椭圆中互相垂直的弦过定点问题 - (原创)
椭圆中的直线过定点问题
椭圆中的直线过定点问题
在椭圆中，有时我们需要证明某条直线会经过一个特定的点。
这类问题通常涉及到直线的斜率、截距以及椭圆上的点。
解决这类问题的一般步骤如下：
1. 设定变量和参数：首先，我们需要设定一些变量和参数来表示椭圆上的点和直线的方程。
这通常包括椭圆的参数方程和直线的点斜式方程。
2. 建立恒等式：然后，我们需要利用椭圆的性质和直线的性质来建立一些恒等式。
这些恒等式通常涉及到椭圆的参数方程和直线的斜率、截距等。
3. 求解恒等式：通过求解这些恒等式，我们可以找到满足条件的直线方程，从而确定这条直线会经过的定点。
4. 验证结论：最后，我们需要验证所得的结论是否正确。
这通常涉及到将所得的定点坐标代入直线方程和椭圆方程进行验证。
通过以上步骤，我们可以解决椭圆中的直线过定点问题。
需要注意的是，这类问题通常比较复杂，需要仔细分析并运用椭圆的性质和直线的性质来求解。
椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题椭圆是一个非常重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。
它具有许多有趣的性质和特征。
其中之一就是定点定值问题。
在这篇文章中，我将探讨椭圆中的定点定值问题，并介绍一些相关的理论和应用。
首先，我们需要了解什么是椭圆。
一个椭圆可以定义为到两个固定点的距离之和等于定值的所有点的集合。
这两个固定点被称为焦点，而定值则被称为焦距。
椭圆还具有一个重要的性质，即焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。
在椭圆中的定点定值问题中，我们考虑的是在椭圆上选择一个特定的点，并确定其到椭圆上的其他点的距离之和。
这个距离之和被称为点的性质或特征。
一个经典的例子是在椭圆上选择一个点P，然后求它到椭圆上的两个焦点的距离之和。
这个距离和被称为离心率。
离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的扁平程度。
当椭圆近似于圆形时，离心率接近于零；当椭圆非常扁平时，离心率接近于一。
除了离心率，我们还可以通过其他的定点定值问题来描述椭圆的性质。
例如，我们可以选择一个点P，并求它到椭圆上的任意一点的距离之和。
这个距离和等于椭圆的周长。
通过计算周长，我们可以比较不同椭圆之间的大小和形状。
在实际应用中，椭圆的定点定值问题具有广泛的应用。
例如，在椭圆曲线密码学中，椭圆上的点被用作密码算法的基础。
通过选择不同的定点定值问题，我们可以生成不同的加密和解密算法，从而实现安全的通信和信息传输。
此外，在计算机图形学和机器视觉中，椭圆的定点定值问题也扮演着重要的角色。
通过选择合适的定点定值问题，我们可以用椭圆来描述和识别不同的图像和对象。
这在图像处理和模式识别中具有重要的应用。
总结起来，椭圆中的定点定值问题是数学和物理学中一个有趣而重要的研究领域。
通过选择不同的点和定值，我们可以揭示椭圆的许多性质和特征。
这些性质和特征在许多领域中都有广泛的应用，包括密码学、计算机图形学和机器视觉等。
因此，研究定点定值问题对于我们深入理解椭圆的本质和应用具有重要意义。
圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点问题
意椭圆与双曲线的差异性：非封闭图形，因此横双竖双内部的点要分开讨论）。 4. 局限：椭圆与双曲线和抛物线的表达形式有较大差异，对于抛物线中的上述结论需要重新讨论。
kMN
yM xM
yN xN
mb2 x0 a2 b2m2
a2 x0
mb2 x0 a2m2 b2
a2m2 x0
m a2 b2 =
a2 m2 1
a2 b2m2 a2m2 b2
m a2 b2 直线 lMN : y a2 m2 1
m a2 b2
x xM yM y a2 m2 1
a2
b2
椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
结论６：双曲线方程
C： a2 b2
1 ，过点 P 0, y0
y0 , b b,
作两条相互垂直的
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2014.11.30
直线 l1 、 l2 与椭圆分别交于 A、B、C、D 四点。设弦 AC、BD 的中点分别为 M、N， lMN 恒过定点
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 , y0 2 p iv. 抛物线方程 C： x2 2 py p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0, y0 2 p
五、 联系
《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》其实是与《圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点结论》有巨大联系
椭圆相互垂直的焦点弦倒数和
椭圆相互垂直的焦点弦倒数和全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种重要的几何形状，具有许多有趣的性质和特点。
其中一个重要的特性是椭圆的焦点弦倒数和与椭圆的相互垂直。
本文将详细介绍椭圆的相关概念，并解释这一特性的证明过程。
让我们来回顾一下椭圆的定义：椭圆是一个平面上所有点到两个定点（称为焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个关键特性是其长轴和短轴的长度之比，称为离心率。
现在让我们来考虑一个椭圆，假设其两个焦点为F1和F2，中点为O，焦点与焦点之间的距离为2a，椭圆的长轴为2c。
我们选择椭圆上一点P和焦点F1和F2分别连线，分别得到两条直线PF1和PF2。
我们可以证明证明这两条直线PF1和PF2与椭圆是相互垂直的。
证明方法如下：我们可以将椭圆的方程表示为：(x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的焦点到中心O 的距离为c，根据椭圆的定义，有a^2 = b^2 + c^2。
现在我们考虑椭圆上一点P的坐标为（x，y），点F1的坐标为（-c，0），点F2的坐标为（c，0）。
根据距离公式，我们可以得到：现在我们来考虑这两个点与椭圆的斜率，椭圆的切线斜率可以表示为dy/dx，即椭圆上一点P处的切线斜率，可以表示为：根据切线的定义，斜率的倒数即为法线的斜率。
我们分别计算PF1和PF2的斜率，即可得到直线PF1和PF2的斜率。
根据斜率乘积为-1即为垂直，我们可以证明PF1和PF2与椭圆是相互垂直的。
我们来计算椭圆焦点弦倒数和。
焦点弦是由横坐标为x1和x2的两点与焦点F1和F2构成的线段。
对于焦点弦的倒数和，可以表示为：我们可以通过对椭圆焦点弦的倒数和与椭圆的相关性进行更多的研究和推广。
椭圆是一个重要的几何形状，具有许多有趣的性质和特点，我们可以通过深入研究来更好地理解几何学的基本概念和原理。
希望通过本文的介绍，读者对椭圆焦点弦倒数和的概念有了更深入的了解。
第13讲 椭圆中的垂直问题、垂直弦问题-新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义
新高考数学大一轮复习第13讲 椭圆中的垂直问题一、问题综述 1.椭圆中的垂直问题主要有以下几类：（1）,P Q 是椭圆上的两个动点，且满足OP OQ ⊥，即椭圆的正交中心角问题，此时有()f x ,中心O 到直线PQ 的距离d 为定值, 且22222a b d a b =+；（2）椭圆的正交焦点弦问题，即经过椭圆的焦点有两条直线互相垂直，分别交椭圆于,A B 和,C D ，则222112a b AB CD ab ++=； （3）经过非焦点的两条弦互相垂直问题. 2.椭圆中的垂直问题的主要策略：（1）利用斜率之积等于1-,但要注意斜率是否存在； （2）利用向量数量积等于0.3.几类与垂直相关或可利用与垂直类似的方法的问题： （1）形如“以AB 为直径的圆过原点” ，则0OA OB ⋅=；（2）形如“椭圆上存在两点,A B 关于直线l 对称”，则直线AB 与直线l 垂直；（3）形如“直线l 与椭圆交于,A B 两点，AOB ∠为锐角”，则0OA OB ⋅>.4.在处理椭圆垂直弦问题时，强化对称意识，可减少运算.二、典例分析类型1：椭圆中的正交中心角问题 例1. 在中心为O 的椭圆22221x y a b+=上任取两点,P Q ，使OP OQ ⊥，求证：（1）()f x ;（2）中心O 到直线PQ 的距离d 是否为定值？ 证明：设直线OP 的斜率为k①当k 存在时，且0k ≠.设()()1122,,,P x y Q x y ，则,OP OQ 的方程分别为：y kx =，1y x k=-，由方程组O 得1l ，()22222222211112221a b OP x y x k x k b a k=+=+=++ 同理2222222211OQ x y x k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭＝()2222221a b k a b k++，所以a b -.②当k 不存在时，,OP b OQ a ==，满足. ③当0k =时，,OP a OQ b ==，满足. 所以22221111a b OPOQ+=+成立. （2）因为22222222222211111OP OQ PQd a bOPOQOP OQPQ d ++====+⋅⋅, 显然d 是一个定值.例2. (2019年山东理T22)设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过(),M N两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由. 解析:（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过(),M N两点,所以2222421611a ba b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y +=.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+,解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>,即22840k m -+> 2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++ 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++ 要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=, 所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m=+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r=,222228381318m mrmk===-++, r=所求的圆为2283x y+=,此时圆的切线y kx m=+都满足m或m≤而当切线的斜率不存在时切线为x=与椭圆22184x y+=的两个交点为或(满足OA OB⊥.综上,存在圆心在原点的圆2283x y+=,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,A B,且OA OB⊥.因为2121222428,1212km mx x x xk k-+=-=++,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k mx x x x x xk k k--+-=+-=--⨯=+++,AB====①当0k≠时AB=因为221448kk++≥所以22111844kk<≤++,所以2232321[1]1213344kk<+≤++,AB<≤当且仅当k=时取”=”.②当0k=时,||AB=③当AB的斜率不存在时,两个交点为或(,所以此时AB=综上,AB||AB≤≤: ||AB∈.类型2：椭圆中的正交焦点弦问题例3.过椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的一个焦点F作两条互相垂直的弦分别交椭圆于,A B和,C D，求证：222112a bAB CD ab++=.证明：设()()()1122,,,,,0A x y B x y F c ，AB 方程为x my c =+，则CD 方程为1x y c m=-+ 由方程组22221x my c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22222222220b m a y mcb y b c b a +++-=，所以2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++ 所以()22222212222222212111ab m ab m AB m y y m b m a b m a ++=+-=+=++ 所以()22222121b m a AB ab m +=+，同理，()22222222*********b a b a m m CD ab m ab m ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫+⎛⎫+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()22222222222221122121b m a b a m a b AB CD ab ab m ab m ++++=+=++. 例4. (2007年全国Ⅰ理T21)已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P .（1）设P 点的坐标为()00,x y ，证明：2200132x y +<；（2）求四边形ABCD 的面积的最小值.解析：（1）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故2201x y +=， 所以，222200021132222y x y x +≤+=<．（2）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2222122212243(1)1(1)()432k BD k x x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+．四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+==≥=++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦．当21k =时，上式取等号．（ⅰ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625.类型3：椭圆中的垂直弦问题例5.(2014年浙江理T21)如图，设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>动直线()f x 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P在第一象限.（1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.解析：（1）设直线l 的方程为()0y kx m k =+<，由22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()22222222220b a k x a kmx a m a b +++-=， 由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=， 即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222,a km b m b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由点P 在第一象限，故点P 的坐标为22222222,a k b b a k b a k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. （2）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l 的距离2222222221a k b b a kb a k d k-+++=+，整理得22222222a b d b b a a k k-=+++，因为22222b a k ab k +≥，所以2222222222222a b a b a b b b a abb a a k k--≤=-+++++，当且仅当2bk a=时等号成立，所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.例6.(2013年浙江理T21)如图，点(0,1)P -是椭圆1C ：22221x y a b +=()0a b >>的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径，1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于,A B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.解析：（1）由题意得，1b =，2a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ,由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-.又圆2C ：224x y +=，故点O 到直线1l的距离d ，所以||AB ==，又12l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=，由22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y ，整理得22(4)80k x kx ++=， 故0284k x k =-+，所以||PD =设ABD ∆面积为S，则1||||2S AB PD =⋅=，所以3213S =≤=当且仅当k = 所以所求直线1l的方程为1y x =-. 类型4：椭圆中的对称问题例7.(2015年浙江理T19)已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称.（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.Ol 2l 1yxDP BA解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+， 由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222112()102b x x b m m +-+-=，∵直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=由两个不同的交点，∴224220b m∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m b M m m ++代入直线方程12y mx =+，解得2222m b m +=-，②，由①②得m <m >. （2）令16((0,)2t m =∈，则||2AB t =+，且O 到直线AB 的距离为21t d +=AOB ∆的面积为()S t ，∴1()||2S t AB d =⋅=，当且仅当212t=时，等号成立， 故AOB ∆. 类型5：可转化为垂直的问题例8.(2007年山东理)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解析：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，22221,3a c b a c ==∴=-=， ∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ． 联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则2222226416(34)(3)0,340m k k m k m ∆=-+->+->即212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-=++ 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+． 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)D ，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k --∴+++=+++．2271640m mk k ∴++=．解得：12227km k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(2,0)，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭．所以，直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭．类型6：锐角（或钝角）问题例9.(2007年四川理) 设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.解析:（2）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩ⅰ1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅> 得234k >．ⅰ 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ⅰ12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ⅰ1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k-=>+ ∴2144k -<<．②综ⅰ②可知2344k <<，∴k的取值范围是3(2,(,2)2-.三、巩固练习1．（08广州一模）已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()1F 和)2F 的距离之和为4．（1）求曲线Γ的方程；（2）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，其中2a =，c =，则1b ==． 所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ⅰ0OC OD ⋅=，ⅰ12120x x y y +=．∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++． ⅰ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ①由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．则1221614k x x k +=+，1221214x x k⋅=+， 代入①，得()222121612401414kk k k k +⋅-⋅+=++． 即24k =，解得 2k =或2k =-．所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．2．(08辽宁)在平面直角坐标系xOy 中,点P到两点((0,,的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C . （1）写出C 的方程；（2）设直线y =kx +1与C 交于,A B 两点.k 为何值时OA OB ⊥？此时AB 的值是多少？解析：（1）设(),P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以((0,3,3-为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b -=， 故曲线C 的方程为2214y x +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 由OA OB ⊥得，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++， 于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥．当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-+-而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=， 所以46517AB =． 3.(2008年安徽文T22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：42AB =;（3）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值. 解析：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎪⎩⎪=+⎩∴∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2e = 设l 为椭圆的左准线。
椭圆中的定值、定点问题
椭圆中的定值、定点问题说我之前说的:什么是硬件解码的定理？这个计算太多太多了，刺激！现在更新很慢，不过我在笔记本里整理了一些模型，准备有空就发。
接下来要给出的结论，可以说是“非常一般”。
在这里先给出结论，可以自己用几何画板验证：结论给定椭圆 \Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 与椭圆上的定点 P(x_0,y_0) ，过 P 点作两条射线 PA 和PB ，与椭圆 \Gamma 交于 A 和 B 两点，记直线 PA 和 PB 的斜率分别为 k_1 和 k_2 ，则有：（1）若 k_1+k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点 (x_0-\frac{2y_0}{\lambda},-y_0-\frac{2b^2x_0}{a^2\lambda}) 。
（2）若 k_1\cdot k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点(\frac{2b^2x_0}{\lambda a^2-b^2}+x_0,\frac{-2a^2\lambda y_0}{\lambda a^2-b^2}+y_0) 。
这也是各个地区高考、模拟题出题常见的题型，当然，最重要的是，它说明了一个规律：只要直线过椭圆上的定点，并且斜率有关系，那么就一定有“定点”的出现。
例如以下题目：例1 （2017年全国1卷）已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) ，四点P_1(1,1) ， P_2(0,1) ， P_3(-1,\frac{\sqrt3}{2}) ，P_4(1,\frac{\sqrt3}{2}) 中恰有三点在椭圆 C 上。
(1) 求 C 的方程；(2) 设直线 l 不经过点且与 C 相交于 A ， B 两点。
若直线P_2A 与直线 P_2B 的斜率的和为 -1 ，证明： l 过定点。
例2 （例1变式）在例1中，若直线 P_2A 与直线 P_2B 互相垂直，证明： l 过定点。
圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点问题
a2
b2
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
二、 例证结论１
1 ① 当直线 l1 、 l2 均不与坐标轴平行时，令直线 l1：x my x0 ，则直线 l2：x y x0
m
x2 y2
C：
a
2
b2
1
a2 b2m2
y2 2mb2 x0 y b4 0
l1：x my x0
由韦达定理：
x mx0 m2 1
m a2 b2
即
y
m2
1
a2
x x0
a2
直线 lMN
过定点
a2
b2
x0 , 0
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2014.11.30
a2
②
当直线 l1
、 l2 有一条与坐标轴平行时，直线 lMN
为ｘ轴必过定点
a2
b2
x0 , 0
综上：结论一证得
三、 分析思考
1. 联系椭圆的对称性，可以轻松拓展到ｙ轴方向（结论２）。 2. 联系圆锥曲线顶点直角的结论的推广方式，以及本结论的表达形式，可以拓展到椭圆内部任意一
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ii. 抛物线方程 C：y2 2 px p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 2 p, y0 iii. 抛物线方程 C： x2 2 py p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
i.
双曲线方程
C：
a2
b2
1上一点 P x0 , y0 ，椭圆上存在不同于点
P
的点
椭圆中的定点、定值问题(教师版)
椭圆中的定点、定值问题1.已知l 1，l 2是过点0,2 的两条互相垂直的直线，且l 1与椭圆Γ:x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，l 2与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线l 1的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)-233,-32 ∪32,233 ；(2)证明见解析；定点0,25 .【解析】(1)根据题意直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0直线l 1，l 2分别为y =kx +2，y =-1kx +2，联立y =kx +2x 24+y 2=1得4k 2+1 x 2+16kx +12=0，由Δ=16k 2-4×124k 2+1 >0得4k 2>3，则k <-32或k >32，同理4-1k2>3，则-233<k <233，所以k 的取值范围为-233,-32 ∪32,233 ．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由(1)得4k 2+1 2+16kx +12=0，所以x 1+x 2=-16k 4k 2+1，则x M =x 1+x 22=-8k4k 2+1，所以y M =kx M +2=-8k 24k 2+1+2=24k 2+1，则M -8k 4k 2+1,24k 2+1，同理N 8k k 2+4,2k 2k 2+4，则直线MN 的方程为y -24k 2+1=2k 2k 2+4-24k 2+18k k 2+4+8k 4k 2+1x +8k 4k 2+1 ，化简整理得y =k 2-15kx +25因此直线MN 经过一个定点0,25 ．2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率为32.(1)求C 的方程；(2)设斜率为1的直线l 与C 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为M ，若△PQM 的外接圆恰过坐标原点，求直线l 的方程.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)y =x ±263【解析】(1)依题意a =2c a =32a 2=b 2+c 2·解得a =2b =1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1(2)设l 的方程为y =x +m ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 .由y =x +m x 24+y 2=1消去y 得，5x 2+8mx +4m 2-4=0，依题意Δ=64m 2-204m 2-4 >0，即-5<m <5，所以x 1+x 2=-8m5x 1x 2=4m 2-45，所以y 1+y 2=x 1+x 2+2m =-8m 5+2m =2m5，所以线段PQ 的中点坐标为-4m 5,m5 ，所以线段PQ 的中垂线方程为y -m 5=-x +4m 5 ，即y =-x -3m5，·依题意，线段PQ 的中垂线与x 轴的交点E -3m5,0 ，即为△PQM 外接圆的圆心，点E 到直线l 的距离为d =2|m |5，|PQ |=2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=2⋅-8m 5 2-16m 2-1 5=4255-m 2，·设△PQM 外接圆的半径为r ，则r 2=d 2+|PQ |22=40-6m 225，所以△PQM 外接圆的方程为x +3m 5 2+y 2=40-6m 225，因为△PQM 外接圆恰过原点O (0,0)，所以3m 5 2=40-6m 225，解得m =±263，所以直线l 的方程为y =x ±263.3.已知A ，B 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点和上顶点，|AB |=5，直线AB 的斜率为-12.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ⎳AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明：(i )△OCM 的面积等于△ODN 的面积；(ii )|CM |2+|MD |2为定值．【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)(i )证明见解析；(ii )证明见解析【解析】(1)∵A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个顶点，且|AB |=5，直线AB 的斜率为-12，由A (a ,0)，B (0,b )，得|AB |=a 2+b 2=5，又k =b -00-a =-b a =-12，解得a =2，b =1，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)设直线l 的方程为y =-12x +m ，则M (2m ,0)，N (0,m )，联立方程y =-12x +mx 24+y 2=1消去y ，整理得x 2-2mx +2m 2-2=0．Δ=4m 2-8(m 2-4)=32-4m 2>0，得m 2<8设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2-2．所以S △OCM =12|2m ||y 1|，S △ODN =12|m ||x 2|则有S △OCM S △ODN =|2y 1||x 2|=|2m -x 1||x 2|=|x 2||x 2|=1∴△OCM 的面积等于△ODN 的面积；∴|CM |2+|MD |2=(x 1-2m )2+y 12+(x 2-2m )2+y 22=x 12-4mx 1+4m 2+-12x 1+m 2+x 22-4mx 2+4m 2+-12x 2+m 2=54(x 1+x 2)2-52x 1x 2-5m (x 1+x 2)+10m 2=5m 2-52(2m 2-2)-10m 2+10m 2=54.如图，椭圆M ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的两焦点为0,1 ，0,-1 ，A ，B 是左右顶点，直线l 与椭圆交于异于顶点的C ，D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BC 斜率之积为-2．(1)求椭圆M 的方程；(2)直线AC 与直线BD 交于点Q ，设点P 与点Q 横坐标分别为x P ，x Q ，则x P ⋅x Q 是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．【答案】(1)y 22+x 2=1;(2)x P ⋅x Q 为常数，值为1【解析】(1)由题A -b ,0 ，B b ,0 ，设C x 1,y 1 ，则k AC ⋅k BC =y 1x 1+b ⋅y 1x 1-b =y 21x 21-b 2=a 21-x 21b2x 21-b2=-a2b 2=-2，∴a 2=2b 2，又a 2-b 2=1，∴a =2，b =1，∴椭圆M 的方程为：y 22+x 2=1.(2)直线l 若过原点，由对称性知AC ∥BD 不合题，设直线l ：x =ty +m m ≠0 ，则x P =mx =ty +my 22+x 2=1，消去x 得2t 2+1 y 2+4mty +2m 2-2=0，设D x 2,y 2 ，则Δ=82t 2-m 2+1 >0y 1+y 2=-4tm2t 2+1y 1y 2=2m 2-22t 2+1∴y 1y 2=1-m22tm y 1+y 2 ①AC ：y =y 1x 1+1x +1 ②，BD ：y =y 2x 2-1x -1 ③②③联立得x -1x +1=y 1x 2-1 y 2x 1+1 =y 1ty 2+m -1 y 2ty 1+m -1 =t 1y 2+m -1 y 1ty 1y 2+m +1 y 2①代入得x -1x +1=1-m 1-m y 1+1+m y 2 m +1 1-m y 1+1+m y 2 =1-m1+m 解得x =1m ，即x Q =1m∴x P ⋅x Q =m ⋅1m=1，∴x P ⋅x Q 为常数，值为1．5.已知点A -22,0 ,B 22,0 ,Q 2,0 ，动点P 与点A ，B 连线的斜率之积为-78，过点Q 的直线l 交点P 的轨迹于C ，D 两点，设直线AC 和直线BD的斜率分别为k 1和k 2，记m =k1k 2(1)求点P 的轨迹方程(2)m 是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 27=1(y ≠0);(2)是，3-22【解析】(1)设点P x ,y ，由题意k PA ⋅k PB =y x -22⋅y x +22=-78整理得x 28+y 27=1y ≠0(2)由题意，直线l 斜率不为0设l :x =ty +2，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2由x =ty +2x 28+y 27=1得7t 2+8 y 2+28ty -28=0则y 1+y 2=-28t 7t 2+8，y 1y 2=-287t 2+8所以y 1+y 2=ty 1y 2m =k 1k 2=y 1x 1+22y 2x 2-22=y 1x 2+22 y 2x 1-22 =y 1ty 2+2-22 y 2ty 1+2+22 =ty 1y 2+2-22 y 1ty 1y 2+2+22 y 2=y 1+y 2+2-22 y 1y 1+y 2+2+22 y 2=3-22 y 1+y 2y 1+3+22 y 2=3-22 y 1+13-22y 2 y 1+3+22 y 2=3-22 y 1+3+22 y 2 y 1+3+22 y 2=3-22所以m 为定值3-226.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45 ，∴k 1=k AP =-45-0-65+2=-1,k 2=k AS =-45-065+2=-14，∴k 1=4k 2；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：x =my -65,，由x =my -65,与x 24+y 2=1联立可得(m 2+4)y 2-12m 5y -6425=0，其中Δ=144m 225+4×(m 2+4)×6425>0，设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则S (-x 2,-y 2)，则y 1+y 2=12m 5m 2+4,y 1y 2=-6425m 2+4，∴k 1=k AP =y 1-0x 1+2=y 1x 1+2,k 2=k AS =-y 2-0-x 2+2=y 2x 2-2,则k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2=y 1my 2-165my 1+45 y 2=my 1y 2-165y 1my 1y 2+45(y 1+y 2)-45y 1=-6425m 2+4-165y1-6425m m 2+4+45⋅125m m 2+4-45y 1=-6425m 2+4-165y 1-1625m 2+4-45y 1=4，∴k 1=4k 2.7.已知M ，N 分别是x 轴，y 轴上的动点，且MN =4+23，动点P 满足MP =32PN ，设点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)直线l 1：3x -2y =0与曲线C 交于A ，B 两点，G 为线段AB 上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为α的直线l 2经过点G ，与曲线C 交于E ，F 两点．若|EF |2|GA |⋅|GB |的值与点G 的位置无关，求|GE |：|GF |的值．【答案】(1)x 216+y 212=1;(2)1【解析】(1)设M x 0,0 ，N 0,y 0 ，则x 20+y 20=4+23 2．设P x ,y ，则MP =x -x 0,y ，PN=-x ,y 0-y ．由题意得x -x 0=-32x y =32y 0-y，解得x 0=1+32 x y 0=231+32y，所以1+322x 2+431+32 2y 2=4+23 2，化简得x 216+y 212=1，即曲线C 的方程为x 216+y 212=1．(2)证明：由3x -2y =0x 216+y 212=1，解得x =2y =3 或x =-2y =-3 ，(不妨设点A 在第一象限)，所以A (2,3)，B (-2,-3)．设点G (2m ,3m )，其中-1<m <1，则|GA |=13(1-m )，|GB |=13(1+m )，所以|GA |⋅|GB |=131-m 2 ．若直线l 2的斜率不存在，则直线l 2的方程为x =2m ，此时E 2m ,12-3m 2，F 2m ,-12-3m 2，故|EF |2|GA |⋅|GB |=124-m 2131-m 2不为定值．若直线l 2的斜率存在，设直线l 2的斜率为k ，则直线l 2的方程为y =kx -(2k -3)m ．将直线l 2的方程代入曲线C 的方程化简、整理，得4k 2+3 x 2-8km (2k -3)x +4(2k -3)2m 2-48=0．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km (2k -3)4k 2+3，x 1x 2=4(2k -3)2m 2-484k 2+3，所以|EF |2=1+k 2 x 1-x 2 2=1+k 264k 2m 2(2k -3)2-164k 2+3 (2k -3)2m 2-124k 2+32=-481+k 2 (2k -3)2m 2-16k 2+12 4k 2+32，故|EF |2|GA |⋅|GB |=481+k 2 (2k -3)2m 2-16k 2+12 134k 2+3 2m 2-1．因为|EF |2|GA |⋅|GB |的值与m 的值无关，所以(2k -3)2=16k 2+12，解得k =-12，所以x 1+x 22=4km (2k -3)4k 2+3=2m ，所以G 是EF 的中点，即|GE |=|GF |．所以|GE |:|GF |=1．8.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，T 为椭圆C 上任意一点，△TF 1F 2面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 0,1 ，过点0,12的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析【解析】(1)因为椭圆C 的离心率为22，所以c a =22.又当T 位于上顶点或者下顶点时，△TF 1F 2面积最大，即bc =1.又a 2=b 2+c 2，所以b =c =1，a = 2.所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y =kx +12，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，将直线l 代入椭圆C 的方程得：4k 2+2 x 2+4kx -3=0，由韦达定理得：x 1+x 2=-4k 4k 2+2，x 1x 2=-34k 2+2，直线AM 的方程为y =y 1-1x 1x +1，直线AN 的方程为y =y 2-1x 2x +1，所以P -x 1y 1-1,0 ，Q -x 2y 2-1,0，所以以PQ 为直径的圆为x +x 1y 1-1 x +x 2y 2-1 +y 2=0，整理得：x 2+y 2+x 1y 1-1+x 2y 2-1 x +x 1x 2y 1-1 y 2-1=0.①因为x 1x 2y 1-1 y 2-1 =x 1x 2kx 1-12 kx 2-12=4x 1x 24k 2x 1x 2-2k x 1+x 2+1=-12-12k 2+8k 2+4k 2+2=-6，令①中的x =0，可得y 2=6，所以，以PQ 为直径的圆过定点0,±6 .9.已知平面内两点F 1(-2,0),F 2(2,0)，动点P 满足：PF 1 +PF 2 =2 3.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是轨迹C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切.证明：M ，N ，F 2三点共线的充要条件是|MN |= 3.【答案】(1)x 23+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)因为PF 1 +PF 2 =23>F 1F 2 .所以点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的椭圆，其中2a =23,c =2,b 2=1，所以轨迹C 的方程为x 23+y 2=1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ,N ,F 2三点共线，可设直线MN :y =k (x -2)，即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|2k |k 2+1=1，解得k =±1，联立y =±(x -2),x 23+y 2=1,可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以|MN |=1+1⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=3，所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,(kb <0)即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|b |k 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +b ,x 23+y 2=1,可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2，x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以|MN |=1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=1+k 2-6kb 1+3k 2 2-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 2三点共线，充分性成立；所以M ,N ,F 2三点共线的充要条件是|MN |= 3.10.已知F 1(-2,0)，F 2(2,0)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，且A 2,53为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y =-2x +t 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于P ,Q 两点，射线F 1P ，F 1Q 与椭圆E 分别相交于M 、N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p ∈D 时，总存在实数t ，使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 29+y 25=1;(2)存在，D =(5,+∞)，证明见解析【解析】(1)由题意知c =2，A 2,53为椭圆上的一点，且AF 2垂直于x 轴，则AF 2 =53，AF 1 =(2+2)2+53 2=133，所以2a =AF 1 +AF 2 =133+53=6，即a =3，所以b 2=32-22=5，故椭圆的方程为x 29+y 25=1；(2)l 方程为y =-2x +t ，联立抛物线方程，得y 2=2pxy =-2x +t ，整理得y 2+py -pt =0，则Δ=p 2+4tp >0，则p +4t >0①，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-p ，y 1y 2=-pt ，则x 1+x 2=t +p 2,x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=t 24，由F 1的坐标为(-2,0)，则F 1P =(x 1+2，y 1)，F 1Q=(x 2+2，y 2)，由F 1M 与F 1P 同向，F 1N 与F 1Q 同向，则点F 1在以线段MN 为直径的圆内，则F 1M ⋅F 1N <0，则F 1P ⋅F 1Q<0，则(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2<0，即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 1<0，则t 24+2t +p 2 +4-pt <0，即t 24+(2-p )t +p +4<0②，当且仅当Δ=(2-p )2-4×14(p +4)>0，即p >5，总存在t >-p4使得②成立，且当p >5时，由韦达定理可知t 24+(2-p )t +p +4=0的两个根为正数，故使②成立的t >0，从而满足①，故存在数集D =(5,+∞)，对任意p ∈D 时，总存在t ，使点F 1在线段MN 为直径的圆内．11.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，连结PF 1，PF 2并延长，分别交椭圆于点A ，B ．已知△APF 2的周长为82，△F 1PF 2面积最大值为4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当P 不是椭圆的顶点时，试分析直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)y 28+x 24=1;(2)是定值；-6【解析】(1)如图所示：由题意得4a =82bc =4a 2=b 2+c 2，解得a =22b =2所以椭圆C 的方程为y 28+x 24=1(2)设直线PA 的方程为y =kx +2,P x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,F 10,2 ，由y =kx +2y 2+2x 2=8，得k 2+2 x 2+4kx -4=0，∴x 0x 1=-4k 2+2，即x 0x 1=-4y 0-2x 0 2+2=-4x 20y 20-4y 0+4+2x 20，=-4x 2012-4y 0=-x 203-y 0，∴x 1=-x 03-y 0,∴y 1=y 0-2x 0⋅-x 03-y 0+2=8-3y 03-y 0，∴A -x 03-y 0,8-3y 03-y 0，同理可得B -x 03+y 0,-3y 0-83+y 0 ，∴k AB =8-3y 03-y 0+3y 0+83+y 0x 03+y 0-x 03-y 0=48-6y 20-2x 0y 0=38-y 20 -x 0y 0=6x 20-x 0y 0=-6x 0y 0，∴k OP ⋅k AB =y 0x 0⋅-6x 0y 0=-6为定值12.已知点P 2，53 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0))上一点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，且△PAB 的面积为5．(1)求C 的标准方程；(2)过点Q (1，0)的直线l 与C 相交于点G ，H (点G 在x 轴上方)，AG ，BH 与y 轴分别交于点M ，N ，记S 1，S 2分别为△AOM ，△AON (点O 为坐标原点)的面积，证明:S1S 2为定值．【答案】(1)x 29+y 25=1；(2)证明过程见解析.【解析】(1)因为△PAB 的面积为5，点P 2，53 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1上一点，所以有12⋅2a ⋅53=522a 2+53 2b 2=1 ⇒a =3b =5 ⇒x 29+y 25=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为零，故设方程为x =my +1，与椭圆方程联立为：x 29+y 25=1x =my +1⇒y 2(5m 2+9)+10my -40=0，设G (x 1,y 1),H (x 2,y 2)(y 1>0)，因为y 1y 2=-405m 2+9<0，所以y 2<0，A (-3,0),B (3,0)，直线AG 的方程为：y -y 1y 1-0=x -x 1x 1+3，令x =0，得y =y 1-x 1y 1x 1+3=3y 1x 1+3，即M 0,3y 1x 1+3 ，同理可得：N 0,-3y 2x 2-3 ，S 1S 2=12OA ⋅yM 12OA ⋅y N =y M y N =3y 1x 1+3⋅x 2-33y 2=3y 1my 2-2 3y 2my 1+4 ，因为y 1+y 2=-10m 5m 2+9,y 1y 2=-405m 2+9，所以有4(y 1+y 2)=my 1y 2，于是有S 1S 2=3y 1(my 2-2)3y 2(my 1+4)=12y 1+12y 2-6y 112y 1+12y 2+12y 2=6(y 1+2y 2)12(y 1+2y 2)=12，因此S1S 2为定值.13.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的短轴长为22，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 为直线x =4上的动点，过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，证明：点Q 的轨迹过定点.【答案】(1)x 24+y 22=1;(2)证明见解析【解析】(1)由题意可知2b =22c a =22，解得a =2，b = 2.所以，所求椭圆的方程为x 24+y 22=1(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，P 4,t ，直线AB 的斜率显然存在，设为k ，则AB 的方程为y =k x -4 +t .因为A ，P ，B ，Q 四点共线，不妨设x 2<x <x 1<4，则AP =1+k 24-x 1 ，AQ =1+k 2x 1-x ，QB =1+k 2x -x 2 ，PB =1+k 24-x 2由AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，可得4-x 1 x -x 2 =x 1-x 4-x 2 ，化简得2x 1x 2-x 1+x 2 4+x +8x =0.(*)联立直线y =k x -4 +t 和椭圆的方程，x 24+y 22=1y =k x -4 +t，消去y ，得2k 2+1 x 2+4k t -4k x +2t -4k 2-4=0.由韦达定理，得x 1+x 2=-4k t -4k 2k 2+1，x 1x 2=2t -4k 2-42k 2+1.代入(*)化简得x=4kt+2-t2kt+2=4-6+t2kt+2，即6+t 2kt+2=4-x.又k=y-tx-4，代入上式，得6+t2y-tx-4t+2=4-x，化简得2x+ty-2=0.所以点Q总在一条动直线2x+ty-2=0上，且恒过定点1,0.14.在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,a=6，直线l与x轴相交于点E，与椭圆相交于点A,B；(1)求椭圆C的方程，(2)在x轴上是否存在点E，使得1|EA|2+1|EB|2为定值？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x26+y22=1;(2)存在；E(±3,0)【解析】(1)由题意得：e=c a=63,a=6,∴c=2，∴b2=a2-c2=2， -所以椭圆的方程为x26+y22=1(2)设E(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),(ⅰ)当直线AB与x轴不重合时，设AB的方程为x=my+x0代入x26+y22=1得：(m2+3)y2+2mx0y+x20-6=0，则y1+y2=-2mx0m2+3 y1⋅y2=x2-6m2+3|EA|2=(m2+1)y21,|EB|2=(m2+1)y22， -1 |EA|2+1|EB|2=(y1+y2)2-2y1y2(m2+1)y21y22=2×m2(x20+6)+(18-3x20) m2(x20-6)2+(x20-6)2-当x20+6=18-3x20，即x20=3时，无论m取何值，1|EA|2+1|EB|2的值恒为2，得点E(±3,0)，(ⅱ)当直线AB与x轴重合时，有A(-6,0),B(6,0),E(3,0)或E(-3, 0)，均有1|EA|2+1|EB|2=2由i和ii得，在x轴上是存在两点E(±3,0)，使得1|EA|2+1|EB|2为定值.15.已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，CP =2-3，动点C 的轨迹为曲线G ．(1)求曲线G 的方程；(2)设直线l 与曲线G 交于M 、N 两点，点D 在曲线G 上，O 是坐标原点OM+ON =OD ，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1y ≠0 ;(2)四边形OMDN 的面积是定值，其定值为3【解析】(1)因为圆E 为△ABC 的内切圆，所以CA +CB =CP +CQ +PA +QB =2CP +AR +BR =2CP +AB =4>AB ，所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆，所以c =3，a =2，则b =1，所以曲线G 的方程为x 24+y 2=1y ≠0(2)由y ≠0可知直线l 的斜率存在，设直线l 方程是y =kx +m ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由平面图形OMDN 是四边形，可知m ≠0，代入到x 24+y 2=1，得1+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-4=0所以Δ=184k 2+1-m 2>0，x 1+x 2=-8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2-41+4k 2．所以y 1+y 2=k x 1+x 2 +2m =2m1+4k 2，所以MN =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2，又点O 到直线MN 的距离d =m1+k2，由OM +ON =OD ，得x D =-8km 1+4k ，y D =2m 1+4k 2，因为点D 在曲线C 上，所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+4k 2=4m 2．由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以OMDN 的面积为S =1+k 2×44k 2-m 2+11+4k 2×m1+k2=4m 4k 2-m 2+11+4k 2，由1+4k 2=4m 2，代入得S =3，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为3．16.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率为12．过点P (6,0)与x 轴不重合的直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别交直线x =6于点M ，N ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点．求证：∠PAN +∠POM =90°．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由题得a =2,c a =12,∴a =2,c =1,∴b =3,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)要证∠PAN +∠POM =90°，只需证∠PAN =90°-∠POM ，只需证明tan ∠PAN =1tan ∠POM,只需证明tan ∠PAN ⋅tan ∠POM =1,只需证明k AN ⋅k OM =1,设M (6,m ),N (6,n )，只需证明n 6-2⋅m6=1,只需证明mn =24.设直线l 的方程为y =k (x -6)，k ≠0，联立椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2-48k 2x +144k 2-12=0，设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，所以Δ>0,x 1+x 2=48k 23+4k 2,x 1x 2=144k 2-123+4k 2，又A ,B ,M 三点共线，所以m4=y 1x 1-2,∴m =4y 1x 1-2，同理n =4y 2x 2-2，所以mn =4y 1x 1-2×4y 2x 2-2=16k 2(x 1-6)(x 2-6)(x 1-2)(x 2-2)，所以mn =16k 2[x 1x 2-6(x 1+x 2)+36]x 1x 2-2(x 1+x 2)+4所以mn =16k 2144k 2-123+4k 2-6×48k 23+4k 2+36144k 2-123+4k 2-2×48k 23+4k 2+4=16k 2×9664k 2=24.所以∠PAN +∠POM =90°.17.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2，且经过点P 1,32 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 且斜率为k k ≠0 的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使AF ⋅BT =BF ⋅AT 恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)存在，T 4,0 .【解析】(1)由椭圆C 的焦距为2，故c =1，则b 2=a 2-1，又由椭圆C 经过点P 1,32 ，代入C 得1a 2+94b2=1，得a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(2)根据题意，直线l 的斜率显然不为零，令1k=m由椭圆右焦点F 1,0 ，故可设直线l 的方程为x =my +1，与C :x 24+y 23=1联立得，3m 2+4 y 2+6my -9=0，则Δ=36m 2-4-9 3m 2+4 =144m 2+1 >0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，设存在点T ，设T 点坐标为t ,0 ，由AF ⋅BT =BF ⋅AT ，得AF BF=AT BT，又因为AF BF =S △TFA S △TFB =12FT⋅AT sin ∠ATF12FT⋅BT sin ∠BTF =AT sin ∠ATF BT sin ∠BTF ，所以sin ∠ATF =sin ∠BTF ，∠ATF =∠BTF ，所以直线TA 和TB 关于x 轴对称，其倾斜角互补，即有k AT +k BT =0，则：k AT +k BT =y 1x 1-t +y 2x 2-t=0，所以y 1x 2-t +y 2x 1-t =0，所以y 1my 2+1-t +y 2my 1+1-t =0，2my 1y 2+1-t y 1+y 2 =0，即2m ×-93m 2+4+1-t ×-6m 3m 2+4=0，即3m 3m 2+4+1-tm3m 2+4=0，解得t =4，符合题意，即存在点T 4,0 满足题意.18.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率e =32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，求证：直线MN 恒过某定点，并求出该定点.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)证明见解析，定点为(2,1)【解析】(1)由已知可得2b =2e =a 2-b 2a =32，解得a =2b =1 ，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设直线BP 的方程为y =k 1(x -2)(k 1≠0且k 1≠±12)，直线DP 的方程为y =k 2x +1(k 2≠0且k 2≠±12)，则直线DP 与x 轴的交点为N -1k 2,0 ，直线AD 的方程为y =12x +1，则直线BP 与直线AD 的交点为M 4k 1+22k 1-1,4k 12k 1-1，将y =k 2x +1代入方程x 24+y 2=1，得4k 22+1 x 2+8k 2x =0，则点P 的横坐标为x P =-8k 24k 22+1，点P 的纵坐标为y P =k 2⋅-8k24k 22+1+1=1-4k 224k 22+1，将点P 的坐标代入直线BP 的方程y =k 1(x -2)，整理得1+2k 2 1-2k 2 =-2k 11+2k 2 2，∵1+2k2≠0，∴2k 1+4k 1k 2=2k 2-1，由M ,N 点坐标可得直线MN 的方程为：y =4k 1k 24k 1k 2+2k 2+2k 1-1x +1k 2 =2k 1k 2x +2k 12k 2-1=2k 1k 2x +2k 2-1-4k 1k 22k 2-1，即y =2k 1k 22k 2-1(x -2)+1，则直线MN 过定点(2,1).19.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点A (0，1)，且右焦点为F (1，0).(1)求C 的标准方程；(2)过点0，12的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析【解析】(1)由题意可得c =1,b =1从而a 2=2.所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线l :y =kx +12，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，将直线l 代入椭圆方程得4k 2+2 x 2+4kx -3=0，所以x 1+x 2=-4k 4k 2+2,x 1,x 2=-34k 2+2，直线AP 的方程为y =y 1-1x 1x +1，直线AQ 的方程为y =y 2-1x 2x +1.可得M -x 1y 1-1,0 ,N -x 2y 2-1,0，以MN 为直径的圆方程为，x +x 1y 1-1 x +x 2y 2-1 +y 2=0，即x 2+y 2+x 1y 1-1+x 2y 2-1 x +x 1x 2y 1-1 y 2-1 =0.①因为x 1x 2y 1-1 y 2-1=x 1x 2kx 1-12 kx 2-12 =4x 1x 24k 2x 1x 2-2k x 1+x 2 +1=-12-12k 2+8k 2+4k 2+2=-6.所以在①中令x =0，得y 2=6，即以MN 为直径的圆过y 轴上的定点(0,±6)，20.已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】(1)x 23+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x 23+y 2=1可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +m ,km <0 即kx -y +m =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得mk 2+1=1，所以m 2=k 2+1，联立y =kx +m x 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-3=0，所以x 1+x 2=-6km 1+3k 2,x 1⋅x 2=3m 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=1+k 2-6km 1+3k 2 2-4⋅3m 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1m =-2或k =-1m =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．21.圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的两个交点分别为A 1-2,0 ，A 22,0 ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足NR =12NM(1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线x =my +1交C 于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，A 2TS 为等腰三角形【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)存在，证明见解析【解析】(1)设点M x 0,y 0 在圆x 2+y 2=4上，故有x 20+y 2=4，设R x ,y ，又NR =12NM ，可得x =x 0，y =12y 0，即x 0=x ，y 0=2y代入x 20+y 20=4可得x 2+2y 2=4，化简得：x 24+y 2=1，故点R 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据题意，可设直线l 的方程为x =my +1，取m =0，可得P 1,32 ，Q 1,-32 ，可得直线A 1P 的方程为y =36x +33，直线A 2Q 的方程为y =32x -3联立方程组，可得交点为S 14,3 ；若P 1,-32，Q 1,32 ，由对称性可知交点S 24,-3 ，若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：x =4上，以下证明：对任意的m ，直线A 1P 与直线A 2Q 的交点S 均在直线l ：x =4上.由x =my +1x 24+y 2=1，整理得m 2+4 y 2+2my -3=0设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2m m 2+4，y 1y 2=-3m 2+4设A 1P 与l 交于点S 04,y 0 ，由y 04+2=y 1x 1+2，可得y 0=6y 1x 1+2设A 2Q 与l 交于点S 04,y0 ，由y 04-2=y 2x 2-2，可得y 0=2y 2x 2-2，因为y 0-y 0=6y 1x 1+2-2y 2x 2-2=6y 1my 2-1 -2y 2my 1+3 x 1+2 x 2-2=4my 1y 2-6y 1+y 2 x 1+2 x 1-2 =-12m m 2+4--12mm 2+4x 1+2 x 2-2 =0，因为y 0=y 0，即S 0与S 0重合，所以当m 变化时，点S 均在直线l ：x =4上，因为A 22,0 ，S 4,y ，所以要使A 2TS 恒为等腰三角形，只需要x =4为线段A 2T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点T 6,0 .故存在定点T 6,0 满足条件.22.已知点F 2,0 ，动点M x ,y 到直线l :x =22的距离为d ，且d =2MF ，记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过M 作圆O 1:x 2+y 2=43的两条切线MP 、MQ (其中P 、Q 为切点)，直线MP 、MQ 分别交C 的另一点为A 、B ．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①PA ⋅PM 为定值；②MA =MB ．【答案】(1)x 24+y 22=1;(2)条件选择见解析，证明见解析【解析】(1)由题意知22-x =2⋅x -2 2+y 2，两边平方整即得x 2+2y 2=4，所以，曲线C 的方程为x 24+y 22=1.(2)证明：设M x 0,y 0 、A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，当x 20=43时，y 20=43，则不妨设点M 233,233 ，则点A 233,-233 或A -233,233 ，此时OM ⋅OA=0，则OM ⊥OA ；当x 20≠43时，设直线MA :y =kx +m ，由直线MA 与圆O :x 2+y 2=43相切可得m 1+k2=23，即3m 2=41+k 2 ，联立y =kx +m x 2+2y 2=4可得2k 2+1 x 2+4kmx +2m 2-4=0，Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-4 =84k 2+2-m 2 =1634k 2+1 >0，由韦达定理可得x 0+x 1=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-42k 2+1，则OM ⋅OA=x 0x 1+y 0y 1=x 0x 0+kx 0+m kx 1+m =1+k 2 x 0x 1+km x 0+x 1 +m 2=1+k 22m 2-4 -4k 2m 2+m 21+2k 21+2k 2=3m 2-41+k 21+2k 2=0，所以，OM ⊥OA ，同理可得OM ⊥OB .选①，由OM ⊥OA 及OP ⊥AM 可得Rt △MOP ∽Rt △AOP ，则PM OP=OP PA，所以，PM ⋅PA =OP 2=43；选②，出OM ⊥OA 及OM ⊥OB 可得：A 、O 、B 三点共线，则OA =OB ，又MA 2=OA 2+OM 2=OB 2+OM 2=MB 2，因此，MA =MB .23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析.【解析】(1)由题意可得：c a =224a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1.(2)[方法一]：通性通法设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y =kx +m ，代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，可得x 1+x 2=-4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2-61+2k 2，因为AM ⊥AN ，所以AM ·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0，根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0，所以k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km 1+2k 2 +m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0，因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k +m -1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13k ≠1 ，所以直线过定点直线过定点P 23,-13.当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ，由AM ·AN=0得：x 1-2 x 1-2 +y 1-1 -y 1-1 =0，得x 1-2 2+1-y 21=0，结合x 216+y 213=1可得：3x 12-8x 1+4=0，解得：x 1=23或x 2=2(舍).此时直线MN 过点P 23,-13.令Q 为AP 的中点，即Q 43,13，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故DQ =12AP =223，若D 与P 重合，则DQ =12AP ，故存在点Q 43,13，使得DQ 为定值.[方法二]【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为(x +2)26+(y +1)23=1，设直线MN 的方程为mx +ny =4．将直线MN 方程与椭圆方程联立得x 2+4x +2y 2+4y =0，即x 2+(mx +ny )x +2y 2+(mx+ny )y =0，化简得(n +2)y 2+(m +n )xy +(1+m )x 2=0，即(n +2)y x2+(m +n )yx+(1+m )=0．设M x 1 ,y 1 ,N x 2,y 2 ，因为AM ⊥AN 则k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=m +1n +2=-1，即m =-n -3．代入直线MN 方程中得n (y -x )-3x -4=0．则在新坐标系下直线MN 过定点-43,-43 ，则在原坐标系下直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点43,13即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法三]：建立曲线系A 点处的切线方程为2×x6+1×y 3=1，即x +y -3=0．设直线MA 的方程为k 1x -y -2k 1+1=0，直线MB 的方程为k 2x -y -2k 2+1=0，直线MN 的方程为kx -y +m =0．由题意得k 1⋅k 2=-1．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线MA ,MB 可表示为x 26+y 23-1+λk 1x -y - 2k 1+1 k 2x -y -2k 2+1 =0(其中λ为系数)．用直线MN 及点A 处的切线可表示为μ(kx -y +m )⋅(x +y -3)=0(其中μ为系数)．即x 26+y 23-1+λk 1x -y -2k 1+1 k 2x - y -2k 2+1 =μ(kx -y +m )(x +y -3)．对比xy 项、x 项及y 项系数得λk 1+k 2 =μ(1-k ),①λ4+k 1+k 2 =μ(m -3k ),②2λk 1+k 2-1 =μ(m +3).③将①代入②③，消去λ,μ并化简得3m +2k +1=0，即m =-23k -13．故直线MN 的方程为y =k x -23 -13，直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点43,13 即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法四]：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．若直线MN 的斜率不存在，则M x 1,y 1 ,N x 1,-y 1 ．因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN =0，即x 1-2 2+1-y 21=0．由x 216+y 213=1，解得x 1=23或x 1=2(舍)．所以直线MN 的方程为x =23．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m ，则x 2+2(kx +m )2-6=1+2k 2 x -x 1 x -x 2 =0．令x =2，则x 1-2 x 2-2 =2(2k +m -1)(2k +m +1)1+2k 2．又y -m k 2+2y 2-6=2+1k 2 y -y 1 y -y 2 ，令y =1，则y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(-2k +m -1)1+2k 2．因为AM ⊥AN ，所以AM ⋅AN=x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(2k +3m +1)1+2k 2=0，即m =-2k +1或m =-23k -13．当m =-2k +1时，直线MN 的方程为y =kx -2k +1=k (x -2)+1．所以直线MN 恒过A (2,1)，不合题意；当m =-23k -13时，直线MN 的方程为y =kx -23k -13=k x -23 -13，所以直线MN 恒过P 23,-13 ．综上，直线MN 恒过P 23,-13 ，所以|AP |=423．又因为AD ⊥MN ，即AD ⊥AP ，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为Q 43,13，则|DQ |=12|AP |=223．所以存在定点Q ，使得|DQ |为定值．24.已知△ABC 的顶点A -4,0 ，B 4,0 ，满足：tan A tan B =916．(1)记点C 的轨迹为曲线Γ，求Γ的轨迹方程；(2)过点M 0,2 且斜率为k 的直线l 与Γ相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 216+y 29=1x ≠±4 ;(2)N 0,92【解析】(1)设C x ,y ，则tan A tan B =y x +4⋅y 4-x =916，整理得x 216+y 29=1，故Γ的轨迹方程为x 216+y 29=1 x ≠±4 ；(2)设直线l 为y =kx +2，当k =0时，可得点P ，Q 关于y 轴对称，可得MQ =MP ，要使NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立，即NP NQ=MP MQ=1成立，即点N 在y 轴上，可设为N 0,a ,a ≠2.当k ≠0时，联立方程组y =kx +2x 216+y 29=1x ≠±4整理得9+16k 2 x 2+64kx -80=0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则x 1+x 2=-64k 9+16k 2,x 1x 2=-809+16k 2，要使NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立，即NP NQ =MPMQ成立，由角平分线定理则只需使得y 轴为∠PNQ 的平分线，即只需k NP +k NQ =0，即y 1-ax 1+y 2-ax 2=0⇒x 2y 1-a +x 1y 2-a =x 2kx 1+2-a +x 1kx 2+2-a =0，即2kx 1x 2+2-a x 1+x 2 =2k ⋅-809+16k 2+2-a⋅-64k9+16k 2=0⇒-288+64a k =0解得：a =92，综上可得，存在与M 不同的定点N 0,92，使得NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立25.如图，已知椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >1)，其左、右焦点分别为F 1,F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点S 0,-13且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ,B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)存在，0,1 .【解析】(1)法一：∵sin ∠PF 1F 2=PF 2 PF 1=13,PF 1 +PF 2 =2a ，∴PF 1 =32a ,PF 2 =a2,∵PF 2 2+F 1F 2 2=PF 1 2,F 1F 2 =2c ,∴a =2c ，∵a 2=c 2+1,∴c =1,a =2,∴椭圆方程为：x 22+y 2=1..法二：设P c ,y 0 ，代入椭圆方程，由a 2=c 2+1，解得PF 2 =y 0=1a ，∵sin ∠PF 1F 2=PF 2 PF 1=13,∴PF 1 =3a,∵PF 1 +PF 2 =2a ,∴a =2，。
椭圆中互相垂直的弦过定点问题
（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b +。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x ab =+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b +。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
椭圆中互相垂直的弦过定点问题
MN
恒过定点
(
a
a
2
s b2
,
b a2
t b
2
)
。
设 AB 的直线为 x s m( y t ) ，则 CD 的直线方程为 x s
1 (y t) ，
m
x s m( y t ) b2 x2 a2 y2 a2b2
， ( m2b2 0
a2 ) y2
2b2(ms m2t) y b2( s mt)2
a2b 20，ຫໍສະໝຸດ 设直线 AB : y k(x 1) ，联立椭圆方程 3x2 4 y 2 12得：
(4 k2 3)x2 8k 2x 4k2 12 0 ， xM
1 8k 2 2 4k 2 3
4k 2 4k 2
3
，
4
yM
1 8k 2 2 4k 2 3
4k 2 4k 2
， 3
xN
k2 4 k2 3
4 3k 2
, yN 4
1 ( xN k
b 2t a 2 b 2 ) ，所以直线
MN
恒过定点
a 2s
b2 t
( a2 b2 , a2 b2 ) 。
2
重庆高 2018 级理科二诊 20（本题满分 12 分）
已知 F1(
1,0) ， F2(1,0) 是椭圆
x2 4
y2 3 1 的左右焦点。（ 2）过 F2 作两条互相垂直的直
线 l1与 l2（均不与 x 轴重合）分别与椭圆交于 ABCD 四点。线段 AB ，CD 的中点分别是 M ， N ，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标。
CD 。若弦 AB ， CD 的中点分别为
M ， N ，那么直线
MN
与椭圆有关的定值、定点问题
与椭圆有关的定值问题例题
故答案为
$frac{sqrt{3}}{2}$．
解析
由椭圆的定义可知，任意一点$P$到它的两个焦点$F_1, F_2$的距离之和为$2a$，即$|PF_1| + |PF_2| = 4$。
与椭圆有关的定点问题例题
例题3：已知椭圆C：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)$的右焦点为$F$，过点$F$作直线与椭圆 C交于$A, B$两点，过点$A, B$分别作$x$轴的平行线分 别与椭圆C交于点D、E。若$Delta AFB$的面积为 $sqrt{3}$，且$angle AFB = 60^{circ}$，则$Delta ADE$的面积为____．
涉及切线与离心率
切线性质
过椭圆上任一点作椭圆的切线，切线 与长轴和短轴的交点到切点的线段长 度相等。
离心率性质
椭圆的离心率$e$定义为$c/a$，其中 $c$是焦点到中心的距离，$a$是长轴 的长度。离心率具有性质$0 < e < 1$。
其他定点问题
涉及焦点弦的问题
过椭圆的一个焦点作直线与椭圆相交，则交点满足一定的性质，如焦半径性质、 焦弦性质等。
03 与椭圆有关的定点问题
涉及焦点与顶点
01
02
03
焦点性质
椭圆上任一点到两焦点的 距离之和等于长轴的长度， 即$2a$。
顶点性质
椭圆的顶点是长轴和短轴 的交点，即$A(a,0)$和 $B(-a,0)$。
焦点与顶点关系
椭圆的焦点位于长轴上， 且与顶点距离为$c$，其 中$c^2 = a^2 - b^2$。
• 例题1：已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 上存在点P，满足$\vec{OP} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$，其中A、B 为椭圆C上的点，直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，则椭圆C的离心率为( )
解析几何系列小专题5-椭圆垂直弦 一题全覆盖【解析版】
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，离心率 e
1 2
，点 P
是椭
圆上的一个动点， PF1F2 面积的最大值是 4 3 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
A,
B,
C,
D
是椭圆上不重合的四点，
AC
与BD相交于点 NhomakorabeaF1，
AC
BD
0
，且
AC
BD
96
，求此时直线 AC
的方程．
此时
1 MN
1 | OP |2
7； 12
当直线 l 的斜率为 0 时， MN 4 ， OP
3 ，此时
1 MN
1 | OP |2
7 12
；
当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，
设直线 l 的方程为 y k x 1 ， M x1, y1 ， N x2, y2 ．
将 y k x 1 代入 x2 y2 1 ，消去 y 可得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ， 43
有一个斜率不存在时，通过计算可知|AB|＝ 2 2 、|CD|＝ 2 ，进而可得结论；当直线 AB、
CD 斜率均存在时，设直线 AB 方程为：y＝k（x
3
），则直线
CD
方程为：y
1
（x
k
3 ），
通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理、两点间距离公式计算可知
41 k 2
41 k 2
|AB| 1 4k 2 ，CD 4 k 2 ，进而计算可得结论．
2. 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过椭圆
C
过椭圆焦点互相垂直的直线
过椭圆焦点互相垂直的直线
过椭圆的焦点互相垂直的直线是一个经典的几何问题。
让我们
从几何性质和数学原理两个方面来全面回答这个问题。
首先，我们知道椭圆的焦点是椭圆的长轴上的两个特殊点，它
们与椭圆的几何性质密切相关。
根据椭圆的定义，椭圆是到两个焦
点的距离之和为常数的点的轨迹。
这意味着椭圆的焦点和椭圆上的
任意一点构成的两条线段之和是一个常数。
这个性质对于我们寻找
过椭圆焦点互相垂直的直线提供了一些线索。
其次，根据数学原理，我们知道椭圆的焦点与椭圆的长轴和短
轴之间存在特定的关系。
具体而言，焦点与椭圆的长轴的交点称为
顶点，而焦点与椭圆的短轴的交点称为辅助顶点。
根据这些定义，
我们可以推导出椭圆焦点互相垂直的直线的几何特性。
综合以上几何性质和数学原理，我们可以得出结论，过椭圆的
焦点互相垂直的直线是椭圆的长轴和短轴的两条互相垂直的直线。
这是因为椭圆的焦点与长轴和短轴之间的特定关系，使得它们构成
的直线互相垂直。
这个结论可以通过几何推导和数学证明得到验证。
总之，通过深入理解椭圆的几何性质和数学原理，我们可以得出过椭圆焦点互相垂直的直线的全面而完整的回答。
希望这个回答能够满足你的需求。
椭圆过定点问题
椭圆过定点问题
椭圆的过定点问题是一个非常重要的问题，因为它涉及到椭圆的几何性质和椭圆的焦点。
在椭圆的定义中，我们知道椭圆是由一个焦点和一个定点的距离之和等于常数（这个常数就是长轴的长度）所形成的轨迹。
因此，如果我们知道椭圆的焦点和常数，就可以确定椭圆的形状和大小。
在解决椭圆过定点问题时，我们需要先确定椭圆的焦点和常数。
通常，我们可以使用椭圆的焦点和常数来建立椭圆的标准方程。
例如，如果我们知道椭圆的焦点在x轴上，并且长轴在x轴上，那么我们可以使用以下方程来表示椭圆：
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
其中a是椭圆的长轴长度，b是椭圆的短轴长度，c是椭圆的焦点到中心的距离。
现在，我们假设椭圆过定点P(x0,y0)，那么我们需要找到一个适合这个椭圆的焦点和常数。
为了找到这个焦点和常数，我们可以将P点的坐标代入椭圆的标准方程中，并求解得到a、b、c的值。
例如，我们可以得到以下方程：
x0^2/a^2 + y0^2/b^2 = 1
现在，我们可以通过解方程来得到a、b、c的值。
一旦我们得到了这些值，我们就可以确定椭圆的形状和大小，并且可以找到椭圆的焦点和常数。
在解决椭圆过定点问题时，我们需要注意一些特殊情况。
例如，如果定点P在椭圆上，那么我们可以直接使用P点的坐标来确定椭圆的焦点和常数。
如果定点P不在椭圆上，那么我们需要使用其他方法来确定椭圆的焦点和常数。
总之，解决椭圆过定点问题需要我们了解椭圆的几何性质和椭圆的焦点。
通过建立椭圆的标准方程和使用代入法，我们可以找到适合这个椭圆的焦点和常数。
与椭圆有关的定值、定点问题-文档资料
3 y 校 上任意一点，过 P 作 x 轴、y 轴 设 P 为双曲线 XX分 x
的垂线，垂足分别为 A、B，求证：四边形 PAOB 的 面积为定值
x y 2 1 的左顶点为A，过A作两条互 例 已知椭圆 4 相垂直的弦AM2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否经过 x 轴上的一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经 过，说明理由
求证： 2 m k为定值
x y 1 于P、Q 两 例 过原点 O 的直线交椭圆 4 2
点，直线 AP 交 y 轴于点 M，AQ 交 y 轴于点 N， 问：以 MN 为直径的圆是否经过定点？
2
2
XX分校
a 1 ( a 0 , a 1 ) 指数函数 y 经过定点______
log ( x 2 ) 1 ( a 0 , a 1 ) 对数函数 y 经过定点 a
_________
x 2
m 1 ) x ( 2 m 1 ) y 2 m 3 0 ( m R ) 直线 (
2
XX分校
2 2 3 x y , : 2 2 1 ( a b 0 )的离心率 e 例 已知椭圆 C 2 a b 且a b 3
（1）求椭圆 C 的方程 （2）如图，A、B、D是椭圆
C 的顶点，P 是椭圆 C上除顶
点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD
XM X，设 分校 交 BP 于点 BP 的斜率为 k，MN 的斜率为m，
椭圆的中点弦问题
∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)，
即 x＋2y－4＝0.
椭圆弦的中点问题
（1）韦达定理解决；
（2）点差法（设而不解）
练习1：如果椭圆被 x2 y2Hale Waihona Puke 1 的弦被点P（4,2） 36 9
平分,求这弦所在直线方程。 x+2y-8=0
椭圆的中点弦
椭圆与直线的位置关系及判断方法
相 离：△<0 相 切：△=0 相 交：△>0
直线与椭圆相离 直线与椭圆相切 直线与椭圆相交
例1. 过椭圆 x2 y2 1内一点 M (2,1) 引一
16 4
条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在直
线的方程．
y
B
oM
A x
例题讲解
解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2)
AB的中点M的轨迹方程.
练习2 ：已知椭圆 x2 y2 1 斜率为1 16 4
的直线l交椭圆于A,B,求弦AB的中点M的 轨迹方程.
练习3:中心在原点,一个焦点为F（0，5 2）
的椭圆被直线 y=3x-2所截得弦的中点
横坐标是 1 ,求椭圆方程。y 2
A o
x
B
练习4：已知椭圆x2+4y2=16,过椭圆的右
焦点F2的直线l交椭圆于A，B，求弦
把它代入椭圆方程整理得:
(4k 2 1)x2 8(2k 2 k)x 4(2k 1)2 16 0
设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2)
y
∴
x1
x2
8(2k 2 k) 4k 2 1
椭圆中过定点或有定向动弦问题的探讨
+ 2
-
abcos
+ 2
=0
+
+
cos x!
2
sin + y!
2 - cos -
=0
#
a
b
2
( 1) 若 m 1, 则 式化为:
+
x0 ( m+ 1) ! cos 2
m- 1
a
sin +
-
y0 ( m+ 1) m- 1
!
2 b
-
cos
2
=0
比较 # 、 两 式 可 知 直 线 BC 必 过 定 点
M
.
推论 1: 符 合定 理条 件( 1) 的直 线 BC 所 过
定点 M 在直线 y 0 x + x 0 y = 0 上; 符合 定理条 件 ( 2) 的直线 BC 与直线 y 0 x+ x 0 y= 0 平行.
初数方圆
91
推论 2: 当 m= -
1, kAB ! kAC = -
b2 a2
时,
动弦
BC 为椭圆的直径.
推论 3: 当 m= -
a2 b2 , kAC ! kAC = -
1, 即定点
A 对动弦 BC 所张的角为直 角时, 直线 BC 所过
定点 M
x0
( a2a2 +
b2 b2
)
,
-
y0 ( a2 - b2 ) a2 + b2
在椭圆过 A
点的法线上. ( 证略) 定理 2: 椭圆 b2 x 2 + a2 y2 = a2 b2 的 动 弦 BC
证明: 由 kAB = -
34解析几何解法技巧：辕门射戟-定点问题
34解析几何解法技巧：辕门射戟-定点问题34：辕门射戟 - 定点问题在圆锥曲线问题中,经常考查过圆锥曲线C上的一点,引出两条直线,分别是两直线与C的交点,当时,直线恒过定点,这样的问题我们称之为直角弦过定点问题.根据圆锥曲线C的不同椭圆,双曲线和抛物线,有三种不同类型的过定点:(1)椭圆的直角弦:在椭圆上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点(2)双曲线的直角弦:在双曲线上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点(3)抛物线的直角弦:在抛物线上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点既然证明直线过定点,所以我们的目标是求出直线的方程——两种思路:一是直接设出方程利用关系找与的关系,二是利用两点的坐标求出的方程。
思路一:设的方程为,与椭圆联立,设,利用韦达定理可得,从而得到:,根据,即,整理得:代入上式,从而能够得到找与的关系,进而得到直线的过定点;思路二:设的方程为,联立椭圆方程,根据韦达定理可得到,从而求出点的坐标;同理求出点的坐标,求出,写出直线的方程,最后得定点。
(此方法运算量大,处理起来很难)在解题时，我们可以根据这些定点坐标公式来检验我们计算的结果是否正确。
(2020·山东·22)已知椭圆C:的离心率为,且过点A(2,1).(1)求C的方程:(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.【答案】见解析【解析】(1)由题意可得:,解得:,故椭圆方程为:.(2)设点.因为AM⊥AN,∴,即,①当直线MN的斜率存在时,设方程为,如图1.代入椭圆方程消去并整理得:,②,根据,代入①整理可得:将②代入,,整理化简得,∵不在直线上,∴,∴,于是MN的方程为, 所以直线过定点.当直线MN的斜率不存在时,可得,如图2.代入得,结合,解得,,此时直线MN过点,由于AE为定值,且△ADE为直角三角形,AE为斜边,所以AE中点Q满足为定值(AE长度的一半).由于,故由中点坐标公式可得.故存在点,使得|DQ|为定值.1.过上一点,作两条射线交抛物线于两点,且,证明:直线恒过一定点并求出该定点坐标。
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椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b ++。
设AB 的直线为()x s m y t -=-，则CD 的直线方程为1()x s y t m-=--， 222222()0x s m y t b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，2222222222()2()()0m b a y b ms m t y b s mt a b ++-+--=， 2112222()mb s mt y y m b a --+=+，由中点公式得22222222()()(,)a s mt mb mt s M m b a m b a --++ 直线MN 的方程为：22222222()()()MN b m mt s a s mt y k x b m a b m a ---=-++， 即222222()MN a s b t y k x a b a b -=-++，所以直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b++。
重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=的左右焦点分别是1F ，2F ，上顶点M ，右顶点为(2,0)N ，12MF F ∆的外接圆半径为2。
（1）求椭圆C 的标准方程； (2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点N ，求ABN ∆面积的最大值。
解：（Ⅰ）∵右顶点为(20)，，∴2a =，122MF MF ==，∵121sin 2MO b bMF F MF a ∠===，2122424sin 2MF R b MF F b ====∠，∴1b =， ∴椭圆的标准方程为2214x y +=．……………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为my x b =+，1122()()A x y B x y ，，，， 与椭圆联立得222(4)240m y mby b +-+-=，∴21212222444mb b y y y y m m -+==++，． ……………………………………………（6分）∵以AB 为直径的圆经过点N ，∴0NA NB =， ∵1122(2)(2)NA x y NB x y =-=-，，，， ∴1212122()40x x x x y y -+++=，①……………………………………………（7分）∵121228()24b x x m y y b m -+=+-=+，2222121212244()4b m x x m y y mb y y b m -=-++=+， 代入①式得2516120b b ++=，∴65b =-或2b =-（舍去），故直线l 过定点605⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………………………………………………（9分）∴121622||255ABN S y y ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△ …………（10分） 令222564()[0)(4)t h t t m t +==∈+∞+，，， 则228()0251281120425h t t t t ⎛⎫'>⇒++<⇒∈-- ⎪⎝⎭，，∴()h t 在[0)t ∈+∞，上单调递减，max ()(0)4h t h ==， ∴0m =时，max 1625ABN S =△． …………………………………………………（12分）结论（一）以00(,)x y 为直角定点的椭圆22221x y a b +=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b b a x y a b b a --⨯⨯++。
证明： 设00(,)P x y 在椭圆上，即2200221x y a b +=，设00()y y k x x -=-，001()y y x x k-=--00222222()0y y k x x b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，222222220000()2()[()]0b k a x a k y kx x a y kx b ++-+--=，222000000112222222()(2)]a k y kx a x ky b x x x x k a b k a b ----+=⇒=++，2220002222(2)]a x kyb k x x k b a+-=+ 212021212111ABk kx x x y y k k k x x x x +----==-- ()211121y y y y x x x x --=-⇒-2222002222()AB b a a b y x k x x a b a b---=-++，所以过定点2222002222(,)a b b a x y a b b a --⨯⨯++。
推论1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y 轴上。
证明：设右顶点(0,)P b ，设y kx b =+，1y x b k=-+ 222222y kx b b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20a k b x a bkx ++=⇒， 212222,a bk x a k b -=+，将k 换成1k-得：222222a bk x a b k =+ 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。
设该定点坐标(0,)t ，1212121121212121211()()kx b x x x b t y y y y x x yk t x x x x x x x -+-+---=⇒==----，2222122211()x x k b b a t b k x x b a+-=⨯+=-+，所以过定点2222()(0,)b b a b a -+。
推论2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x 轴上。
证明：设右顶点(,0)P a ，设x my a =+，1y x a m=-+ 222222x my a b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20b m a y b amy ++=⇒， 212222b am y b m a -=+，将m 换成1m-得：222222b am y b a m =+由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。
设该定点坐标(,0)t ，1212121121212121211()()my a y y y a y y y x y y xm t t x x x y y y y -+-+---=⇒==----，2222122211()y y m a a b t a m y y a b+-=⨯+=-+，所以过定点2222()(,0)a a b a b -+。
下面探求ABP ∆面积的最大值：2222()a a b x my a b -=++代入椭圆得：22442222222222()4()20()a a b a b b m a y b my a b a b --++⨯⨯+=++ 2422242224[()4]()a b a b m a a b ++∆=+，222242122222222221()2([]2()ABPa ab ab a b S a y y a b a b a b m a b ∆-=⨯-⨯-=⨯=++++242224()a b a b ≥+，当且仅当0m =时等号成立。
结论2：以00(,)x y 为直角定点的抛物线22y px =内接直角三角形的斜边必过定点0(2x p +，0)y -结论3：以00(,)x y 为直角定点的双曲线22221x y a b -=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b a b x y a b b a ++--重庆高2018级文科二诊20（本题满分12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆22143x y +=的左右焦点，B 为椭圆的上顶点。
（2）过点B 作两条互相垂直的直线与椭圆交于S ，T 两点（异于点B ），证明：直线ST过定点，并求该定点的坐标。
（2）解：设1122(,),(,)S x y T x y ，直线:3BS y kx =+，联立椭圆方程得：22(43)830k x kx ++=，128343k x k -=+，22283834343k k x k k --==++， 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。