数学建模模型的建立
数学建模的基本步骤与方法
数学建模的基本步骤与方法数学建模是利用数学方法和技巧对实际问题进行数学化描述和分析的一门学科。
它在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学建模的基本步骤与方法。
一、问题的分析与理解在进行数学建模之前，首先要对问题进行充分的分析与理解。
这包括对问题的背景、目标和约束条件的明确，以及对问题所涉及的各个因素和变量的了解。
只有充分理解问题，才能设计合理的数学模型。
二、建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤。
模型是对实际问题的一种抽象和简化，通过数学表达来描述问题的关系和规律。
建立数学模型的关键是要确定问题的输入、输出和中间变量，以及它们之间的函数关系或约束条件。
在建立数学模型时，可以使用各种数学方法和技巧。
例如，可以利用微分方程描述物理过程的变化，利用优化方法求解最优化问题，利用概率统计模型描述随机现象的规律等。
根据具体问题的特点和要求，选择合适的数学方法是十分重要的。
三、模型的求解与分析建立数学模型后，需要对模型进行求解和分析。
这包括利用数值方法或解析方法求解模型，得到问题的解析解或近似解。
在模型求解的过程中，可能需要编写计算程序、进行数值计算和统计分析等。
模型求解过程中，还需要对模型的解进行评估和分析。
例如，可以对模型的稳定性、收敛性、误差估计等进行分析，以确定模型的可行性和有效性。
四、模型的验证与应用在对模型进行求解和分析之后，需要对模型进行验证和应用。
验证是指将模型的结果与实际数据进行比较，以检验模型的准确性和可靠性。
如果模型的结果与实际数据吻合较好，说明模型是可信的。
模型的应用是指将模型的结果用于解决实际问题或做出决策。
根据模型的目标和应用场景，可以对模型的结果进行解释和解读，提出合理的建议和决策。
五、模型的改进与扩展建立数学模型是一个动态的过程，模型的改进与扩展是不可缺少的环节。
通过对模型的不断改进和扩展，可以提高模型的准确性和适用性，更好地描述和解决实际问题。
模型的改进与扩展可以从多个方面入手。
简述数学建模的一般步骤
简述数学建模的一般步骤数学建模是将现实世界的问题表述为数学模型的过程。
通过数学建模，我们可以对问题进行分析和解决。
数学建模的一般步骤包括：1. 问题的描述：在建模之前，需要将问题清楚地表述出来，包括问题的背景、目标、约束条件等。
2. 确定模型的类型：数学建模涉及到许多不同的模型类型，如线性规划、非线性规划、动态规划等。
在确定模型类型之前，需要考虑问题的性质，包括是否存在约束条件、是否有限制条件、是否有时间因素等。
3. 建立数学模型：在确定了模型类型之后，就可以开始建立数学模型了。
这一步包括确定模型的变量、目标函数、约束条件等。
4. 求解模型：在建立完数学模型之后，就可以开始求解模型了。
这一步包括使用数学方法或计算机软件求解模型。
5. 结果的分析与验证：在求解出模型的最优解之后，还需要对结果进行分析，包括对结果的可解释性和可靠性进行评估。
这一步包括对结果的敏感性分析，以及对模型的假设进行验证。
6. 应用结果：最后，在确保结果可靠后，就可以将结果应用到实际问题中。
这一步可能包括根据结果制定决策、规划资源分配等。
数学建模是一个系统的过程，需要综合运用数学、统计、计算机科学等多种方面的知识。
它的目的在于通过数学模型的分析和求解，为解决实际问题提供有效的决策依据。
在进行数学建模时，需要注意的是，模型只是对现实世界的简化和抽象，并不能完全反映现实情况。
因此，在建模过程中，需要谨慎选择模型的假设条件，并对模型的结果进行适当的验证和分析。
总的来说，数学建模是一种有效的工具，能够帮助我们对现实世界的问题进行系统的分析和解决。
它的应用遍及各个领域，包括经济学、工程学、管理学等，为解决复杂问题提供了强有力的理论支持。
在实际进行数学建模时，还可以使用许多工具和方法，以提高建模的效率和准确性。
这些工具和方法包括：* 数学软件：通过使用数学软件，可以快速求解复杂的数学模型，并可视化结果。
常用的数学软件包括MATLAB、Maple、Mathematica等。
数学建模流程
数学建模流程数学建模是指通过材料、理论、方法等综合分析来获取问题的内在规律及其运行机制，并通过运用数学工具和算法来解决实际问题的过程。
数学建模流程主要包括问题分析、模型建立、模型求解和模型评价四个步骤。
问题分析是数学建模的第一步。
在这一步中，需要准确理解问题陈述，并确定问题的具体要求。
在分析问题时，要对问题的背景、目标、约束条件、变量等因素作适当的调研和分析。
问题分析的关键是抽象问题，即将实际问题转化为数学问题。
模型建立是数学建模的核心步骤之一。
在这一步中，需要根据问题的特点选择合适的数学模型。
数学模型由问题变量、约束条件以及目标函数等要素构成。
建立模型的过程需要运用数学知识和技巧，例如微积分、概率统计、线性代数等。
模型的建立要建立在严格的数学推理基础上，确保模型的合理性和准确性。
模型求解是数学建模的重要步骤之一。
在这一步中，需要确定求解模型的方法和算法。
数学建模常用的求解方法有解析法、数值法和优化算法等。
根据具体问题的特点和难度，在数学分析和计算机编程等方面运用相应的方法和技术进行求解。
求解模型的过程中，需要进行一系列的计算和推理，同时要对求解结果进行判断和验证，确保结果的可靠性。
模型评价是数学建模的最后一步。
在这一步中，需要对模型的结果进行评价和分析。
模型评价的目的是检验和验证模型的有效性和适用性。
评价模型的标准通常有模型拟合度、模拟误差、模拟精度等。
通过评价模型，可以得出结论和建议，为实际问题的决策和解决提供参考。
总体而言，数学建模是一个循序渐进的过程，需要将抽象的实际问题转化为数学问题，并运用数学知识和方法进行建模和求解，最后通过对模型结果进行评价和分析，得出相关结论和建议。
数学建模的流程不仅需要运用严谨的数学思维和逻辑推理，还需要具备良好的问题分析和综合分析能力，以及熟练的数学计算和计算机模拟技术。
只有在完整的数学建模流程中，才能得到准确、有效的问题解决方案。
建立数学模型的一般过程或步骤
1.问题识别和定义建立数学模型的第一步是明确识别和定义需要解决的实际问题。
这个阶段包括:a) 确定研究对象: 明确我们要研究的系统、现象或过程是什么。
b) 明确目标: 确定我们希望通过模型解决什么问题,或得到什么样的结果。
c) 界定范围: 确定模型的适用范围和限制条件。
d) 收集背景信息: 了解问题的背景,包括已有的相关研究和理论。
e) 提出假设: 根据对问题的初步理解,提出一些合理的假设。
这个阶段的关键是要尽可能清晰、准确地描述问题,为后续的模型构建奠定基础。
2.变量选择和定义在明确问题后,下一步是确定模型中的关键变量:a) 识别相关变量: 列出所有可能影响问题的变量。
b) 分类变量: 将变量分为自变量、因变量、参数等。
c) 定义变量: 明确每个变量的含义、单位和取值范围。
d) 简化变量: 去除次要变量,保留最关键的变量以简化模型。
e) 考虑变量间关系: 初步分析变量之间可能存在的关系。
变量的选择直接影响模型的复杂度和准确性,需要在简化和精确之间找到平衡。
3.数据收集和分析为了构建和验证模型,我们需要收集相关数据:a) 确定数据需求: 根据选定的变量,明确需要收集哪些数据。
b) 选择数据来源: 可以是实验、观察、文献资料或已有数据库。
c) 设计数据收集方案: 包括采样方法、实验设计等。
d) 数据预处理: 对原始数据进行清洗、标准化等处理。
e) 探索性数据分析: 使用统计方法和可视化技术初步分析数据特征和规律。
f) 识别异常值和缺失值: 处理数据中的异常情况。
高质量的数据对于构建准确的模型至关重要。
4.模型结构选择基于问题定义、变量选择和数据分析,我们可以开始选择适当的模型结构:a) 考虑问题类型: 如静态或动态、确定性或随机性、线性或非线性等。
b) 研究已有模型: 调研该领域是否已有成熟的模型可以借鉴。
c) 选择数学工具: 如微分方程、概率论、优化理论等。
d) 确定模型类型: 如回归模型、微分方程模型、状态空间模型等。
建立数学模型的方法步骤
建立数学模型的方法步骤1.确定问题：明确问题的目标和约束条件。
了解问题的背景、需求，明确所要解决的问题是什么，以及有哪些限制条件。
2.收集数据：收集与问题相关的数据，可能包括实测数据、统计数据、文献资料等。
对数据进行整理和清洗，确保数据的准确性和完整性。
3.建立假设：在数学建模中，常常需要对问题进行简化和假设。
根据实际情况，设定适当的假设，并明确假设的范围和限制。
4.选择模型类型：根据问题的性质和特点，选择适合的数学模型类型。
常用的模型类型有优化模型、统计模型、微分方程模型、随机模型等。
不同的模型类型适用于不同的问题。
5.建立数学关系：确定问题中的关键变量和参数，并建立它们之间的数学关系。
这通常通过利用已知的理论知识和数学工具，如方程、不等式、差分方程、微分方程、概率分布等来表达。
6.模型求解：对建立的数学模型进行求解，即找到使得模型满足约束条件并达到最优目标的解。
常用的求解方法包括数值计算、优化算法、统计推断等。
选择合适的求解方法，进行计算和分析。
7.模型验证：对建立的数学模型进行验证，检验模型在实际情况下的适用性和准确性。
可以利用实验数据和实际观测来验证模型的预测结果和假设的有效性。
8.模型应用：根据模型的求解结果和验证结果，进行模型的应用和分析。
可以对问题进行预测、优化、决策等，为实际问题的解决提供有效的参考和指导。
需要注意的是，建立数学模型是一个循环迭代的过程。
在实际建模中，可能需要多次进行步骤的调整和重复，以不断优化模型的表达和求解效果。
在建立数学模型的过程中，还需要具备一定的数学知识和问题分析能力。
掌握数学方法和工具，了解问题背后的本质和规律，以及具备逻辑分析和抽象思维能力，能够将实际问题转化为数学形式并进行求解分析。
此外，还需要广泛阅读和学习数学建模的相关经验和方法，以丰富自己的建模思路和工具箱，提高建立数学模型的能力。
数学模型建立步骤
数学模型建立步骤数学模型是用数学语言描述现实问题的工具，建立数学模型的过程通常包括以下步骤：1. 问题定义：清晰地定义问题，明确需要解决的具体问题是什么。
将实际问题转化为数学问题的第一步是准确地理解和描述问题。
2. 建立变量：确定与问题相关的各种变量，并对它们进行定义。
这些变量可以是时间、空间、数量等与问题相关的量。
3. 制定假设：为了简化问题或使问题更容易处理，可能需要引入一些假设。
这些假设可能涉及到变量之间的关系、影响因素等。
4. 建立数学关系：将问题中的变量之间的关系用数学公式或方程表示。
这可能包括线性关系、非线性关系、微分方程、差分方程等，取决于问题的性质。
5. 解析求解或数值求解：对于一些简单的模型，可以尝试找到解析解，即用代数方法求解方程。
对于较为复杂的模型，可能需要使用数值方法，如数值模拟、计算机模拟等。
6. 模型验证：验证模型的准确性和可靠性。
通过实验数据或实际观测数据来检验模型的有效性，对模型的输出结果进行比较和分析。
7. 模型分析：分析模型的性质，如稳定性、收敛性、敏感性等。
理解模型的特点有助于更好地解释模型的行为和结果。
8. 模型优化：在验证和分析的基础上，对模型进行优化。
优化可能涉及调整参数、修正假设、改进数学形式等。
9. 模型应用：使用建立好的模型解决实际问题。
模型应用可能包括对未来情景的预测、对政策决策的支持、对系统行为的理解等。
10. 结果解释：将模型的输出结果转化为对实际问题的解释和建议。
这需要将数学语言翻译为实际问题的语言，并确保结果对决策者或问题的相关方具有实际意义。
建立数学模型是一个迭代的过程，可能需要多次调整和修改，以适应实际问题的复杂性和变化。
这一过程需要数学建模者有深厚的领域知识、数学技能以及对实际问题的深刻理解。
数学建模的方法和步骤
数学建模的方法和步骤数学建模（Mathematical modeling）是指运用数学方法及理论来描述某一实际问题，并在此基础上构建数学模型，进而对问题进行分析和求解的过程。
数学建模是一个综合应用学科，它将数学、物理、化学、工程、统计学、计算机科学等学科有机结合起来，用数学语言对现实世界进行描述，可用于各种领域的问题求解，如经济、金融、环境、医学等多个领域。
下面我将从数学建模的方法和步骤两方面来探讨这一学科。
一、数学建模的方法数学建模方法是指解决某一具体问题时所采用的数学建模策略和概念。
数学建模方法可分为以下几类：1.现象模型法：这种方法总是从某一实际问题的具体现象入手，把事物之间的关系量化为一种数学模型。
2.实验模型法：这种方法通过一些特定的实验，首先收集实验数据，然后通过分析数据建立一种数学模型，模型中考虑实验误差的影响。
3.参数优化法：这种方法通常是指通过找到最优参数的一种方法建立一个数学模型。
4.时间序列模型法：这种方法主要是通过观察时间内某一变量的变化，构建该变量的时间序列特征，从而建立一个时间序列模型。
二、数学建模的步骤数学建模步骤是指解决一个实际问题时所采用的数学建模过程，根据一些经验和规律推导出一个可行的模型。
数学建模步骤通常分为以下几步：1.钟情问题的主要方面并进行分析：首先要分析问题的背景和主要的影响因素，以便制定一个可行的局部策略。
2.建立初步模型：通过向原问题中引入某些常数或替换一些符号为某一特定变量，以使模型更方便或更加精确地描述问题。
3.策略选择和评估：要选择一个最优的策略，需要在模型的基础上进行评估，包括确定哪个方案更优等。
4.内容不断完善：在初步模型的基础上，不断加深对问题的理解，以逐步提高模型描述问题的准确度和逼真度。
5.模型的验证和验证：要验证模型，需要将模型应用到一些简单问题中，如比较不同方案的结果，并比较模型结果与实际情况。
总之，数学建模是一种复杂的、长期的、有启发性的过程，它要求从一个模糊的、自由的问题开始，通过有计划、有方法的工作，构建出一个能够解决实际问题的数学模型。
建立数学模型的一般方法
建立数学模型的一般方法数学建模的一般方法如下：1.确定问题：首先，我们需要清楚地描述问题，并确保对问题有全面的理解。
我们需要收集相关数据、了解约束条件，并明确预期结果。
2.邀约模型：在确定问题之后，我们需要确定所要建立的模型类型。
数学模型可以分为确定性模型和随机模型。
确定性模型基于确定的数据和规则进行分析，而随机模型考虑到不确定性因素。
另外，模型可以是静态的（只考虑时刻的瞬时状态）或动态的（时间的连续变化）。
3.收集数据：进行建模所需的数据是非常重要的。
根据问题的类型，我们可以使用实验数据、统计数据或其他相关数据集。
数据的有效性和可靠性对模型的精确性和可靠性至关重要。
4.假设条件：在建立数学模型时，我们需要定义适当的假设条件。
这些假设可以简化问题，提高模型的可解性。
假设条件应该基于先前的经验和合理的逻辑。
5.建立数学表达式：根据问题的特点，我们可以选择适当的数学工具和技术来建立数学表达式。
这可能包括代数方程、微分方程、概率分布、优化函数等。
我们需要理解问题的关键因素，构建变量、参数和约束条件，并将其转化为数学方程或方程组。
6.解决数学模型：一旦数学模型建立完毕，我们可以使用数学方法来解决模型。
这可能包括分析性解、数值解或仿真方法。
根据问题的复杂性，我们可以使用数学软件或计算机编程来进行计算和分析。
7.验证和修正模型：建立模型后，需要验证模型的准确性和可靠性。
我们可以使用实验数据或其他观测数据来验证模型的预测结果。
如果发现模型在一些方面存在问题，我们需要进行修正或调整以提高模型的准确性。
8.预测和解释结果：通过使用已建立并验证的数学模型，我们可以预测未来情况并解释模型的结果。
这有助于理解问题的根本原因、寻找解决方案并做出决策。
9.敏感性分析和优化：在建立数学模型的过程中，我们还可以进行敏感性分析和优化。
敏感性分析用于评估模型输出对输入参数的敏感性，有助于了解问题的关键驱动因素。
优化技术可以帮助我们在给定的约束条件下找到最佳解决方案。
数学建模中的问题拆解与模型构建
数学建模中的问题拆解与模型构建引言：数学建模是一门综合性强、应用广泛的学科，它通过数学方法和技巧，将实际问题抽象为数学模型，并通过模型的分析和求解，为问题提供合理的解决方案。
而问题拆解和模型构建是数学建模的重要环节，本文将从这两个方面展开讨论。
一、问题拆解问题拆解是指将一个复杂的实际问题拆解为若干个相对简单的子问题，从而更好地理解和解决问题。
在数学建模中，问题拆解是解决复杂问题的关键步骤，它能够帮助我们深入分析问题的本质，找到问题的关键因素。
问题拆解的方法多种多样，下面以一个实际例子进行说明。
假设我们要解决一个城市交通拥堵问题，我们可以将问题拆解为以下几个子问题：交通流量分析、道路网络优化、交通信号控制等。
这样一来，我们可以分别对每个子问题进行研究和分析，然后再将各个子问题的解决方案综合起来，从而得到整体的解决方案。
问题拆解的好处是明确化问题的目标和约束条件，有助于我们更加系统地思考问题，并且能够将问题分解为更小的部分，使得问题的求解更加可行和有效。
二、模型构建模型构建是指根据实际问题的特点和需求，选择合适的数学模型来描述问题，并进行模型的建立和求解。
模型构建是数学建模的核心环节，它直接决定了问题的求解效果和可行性。
在模型构建中，我们需要考虑以下几个方面：问题的目标函数、约束条件、变量的定义和取值范围等。
通过合理地选择和定义这些要素，我们可以建立起一个合理、准确的数学模型。
模型的选择和建立涉及到数学知识的应用，需要根据实际问题的特点和需求，选择合适的数学方法和技巧。
常见的数学方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、图论等，我们需要根据具体情况选择最适合的方法来构建模型。
模型的求解是模型构建的最后一步，通过数学方法和计算机技术，我们可以对模型进行求解，得到问题的最优解或者近似解。
模型的求解可以使用数值方法、符号计算方法、优化算法等，我们需要根据模型的特点和求解的要求选择合适的方法。
三、问题拆解与模型构建的关系问题拆解和模型构建是紧密相关的，它们相互依赖、相互促进。
如何建立数学模型
如何建立数学模型建立数学模型是指将实际问题抽象化，通过数学语言和符号来描述和解决问题的过程。
数学模型的建立可以帮助我们更好地理解问题的本质，分析问题的规律，预测问题的结果，以及优化问题的解决方案。
以下是建立数学模型的一般步骤和方法。
一、明确问题：首先，需要明确所要解决的问题以及问题所涉及的背景和条件。
确保对问题的理解准确明确，同时将问题与数学建模相结合。
二、问题建模：1.确定变量：将问题中涉及的各种因素抽象为数学模型中的变量。
变量可以是数值、时间、物理量等，具体根据问题的特点进行确定。
2.建立关系：确定各个变量之间的关系，包括线性关系、非线性关系、概率关系等。
可以通过实际观测数据、统计分析等方法来确定变量之间的关系。
3.建立约束条件：确定对变量的约束条件，包括等式约束、不等式约束等。
这些约束条件可以是问题中固有的限制，也可以是为了使得模型更加逼真和实际而添加的额外限制条件。
三、数学描述：1.建立数学方程：将问题中的各个变量之间的关系用数学方程来表示。
可以根据问题的特点选择合适的数学公式和方程，如线性方程组、非线性方程、微分方程等。
2.建立目标函数：如果问题是优化问题，需要建立一个目标函数，该函数描述了所要优化的目标以及变量之间的关系。
目标函数可以是最大化、最小化或者使得一些条件满足的函数。
四、求解模型：建立完数学模型后，可以通过数学方法来求解模型。
具体的求解方法根据模型的特点和问题的要求而定，例如数值计算、迭代方法、优化算法等。
求解模型的目的是得到模型的解或近似解，以用于问题的研究和应用。
五、模型验证：对建立的数学模型进行验证是非常重要的。
通过将模型的解与实际数据进行比较，或者进行模拟实验来验证模型的有效性和准确性。
如果模型的结果与实际情况相符合或者较为接近，那么该模型可以被认为是有效的。
六、模型分析和应用：对于建立的数学模型，可以进行进一步的分析和应用。
例如，可以通过灵敏度分析，研究模型对于初始条件和参数变化的敏感度；通过稳定性分析，研究模型在不同情况下的行为；通过模型的推广和延伸，应用于解决其他类似问题等。
第二讲：数学建模的基本方法和步骤
简述数学建模的主要过程
简述数学建模的主要过程数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并运用数学方法解决问题的过程。
主要包括问题的确定、模型的建立、模型的求解和模型的检验与应用等几个步骤。
首先，数学建模的第一步是问题的确定。
在这一步骤中，需要明确问题的背景和目标，并对问题进行合理的界定。
需要了解问题所处的环境和条件，确定问题的限制和约束，明确问题需要解决的准确目标。
这步是数学建模的基础，直接影响整个建模过程的质量。
接下来，数学建模的第二步是模型的建立。
在这一步骤中，需要根据问题的特点和要求，选择合适的数学工具和方法，将实际问题抽象成一个数学模型。
模型的建立需要从多个方面考虑，包括问题中的变量、因素之间的关系、相互作用效应等。
常用的模型包括数学方程模型、优化模型、控制模型等。
模型的建立需要根据实际情况进行合理的简化和假设。
首先，需要确定模型的输入和输出变量，并建立它们之间的关系。
其次，需要确定模型中的参数和初始条件，并对其进行估计和设定。
再次，需要根据问题的性质和目标，选择适合的数学方法和算法，对模型进行求解。
然后，数学建模的第三步是模型的求解。
在这一步骤中，需要通过数学计算和分析方法，对建立的数学模型进行求解。
常用的求解方法包括数值求解方法、解析求解方法和优化算法等。
数值求解方法是通过计算机进行数值计算的方法，主要包括差分法、有限元法、动态规划等。
解析求解方法是通过数学分析的方法，推导出问题的解析表达式，然后计算解析解。
优化算法是通过寻找能够使目标函数达到最优值的参数组合的方法，包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
在模型求解过程中，可能会出现数值不稳定、收敛困难等问题，需要不断调整和改进算法，以获得更为准确的结果。
模型求解时还需要考虑实际问题的特点，如随机性、不确定性等，并给出相应的策略和控制手段。
最后，数学建模的第四步是模型的检验与应用。
在这一步骤中，需要对求解得到的模型进行验证和检验，看是否符合实际情况，并进行合理性和可行性的评估。
数学中的数学模型建立
数学中的数学模型建立在数学领域中，数学模型被广泛应用于解决各种实际问题。
通过建立数学模型，我们能够简化真实世界的复杂情况，将其转化为数学问题，并通过分析和计算来获得预测结果。
本文将介绍数学中的数学模型建立的基本方法和应用领域。
一、数学模型的基本构成1.问题的抽象化在建立数学模型之前，首先需要对待解问题进行抽象化。
抽象化是将实际问题中的关键要素提取出来，并将其转化为数学符号和表达式。
通过这种方式，我们可以将复杂的问题简化为数学问题。
2.建立数学表达式在数学模型中，数学表达式是非常重要的部分。
数学表达式可以用来描述问题的特性、关系和约束条件。
常见的数学表达式包括方程、不等式、函数等。
通过合理选择和构建数学表达式，可以准确地刻画问题的本质和特点。
3.参数的确定数学模型中的参数是指那些在问题求解过程中需要给定的常量或变量。
参数的确定对于模型的有效性和准确性有重要影响。
参数的选择需要考虑实际问题的特点和要求，并通过实验、观察或数据分析等手段来确定。
4.模型的求解建立数学模型后，我们需要对模型进行求解，以获得问题的解答或预测结果。
模型的求解可以采用不同的方法，例如解析解、数值解或模拟仿真等。
根据问题的特点和要求，选择合适的求解方法对于模型的成功应用至关重要。
二、数学模型的应用领域1.物理学领域中的数学模型物理学是最早采用数学模型进行研究的学科之一。
在物理学中，很多现象都可以通过数学模型进行描述和解释。
例如，牛顿的力学定律可以通过建立动力学方程来描述；热传导现象可以通过建立热传导方程来描述。
数学模型在物理学中的应用不仅扩展了我们对自然世界的认识，也为科学技术的发展提供了重要的支持。
2.生物学领域中的数学模型生物学是研究生命现象和生物系统的学科，也离不开数学模型的应用。
生物学中的数学模型可以用来研究生物体的生长、繁殖、迁徙等行为，以及生物系统的动力学特性。
例如，建立动力学方程可以帮助我们理解种群数量的变化规律；建立生物过程的数学模型可以用来预测疾病的传播和控制。
数学建模的基本思路与方法
数学建模的基本思路与方法数学建模是一种通过数学模型来描述和解决实际问题的方法，它在现代科学研究和工程实践中具有重要的地位和作用。
本文将介绍数学建模的基本思路和方法，帮助读者了解和掌握这一重要工具。
一、问题定义在进行数学建模之前，首先需要明确和定义问题。
问题定义的准确性和清晰性对于后续的建模过程至关重要。
在明确问题的基础上，可以进一步分析问题的相关因素和要求，并确定解决问题所需要的变量和参数。
二、建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心环节。
在建立模型时，我们需要根据具体问题选择合适的数学方法和理论，并使用数学语言对问题进行抽象和描述。
常用的数学方法包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等。
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，并得到具体的数学表达式。
三、模型求解在建立数学模型后，需要进行模型求解来获得问题的解答。
模型求解可以利用数值方法、符号计算方法或优化方法等不同的技术手段。
对于复杂的数学模型，可能需要借助计算机和数值模拟来进行求解。
通过模型求解，可以得到对于实际问题的数学描述和定量分析。
四、模型验证和评估模型验证和评估是数学建模过程中的重要环节。
在模型验证中，需要将数学模型的结果与实际数据进行比较，判断模型的准确性和适用性。
评估模型的优劣可以通过不同的指标和方法进行，例如误差分析、灵敏度分析、鲁棒性分析等。
通过模型验证和评估，可以评估模型的可信度和可靠性。
五、模型应用和推广在模型验证通过后，可以将数学模型应用到实际问题中，并进行推广和应用。
数学模型可以帮助我们理解和解决实际问题，优化决策和资源配置。
通过模型的应用和推广，可以进一步完善和改进模型，提高模型的预测和分析能力。
综上所述，数学建模是一种解决实际问题的有效工具，它不仅能够帮助我们理解问题的本质和机理，还可以为决策和规划提供科学的依据。
通过明确问题、建立模型、模型求解、模型验证和评估以及模型应用和推广等步骤，我们可以合理有效地进行数学建模工作。
数学建模的几个过程
数学建模的几个过程数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通常包括四个基本过程：问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。
下面将详细介绍这四个过程。
一、问题建模：问题建模是数学建模的第一步，其目的是明确问题的具体解决要求和限制条件。
具体步骤如下：1.问题描述：对问题进行全面准确的描述，了解问题的背景、目标和约束条件。
2.数据收集与处理：收集和整理与问题相关的数据，并进行必要的处理和分析，以便后续建模和求解。
3.确定目标函数与约束条件：明确问题的目标和约束条件，将其转化为数学表达式。
二、模型建立：模型建立是数学建模的核心过程，其目的是将问题转化为数学形式。
具体步骤如下：1.建立模型的数学描述：根据问题的特点和要求，选取适当的数学方法，将问题进行数学化描述。
2.假设与简化：对问题进行适度的简化和假设，以降低问题的复杂性和求解难度。
3.变量定义和量纲分析：明确定义模型中的各个变量和参数，并进行量纲分析和归一化处理，以确保模型的合理性和可靠性。
三、模型求解：模型求解是对建立的数学模型进行求解，以得到问题的解答。
具体步骤如下：1.求解方法选择：根据模型的特点和求解要求，选择适当的数学方法进行求解，如解析解法、数值解法、近似解法等。
2.模型编程与计算：对所选的求解方法进行程序设计和算法实现，利用计算机进行模型求解，得到问题的数值解。
3.求解结果分析与解释：对求解结果进行分析和解释，解释结果的含义和对问题的解答进行验证。
四、模型验证：模型验证是对建立的数学模型进行验证和评估，以确定模型的合理性和可靠性。
1.合理性检验：对模型的假设和简化进行合理性的检验，检查是否存在明显的偏差和不合理的结果。
2.稳定性与敏感性分析：对模型的稳定性和敏感性进行分析，研究模型对参数变化和扰动的响应情况。
3.模型与数据的拟合度：比较模型的预测结果与实际观测数据之间的拟合度，评估模型对实际问题的适用性。
综上所述，数学建模的主要过程包括问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。
数学建模中的模型构建方法及其应用
数学建模中的模型构建方法及其应用数学建模是将现实世界中的问题用数学语言描述，建立数学模型并通过计算机仿真、数值分析等方法进行求解的过程。
在实际应用中，模型的构建方法是数学建模成功的关键因素之一。
本文将从模型定义、模型构建方法、模型应用等方面对数学建模中的模型构建方法进行探讨。
一、模型定义模型是对于某一个事物或系统的一种抽象的描述。
模型具有以下几个特征：1.抽象性：模型是对于问题实体或对象的简化和抽象，略去了问题实体或对象的一些细节和复杂性。
2.现实性：模型要反映出问题实体或对象的存在、行为和变化，与实际问题相关。
3.可计算性：模型要具有可计算性，即能用数学方法加以处理求解。
4.适用性：模型要适用于某种具体问题，并具有推广应用价值。
二、模型构建方法1.数理统计方法：利用概率论和统计学原理，对研究对象进行观测、测量，并进行数据处理和分析，建立相应的统计模型。
2.数学分析方法：利用微积分、代数、几何等数学工具，对问题进行建模和分析。
3.数值计算方法：通过数学模型的离散化，利用数值方法进行求解，如差分方法、积分方法等。
4.系统分析方法：将问题分解成不同层次的子系统，分析、设计、优化和协调子系统之间的关系，建立数学模型求解。
5.最优化方法：在模型约束条件下寻求最优解，如线性规划、整数规划等。
6.模糊数学方法：用模糊集、模糊逻辑等方法对不确定性的问题进行建模和分析，比如模糊多目标规划、模糊决策等。
三、模型应用1.教育领域：在课程设计和教学改革中，利用数学建模帮助学生更好地理解和掌握知识，培养创新精神和独立思考能力。
2.经济领域：通过建立经济模型，对宏观经济走势、市场供求关系、企业经营策略等进行预测和优化，为决策者提供科学依据。
3.环境领域：基于环境污染、生态平衡等问题建立数学模型，分析、预测、评估环境影响，为环境管理提供技术支持。
4.医学领域：利用数学模型分析和预测病原体传染病、药物代谢等问题，推进医学科学研究。
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法有以下几种常用的方法：
1. 数学优化模型：通过建立一个目标函数和一系列约束条件来描述问题，并利用数学优化方法寻找使目标函数最优的解。
2. 方程模型：将问题转化为一组方程或不等式，利用数学方法求解得到结果。
3. 统计模型：基于一定的统计原理和假设，利用统计方法来分析和预测数据、进行参数估计和假设检验等。
4. 动态模型：将问题看作是一个动态的过程，并建立一套描述系统演化过程的方程组，以预测未来状态和行为。
5. 分段模型：将系统划分为多个不同的阶段或状态，并对每个阶段或状态建立适当的模型，再通过合并各个模型的结果来得到整体的解析。
6. 离散模型：将问题中的连续变量离散化为一组有限的状态或取值，并用状态转移矩阵或概率分布描述变量之间的关系和演化规律。
7. 系统动力学模型：基于对系统结构和行为的理解，建立一系列动态方程来描述系统各种因素之间的相互作用和演化过程。
8. 随机过程模型：用概率论和随机过程理论来描述系统的不确定性和随机性，并对系统的平均行为和波动性进行分析和预测。
以上仅是一些常用的数学建模方法，实际建模过程中可以根据具体问题的特点选择合适的建模方法，或者结合多种方法进行综合建模。
数学中的模型建立与验证
数学中的模型建立与验证数学作为一门科学，不仅仅是数的运算和计算，更体现于其广泛的应用。
而在数学的应用领域中，模型建立与验证是一项重要的工作。
本文将从模型的建立和验证两个方面进行讨论，探讨其在数学中的重要性以及应用。
一、模型的建立在数学中，模型是对现实世界的一种简化和抽象，它用数学符号和方程来描述和解释观察到的现象和问题。
模型的建立是将实际问题转化为数学问题的关键步骤。
1、确定问题的目标和范围在建立模型之前，首先需要明确问题的目标和范围。
例如，如果我们要研究一个物理系统的运动规律，我们需要明确所关注的物理量、系统的初始条件以及所要求解的方程。
2、收集数据和信息建立模型需要大量的数据和信息支持。
通过实验、观察、调查等手段收集和整理相关的数据和信息，这些数据和信息可以是定量的，也可以是定性的。
3、选择合适的数学工具和方法根据问题的性质和要求，选择合适的数学工具和方法进行分析和处理。
例如，如果是动力学问题，可以使用微积分和微分方程；如果是优化问题，可以使用线性规划和非线性规划等。
4、建立数学模型通过运用所选的数学工具和方法，将问题转化为数学方程或不等式的形式，建立起数学模型。
数学模型应能准确地反映问题的本质和实质，具有一定的普遍性和适用性。
二、模型的验证模型的验证是指通过实验、观察或其他手段来检验数学模型的正确性和可靠性。
模型的验证是模型建立的重要环节，它旨在验证模型的预测能力和适应性，以及检查模型的假设和推论是否与实际相符。
1、实验数据的对比分析对于某些具体的问题，可以进行实际的实验或采集现场数据，与所建立的模型进行对比分析。
如果模型的预测结果与实验数据吻合较好，那么可以认为该模型得到了一定的验证。
2、验证指标的选择在模型验证中，需要选择适当的指标来衡量模型的准确性和可行性。
指标的选择应当与问题的本质和要求相一致，具有科学性和合理性。
3、灵敏度分析和参数调整对于参数较多的复杂模型，可以通过灵敏度分析和参数调整来进一步验证模型。
数学建模中的模型建立与求解
数学建模中的模型建立与求解数学建模是一种通过数学模型描述和解决实际问题的方法，它在各个领域具有重要应用。
在数学建模过程中，模型的建立和求解是关键步骤，决定了最终的分析和预测结果。
本文将探讨数学建模中的模型建立与求解的方法和技巧。
一、模型建立模型建立是数学建模的基础，它要求根据实际问题的特点和背景进行合理的抽象和假设，将复杂的实际问题转化为易于处理的数学形式。
模型的建立需要遵循以下原则：1. 简化与拟合：模型应该尽可能简化实际问题，将其关键特点和变量进行提取和抽象。
同时，模型也需要与实际数据进行拟合，以确保模型的准确性和可靠性。
2. 合理性与可验证性：模型的建立应该基于科学的理论和推理，避免主观臆断和不合理的假设。
模型也需要通过实际数据和实验进行验证，确保其能够准确地描述和预测实际问题。
3. 可操作性与实用性：模型的建立需要考虑其可操作性和实用性，以便能够得到实际问题的解决方案。
模型应该能够提供可行的策略和可靠的结果，帮助决策者做出正确的决策。
二、模型求解模型求解是数学建模的核心，它要求通过数学的方法和工具对模型进行求解，并得到实际问题的答案和解决方案。
在模型求解的过程中，可以采用多种方法和技巧，包括数值方法、优化方法和统计方法等。
1. 数值方法：数值方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数值计算和近似算法来求解复杂的数学模型。
数值方法的优点是求解速度快，适用范围广，但精度相对较低。
常用的数值方法包括数值积分、数值逼近和数值解微分方程等。
2. 优化方法：优化方法是模型求解中常用的方法之一，它通过优化算法和数学规划来求解最优化问题。
优化方法的优点是能够得到全局最优解或近似最优解，但求解复杂度较高。
常用的优化方法包括线性规划、非线性规划和整数规划等。
3. 统计方法：统计方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数据分析和概率统计来求解和预测实际问题。
统计方法的优点是能够考虑不确定性和随机性因素，但需要依赖大量的实际数据。
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类[学习目标]1.能表述建立数学模型的方法、步骤；2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；3.能表述数学建模的分类；4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；5.培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱〞系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为根底运用统计分析方法，按照事先确定的准那么在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。
这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。
即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。
那么应该以机理分析方法为主．当然,假设需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理根本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，那么可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示．图16-5 建模步骤示意图模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能无视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或局部失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于区分问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出条件那样．模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原那么是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．模型分析对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时那么可能要给出数学上的最优决策或控制，不管哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比拟，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者局部不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．模型应用应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是本书讨论的范围。
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数学建模期中作业姓名：赵*学号：************ 班级：信计08-1工厂升级方案的优化模型摘要：随着科学技术的飞速发展，各种产品日新月异，工厂面临着提高产品科技含量和优化改革方案的双重挑战。
本文讨论工厂升级的优化问题，即分配各工厂的升级以使公司获得最大的利润，需要对其建立模型并借助LINGO软件对非线性规划问题进行了求解，通过比较利润最大值和收益率得出了两个方案的优劣性并在此基础上给出一个更好的提案。
关键词：工厂升级、优化、非线性规划、目标函数、约束条件问题重述：某公司所属的高新技术研究所开发了一种新的产品W200X，该公司现有三个工厂，都生产普通的产品W100X。
公司计划将现有工厂升级，升级后的工厂将能产生W100X和W200X其中A1离该公司的研究所最近，A2是最新最大的工厂。
升级过程需要一周，在此期间，工厂将停产。
该公司在过去的几个月进行了市场调研，W100X现有的批发价为400元。
预测每种产品一个月的需求量随价格变换的数据：工人的工资是45元/小时。
工厂一星期做工40小时。
工人数为固定数值。
W100X的零件成本40元，需1.5小时工作量；W200X的零件成本为64元，需1.75小时工作量；每个W100X产品需要两个老芯片，每个W200X产品需要两个新芯片，该公司提供芯片的生产方程为：公司老板要求：两位副总裁分别提出了方案1，方案2，如下：方案1：只让A1工厂升级，只生产新产品W200X；方案2：所有工厂都升级，可生产两种产品。
要求：（1）研究每一种方案，包括你自己的一个提案，总裁希望基于你的研究推出一个最好的方案，他非常非货币损失和利益。
（2）问题陈述，方案的模型和分析，寻求最佳方案的方法，结果的分析。
（3）下个月第几个工厂升级，每种产品的产量和定价。
问题分析：题目给出了某公司三个工厂的人数，升级费用，以及对所生产产品的市场调查。
对与工厂如何升级，题目分别给出了两套方案，并要求用作对比。
考虑到产品的市场批发价与市场需求量有着必然的关系，我们考虑首先将两种产品的市场批发价与需求量数据进行三次曲线拟合得到市场价与需求量的函数关系。
建立模型，将纯利润作为目标函数，对于拟合曲线，当价格很高时市场需求量便降到很低的水平，显然这是不合理的，于是我们将价格水平限制在一个比较合理的水平作为一个约束条件。
又生产产品数量不大于市场需求量，生产产品数量不大与工厂的生产水平等，我们就可以建立一个完整的非线性规划了。
符号说明：Y2：W100X 产品的批发价格。
Y1：W200X产品的批发价格。
X4：A1工厂生产W100X 产品的数量。
X1：A1工厂生产W200X产品的数量。
X2：A2工厂生产W100X 产品的数量。
X5：A2工厂生产W200X 产品的数量。
X3：A3工厂生产W100X 产品的数量。
X6：A3工厂生产W200X 产品的数量。
Mi: Ai工厂升级与否。
模型假设：1.假设价格与需求量之间的关系稳定。
2.假设每月按四星期计算。
3.假设工厂升级为1，不升级为0。
模型建立与求解：方案1的模型建立与求解：假设A1工厂升级当月生产X1件W200X 产品，价格为y1 ; A2工厂和A3工厂每月生产(X2+X3) 件W100X 产品，价格为y2 。
则升级当月的总收入为：X1*y1+(X2+X3)*y2升级当月总支出为：100000+45*X1*1.75+(X2+X3)*1.5*45+(X2+X3)*40+64*X1目标函数：总收入-总支出约束条件如下：（1）该公司提供芯片的总数不超过最大值10万个，即16*(x2+x3)+6*x1≤100000。
（2）A1工厂生产W200X 产品的工作时不超过3600小时，即1.75*X1≤3600。
（3）A2 工厂生产W100X 产品的工作时不超过6400小时，即1.5*X2≤6400。
（4）A3工厂生产W100X 产品的工作时不超过9600小时，即1.5*X3≤9600。
（5）W100X 产品的价格与需求量满足的变化规律，y2≥240; y2≤800;x2+x3≤15630-2688*y2^(1/2)+6724*y2^(1/3);（6）W200X 产品的价格与需求量满足的变化规律，y1 ≥400; y1 ≤1200;x1 ≤178500+7383*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3);（7）所有决策变量为非负。
综合以上分析，建立的数学模型如下：max x1*y1+(x2+x3)*y2-100000-45*x1*1.75-(x2+x3)*1.5*45-(x2+x3)*40-64*x1 S.T 16*(x2+x3)+6*x1 1000001.75*x1 36001.5*x2 64001.5*x3 ≤≤≤≤9600y2 240y2 800y1 400y1 1200x1 178500+7383*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3)x2+x3 15630-2688*y2^(1/2)+6724≥≤≥≤≤≤*y2^(1/3) xi 0 yj 0 i=1,2,3 j=1,2⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥≥⎩ 由LINGO 软件解得：Local optimal solution found at iteration: 226252Objective value: 5014751.Variable Value Reduced Cost X1 2057.000 -1057.250Y1 1200.000 0.000000X2 3594.000 -297.5196X3 1884.000 -297.5196Y2 644.1900 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 5014751. 1.0000002 10.00000 0.0000003 0.2500000 0.0000004 1009.000 0.0000005 6774.000 0.0000006 404.1900 0.0000007 155.8100 0.0000008 800.0000 0.0000009 0.000000 2057.00010 545.7114 0.00000011 -0.3879980E-04 239.1704方案2的模型建立与求解：假设A1工厂、A2 工厂和 A3工厂升级当月生产X1 、X5、X6 件W200X 产品，价格为y1 。
A1工厂、A2 工厂和 A3工厂升级当月生产X2 、X3、x4 件 W100X 产品，价格为y2 。
则升级当月的总收入为：(x1+x5+x6)*y1+(X2+X3+x4)*y2升级当月总支出为：475000+45*(x1+x5+x6)*1.75+(X2+X3+x4)*1.5*45+(X2+X3+x4)*40+64*(x1+x5+x6) 目标函数：总收入-总支出约束条件如下：（1）该公司提供芯片的总数不超过最大值 ，即16*(X2+X3+x4)+6*(x1+x5+x6)≤100000 。
（2）A1工厂生产W200X 产品和W100X 产品的工作时不超过4800小，即1.75*X1+1.5*x4 ≤3600 。
（3）A2 工厂生产W200X 产品和W100X 产品的工作时不超过6400小时，即1.5*X2 +1.75*x5≤4800。
（4）A3工厂生产W200X 产品和W100X 产品的工作时不超过9600小时，即1.5*X3+1.75*x6 ≤7200 。
（5）W100X 产品的价格与需求量满足的变化规律，y2 ≥240; y2 ≤800;x2+x3+x4 ≤15630-2688*y2^(1/2)+6724*y2^(1/3);（6）W200X 产品的价格与需求量满足的变化规律，y1 ≥400; y1 ≤1200;(x1+x5+x6) ≤178500+7383*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3);（7）所有决策变量为非负。
综合以上分析，建立的数学模型如下：MAX (x1+x5+x6)*y1+(x2+x3+x4)*y2-47.5e+004-(x1+x5+x6)*1.75*45-(x2+x3+x4)*1.5*45-(x2+x3+x4)*40-(x1+x5+x6)*64S.T 16*(x2+x3+x4)+6*(x1+x5+x6)100000 1.75*x1+1.5*x43600 1.5*x ≤≤2+1.75*x548001.5*x3+1.75*x67200 y2240 y2800y1400 y11200x1+x5+x6178500+7383*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3) x2+x3+x415630-2≤≤≥≤≥≤≤≤688*y2^(1/2)+6724*y2^(1/3) xi 0 yj 0 i=1,2,3,4,5 ,6 j=1,2;⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥≥⎩由LINGO软件解得：Local optimal solution found at iteration: 3954Objective value: 6736364.Variable Value Reduced CostX1 372.0000 0.000000X5 2478.000 0.000000X6 3030.000 0.000000Y1 994.1869 0.000000X2 309.0000 -0.1968419X3 1265.000 -0.1968432X4 1966.000 -0.1968494Y2 730.3574 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 6736364. 1.0000002 8080.000 0.0000003 0.000000 308.29564 0.000000 308.29565 0.000000 308.29566 490.3574 0.0000007 69.64260 0.0000008 594.1869 0.0000009 205.8131 0.00000010 0.000000 311.919611 0.000000 160.2172综合以上分析可知：方案2比方案1的总收入大，故方案2优于方案1；但方案2的收益率却没有方案1的高。
在这两个方案的基础上给出一个更好的提案如下：假设A1工厂升级当月生产(m1*s1+(1-m1)*r1) 件W100X 产品，价格为y2 ; A2工厂升级当月生产(m2*s2+(1-m2)*r2) 件W100X 产品，价格为y2 ; A3工厂升级当月生产(m3*s3+(1-m3)*r3) 件W100X 产品，价格为y2 ; A1工厂、A2工厂和A3 工厂升级当月生产t1 、t2、t3 件W200X产品，价格为y1 。