拉格朗日方程和哈密顿正则方程
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§5.7 Hamilton原理 拉格朗日方程和哈密顿正则方程； 哈密顿原理
分 式 哈 顿 理 积 形 （ 密 原 ）
运用变分运算的力学原理 ⇒ 力学变分原理⇒ 微分形式（虚功原理） 实质是泛函求极值问题 一、位形空间 相空间 体系由 q ｝ ｛ 确定 对应
α
s 维空间（位形空间）一个“位形点”
d ∂L d ∂L ∂L d ∂L ∂L d & δqα ) − δq ( )δqα = ( δqα ) − (δqα ) = ( &α &α α &α ∂q dt ∂q dt ∂q & & dt ∂qα ∂qα dt
∫
t2 s
t1
∑{
α=1
s
d ∂L ∂L ∂L & ( δqα ) − ( δqα + δqα )}dt & & dt ∂qα ∂qα ∂qα
⇒ “位形点”的运动表示体系的运动 位轨线
对应正则变量｛qα , pα｝⇒ 2s 维相空间（相宇）（相：运动状态） 体系状态改变
wk.baidu.com⇒ 相点在相空间运动 ⇒ 相轨迹
p2 x2 + =1 2mE 2E / k
p2 1 2 例子：谐振子 H = + kx = E 2m 2
构成相空间 x, p 中的椭圆
二、变分运算的几个法则 1、 A = A(q, p, t) B = B(q, p, t)
∫
三、Hamilton原理（力学中最重要的一条积分形式的变分原理） 运用拉氏方程导出保守力系作用下的Hamilton原理
d ∂L ∂L ( )− =0 & dt ∂qα ∂qα
d ∂L ∂L ( )− ]δqα }dt = 0 & dt ∂qα ∂qα
⇒
∫
t2 s
t1
∑{[
α=1
从 P → P2 沿可能轨道积分 1 对于等时变分
δ ( A + B) = δA + δB δ ( AB) = AδB + BδA
以上变分运算的法则用微分运算相同
A BδA − AδB δ( ) = B B2
2、函数微分和变分（等时变分）运算可以对易（对换次序）
d δ 3、可以证明，对于等时变分， 和 dt 可对易 d x2 x2 δ 和 dx 可对易 δ ∫x F(x)dx = x δF(x)dx 积分和变分可对易 1 1
∫
t2
t1
Ldt = s
对哈密顿原理数学表达式的说明
具有相同始点和终点众多可能运动中真实运动总是使作 用量 s的变分为零，表明哈密顿原理重要意义在于可用变分 法中求稳定值方法来挑选真实轨道 哈密顿原理的文字表述“保守的、完整的力学体系在 相同的时间内，由某一初位形转移到另一初位形的一切可 能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运 动来说，主函数的变分为零。” 判断物理体系真实运动的准绳
∂L ＝ ∑∂q δqα − α=1 &α
∫∑ α
t1 =1
t2 s
(
∂L ∂L & δqα + δqα )dt = 0 & ∂qα ∂qα
t2 t1
Q δqα
t1
t2
=δqα
t2
= 0 ∴∫ δLdt = 0
又 Qδt = 0
∴δ ∫ Ldt = 0
t1
哈密顿原理数学表达式 为作用函数（主函数）
其中
分 式 哈 顿 理 积 形 （ 密 原 ）
运用变分运算的力学原理 ⇒ 力学变分原理⇒ 微分形式（虚功原理） 实质是泛函求极值问题 一、位形空间 相空间 体系由 q ｝ ｛ 确定 对应
α
s 维空间（位形空间）一个“位形点”
d ∂L d ∂L ∂L d ∂L ∂L d & δqα ) − δq ( )δqα = ( δqα ) − (δqα ) = ( &α &α α &α ∂q dt ∂q dt ∂q & & dt ∂qα ∂qα dt
∫
t2 s
t1
∑{
α=1
s
d ∂L ∂L ∂L & ( δqα ) − ( δqα + δqα )}dt & & dt ∂qα ∂qα ∂qα
⇒ “位形点”的运动表示体系的运动 位轨线
对应正则变量｛qα , pα｝⇒ 2s 维相空间（相宇）（相：运动状态） 体系状态改变
wk.baidu.com⇒ 相点在相空间运动 ⇒ 相轨迹
p2 x2 + =1 2mE 2E / k
p2 1 2 例子：谐振子 H = + kx = E 2m 2
构成相空间 x, p 中的椭圆
二、变分运算的几个法则 1、 A = A(q, p, t) B = B(q, p, t)
∫
三、Hamilton原理（力学中最重要的一条积分形式的变分原理） 运用拉氏方程导出保守力系作用下的Hamilton原理
d ∂L ∂L ( )− =0 & dt ∂qα ∂qα
d ∂L ∂L ( )− ]δqα }dt = 0 & dt ∂qα ∂qα
⇒
∫
t2 s
t1
∑{[
α=1
从 P → P2 沿可能轨道积分 1 对于等时变分
δ ( A + B) = δA + δB δ ( AB) = AδB + BδA
以上变分运算的法则用微分运算相同
A BδA − AδB δ( ) = B B2
2、函数微分和变分（等时变分）运算可以对易（对换次序）
d δ 3、可以证明，对于等时变分， 和 dt 可对易 d x2 x2 δ 和 dx 可对易 δ ∫x F(x)dx = x δF(x)dx 积分和变分可对易 1 1
∫
t2
t1
Ldt = s
对哈密顿原理数学表达式的说明
具有相同始点和终点众多可能运动中真实运动总是使作 用量 s的变分为零，表明哈密顿原理重要意义在于可用变分 法中求稳定值方法来挑选真实轨道 哈密顿原理的文字表述“保守的、完整的力学体系在 相同的时间内，由某一初位形转移到另一初位形的一切可 能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运 动来说，主函数的变分为零。” 判断物理体系真实运动的准绳
∂L ＝ ∑∂q δqα − α=1 &α
∫∑ α
t1 =1
t2 s
(
∂L ∂L & δqα + δqα )dt = 0 & ∂qα ∂qα
t2 t1
Q δqα
t1
t2
=δqα
t2
= 0 ∴∫ δLdt = 0
又 Qδt = 0
∴δ ∫ Ldt = 0
t1
哈密顿原理数学表达式 为作用函数（主函数）
其中