6-3正态总体样本均值和样本方差的分布

2
一个样本，则
X ⑴ X ~ N ( , ) ，或 U ~ N (0,1) ； n n
差别
⑵ T
X ~ t (n 1) ， S n
2 ( X ) i i 1 n
不同 不同
⑶
2

2
~ 2 ( n) ；
n i 1
差别
⑷ 2
(n 1) S 2
•3
例 3.2 设 ( X1, X 2 ,, X n ) 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样 n 1 2 本，其中 n 1 ．令 S0 ( X i )2 ，分别计算 n i 1 2 2 E(S0 ) ， D(S0 ) ， E (S 2 ) 和 D(S 2 ) ． 考研必须掌握其 方法和结论！ 解 由定理 3.1⑶和⑷知，
4 4 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 , D( S0 ) 故得 E ( S0 ， E ( S ) , D( S ) ． n n 1 •4
二、双正态总体样本均值差和样本方差比的分布
定理 3.2 设 ( X1 , X 2 ,, X n ) 为来自总体 X ~ N (1,12 ) 的样本，
2 (n1 1)S12 (n2 1)S2 其中 S ； n1 n2 2
S12 12 ⑶ F 2 2 ~ F (n1 1, n2 1) ． S2 2
•6
例 3.3
从总体 X ~ N (1,3) 中分别抽取容量为 20, 30 的两个
独立样本，求其样本均值差的绝对值小于1 的概率．
解 设 两个 样本均 值分 别为 X 和 Y ， 由定 理 3.2 ⑴ ，可 得
1 X Y ~ N (0, ) ，所以 4
X Y P{ X Y 1} P{ 2} 12
2 ( 2 ) 1 2 0 , 9 7 7 2 1
3 3 1 【注】 D( X Y ) D( X ) D(Y ) ． 20 30 本节为第七章和第八章的基础）
内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布 （重点讲授） 双正态总体样本均值和样本方差的分布 （简单介绍）
•1
一、单正态总体样本均值和样本方差的分布
定理 3.1
设 ( X1, X 2 ,, X n ) 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的
2 2 且 X 与 S 2 相互独立．

2 ( X X ) i
~ 2 (n 1) ，
•2
例 3.1
设 ( X1, X 2 ,, X 9 ) 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个
X 0.9655} ． 样本，求 P{0.4656 S
X 解 由定理 3.1⑵知， ~ t (8) ，所以 S 9 X X P{0.4656 0.9655} P{1.3968 2.8965} S S 9 X X P{t0.10 (8) t0.01 (8)} P{t0.90 (8) t0.01 (8)} S 9 S 9 0.90 0.01 0.89 ．
2 nS0
2

1

2 2 ( X ) ~ (n) ， i 2 i 1
n
(n 1) S 2
2
2 nS0
~ 2 (n 1) ，
所以
E[ (n 1) S 2
E(
2 nS0

2
) n, D[
D(

2
) 2n ，

2
] n 1,
(n 1) S 2

2
] 2(n 1) ，
1
n1 1 n1 1 2 样本均值为 X X i ，样本方差为 S12 ． ( X X ) i n1 i 1 n1 1 i 1
2 (Y1 , Y2 ,, Yn2 ) 为来自总体 Y ~ N (2 , 2 ) 的一个样本，样本均
n2 1 1 n2 2 2 ( Y Y ) 值为 Y Yi ，样本方差为 S2 ，且 i n2 1 i 1 n2 i 1
X1 , X 2 ,, X n1 与 Y1 , Y2 ,, Yn2 相互独立．则
•5
⑴ X Y ~ N (1 2 ,
2 12 2
n1

n2
)；
2 2 ⑵ 当 12 , 2 未知，但 12 = 2 2 时，
( X Y ) ( 1 2 ) ~ t (n n 2) ， T 1 2 1 1 Sw n1 n2
． 0 .9544
•7