-+⎪⎩,代入2222x y+=有2222442221212mk mkk mk k-⎛⎫⎛⎫-+⋅+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,化简可得22421m k=+原点O到AB的间隔d=,AB==故22 1332244S AB dm =⋅=⋅==综上：ABC的面积为定值4【点睛】此题主要考察了椭圆根本量的求法以及联立直线与椭圆的方法求解,并利用韦达定理代入所给的向量表达式求得直线中参数的关系,再代入所求的面积表达式化简证明定值的方法.属于难题.()()2lnf x x x ax a R=-∈在定义域内有两个不同的极值点.〔Ⅰ〕务实数a的取值范围；〔Ⅱ〕记两个极值点为12,x x，且12x x<，求证：121x x⋅>.【答案】〔Ⅰ〕10,2⎛⎫⎪⎝⎭；〔Ⅱ〕见解析.【解析】【分析】〔Ⅰ〕由题意，方程'()0f x=在()0,∞+有两个不同根,即方程1ln20x ax+-=有两个不同根；解法1：转化为函数()lng x x=与函数21y ax=-的图象在()0,∞+上有两个不同交点，解法2：转化为函数1ln()xg xx+=与函数2y a=的图象在()0,∞+上有两个不同交点；解法3；求出()f x '，讨论a 的取值范围，求出函数()f x 的单调区间即可求解. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：由〔Ⅰ〕知：12,x x 是1ln 20x ax +-=的两个根，122212ln ln 1ln 202=x x x ax a x x -+-=⇒-，然后利用分析法要证121x x ⋅>，，只需证:12ln ln 0x x +>，从而可得121212ln ln 2x x x x x x ->-+，进而可得12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，令12x t x =，换元转化为函数，利用函数的最值即可证出. 【详解】〔Ⅰ〕由题意，方程'()0f x =在()0,∞+有两个不同根,即方程1ln 20x ax +-=有两个不同根；解法1：转化为函数()ln g x x =与函数21y ax =-的图象在()0,∞+上有两个不同交点， 令'00011()22g x a x x a==⇒=, 故()g x 在11(,ln()22a a 处的切线方程为：111ln()()222y x a a a-=- 代入点()0,1-有：111111ln()(0)ln()012122222a a a a a a--=-⇒=⇒=⇒= 可得：()120,10,2a a ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭解法2：转化为函数1ln ()xg x x+=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点． '2ln ()(0)x g x x x-=>，故()0,1x ∈时，'()0;g x >()1,,x ∈+∞时，'()0;g x < 故()g x 在()0,1上单增，在1+，上单减，max ()(1)1g x g ∴==又1()0g e =，故1(0,)x e ∈时，()0;g x < 1(,)x e∈+∞时，()0;g x > 可得：()120,10,2a a ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭…解法3：()''12(0)fx a x x=-> ①20a ≤时，()''0f x >，故()f x 在()0+∞，上单增， 故()'=fx 0在()0+∞，最多只有一个实根，不合题意； ②20a >时，令()''100;2fx x a ⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝⎭，令()''10,;2f x x a ⎛⎫<⇒∈+∞ ⎪⎝⎭故()'fx 在102a⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减； 故()()''max11ln(2)1ln(2)020,12f x f a a a a ⎛⎫==--=->⇒∈ ⎪⎝⎭当()20,1a ∈时， ()''1120,lim x f a f x e e→+∞⎛⎫=-⋅<→-∞ ⎪⎝⎭，故()'f x 在()0+∞，上有两个不相等的实根，故10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：12,x x 是1ln 20x ax +-=的两个根， 故12112212ln ln 1ln 201ln 202=x x x ax x ax a x x -+-=+-=⇒-，要证：121x x ⋅>，，只需证：12ln ln 0x x +>， 即证：()()122-1+2-10ax ax >即证：()1222a x x +>，即证：121212ln ln 2x x x x x x ->-+又120,x x <<故上式为：()1122112122212ln ()1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=*++ 令()()()()()2'1222211140,1,()ln ,()0111t t x t h t t h t x t t t t t --=∈=-=-=>+++故()h t 在()0,1上单增，故()(1)0,h t h <= 故()*式成立，即证.【点睛】此题考察了由函数的极值点个数求参数的取值范围、利用导数证明不等式、分析法，考察了转化与化归的思想，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：()4R πθρ=∈．〔Ⅰ〕求直线l 与曲线1C 公一共点的极坐标；〔Ⅱ〕设过点()0,1P -的直线m 交曲线1C 于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值． 【答案】〔Ⅰ〕(0,0)，)4π〔Ⅱ〕1【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据曲线1C 为圆的参数方程,分析圆心与半径直接求解1C ,再根据极坐标的意义化简()4R πθρ=∈成直角坐标,再联立求解交点坐标即可.〔Ⅱ〕设直线m 的参数方程,联立与圆的方程,再根据直线参数方程的几何意义求解即可. 【详解】〔Ⅰ〕易得曲线1C 为圆心是()1,0,半径为1圆,故1C 的普通方程为()2211x y -+=,直线l 的普通方程为y x =,联立方程()2211x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ ,解得00x y =⎧⎨=⎩或者11x y =⎧⎨=⎩, 所以直线l 与曲线1C 公一共点的极坐标为()0,0与4π⎫⎪⎭． 〔Ⅱ〕依题意,设直线m 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩(α为倾斜角,t 为参数),代入()2211x y -+=,整理得()22sin cos 10t t αα-++=．设,A B 对应的参数分别为12,t t 那么121PA PB t t ⋅==.【点睛】此题主要考察了参数方程和极坐标与直角坐标的互化,同时也考察了直线参数方程的几何意义.属于中档题. 【选修4-5：不等式选讲】211x -<的解集是M ，a ，b M ∈．〔Ⅰ〕试比拟1ab +与+a b 的大小；〔Ⅱ〕设max A 表示数集A 中的最大数，22maxh ⎧⎫=，求h 的最小值．【答案】〔Ⅰ〕1ab a b +>+〔Ⅱ〕12【解析】 【分析】〔Ⅰ〕先解得{}|01M x x =<<,再利用作差法断定即可.〔Ⅱ〕由22maxh ⎧⎫=,故232h ≥即可.【详解】由211x -<得1211x -<-<,解得01x <<,{}|01M x x ∴=<<． 〔Ⅰ〕由,a b M ∈,得01,01a b <<<<,所以()()()()1110ab a b a b +-+=-->,故1ab a b +>+〔Ⅱ〕由22maxh ⎧⎫=,得h ≥,22h ≥h ≥, 222322116168a b ab ab ab h +=≥=∴≥,故12h ≥.22==即14a b ==时等号成立.【点睛】此题主要考察了绝对值不等式的求解以及作差法判别大小关系的方法,同时也考察了根据根本不等式求解函数的最值问题.属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学元月调研考试试题文含解析试题
2021届高三数学元月调研考试试题 文〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．{}1,2,3,4,5A =，{}|3B x x =-<-，那么A B =〔 〕A. {}5B. {}1,2C. {}3,4,5D. {}4,5【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合B ，再根据交集的定义，即可得解. 【详解】解：因为{}|3B x x =-<-{}|3B x x ∴=>，{}1,2,3,4,5A ={}4,5A B ∴=.应选：D【点睛】此题考察交集的运算，属于根底题.5iz i=+上的虚部为〔 〕 A. 526 B.526i C. 526-D. 526i -【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到152626z i =+计算虚部得到答案. 【详解】()515262626i i z i-==+，所以5i z i =+的虚部为526. 应选：A【点睛】此题考察了复数虚部的计算，属于简单题.3.,αβ是两个不同的平面，,m l 是两条不同的直线，且,,m l αβααβ⊥⊂⋂=，那么“m l ⊥〞是“m β⊥〞的〔 〕条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理、线面垂直的概念，结合充分、必要条件，判断出正确选项.【详解】假设m l ⊥，根据面面垂直的性质定理可知m β⊥；假设m β⊥，那么由l β⊂可得m l ⊥.所以“m l ⊥〞是“m β⊥〞的充要条件 应选：C.【点睛】本小题主要考察面面垂直的性质定理，考察充分、必要条件的判断，属于根底题.4.某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2021年1月至6月的月客流量〔单位：百人〕，得到如下图的茎叶图.关于2021年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的选项是．．．．．．〔 〕A. 甲景区月客流量的中位数为12950人B. 乙景区月客流量的中位数为12450人C. 甲景区月客流量的极差为3200人D. 乙景区月客流量的极差为3100人 【答案】D【解析】 【分析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案. 【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人. 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人. 应选：D【点睛】此题考察了茎叶图中位数和极差的计算，意在考察学生的应用才能. 5.执行下边的程序框图，假设输入的x 的值是5，那么输出的n 的值是〔 〕A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】执行程序框图：(),x n 依次为()5,0，()7,1，()9,2，()11,3，()13,4∵21313132+> ∴输出的n 的值是4. 应选：C【点睛】此题考察了程序框图的计算，意在考察学生对于程序框图的理解才能.ln(),0()()1,0x x f x g x x -<⎧=⎨+>⎩假设()f x 是奇函数，那么()2g e =( )A. -3B. -9C. -1D. 1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数()f x 是奇函数可得()()222f ef e =--=-，又()()221g e f e =-，据此即可求出结果.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()222ln 2f e f e e=--=-=-，又()()221g ef e =-，所以()23g e =-.应选：A.【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性，以及利用分段函数求函数值，属于根底题.{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，那么15S =〔 〕A. 16B. 19C. 20D. 25【答案】B 【解析】 【分析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.应选：B【点睛】此题考察等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是根底题sin 2y x =向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到曲线5cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，那么tan ϕ=〔 〕B.D. 【答案】B 【解析】 【分析】变换得到sin 2cos 22x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据平移得到()23k k πϕπ=+∈N ，计算得到答案. 【详解】sin 2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以52cos 2cos 2632x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()23k k πϕπ=+∈N ，那么tan ϕ=应选：B【点睛】此题考察了三角函数的平移，变换sin 2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解题的关键.24y x =的焦点为F ，M ，N 是该抛物线上的两点，且12MF NF +=，那么线段MN 的中点到x 轴的间隔 是〔 〕 A.14B.18C.316D.516【答案】C 【解析】 【分析】先判断线段MN 的中点到其准线的间隔 是14，再计算到x 轴的间隔 . 【详解】12MF NF +=，所以线段MN 的中点到其准线的间隔 是14由题意可知18p =，那么线段MN 的中点到x 轴的间隔 是134216p -=.应选：C【点睛】此题考察了抛物线上的点到准线的间隔 问题，意在考察学生的转化才能和计算才能.()1cos 2cos x f x x+=+，()()20g x ax a =->.假设1x R ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，那么a 的取值范围是〔 〕 A. 21,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出()f x 的值域，与()g x 的值域，由1x R ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，可得两值域的包含关系，即可求得参数a 的取值范围. 【详解】解：因为()2cos 1112cos 2cos x f x x x +-==-++，12cos 3x +，所以()f x 的值域为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0a >，所以()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a --，依题意得[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，那么20,222,3a a -⎧⎪⎨-⎪⎩解得423a . 应选：C【点睛】此题考察函数方程思想的综合应用，属于中档题.1所示，它的盛酒局部可以近似地看作是半球与圆柱的组合体〔如图2)．当这种酒杯内壁外表积〔假设内壁外表光滑，外表积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米〕固定时，假设要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，那么R 的取值范围为( )A. ⎛ ⎝B. ⎫+∞⎪⎪⎭C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，酒杯内壁外表积为圆柱与半球的外表积，列出S 的表达式，再求出体积V ，解不等式即可． 【详解】解：设圆柱的高度与半球的半径分别为h ，R ，那么222S R Rh ππ=+，那么22SRh R ππ=-， 所以酒杯的容积323233224()332323S S V R R h R R R R R R ππππππ=+=+-=-+，又0h >，所以202SR π->， 所以22523S R R ππ<2S R ππ<， 应选：D ．【点睛】考察了组合体的体积和外表积计算，属于中档题．()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，假设12PQ F P =，那么双曲线的离心率为〔 〕A .C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =利用余弦定理得到4224430c a c a -+=，计算得到答案. 【详解】记O ()1,0F c -，不妨设1l ：b y x a =-，2l ：by x a=那么直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩那么2,a ab P c c ⎛⎫-⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF = 所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos a QOF c∠=，22220ac=，整理得4224430c a c a -+=，那么42430e e -+=解得e =应选：B【点睛】此题考察了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考察学生的综合应用才能和计算才能.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．()e x f x mx =-在[2,0]-上为减函数，那么m 的取值范围为___________.【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】将问题转化为导函数在[]2,0-上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出m 的取值范围. 【详解】由题意可知()e 0xf x m '=-≤，即x m e ≥对[2,0]x ∈-恒成立， 所以()maxxm e≥，所以0e 1m ≥=即[)1,m ∈+∞. 故答案为：[)1,+∞.【点睛】此题考察根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.函数()f x 为指定区间的单调增(或者减)函数，那么()()()00f x f x ''≥≤在指定区间上恒成立.14.第28届金鸡百花电影节将在举办，近日首批影展片单揭晓，?南方车站的聚会??春江水暖??第一次的离别??春潮??抵达之谜?五部优秀作品将在电影节进展展映．假设从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，那么?春潮?与?抵达之谜?至少有一部被选中的概率为 _____． 【答案】710. 【解析】 【分析】首先根据题意，列举出从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况，一共10种情况，其中?春潮?与?抵达之谜?至少有一部被选中的有7种，根据古典概型概率计算公式即可求结果. 【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为〔?南方车站的聚会?，?春江水暖?〕，〔?南方车站的聚会?，?第一次的离别?〕，〔?南方车站的聚会?，?春潮?〕，〔?南方车站的聚会?，?抵达之谜?〕，〔?春江水暖?，?第一次的离别?〕，〔?春江水暖?，?春潮?〕，〔?春江水暖?，?抵达之谜?〕，〔?第一次的离别?，?春潮?〕，〔?第一次的离别?，?抵达之谜?〕，〔?春潮?，?抵达之谜?〕，一共10种情况，其中?春潮?与?抵达之谜?至少有一部被选中的有7种，故所求概率为710. 故答案为：710. 【点睛】此题主要考察了古典概型概率的计算，属于根底题.ABC ∆满足“勾3股4弦5〞，其中“股〞4AB =，D 为“弦〞BC 上一点〔不含端点〕，且ABD ∆满足勾股定理，那么()CB CA AD -⋅=______. 【答案】14425【解析】 【分析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可.【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==.故答案为：14425【点睛】此题考察向量的数量积，重点考察向量数量积的几何意义，属于根底题.{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++-〔1〕{}n a 的通项公式为________； 〔2〕在1a ，2a ，3a ，，2019a 这2021项中，被10除余2的项数为________.【答案】 (1). 222n a n n =-+ (2). 403【解析】 【分析】〔1〕等式两边同除()1n n +构造数列为等差数列即可求出通项公式； 〔2〕利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解 【详解】〔1〕因为()()12(1)22n n n a n a n +-=++-，所以122221n n n a a n a n n n+-+--==+2+，即12221n n a a n n +---=+，那么2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且首项为1，差为2，所以212(1)n a n n -=+- 21n =-，故222n a n n =-+〔2〕因为(21)2n n n a =-+，所以当n 能被10整除或者n 为偶数且21n -能被5整除时，n a 被10除余2，所以8,10,18,20,,2010,2018n =，故被10除余2的项数为201014035+=. 故答案为：222n a n n =-+；403【点睛】此题考察数列的通项，考察构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17～21题为必考题，每道试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题． 〔一〕必考题：一共60分．17.某土特产超为预估2021年元旦期间游客购置土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购置情况进展统计，得到如下人数分布表.〔1〕求购置金额不少于45元的频率；〔2〕根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购置金额是否少于60元与性别有关.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.附表：)2k【答案】〔1〕12〔或者0.5〕；〔2〕列联表见解析，有95%的把握认为购置金额是否少于60元与性别有关.【解析】【分析】〔1〕根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率；〔2〕完善列联表，计算出2K 跟参考数据比拟得出结论. 【详解】解：〔1〕购置金额不少于45元的频率为1520101902++=.〔2〕22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购置金额是否少于60元与性别有关.【点睛】此题考察HY 性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于根底题.23()cos sin 2f x x x x =+-，a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.()0f A =，2b =.〔1〕假设a =B ；〔2〕假设2a c =，求ABC ∆的面积.【答案】(1) 6B π=. (2)6【解析】 【分析】〔1〕运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f 〔x 〕，并求得3A π=，再利用正弦定理求得1sin 2B =，可得结论；〔2〕由三角形的余弦定理得13c -+=结合面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周长．【详解】〔1〕31cos23()sin 2sin 212226x f x x x π-⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 因为()0f A =，所以262A ππ-=，即3A π=.因为sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=或者56π， 又b a <，所以6B π=.〔2〕由余弦定理，可得222(2)222cos3c c c π=+-⨯⨯，即23240c c +-=，解得1133c -+=〔负根舍去〕， 故ABC ∆的面积为11113393sin 2sin 22336bc A π-+-=⨯⨯⨯=【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考察解三角形的余弦定理和面积公式，考察化简整理的运算才能，属于中档题．19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E ，M 分别为棱AB ，11A B 上一点，113B M MA =，且GM 平面1B EF .〔1〕证明：E 为AB 的中点. 〔2〕假设四棱锥1F B MGE -的体积为32，求正方体1111ABCD A B C D -的外表积. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕24 【解析】【分析】〔1〕取11A B 的中点N ，连接AN ，可证GM AN ，再由线面平行得到1ANB E ，又1B NAE ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，即可得证.〔2〕设棱长为a ，易知F 到平面11ABB A 的间隔 为a ，由1113F B MGE B MGE V h S -=⋅⋅求出a 的值，即可求出外表积.【详解】解：〔1〕证明：取11A B 的中点N ，连接AN因为113B M MA =，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN .因为GM 平面1B EF ，GM ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11B EF B E =.所以1GM B E ，即1AN B E .又1B NAE ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，那么1AE B N =，所以E 为AB 的中点.〔2〕设AB a ，那么1A MG ∆，AGE ∆，1BEB ∆的面积分别为2a 16，28a ，24a ，易知F 到平面11ABB A 的间隔 为a ，所以11222321133331684162F B MGEB MGE a a a a V h S a a -⎛⎫==⋅⋅⨯---⨯== ⎪⎝⎭， 解得2a =，故所求正方体的外表积为2624a =.【点睛】此题考察锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于根底题.()2222:10x y a b a bΩ+=>>的焦距为2622〔1〕求Ω的方程；〔2〕假设直线2y x =+与Ω相交于A 、B 两点，求以线段AB 为直径的圆的HY 方程.【答案】〔1〕22182x y +=；〔2〕2282485525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】〔1〕根据题意求出a 和b 的值，即可求出椭圆Ω的方程；〔2〕设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆Ω的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点和AB ，即可得出所求圆的HY 方程.【详解】〔1〕设椭圆Ω的焦距为()20c c >，那么2c =，2b =所以c =b =2228a b c =+=，所以Ω的方程为22182x y +=；〔2〕设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222182y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得251680x x ++=.由韦达定理得12165x x +=-，1285x x =， 所以12825x x +=-，线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.12AB x x =-===， 所以，所求圆的HY 方程为2282485525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】此题考察椭圆方程的求解，同时也考察了直线截圆所得弦长的计算以及圆的HY 方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考察运算求解才能，属于中等题.()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b .〔1〕求a ，b 的值； 〔2〕假设()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.【答案】〔1〕13a =,403=-b〔2〕2642ln 2<-m 【解析】 【分析】〔1〕求导可得()()23114310f f x ax x''=--,由题,切线方程斜率为()1f k '=,解得13a =,代回函数求得()1013f =,即10103b =--,可求得403=-b ； 〔2〕假如求()13f x m >对0x ∈+∞（，）恒成立,即求()min 13f x m >,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式【详解】解：〔1〕()()23114310f f x ax x''=--, 因为()f x 在()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b ,即10y x b =--,此时切线斜率10k =-,那么()3(1)13141010f f a k ''=--==-,解得13a =,所以()()333101114ln 314ln 3103f x x x x x x x ⨯-=--=+-, 所以()31110113114ln13333f =⨯+⨯-=+=,那么10103b =--,解得403=-b〔2〕由〔1〕知()31314ln 3f x x x x =+-,()32143143x x f x x x x+-'=+-=, 设函数()()33140g x x x x =+->,那么()2330g x x '=+>,所以()g x 在()0,∞+为增函数,因为()20g =,令()0g x <,得02x <<；令()0g x >,得2x >, 所以当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>, 所以()()3min 126223214ln 214ln 233f x f ==⨯+⨯-=-,从而12614ln 233<-m ,即2642ln 2<-m 【点睛】此题考察利用导数的几何意义求值,考察利用导数研究不等式恒成立问题,考察转化思想,考察运算才能〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分．xOy 中，直线l的参数方程为212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，曲线C 的参数方程为cos sin x m y a n αα=⎧⎨=+⎩〔0m >，0n >，α为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=.〔1〕求a ，m ，n 的值；〔2〕点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 【答案】〔1〕4a m n ===；〔2. 【解析】 【分析】〔1〕根据极坐标方程得到()22416x y +-=，根据参数方程得到答案.〔2〕将参数方程代入圆方程得到270t --=，根据韦达定理得到120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案.【详解】〔1〕由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，那么228x y y +=，即()22416x y +-=.因为0m >，0n >，所以4a m n ===.〔2〕将21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()22416x y +-=，得270t --=.设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，那么120t t +=>，1270t t =-<.所以12t t P PB A =-==+.【点睛】此题考察了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.()3124f x x x =+--.〔1〕求不等式()3f x >的解集；〔2〕假设对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围，【答案】〔1〕4(,10),5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；〔2〕(][),19,-∞-+∞.【解析】 【分析】〔1〕利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()3f x >的解集；〔2〕利用绝对值三角不等式求出()2f x x --的最大值，得出关于t 的不等式，求出解集即可． 【详解】〔1〕当1x <-时，()3(1)(24)3f x x x =-++->，解得10x <-； 当12x -≤≤时，()3(1)(24)3f x x x =++->，解得45x >，那么425x <≤；当2x >时，()3(1)(24)3f x x x =+-->，解得4x >-，那么2x >. 综上，不等式()3f x >的解集为4(,10),5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； 〔2〕()|2|3|1||24||2|f x x x x x --=+----3|1|3|2|x x =+--|33||36|x x =+--|33(36)|9x x ≤+--=，假设对任意x ∈R ，不等式2()|2|8f x x t t --≤-恒成立， 那么289t t -≥，解得1t ≤-或者9t ≥. 因此，实数t 的取值范围是(][),19,-∞-+∞.【点睛】此题考察了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考察了不等式恒成立问题，属于中档题．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高三数学元月调研考试试题文试题
2021届高三数学元月调研考试试题文〔扫描版〕制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
2021年秋季高三调研考试数学参考答案〔文科〕一、选择题：ＡＣＣＢ ＡＢＡＤ ＣＡＢＣ二、填空题：13．123 14．552- 15．]0,1[- 16．①② 16．由题意，设正方形的边长为1，以AB 所在直线为x 轴，以Ａ为原点建立直角坐标系，那么B 〔1，0〕，E 〔﹣1，1〕，∴=〔1，0〕，〔﹣1，1〕，∵=λ+μ，∴λ≥0，μ≥0， 故①正确；∴=λ+μ=〔λ﹣μ，μ〕，当点P 为AD 中点时， ∴=〔0，〕，∴λ﹣μ=0，，故λ+μ=1，当P 与B 重合时也有λ+μ=1，故②正确；当λ=μ=1时，=〔0，1〕，此时点P 与D 重合，满足λ+μ=2，当λ=，μ=时，=〔1，〕，此时P 是BC 的中点，满足λ+μ=2，故③错误；当P∈AB 时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，当P∈BC 时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，当P∈CD 时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，当P∈AD 时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，综上，0≤λ+μ≤3，故④不正确，综上，正确的命题是①②．三、解答题：17．假设命题p 为真命题，那么由x 2+ax-2>0得a<x 2-x 在x ∈[-2，-1]上恒成立，设f(x)=x 2-x ，f(x)在[-2，-1]上是减函数，那么-1≤f(x)≤1，所以a<-1．……………………3分假设命题q 为真命题，即方程ax 2+2x+1=0有且只有一根．当a=0时， 方程为2x+1=0，其根为x=-12，方程只有一负根，符合条件．………4分 当a ≠0时，方程ax 2+2x+1=0有一实根，那么Δ=4-4a=0，所，当a=1时，方程有一负根x=-1．故方程ax 2+2x+1=0有且只有一个负根的充要条件为a=0或者a=1．…………………6分当命题p q ∧⌝为真命题时，p 真q 假，解a<—1．……………………9分故a 的取值范围为(,1)-∞-……………………10分18．〔Ⅰ〕由1cos 2A =-得sin A =，由sin sin a b A B =得1sin 2B = ，又a b <，A B < 得6B π=． ……………………5分〔Ⅱ〕由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=可得2=c ， ………………7分 ∴2()cos 22sin ()6f x x x π=++=cos 2cos(2)13x x π-++1cos 2cos 22122x x x =-++sin(2)16x π=++， ……………………9分 又)2,0(π∈x , ∴)67,6(62πππ∈+x ]1,21()62sin(-∈+∴πx 所以的值域为]2,21( ………………12分 19．⑴ 50=t ，2=x ，18.0=y ，19=z ； …………４分平均分为10706.012534.011538.010518.09504.085=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯分……６分⑵从５名学生中选出２人有１０中不同的选法，使10m n -<，必须在同一组选出2名选手。
湖北省部分市州2022-2023学年高三上学期元月联合调研考试数学试题含答案
湖北省部分市州2023年元月高三年级联合调研考试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()12i 34i z ⋅+=+（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．2CD ．52．已知集合{}11M x x =-<-，N x y ⎧⎫==⎨⎩，则集合{}1x x ≥=（ ） A ．M N ⋂ B ．M N ⋃C ．()M N ⋂RD ．()M N ⋃R3．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A ．平均数 B ．第50百分位数C ．极差D ．众数4．已知ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且sin 23θ=，则sin θ的值为（ ）ABCD5．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a +-=，12a =，则2022S 的值为（ ） A ．20222B ．202032⋅C ．202322- D ．2021321⋅-7．已知1F ，2F 分别为双曲线Γ：()222210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点，点P 为双曲线渐近线上一点，若12PF PF ⊥，121tan 3PF F ∠=，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．53B ．54CD ．28．在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，60ABC ∠=︒，设侧面PBC 与底面ABC 的夹角为α，若三棱锥P ABC -tan α=（ ）A ．4 B ．3CD ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF 中，下列说法正确的是（ ）A ．AB CD BF -= B ．0AD EB CF ++=C ．1AD AB ⋅=D ．AB BC AB AF ⋅=⋅10．已知实数a ，b ，c 满足ln e 1b c a c =⋅=，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，P 为正方体表面上的一个动点，Q 为线段1A C 上的动点，1A P = ）A ．当点P 在侧面11A ABB （含边界）内时，1D P B ．当点P 在侧面11BCC B （含边界）内时，直线1A P 与直线11A B 所成角的大小为π3C ．当点P 在侧面11BCC B （含边界）内时，对任意点P ，总存在点Q ，使得1D Q CP ⊥D ．点P π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．()411x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为________．14．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球．第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为________． 15．过抛物线22y px =焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A '，B '，10A B ''=，点P 在抛物线的准线上．若AP 是A AB '∠的角平分线，则点P 到直线l 的距离为______．16．已知关于x 的不等式()e ln 0a x x b ---≥恒成立，则ba的最大值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤． 17．（10分）已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C B =，且c =（1）求边b 的值；（2）若D 为边BC 的中点，3cos 4CAD ∠=，求ABC △的面积． 18．（12分）已知数列{}n a 中，对任意的n +∈N ，都有14n n a a n ++=． （1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若13a =，求数列{}n a 的前n 项和n S ． 19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，12AB AD BC ===2PA PB PD ===．（1）证明：PA BD ⊥；（2）求直线BC 与平面PCD 所成角的余弦值．20．（12分）2022年11月21日．第22届世界杯在卡塔尔开幕．小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分．若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为14，出现平局的概率为12． （1）求甲队在参加两场比赛后积分X 的分布列与数学期望； （2）小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率． 21．（12分）已知1F ，2F 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点．点M 为椭圆上一点，当12F MF ∠取最大值π3时，()1216MF MF MF +⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 为直线4x =上一点（且P 不在x 轴上），过点P 作椭圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为B '，连接AB '交x 轴于点G ．设2AF G △，2BF G △的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值． 22．（12分）设函数()()22cos2sin 2f x ax x x =--． （1）当1a =时，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）对()0,x ∀∈+∞，不等式()π2π2cos 2x f a x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值 范围．湖北省部分市州2023年元月高三年级联合调研考试·数学参考答案、提示及评分细则一、单项选择题1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．B 二、多项选择题9．BC 10．ABC 11．ABD 12．ACD 三、填空题 13．614．1732 15．5 16．1e17．解：（1）因为sin C B =，由正弦定理得：c =，且c =所以4b =．（2）延长AD 至点E ，满足AD DE =，连接EB ，EC ，在EBC △中，由余弦定理得：2223cos 24AE AC CE CAE AE AC +-∠==⋅， 因为4AC =，EC =代入上式整理得：8AE =，所以4AD =所以122sin 2ABC ADC S S AD AC ADC ==⋅⋅⋅∠=△△． 18．解：（1）由条件14n n a a n ++=，可得：124a a +=，238a a +=， 因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，由上式可得：11a =，2d =， 所以{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+-=-． （2）由条件14n n a a n ++=，可得：()1241n n a a n +++=+， 两式相减得：14n n a a +-=，因为13a =，所以21a =， 所以数列{}n a 的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； 偶数项是首项为1公差为4的等差数列． 所以当n 为偶数时，211222234142222n n n n n n n S S S n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=⨯+⨯+⨯+⨯=奇偶；当n 为奇数时，()2211212n n n S S a n n n -=+=-++=+．综上：22,2,n n n S n n ⎧⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数．19．解：（1）连接BD ，设BD 的中点为O ，连接OA ，OP ． 因为AB AD =，所以OA BD ⊥， 因为PB PD =，所以OP BD ⊥， 又OA OP O ⋂=，所以BD ⊥平面OAP ， 因为PA ⊂平面OAP ，所以BD PA ⊥．（2）因为90BAD ∠=︒，所以OA OB =，又PA PB =， 所以POA POB ≌△△，所以OP OA ⊥，又OA BD O ⋂=， 所以OP ⊥平面ABCD ．如图，以O 为原点，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，(P ， 所以()1,1,0AB =，(AP =，()0,2,0DC =，(DP =，()2,2,0BC =-，平面PCD 的法向量分别为()000,,n x y z =，所以0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00020,0,y x =⎧⎪⎨=⎪⎩取0x ，则()3,0,1n =-，设BC 与平面PCD 所成的角为α，则sin cos ,BC n α-===则直线BC 与平面PCD20．解：（1）甲队参加两场比赛后积分X 的取值为0，1，2，3，4，6．所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望：()1111115012346164484162E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分． 若每支球队得3分：则6场比赛都出现平局，其概率为：1612P =； 若每支球队得4分：则6场比赛出现2场平局，则每支球队3场比赛结果均为1胜平1负，其概率为：25111111664444224P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ 所以四支球队积分相同的概率为1265161124512P P P =+=+=． 21．（1）依题意有当M 为椭圆短轴端点时12F MF ∠最大，此时12π3F MF ∠=，则 12F MF △为正三角形，则2a c =且()1211π22cos 66MF MF MF MO MF b a +⋅=⋅=⋅==∴ba =222a b c =+，∴2a =，b =1c =故椭圆方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()()4,0P t t ≠， 则依题意有P A ：11143x x y y +=，PB ：22143x x y y+= （注：椭圆上一点的切线方程结论要求证明，没有证明扣一分，本答案证明过程略） 因P A ，PB 都过点()4,P t ，则1113y t x +=，2213y tx += 则AB 方程为13ytx +=，即AB 过定点()1,0． 故设AB 方程为1x my =+，0m ≠，联立2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩， ∴()2234690m y my ++-= ∴122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，又()22,B x y '- 直线AB '方程为：()211121y y y y x x x x ---=--，令0y =得()()122112211212121212112G my y my y x y x y my y y y x y y y y y y ++++++===+++ 21212293421214634y y m m m m y y m -+=⋅+=⋅+=-++，∴()4,0G ∴12212122613322234m S S F G y y y y m -=⋅-=+=⋅+29943443mm mm==≤=++当且仅当43mm=即243m=，3m=±时取等号故12S S-22．解：（1）1a=时，()()22cos2sin2f x x x x=--，π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设2x t=，[]0,πt∈即()()2cos sin2cos sing t t t t t t t t=--=--()2cos sin cos22cos sin0g t t t t t t t t'=-+-=-+>∴()g t在[]0,π上单调递增∴()()min00g t g==，()()()maxππ2cosπsinπ3πg t g==--=，即()min0f x=，()max3πf x=（2）()π2π2cos2xf a x⎛⎫+>-⎪⎝⎭即()()2π2cos sin2π2cos2xa x x a x⎛⎫+-->-⎪⎝⎭即()2cos sin0ax x x-->，对()0,x∈+∞上恒成立，设()()2cos sinh x ax x x=--，()00h=当1a≥时，()()2cos sinh x x x x≥--，由（1）知[]0,πx∈时，()2cos sin0x x x--≥，∴()0h x≥当()π,x∈+∞时，()()2cos sin1cos sin0x x x x x x x--=-+->当0a≤时，()()2cos sinh x ax x x=--，π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x<，不合题意．当01a<<时，()()2cos sin cos2cos sin cosh x a a x x x x a a x ax x x'=---=-+-，()01h a'=-()()21sin cosh x a x ax x''=++当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x ''>，∴()h x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增又ππ2022h a ⎛⎫⎛⎫'=+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()010h a '=-<∴存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00h x '=，当()00,x x ∈时，()0h x '< ∴()h x 在()00,x 单调递减，此时()()00h x h <=，不合题意 综上1a ≥．。
高三数学元月调研考试试卷文试题
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2021年高三年级元月调考本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
数学〔文科〕考前须知：1．在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填在答题卡上。
2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3．填空题和解答题答在答题卡上每一小题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
请将正确之答案填涂在答题卡上。
1．全集U =R ，集合{}20A x x =-≤，{}2log 2B x x =<，那么AB =A ．{}|2x x ≤B ．{}|02x x x ≤>或C ．{}02x x <≤D ．{}|24x x x <≥或 2．复数11iz i+=-，那么z = A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3．某人午觉悟来，发现表停了，他翻开收音机，想听电台整点报时，那么他等待的时间是不多于10分钟的概率为 A ．13 B ．23 C ．16 D ．564．等差数列{}n a 的公差为2，假设236,,a a a 成等比数列，那么4a 的值是 A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 5．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出局部叫榫头，凹进局部叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．假设如本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是6．假设将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象关于原点对称，那么ϕ的最小值为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7．以下关于命题的说法错误的选项是A ．命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞的逆否命题为“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞B ．“2a =〞是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数〞的充分不必要条件C ．假设命题p ：n N ∃∈，21000n >，那么:p n N ⌝∀∈，21000n ≤D ．命题“() 0x ∃∈-∞，，23x x <〞是真命题 8．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，那么以下四组条件中： ①,α⊂a b ∥β，βα⊥； ②βαβα⊥⊥⊥,,b a ；③,α⊂a β⊥b ，α∥β； ④α⊥a ，b ∥β，α∥β． 能推出b a ⊥的条件有〔 〕组．A ．1B ．2C ．3D ．49．设函数1221()1log 1x x f x x x -⎧>=⎨-≤⎩ , , ，那么不等式()2f x ≤的解集是A ．[)0,+∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．假设椭圆2221kx ky +=的一个焦点为(0,3)-，那么k 的值是本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
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大冶一中 广水一中 天门中学 仙桃中学 浠水一中 潜江中学2015届高三元月调考数学（文科）试卷命题学校：广水一中 命题教师：王道金 罗秋平 审题学校：潜江中学 审题教师：李尚武考试时间：2015年1月6日下午 15:00—17:00 试卷满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{1,2,3,4}M =，集合{3,4,6}N = ，全集{1,2,3,4,5,6}U =，则集合()U M C N ⋂=（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{1,2,4,5} 2．复数51iz i+=+的虚部为 （ ） A. 2 B ．2- C ．2i D ．2i - 3．要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 4．若y x ,满足约束条件020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2B ． 4C ． 2-D ．4-5．已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为（ ）湖北省 六校A ．623+B ．643+C ．123+D ．842+ 6.命题“00,20x x R ∃∈≤”的否定为（ ）A ．00,20x x R ∀∈≤ B ．00,20x x R ∀∈≥C ．00,20x x R ∀∈< D ．00,20x x R ∀∈>7．阅读右边的程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ． [2,1]--C ． [1,2]-D ． [2,)+∞8．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点()2,0，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（ ）A ．2214x y += B ．221164y x += C ．2214x y +=或221164y x += D ． 2214x y +=或2214y x += 9．若数列{a n }的前n 项和为,n S 对任意正整数n 都有21n n S a =-，则6S =（ ） A ．32 B ．31 C ．64 D ．63 10．设函数()1ln ()2f x x x a a R =+-∈，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得(())f f b b =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,122e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．1,ln 212e⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中相应的横线上） 11．函数()21log 43y x =-的定义域为 .12．已知1x >，则函数4221y x x =+-的最小值为 . 13．已知圆221:1C x y +=与圆222:(1)(1)1C x y -++=交于,A B 两点，则直线AB 的方程为 . 14．已知3(,2),cos ,5αππα∈=则tan()4πα+等于 .15．若双曲线C :221mx y -=（m 为常数）的一条渐近线与直线:31l y x =--垂直，则双曲线C 的焦距为 .16．已知R m ∈，向量a =（m ，1），b =（－12，4），c =（2，－4）且a ∥b ，则向量c 在向量a 方向上的投影为 .17．设A 为曲线M 上任意一点，B 为曲线N 上任意一点，若AB 的最小值存在且为d ，则称d 为曲线M ，N 之间的距离.（1）若曲线M :xy e = (e 为自然对数的底数），曲线N ：y x =，则曲线M ，N 之间的距离为 ；（2）若曲线M ：21y x +=，曲线N ：210x y ++=，则曲线M ，N 之间的距离为 ．三、解答题（本大题共5小题，共65分.答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（12分）已知函数()2cos 2cos f x x x x =+，△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，a =（1）求()f x 的最大值及取得最大值时相应x 值的集合； （2）若()2f A =，6b c +=，求△ABC 的面积.19．（13分）已知数列{}n a 为等差数列，11a =，公差0d >，数列{}n b 为等比数列，且2162183,,a b a b a b ===.（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足对任意正整数n 均有2121212n n n c c c a b b b +++=，m 为正整数，求所有满足不等式23121010m c c c <+++<的m 的值.20．（13分）如图，已知在三棱柱111ABC A B C-中,4AC=,3BC=,15BC=,点D在线段AB上，3,2AD BD==,四边形11ACC A为正方形.（1）求证：1BC AC⊥；（2）请判断1AC是否平行于平面1B CD（不用证明）；（3）求三棱锥11C CDB-的体积.21.（14分）已知点F是抛物线22y px=的焦点，其中p是正常数，,AB CD都是抛物线经过点F的弦，且AB CD⊥，AB的斜率为k，且0k>，,C A两点在x轴上方.(1) 求11AB CD+；（2）①当243AF BF p⋅=时，求k；②设△AFC与△BFD的面积之和为S，求当k变化时S的最小值.22．（13分）已知函数1()lnf x a xx=+，其中a为实常数.(1) 求()f x的极值；(2) 若对任意12,[1,3]x x∈，且12x x<，恒有121211()()f x f xx x->-成立，求a的取值范围.2015届高三元月调考文科参考答案一．选择题：BBACA DBCDC二．填空题：11.()3,11,4⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭；12.5；13.10x y --=； 14.17-；15.16.17.218、（1）()2cos21f x x x =++12cos2)12(2)126x x sin x π=++=++ …………………(3分) max ()3,22,62f x x k k πππ∴=+=+∈Z 此时{}max ()3,x ,6f x x x k k ππ∴==+∈Z 的取值集合为…………………(6分)（2）1()2,sin(2)62f A A π=+=即由132666A πππ<+< 5266A ππ∴+=,即 3A π=…………………(8分) 在bc c b a ABC -+=∆222中，由余弦定理 …………………(10分)又32,6==+a c b bc bc c b 3363)(122-=-+=∴ ,8bc =所以1sin 2ABC S bc A ∆== …………………(12分)19、（1）由已知1862,,a a a 成等比数列，226218111,(5)()(17)a a a a d a d a d ∴=+=++21880d a d -=,……………(2分)由}{10,1,n d a a >=为等差数列11,n a d a n ∴=== …………(4分) 又1232,6,18b b b ===，{}n b 为等比数列123n n b -∴=⋅ …………(7分) （2）2121212n n c c c n b b b +++= 11112c n b ∴==当时, 11c = …………………(8分)当21111211111221(1)2n n n n n n c c c n b b b n c c n b b ----⎧+++=⎪⎪≥⎨⎪++=-⎪⎩时,相减得1(21)3n n c n -=-⋅综合得1(21)3n n c n -=-⋅ …………………(10分) 1112(21)301,10n n c n c c c -=-⋅>=+=，，123123455,244c c c c c c c ++=+++= 12345123456973,3646c c c c c c c c c c c ++++=+++++=4,5m ∴= ………………(13分) 20、（1）ABC ∆中，4,3,5AC BC AB ===∴90ACB ∠=，即BC AC ⊥ …………………（2分） 1BCC ∆中，113,4,5BC CC BC === ∴1BC CC ⊥而1CC AC C ⋂=∴BC ⊥平面111,AAC C BC AC ⊥ ………………（4分）（2）1AC 与平面1B CD 不平行 …………（7分）（3）由已知易知AC ⊥平面1BCC ，:5:2AB DB =…………（9分）∴11111125C B DC D B C C A B C C V V V ---==211163445325=⨯⨯⨯⨯⨯= ……（13分）21、（1）设1122(,),(,),:()2pA x yB x y AB y k x =-由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得041)2(22222=++-p k x k p x k22121222,4k p x x p x x k ++=⋅= ………………(2分) 由抛物线定义得212212k AB AF BF x x p p k+=+=++= 同理用p k CD k k 2)1(12+=-，得换AB 1+（2）①2121212p p (x )(x )x x ()2224p p AF BFx x ⋅=++=+++22222222122p k p k p k k++=+⋅=⋅ …………………(8分)当243AF BF p ⋅=时2222143k p p k +⋅=，又0k >，解得k = ……………(9分)②由①同理知22(1)CF DF k p ⋅=+,2221k AF BF p k+⋅=⋅ 由变形得222221(1),,k p k p BF CF k AF DF ++⋅== …………………(10分) 又AB CD ⊥1122S AF CF BF DF ∴=⋅+⋅ 2222DF 11(k 1)2|AF|AF k p DF k ⎡⎤+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………(12分) 2222p ≥≥= 221111,(1)(1)1AF DF k k k k DF AF k =⇔==+=+⇔=“”，即当1k =时S 有最小值22p …………………(14分) 22、（1）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞…………………(1分)21'()ax f x x -=…………………(2分) 0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增当1x a=时()f x 有极小值ln a a a -，无极大值 …………(4分)0a ≤时，()f x 在(0,)+∞递减，()f x 无极值 …………(6分)（2）由1212121211|()()|,,[1,3],f x f x x x x x x x -<-∀∈<恒成立，得 1212122111()()11()()f x f x x x f x f x x x ⎧-<-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩对1212,[1,3],x x x x ∀∈<恒成立………(8分) 即1212121211()()11()()f x f x x x f x f x x x ⎧-<-⎪⎪⎨⎪+>+⎪⎩对1212,[1,3],x x x x ∀∈<恒成立……(10分)∴有1()()ln g x f x a x x =-= 在[1，3]递增112()()ln h x f x a x x x x=+=+ 在[1，3]递减从而有22022'()0a a ax h x x x x >⎧⎪-⎨=-=≤⎪⎩对x ∈[1，3]恒成立 ∴ 203a <≤…………………(13分)。