线性规划题型总结
例谈线性规划的常见题型及其解法
线性规划是高考数学必考的内容，侧重于考查同学们的数学建模、数学运算、数学分析等能力.线性规划问题的类型有很多，在本文中笔者总结了几类常见的线性规划题型及其解法，以帮助同学们加深对线性规划题型及其解法的了解.类型一：求目标函数的最值求目标函数的最值是线性规划中的一类常见题型，主要有两种形式：（1）求线性目标函数的最值；（2）求非线性目标函数的最值.无论是哪一种，解题的基本思路都是：（1）画出约束条件所确定的平面区域；（2）将目标函数变形为斜截式直线方程、两点间的距离、直线的斜率等；（3）在可行域内寻找取得最优解的对应点的位置；（4）解方程组求出对应点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.例1.已知x、y满足以下约束条件ìíîïï2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y -3≤0,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是_____.解：作出如图1所示的可行域，将z=x2+y2可以看作点()x,y到原点的距离的平方，由图可知，在可行域内点A到原点的距离的平方最大，即||AO2=13,直线2x+y-2=0到原点的距离的平方最小，为d2=æèççöø÷÷||0-222+122=45，所以z=x2+y2的最大值和最小值分别是13和45.在求目标函数的最值时，同学们要注意将目标函数进行适当的变形，深入挖掘其几何意义，将其看作直线的斜率、截距、两点间的距离等，然后在可行域内寻找取得最值的点.类型二：求可行域的面积求可行域的面积的关键在于根据约束条件画出正确的图形，然后将可行域拆分、补充为规则的几何图形，如三角形、平行四边形、矩形等，再利用三角形、平行四边形、矩形等的面积公式进行求解.例2.已知不等式组ìíîïï2x+y-6≥0,x+y-3≤0,y≤2,则该不等式表示的平面区域的面积为_____.解：根据所给的不等式组作出可行域，如图2所示，由图2可知△ABC的面积即为所求.显然S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC，S梯形OMBC=12×()2+3×2=5，S梯形OMAC=12×()1+3×2=4，所以S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC=5-4=1.本题中的可行域为三角形，而该三角形的面积很难直接求得，于是将其看作梯形OMAB的一部分，将梯形OMAB的面积减去梯形OMAC的面积，便可得到三角形ABC的面积.类型三：求参数的取值或者范围很多线性规划问题中含有参数，要求其参数的取值或范围，首先要确定可行域，然后结合题意寻找符号条件的最优解，建立相对应的关系式，便可求得参数的取值或者范围.例3.已知x、y满足以下约束条件ìíîïïx+y≥5,x-y+5≤0,x≤3,使z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，则a的值为_____.解：根据约束条件作出可行域，如图3所示，作出直线l:x+ay=0，要使目标函数z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，可将直线l向右上方平移，使之与直线x+y=5重合，故a=1.通常含有参数的目标函数图象是不确定的，因此正确绘制出可行域十分关键，只有对问题中的所给条件进行正确的分析，才能快速找到正确的解题思路.通过对上述三类题型的分析，同学们可以发现线性规划问题都比较简单，按照基本的解题步骤：画图—变形目标函数—寻找最优解对应的点—求值便能得到答案.同学们在解答线性规划问题时还需重点关注特殊点、直线，这些特殊的点、位置常常是取得最优解的点或者位置.（作者单位：江苏省江阴市第一中学）承小华图1图2图３方法集锦45。
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
高考线性规划题型归纳
线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。
数形结合是数学思想的重要手段之一。
习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .图2xy O2 2 x=2y =2 x + y =2BA解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。
22x y +的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。
求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2C 、13，45D 、13，25解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 练习2、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________．2，0三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形。
线性规划的常见题型
线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。
线性规划常见题型及解法
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x z 2+=的取值范围是 .二、求可行域的面积2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 .三、求可行域中整点个数3、满足2||||≤+y x 的点),(y x 中整点（横纵坐标都是整数）有 个.四、求线性目标函数中参数的取值范围4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使ay x z +=（0>a ）取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 .五、求非线性目标函数的最值5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22y x z +=的最大值和最小值分别是 .六、求约束条件中参数的取值范围6、已知3|2|<+-m y x 表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 .七、比值问题 当目标函数形如y a z x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
7、已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是 . 练习一、填空题1、已知x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则24z x y =+的最大值为 .2、设a 是正数，则同时满足下列条件：22a x a ≤≤；22a y a ≤≤；x y a +≥；x a y +≥；y a x +≥的不等式组表示的平面区域是一个凸 边形．3、原点(00)O ，与点集{()|2102250}A x y x y y x x y =+-++-，≥，≤，≤所表示的平面区域的位置关系是 ，点(11)M ，与集合A 的位置关系是 ． 4、点(3)P a ，到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式23x y +<表示的平面区域内，则P 点坐标是 ．5、已知点(31)，和(46)-，在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是 ．6、在ABC △中，三顶点(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在△ABC 内部及边界运动，则z x y =-最大值为 ．7、在直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧≥-+-≤+--+3|3||2|046422y x y x y x 面积是 ．8、已知x 、y 满足以下约束条件27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥，则22y x z +=的最大值和最小值分别是 .9、给出平面区域如图所示，若使目标函数z ax y =+(0)a >取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为 .10、给出问题：求35z x y =+的最大值和最小值，使x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是 ．二、选择题11、下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）Ａ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-<⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤Ｂ．10236010220x y x y x y x y +-<⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+<⎩≥≥Ｃ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+>⎩≤≤Ｄ．10236010220x y x y x y x y +-⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪-+⎩≥≥ 12、已知点1(00)P ，，231(11)03P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．1P ，2P Ｂ．1P ，3PＣ．2P ，3P Ｄ．2P 13、如图所示，(21)(3)0x y x y -++-<表示的平面区域是（ ）三、解答题14、某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？15、有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．现在要在一天内运输至少2000t 粮食和1500t 石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？16、预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问：桌、椅各买多少才合适？。
线性规划常见题型及解法
线性规划常见题型及解法线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上12方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选 C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。
线性规划题型总结
3.【安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=获得最大值旳最优解不唯一，则实数 a 旳值为（A ）21或1-（B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-4.【天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目旳函数2z x y =+旳最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．2=2=-当目旳函数线过可行域内A 点时，目旳函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.5.【山东卷（理09）】已知y x,满足旳约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目旳函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下获得最小值52时，22a b +旳最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2【答案】B【解析】10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=旳距离旳平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。
6.【全国新课标Ⅰ（理09）】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩旳解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.7.【全国新课标Ⅱ（理09）】设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-旳最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】 B【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=9.【北京卷（理06）】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-旳最小值为-4，则k 旳值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣）时直线在y 轴上旳截距最小，即z 最小．此时，解得：k=﹣．故选：D11.【广东卷（理03）】若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且旳最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】由题画出如图所示旳可行域；由图可知当直线2z x y +通过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+通过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，因此6M N -=，故选C.2246510y = -1x +y -1=0y = xBAC O1 ．（高考湖南卷（理））若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是 （ ）A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】C2 ．（一般高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知0a >,,x y满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+旳最小值为1,则a =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B3 ．（一般高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目旳函数z = y -2x 旳最小值为 （ ）A ．-7B ．-4[来源:学.科.网]C ．1D ．2【答案】A4．（一般高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy 中,M为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所示旳区域上一动点,则直线OM 斜率旳最小值为（ ）A ．2B ．1C ．13-D ．12-5．（高考北京卷（理））设有关x ,y 旳不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表达旳平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 旳取值范围是（ ）[来源:学#A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭[来源:学,科,网Z,X,X,K]【答案】C 二、填空题6．（一般高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所示旳平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 旳取值范围是______.【答案】1[,4]27．（高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成旳封闭区域, 则2x -y 旳最小值为___-4_____.【答案】- 48．（高考四川卷（理））已知()f x 是定义域为R 旳偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<旳解集是____________.【答案】(7,3)- 910．（一般高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 旳最大值为12,则实数=k ________.[来源:学_科_网Z_X_X_K]【答案】2。
线性规划基本题型
例5
(2023年北京-7)设不等式组
3x表x达y旳y平1面13
0 0
区(A域)(1为，D3，] 若(B指)数[2，函3数] y=(aCx旳) (1图，像2上] 存在(D区)[域35D，x上+旳∞3]点y，则9a旳0取值范围是
解：作出可行域如右图所示绿色
区域． 0<a<1 时 ， x>0 时 ， 0<ax<1 ， y=ax
离旳平方旳最值问题．
题型三 求非线性目旳函数旳最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0， 已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0， 作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二 求非线性目旳函数旳最值—距离型
若目旳函数不是线性函数，我们可先将目旳函数变形找 到它旳几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265.
检测：
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
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高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
高中简单线性规划基础题型总结
高中简单线性规划基础题型总结熊明军简单线性规划属于操作性知识，是高考必考知识点，历年不变，必有一选择或填空题。
下面结合例题，总结高中简单线性规划问题的基础题型，方便同学们快速掌握相关内容。
线性规划问题的基础题型，可根据目标函数的特点，将其分为三类： 类型一（直线）：by ax z +=【理论】点到直线的距离。
【步骤】①作出可行域；②作出直线by ax +=0；③判断可行域顶点到直线by ax +=0的距离：()max max ,z y x P d ⇒⇒和()min min ,'z y x P d ⇒⇒【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求y x z 2-=的最值。
【解析】分三步走：①作出可行域：②作出直线y x 20-=：③判断直线y x 20-=到可行域顶点C B A 、、间的距离：平移、目测或代点都能判断，得()()11231,3,max max =⨯-=⇒⇒=z B l B d d ；()()119279,7,min min -=⨯-=⇒⇒=z C l C d d 。
类型二（圆）：()()22b y a x z -+-= 【理论】两点之间的距离。
【步骤】①作出可行域；②作出圆()()222b y a x d -+-=；③判断可行域上的点到圆心()b a ,的距离（即半径r ）：()max max max ,z y x P d r ⇒⇒=和()min min min ,'z y x P d r ⇒⇒=【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求()()2211-+-=y x z 的最值。
【解析】分三步走：①作出可行域：②作出圆()()22211-+-=y x d ：r d =且半径r 由小到大逐渐作圆。
③判断圆心()1,1到可行域上点间的距离，也就是与可行域有交点的圆中半径r 的大小：目测或用圆规作圆都能判断，得()()()()10019179,7,22max max max =-+-=⇒⇒==z C D C d d r ；()()211411,2222min min min min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==⇒==d z l D d d r AB . 类型三（斜率）：m n x a b y m a m n x m a b y a n mx b ay z --⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--= 【理论】两点确定的直线的斜率。
高考数学线性规划题型总结
线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 ;解析：如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A3,4处,目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题;数形结合是数学思想的重要手段之一;习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z=x+2y 的取值范围是A 、2,6B 、2,5C 、3,6D 、3,5解：如图,作出可行域,作直线l ：x+2y ＝0,将l 向右上方平移,过点A2,0时,有最小值2,过点B2,2时,有最大值6,故选A二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方;由图易知A1,2是满足条件的最优解;22x y +的最小值是为5;点评：本题属非线性规划最优解问题;求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解; 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是 A 、13,1 B 、13,2C 、13,45D 、13,255图2x y O2 2 x=2y =2 x + y =2BA 2x + y - 2= 0= 5x – 2y + 4 = 3x – y – 3 =Oyx A解：如图,作出可行域,x 2+y 2是点x,y 到原点的距离的平方,故最大值为点A2,3到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方,即为45,选 C 练习2、已知x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ,则xy 的最大值为___________,最小值为____________． 2,0三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中,不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A 42 B4 C 22 D2解析：如图６,作出可行域,易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形;容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ０,２,B2,0,C-2,0.于是三角形的面积为：11||||42 4.22S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ; 点评：有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键;习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选B四、已知平面区域,逆向考查约束条件;例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是2x + y – 6= 0 = 5x ＋y – 3 =Oyx A BC M y =2A 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩B 0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩C 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩D 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围成一个三角形区域如图4所示时有0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩;点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题;验证法或排除法是最效的方法;习题4、如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是A 232600y x y x ≥-⎧⎪-+>⎨⎪<⎩B 232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩C 232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩C五、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题;例5、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键;六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点0,0和－1,1,则m 的取值范围是 A 、-3,6 B 、0,6 C 、0,3 D 、-3,3解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3,选CCO2x – y =y2x – y + 3 = 0习题6、不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是A ．32<<-mB ．60<<mC ．63<<-mD ．30<<mA七、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题;例7、已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩;若目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 ;解析：如图5作出可行域,由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -,纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值;则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==不含界线之间;即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞;点评：本题通过作出可行域,在挖掘a z -与的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解;求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题的能力要求较高;习题7、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为A 、－3B 、3C 、－1D 、1解：如图,作出可行域,作直线l ：x+ay ＝0,要使目标函数z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合,故a=1,选D八、研究线性规划中的整点最优解问题例8、某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是A80 B 85 C 90 D95解析：如图７,作出可行域,由101010zz x y y x =+⇒=-+,它表示为斜率为1-,纵截距为x + y = 5x – y + 5 =Oyxx=310z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值;当直线1010z x y =+通过119(,)22A z 取得最大值;因为,x y N ∈,故Ａ点不是最优整数解;于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ５,４,Ｃ４,４,经检验直线经过Ｂ点时,max 90.Z =点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解;九、求可行域中整点个数例9、满足|x|＋|y|≤2的点x,y 中整点横纵坐标都是整数有 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y xy+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图,是正方形内部包括边界,容易得到整点个数为13个,选C 习题9、不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为A ． 13个B ． 10个C ． 14个D ． 17个 AxyO。
线性规划常见题型及解法
ay （ b ac ≠ 0） 的 目 标 函 数 ， 可 先 cx d
A2 B 2
Ax By C A2 B 2
形式，
求 可 行 域 内 的 点 （ x ， y） 到 直 线 Ax+By+C =0 距离的 A2 B 2 倍的最值。 3、 参 数 的 取 值 范 围 （ 1） 、求线性目标函数中参数的取值范围
2 x y m 3 0 解 ： |2 x － y ＋ m| ＜ 3 等 价 于 2 x y m 3 0
O m 3 3 由右图可知 , 故 0＜ m＜ 3， 选 C m 3 0 x-y+5≥0 ※ 备 选 5: 已 知 x、y、z ，满 足 x+y+k≥0 ， 且 z=2x+4y 的 最 小 值 x≤3 为 -6 ， 则 常 数 k= （ D ） A、 2 二、综合篇 线性规划是数学规划中理论较完整、方法教成熟的、应用较广泛 的一个分支。它不单单是对直线内容的深化，而且更多的是与解 析几何、向量、不等式、概率等其它知识的交汇。近年高考的分 值在逐年增加，这类问题的综合命题就更加令人注目。 1、 与函数交汇
C x 2x + y – 6= 0 =5
4 所 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ___. 3
说 明 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 ， 由 △ADC 的 面 积 加 上 △ BDC 的 面 积 即 可 。 （ 3） 、求可行域中整点个数 例 3 、满 足 |x| ＋ |y| ≤ 2 的 点（ x ，y）中 整 点（ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有（ ） A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 y
线性规划题型总结
线性规划题型总结一、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x 【类型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题】例1.求y x z 32+=的最大值.【类型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题】例2.求112++=y x z 的取值范围.【类型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题】例3.求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.【类型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题】例4.试求所围区域的面积与周长.【类型五：已知最优解，探求目标函数参数问题】例5.已知目标函数z ax y =+（其中0<a ）仅在（3,4）取得最大值，求a 的取值范围.【类型六：已知最优解，探求约束条件参数问题】 例6.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-122y x m y x y x ，目标函数y x z 32+=在（4,6）取得最大值，求m .二、线性规划的实际应用线性规划的实际应用题型大体有两类，一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力物力完成任务；另一类是在人力物力一定的条件下，如何安排使得最大化的发挥效益.两类题型是同一个问题的两面，主要依据以下步骤：1.认真分析实际问题的数学背景，将对象间的生产关系列成表格；2.根据问题设未知量，并结合表格将生产关系写出约束条件；3.结合图形求出最优解.例1.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?例2. 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？针对练习一、选择题1.下列四个命题中真命题是（ ）A .经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示；B .经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示；C .不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示； D .经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示2.设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ）.A 1=+b a .B 1=-b a .C 0=+b a .D 0=-b a3.下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） Ａ.(02)， Ｂ.(20)-，Ｃ.(02)-， Ｄ.(20)， 4.若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x-2y 的最大值为A.4B.3C.2D.15.在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+最大值的变化范围是（ ） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]6.在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）A. B.4C. D.27.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是( )A.80B.85C. 90D.958.已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 .B [)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，.C (][)36-∞+∞，， .D [36]，二、填空题 9.已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 ；10.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ；11.已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
线性规划五类经典题型-精选.pdf
类型一：一般线性规划题 类型二：构造 类型三：待定系数法 类型四：整点问题
类型五：含参数线性规划问题
类型一：一般线性规划题
4 已知实数 x， y 满足线性约束条件
2x－ y≥ 0， x＋y－ 4≥ 0， x≤3，
（ 1） z＝2x－3y 的最大值和最小值；
（2） z＝x2＋y2－ 10y＋25 的最小值；
17
b
zx 过点 C 2， 2 时， zmax＝ 7，故 a∈ [e,7] ．
2 已知函数 f ( x) 1 x3 1 ax2 bx c 在 x1处取得极 大值，在 x2 处取得极小值，满足
32
x1
( 1,0), x2
a (0,1) ，则
2b
4 的取值范围是 ________．
a2
3、 已知
ABC 的三边长 a, b,c 满足 b
所以，不等式组
x－ y＋5≥0， x＋ y≥0， x≤３
表示的平面区域如图所示．
5 结合图中可行域得 x∈ －2， 3 ，y∈ [ － 3,8] ．
(2) 由图形及不等式组知
－ x≤ y≤x＋ 5， 5
－ 2≤ x≤3，且 x∈Z，
当 x＝3 时，－ 3≤ y≤8，有 12 个整点；
当 x＝2 时，－ 2≤ y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－ 1≤ y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时， 0≤ y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－ 1 时， 1≤ y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－ 2 时， 2≤ y≤3，有 2 个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋ 4＋ 6＋ 8＋ 10＋12＝ 42( 个 ) ．
1（ 2012 江苏高考 ) 已知正数 a， b， c 满足： 5c－ 3a≤ b≤４c－ a，cln b≥ a＋ cln c，则 a的 取值范围是 ________．
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线性规划题型总结1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)=+∈的线性目标函数的最值问题，通常转z ax by a b R化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1．（2017天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3答案：D解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．2．（2017新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为．答案：﹣1．解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．3．（2017浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞）答案：D．解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．4．（2016河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3答案：C．解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A（﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x+2y|得z=2×2+2=6。
5．（2016湖南模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（）A．B．C．3 D．9答案：D．解：约束条件对应的平面区域如图：令2x﹣y=t，变形得y=2x﹣t，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由得到交点A（，）所以t最小为；过C时直线y=2x﹣t在y轴截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值为2×1﹣0=2，所以，故。
2 . “距离”型考题在线性约束条件下，求形如z=（x-a）2+（y-b）2的线性目标函数的最值问题，通常转化为求点（a，b）到阴影部分的某个点的距离的平方的取值.6．（2016山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12答案：C．解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．7．（2016浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A．2 B．4 C．3D．6答案：C解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′=RQ，由得，即Q（﹣1，1），由得，即R（2，﹣2），则|AB|=|QR|===3，8．（2016安徽模拟）如果实数x，y满足，则z=x2+y2﹣2x的最小值是（）A．3 B．C．4 D．答案：B．解：由z=x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，设m=（x﹣1）2+y2，则m的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知D 到AC 的距离为最小值， 此时d==，则m=d 2=（）2=，则z=m ﹣1=﹣1=。
3. “斜率”型考题在线性约束条件下，求形如z=ax by --的线性目标函数的最值问题，通常转化为求过点（a ，b ）阴影部分的某个点的直线斜率的取值.9．（2016唐山一模）若x ，y 满足不等式组，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．2D ．3答案：C解：由题意作平面区域如下，的几何意义是阴影内的点（x ，y ）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A （1，2）时有最大值，此时==2，10．（2016莱芜一模）已知x ，y 满足约束条件，则z=的范围是（ ）A ．[，2]B ．B[﹣，]C ．[，]D ．[，]答案：C解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），由，解得B（3，1），而z=的几何意义表示过平面区域内的点与（﹣1，﹣1）的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，K AC==，K BC==．11．（2016衡阳二模）已知变量x，y满足，则的取值范围是（）A．B． C． D．答案：[，]解：作出满足所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=．4.“平面区域的面积”型考题12．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)(y－1x)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为( )A．3π4 B．3π5C．4π7D．π2答案： D解：不等式(y－x)(y－1x)≥0可化为0,1y xyx-≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0,10.y xyx-≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图阴影部所示．由线1yx=，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D项．5. “求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.13．（2016兴安盟一模）若x，y满足不等式组，且y+x的最大值为2，则实数m的值为（）A．﹣2 B． C．1 D．答案：D解：∵y+x的最大值为2，∴此时满足y+x=2，作出不等式组对应的平面区域如图：则由，解得，即A（1，），同时A也在直线y=mx上，则m=，14．（2016绍兴一模）若存在实数x，y满足，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，）答案：D解：作出所对应的区域（如图△ABC即内部，不包括边界），直线m（x+1）﹣y=0，可化为y=m（x+1），过定点D（﹣1，0），斜率为m，存在实数x，y满足，则直线需与区域有公共点，，解得B（，），，解得A（，）K PA==，K PB==，∴＜m＜．6. “求目标函数中的参数”型考题规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.15．（2015山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3答案：B解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2 16．（2016扶沟县一模）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则ab的最大值为（）A．1 B．C．D．答案：C解：满足约束条件的可行域如下图所示：∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）故z A=2a+2b，z B=2a+3b，由目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则2a+2b=2，即a+b=1则ab≤=故ab的最大值为7. 其它型考题17.（2016四川）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件.18．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．解：（1）设甲、乙两种产品每件分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．答案为：216000．19．（2016天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：A B C甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．解：（1）x，y满足的条件关系式为：．作出平面区域如图所示：（2）设利润为z万元，则z=2x+3y．∴y=﹣x+．∴当直线y=﹣x+经过点B时，截距最大，即z最大．解方程组得B（20，24）．∴z的最大值为2×20+3×24=112．答：当生产甲种肥料20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元．。