三角函数的单调性、奇偶性、单调性练习

三角函数的图像性质：奇偶性、单调性、周期性

例题1:判断下列函数的奇偶性

（1）()()sin f x x x π=+ （2）21sin cos ()1sin x x

f x x

+-=+

例题2:求下列函数的单调区间

（1）()sin 33f x x π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

（2）()cos(2)3f x x π=- [](0,)x π

∈

例题3：求下列函数的值域

（1）32cos 6y x π⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭，[](0,)x π∈ （2）x x y sin sin += （3）sin sin y x x =+

例题4：已知函数3cos 216y x π⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭，请写出该函数的对称轴、对称中心；用五点作图法作

出该函数的图像.

同步练习：

1、写出下列函数的周期：

（1）5sin 23y x π⎛

⎫=--+ ⎪⎝

⎭（2）tan(2)y x π=+（3）7cos2y x =+（4）2tan 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

2、（1）求函数2sin 25y x x =+-的定义域.（2）解不等式1sin 42x π⎛

⎫-≥ ⎪⎝

⎭.

3、比较下列各数的大小：sin1︒、sin1、sin π︒

4、已知()cos

4

n f n π

=，*n N ∈，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++=__________.

5、方程lg sin 3x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭实数根的个数为___________.

6、如果4

x π

≤，求2()cos sin f x x x =+的最值，并求出取得最值时x 的值.

7、写出函数1

3tan 2

3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心，并用作出该函数在[]0,x π∈的图像.

8、对于函数()f x 定义域,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

中的任意()1122,x x x x ≠，有如下结论：

（1）()()f x f x π+=. （2） ()()f x f x -= （3）(0)1f =. （4）

1212

()()

0f x f x x x ->- （5）

1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>

⎪⎝⎭

当()tan f x x =时，以上结论正确的序号为________________. 能力提高：

1、()2sin f x wx =(01w <<),在区间0,3π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上最大值是2，求w .

2、若2()sin sin 1f x x a x =--+的最小值为-6，求实数a 的值.

3、设定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-.当02x ≤≤时，2()2f x x x =-. (1)当20x -≤≤时，求()f x 的表达式；(2)求(9)f 与(9)f -的值； (3)证明()f x 是奇函数．

三角函数的图象变换

例题1：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换，得到函数π2sin 216y x ⎛

⎫=--+ ⎪⎝

⎭的图象．

变式1：已知函数()y f x =，将()f x 的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是1

sin 2

y x =的图象，求已知函数()y f x =的解析式．

同步练习：

1、(1)把函数sin 2y x =的图像向 平移 单位长度得到函数sin(2)3

y x π

=-的图像。

(2)把函数sin 3y x =的图像向 平移 单位长度得到函数sin(3)6

y x π

=+的图像。

(3)将函数()f x 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2

π

个单位长度，得到的曲线是1sin 2

y x =

的图像，则函数()f x =

2、已知函数()2sin ()23x f x x R π⎛⎫

=+∈ ⎪⎝⎭

.

(1)写出函数的振幅、初相、相位、频率；（2）该函数是由sin y x =的图像怎么变换而来的？

求出A ωϕ、、，确定函数表达式

例题1：（1）已知函数()2sin 0y x ωω=>的图像与2y =的相邻的两个公共点之间的距离为3

π

，求ω的值.

（2）已知图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛

⎫=+< ⎪⎝

⎭的图象上的一段，则（ ）

A.10π116

ωϕ=

=， B.10π

116

ωϕ=

=-， C.π

26ωϕ==

， D.π

26

ωϕ==-，

例题2：函数()()3sin 25f x x ϕ=+的图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正角是？

变式：如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

中心对称，那么ϕ的最小值是？

例题3：已知函数()()sin f x A wx ϕ=+，x R ∈(其中0,0,02

A w π

ϕ>><<

)的图象与x 轴的交点