5-1 大数定律

大数定律的客观背景
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 …… 废品率
二、大数定律（难点）
背景：
大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值 收敛于其均值的算术平均值。
nA 1 n n X i p( A) 特例：频率的稳定性。 Rn ( A) n n i 1
例3 {X k }( k 1, 2, ...)独立同分布,且X k U (0,1), 令 Yn ( X k )
k 1 n
1 n
P 证明 : Yn C , 并求C .
证明 :{ X k }独立同分布, 故{ln X k }也独立同分布.
X k U (0,1),
E (lnX k ) ln xdx 1
说明:(1) 另一种形式 lim P{ X n a } 0
n
(2) 对N ,n N时, 落在邻域U (a, )外的X n个数有限,测度为0.
P P P (3) 设X n a , Yn b, 则X n Yn a b. P X n .Yn a .b, P X n / Yn a / b(b 0)

1 n 1 P { X E ( X ) } P{ X i } n i 1
2 D( X ) 1 n 1 1 2 2 n
1 n 即得 : lim P{ X } lim P{ X i } 1 n n n i 1
P P (4) 设X n a, 函数y g( x)在x a处连续, 则g( X n ) g(a).
P P (5) 设X n a , Yn b, 函数g( x , y )在点(a , b)处连续, 则 P g( X n , Yn ) g(a , b).
核心: X 1 , X 2 ,..., X n满足什么条件时,
1 n 1 n P X i E ( X i ) n i 1 n i 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P 即满足什么条件时, X E( X )
1、切比雪夫大数定律
设随机变量 X 1 , X 2 , ..., X n相互独立,且数学期望和方差相同. 1 n 即E ( X i )= , D( X i )= (比P 89条件弱),令X X i , 则对于 n i 1
第五章
大数定理及中心极限定理
第一节 大数定律
一、依概率收敛简介。
二、大数定律（难点）。
1、切比雪夫大数定律。 2、伯努利大数定律。 3、辛钦大数定律。
一、依概率收敛简介
设 {X n }为一随机变量序列(n=1, 2, ...), a R, 若对 0,
P lim P{ X n a } 1, 则称{X n }依概率收敛于a .记作 : X n a. n
说明：
(证明见下页)
nA P (1) n重伯努利试验中, 事件A发生的频率Rn ( A) p( A) n nA (2) 试验次数充分大时,可用频率 近似代替概率p( A) n nA 5 例抛硬币试验 : 若 =0.01, n=10 时, P{ 0.5 0.01} 97.5% n
3、辛钦大数定律
切比雪夫大数定律中的条件可以弱化: 下面给出的独立同分布下的大数定律， 不要求随机变量的方差存在.
辛钦
设随机变量 X 1 , X 2 , ..., X n相互独立,服从同一分布,且数学期望 1 n E ( X i )= ( k 1, 2, ...). 令X X i , 则对于任意 0, 成立 n i 1 1 n lim P{ X } 1 或 lim P{ X i } 1 n n n i 1
0
1
{ln X k }满足辛钦大数定律,
令Zn ln Yn
1 n P 则Z n ln Yn ln X i 1 n i 1
又函数 f ( x ) e x 连续
故 Yn e
Zn
e
P
1
故 C e 1
本节重点总结
三个大数定律的核心
3、辛钦大数定律
说明：
(1) 与(切)大数定律区别: 不要求 X1 , X 2 ,..., X n方差存在,但要求分布相同.
(2) X ,
P
1 n 1 n P 形式二: X i n E ( X i ) n i 1 i 1
(3) 伯努利大数定律为辛钦定律特例(X i b(1, p), E ( X i ) p)
证明 : nA代表n重伯努利试验中A发生的次数, nA b(n, p)
第i次A发生 1 令X i (i=1,2,...,n) 0 第i次A没发生
则
nA X1 X 2 ... X n
X i b(1, p), E( X i ) p, D( X i ) p(1 p) (i=1,2,...,)
辛钦定律为切比雪夫大数定律特例(D( X i )相同, 分布不一定相同).
注 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望 值提供了一条实际可行的途径.
2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况. 3、辛钦定理具有广泛的适用性.
要估计某地区的平均亩产量 ， 要收割某些有代表性块，例如n 块 地. 计算其平均亩产量，则当n 较 大时，可用它作为整个地区平均亩 产量的一个估计.
2
1 n 任意 0, lim P { X } 1或 lim P{ X i } 1 n n n i 1
(证明见下页)
说明：
1 n 1 n P (1) X 1 , X 2 ,..., X n的算术平均值X , 即 X i E ( X i ). n i 1 n i 1
P
P (2) X , X为总体均值的一致无偏估计,数理统计用 X 估计E( X ).
1 n 1 证明 : E ( X ) E ( X i ) n i 1 n
1 E ( X i ) n * n i 1
n
1 n 1 2 n 1 2 D( X ) D( X i ) ( ) D( X i ) 2 * n 2 n i 1 n i 1 n n 由切比雪夫不等式，可得：
{ X n }满足切比雪夫大数定律 即 P{ X E ( X ) } 1
又 E( X ) E( X n ) 0
1 n P 故 X X i 0 n i 1
2、伯努利大数定律 设nA为n次独立重复试验中随机事件A发生的次数,p是
事件A在每次试验中发生的概率,则对任意 0, 成立 nA nA P lim P{ p } 1, 即 p( A) n n n
nA 1 n 又 X Xi = , n i 1 n 1 n E( X ) E( X i ) p n i 1
又X1 , X 2 ,..., X n相互独立, 根据切比雪夫大数定律
nA lim P{ X } 1, 即lim P{ p } 1 n n n
1 例2 {X n }( n 1, 2, ...)相互独立,P{ X n n } , n 2 P { X n 0} 1 ( n 2, 3, ...), 证明{X n }服从大数定律. n 2 1 1 证明 : E ( X n ) 0* (1 ) n * ( n )* 0 n n n 2 1 1 2 2 D( X n ) E( X n ) 0 * (1 ) n * n * 2 n n n