6第六讲、第二章 弹性力学平面问题(6、7、8)

（ 1）
AC 边界：
∴ A 点处无应力作用
代入应力边界条件公式，有
例5 图示楔形体，试写出其边界条件。
例6 图示构件，试写出其边界条件。
例5 图示楔形体，试写出其边界条件。 上侧：
下侧：
例6 图示构件，试写出其应力边界条件。 上侧：
N

下侧：
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图(a)：
—— 位移边界条件
—— 应力边界条件
图(b)： —— 应力边界条件
—— 位移边界条件
平面问题的基本方程：
（1）平衡方程：
（3）物理方程：
（2-2） （2-15） （2）几何方程： ——平面应力问题 （2-9） （4）边界条件： （1） ——位移边界条件 （2）
——应力边界条件
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（1）平衡方程： （3）物理方程：
（2-2） （2-15）
（2）几何方程：
未知量数：
方程数： 结论： 8个 8个
（2-9）
在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
2. 边界条件及其分类
边界条件： 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 是力学计算模型建立的重要环节。 （1）位移边界 边界分类 （2）应力边界 （3）混合边界 —— 三类边界 O q P x
（3）两类平面问题物理方程的转换：
（2-15）
（2-16）
—— 平面应力问题的物 理方程 (1) 平面应力问题 平面应变问题
—— 平面应变问题的物 理方程 (2) 平面应变问题 平面应力问题
材料常数的转换为：
材料常数的转换为：
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ZS
1. 弹性力学平面问题的基本方程
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ZS
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程 3. 物理方程
（应力问题） 4. （2-9） 边界条件 （2-17）
位移：
应力： （2-18）
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ZS
下一讲再见！
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（1）位移边界条件
位移分量已知的边界 —— 位移边界
y
用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边 界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为： 说明： （2-17） 称为固定位移边界。
—— 平面问题的位移边界条件
（2）应力边界条件
给定面力分量 由前面斜面的应力分析，得 边界 —— 应力边界
左侧面：

由应力边界条件公式，有
右侧面：
例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，
证明在板中间突出部分的尖点A处无应 力存在。
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB
力作用。即 AB 边界：
边界上无面
由应力边界条件公式，有 （ 2）
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
2.、圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P/2 P P/2
P
3.圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如： 主要边界 B
A
P
次要边界
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例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出 水坝的应力边界条件。
左侧面：
ZS
物理方程：平面问题中应力与应变的关系
物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。
1. 各向同性弹性体的物理方程
在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料 力学中的广义虎克（Hooke）定律。
（2-13）
其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收 缩系数，又称泊松比。
（1）平面应力问题的物理方程
ZS
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、 形变分量、位移分量完全满足8个基本方程 相对容易，但要使边界条件完全满足，往往 很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条 件无法列写。
P
P
P
1. 静力等效的概念
两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系 为静力等效力系。 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
（2-7）
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
τmax、 τmin 的方向与σ1
（ σ2 ）成45°。
（2-9） ——几何方程
O x P
说明：
u
dx A
v
dy B y
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7
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O q
x P
式中取：
y
得到：
（2-18） O P A px
x
—— 平面问题的应力边界条件 式中：
l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向
余弦。如： y B
dx dy ds
垂直 x 轴的边界： 垂直 y 轴的边界：
py
N
（3）混合边界条件
(1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。 (2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为 应力边界条件。如：
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例1 如图所示，试写出其边界条件。
(1)
q
h h
x
(2) (4)
a
y
(3)
例2 如图所示，试写出其边界条件。
(1) AB段（y = 0）： A 代入边界条件公式，有 N l C p(x) B
p0
x
h
y
(3)
AC段（y =x tan β）:
(2) BC段（x = l）：
例3 图示水坝，试写出其边界条件。
由于平面应力问题中
（2-15）
—— 平面应力问题的物 理方程
注：
(1)
—— 物理方程的另一形式 (2)
（2）平面应变问题的物理方程
由于平面应变问题中
由式（2-13）第三式，得
（2-16）
—— 平面应变问题的物 理方程
注： (1) 平面应变问题中
，但
（2-13）
(2)
平面应变问题 物理方程的另一形式：
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2
（1）斜面上的应力
O （2-3） （2-4） P dx dy ds A px
x
（2-5） y （2-6）
B py
p
N
（2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力
yx
y
代入应力边界条件公式
右侧面：
对O点的力矩等效：
代入应力边界条件公式，有
x方向力等效：
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。
注意：
y方向力等效： 必须按正向假设！
上端面：（方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
x
y
注意：
可见，与前面结果相同。 必须按正向假设！
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