初中数学三角形中的分类讨论思想

初中数学三角形中的分类讨论思想

三角形是平面几何中最简单、最基本的图形，也是同学们最熟悉的图形，中考中常碰见这一类题。这类题常常不给出几何图形，很多同学在做题时不知道分类讨论，导致结论不完整。为帮助同学们渡过这个难关，现将有关三角形中需要分类讨论的情况总结如下，供同学们学习时参考。

一、三角形的形状不定需要分类讨论

例1. 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2

=·，则∠BCA 的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。

如图1，当△ABC 的高在形内时，由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形。由∠B ＝25°。可知∠BAD ＝65°。所以∠BCA ＝∠BAD ＝65°。

A

图1

如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。

A

B C D

图2

由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD 所以∠B ＝∠CAD ＝25° ∠BCA ＝∠CAD ＋∠ADC ＝25°＋90°＝115°

二、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例2. 已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足x y y 224560-+

-+=，则第三边的长为_____________。

解析：由x y y 224560-+-+=，可得x 240-=且y y 2560-+=

分别解这两个方程，可得满足条件的解x y 1122==⎧⎨⎩，或x y 2223==⎧⎨⎩ 由于x ，y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

当两直角边长分别为2，2时，斜边长为222222+=； 当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为5；

当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为13。 综上，第三边的长为22或5或13。

三、等腰三角形腰和底不明确时需要分类讨论

例3. 已知x y -+

-=360，以x ，y 为两边长的等腰三角形的周长为__________。

解析：由x y -+-=360，得x -=30且y -=60 解得x =3且y =6

当腰长为6，底长为3时，三角形的周长为66315++=

当腰长为3，底长为6时，因336+=，与三角形的两边之和大于第三边相矛盾，不能构成三角形。

故三角形的周长为15。

例4. 如图3，已知A （-1，0）和B （1，2），在坐标轴上确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足条件的点共有（ ）

图3

A. 2个

B. 4个

C. 6个

D. 7个

解析：如图4，共有6个，应选C 。

图4

以下几题供同学们练习。

1. 在△ABC 中，AB AC ==

22，，∠B ＝30°，则∠BAC 的度数为___________。

答案：105°或15°

2. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A. 30°

B. 150°

C. 60°或120°

D. 30°或150°

答案：D