椭圆中互相垂直的弦过定点问题 - (原创)

椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题

（1）过椭圆22

221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。若弦AB ，CD

的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点22

2

(,0)a c

a b

+。 （2）过椭圆22

221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，

CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a s

a b

+。

设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1

x y s m

=-

+， 222222

x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222

()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 22

22

2

2

4()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222

()

a s a y y m

b a

-⋅=+， 由中点公式得M 22

22

2222

(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1

m

-代换，得到N 的坐标22222

2222

(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222

222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222

a s x a b

=+ 所以直线MN 恒过定点22

2

(,0)a s

a b

+。 （3）过椭圆22

221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，

CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b t

a b

+。

（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点22

22(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。

若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222

222

(,)a s b t

a b a b ++。 设AB 的直线为()x s m y t -=-，则CD 的直线方程为1

()x s y t m

-=-

-， 222222

()0

x s m y t b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，2222222222

()2()()0m b a y b ms m t y b s mt a b ++-+--=， 2112222()mb s mt y y m b a --+=+，由中点公式得2222

2222()()

(,)a s mt mb mt s M m b a m b a --++ 直线MN 的方程为：2222

2222

()()

()MN b m mt s a s mt y k x b m a b m a ---=-++， 即222

222()MN a s b t y k x a b a b -=-++，所以直线MN 恒过定点222222

(,)a s b t

a b a b

++。

重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）

已知椭圆22

22:1x y C a b +=的左右焦点分别是1F ，2F ，上顶点M ，右顶点为(2,0)N ，12

MF F ∆的外接圆半径为2。

（1）求椭圆C 的标准方程； (2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点N ，求ABN ∆面积的最大值。

解：（Ⅰ）∵右顶点为(20)，，∴2a =，122MF MF ==，

∵121sin 2

MO b b

MF F MF a ∠=

==，

2122424sin 2

MF R b MF F b ====∠，∴1b =， ∴椭圆的标准方程为2

214

x y +=．

……………………………………………（4分）

（Ⅱ）设直线l 的方程为my x b =+，1122()()A x y B x y ，，，， 与椭圆联立得222(4)240m y mby b +-+-=，

∴212122

224

44

mb b y y y y m m -+==++，． ……………………………………………（6分）

∵以AB 为直径的圆经过点N ，∴0NA NB =， ∵1122(2)(2)NA x y NB x y =-=-，，，， ∴1212122()40x x x x y y -+++=，①

……………………………………………（7分）

∵12122

8()24

b x x m y y b m -+=+-=+，2222

121212244()4b m x x m y y mb y y b m -=-++=+， 代入①式得2516120b b ++=，∴6

5

b =-或2b =-（舍去），

故直线l 过定点605⎛⎫

⎪⎝⎭，． ……………………………………………………（9分）

∴12162

2||255ABN S y y ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△ …………（10分） 令22

2564

()[0)(4)

t h t t m t +==∈+∞+，，， 则228()0251281120425h t t t t ⎛

⎫'>⇒++<⇒∈-- ⎪⎝

⎭，，

∴()h t 在[0)t ∈+∞，上单调递减，max ()(0)4h t h ==， ∴0m =时，max 16

25

ABN S =

△． …………………………………………………（12分）