概率论第四章课后习题解答

概率论第四章习题解答

1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ”

（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y

（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。 解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为 所

以

151115()234988884

E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。

（2）因为Y 的取值为2,3，4，9

当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故

1

21

{2}3015

C P Y ==

=； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故

112314673

()234915215103015

E Y =⨯

+⨯+⨯+⨯==

。 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；

若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为：

1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。

2 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）

解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率

因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为，设出现次品的件数为

Y ，则(10,0.1)Y B ，于是有

1010{}(0.1)(0.9)k

k k P Y k C -==

（2

）一次检验中不需要调整设备的概率

则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律

由于X 取值为0，1，2，3，4。0.2369p =，则(4,0.2369)X B

于是 0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===

（4）求数学期望 1.0556=。

3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求

()E X 。

解 （1）求X 的分布律

由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3464= 种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而 1

{4}64

P X ==； 又{3}X =

“3X =”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只能放在第3、4号两个盒子中，共有328=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X =这一要求，需要除去，故有

“2X =”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，共有3327=种放法，但其中有一种是

3只球都放在第3、或4号盒子中，共有328=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X =这一要求，需要除去，故有

即

（2）求()E X 37197110025()1234 1.5625646464646416

E X =⨯

+⨯+⨯+⨯===。 4（1）设随机变量X 的分布律为1

32

{(1)

}3

j j j P X j +=-=，（1,2,3,j =），说明

X 的数学期望不存在。

（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。试说明要游戏结束的摸球次数X 的数学期望不存在。 解 （1）因为级数

1

111

13332(1)

{(1)}(1)3j j j j j j j j j P j j j ∞

∞+++==--=-⋅∑∑11

(1)2j j j +∞

=-=∑， 这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。所以其数学期望不存在。

（2）以k A 记事件“第k 次摸到黑球”，以k A 记事件“第k 次摸到白球”，以k C 表示事件“游戏在k 次摸球时结束”，1,2,3,

k =。

按题意，12

1k k k C A A A A -=，由乘法公式得

而 11

{1}()2

P X P A ===

21221112111(|)(|)()432

43

P A A A P A A P A =⨯⨯=⨯，

一般地，若当X k =时，盒中共有1k +只球，其中只有一只白球，故 若()E X 存在，则根据数学期望的定义，就有

111

111

()()11k k k E X kP X k k k k k ∞

∞

∞======⨯=++∑∑∑，

而调和级数11

1

k k ∞

=+∑

却是发散的，此即表明数学期望()E X 不存在。 5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X （以min 计）是一个随机变量，其概率密度为

求()E X

解 按连续型随机变量的数学期望的定义有 6 设随机变量X 的分布律为

求()E X ，2()E X ，2(35)E X + （2）设()X

πλ，求11E X ⎛⎫

⎪+⎝⎭

解 ()20.400.320.302E X =-⨯+⨯+⨯=-； 或

因为

所以 2()00.340.7 2.8E X =⨯+⨯=。 （2）因为 !

k k e p k λ

λ-=

，0,1,2,k =