第二章 第八节 函数与方程及应用

核心 素养
素养 形成
数学 抽象
逻辑 推理
☆
数学 数学 直观 数据 建模 运算 想象 分析
☆
存在性及根的个数． (2)根据具体函数的图 象，能够用二分法求
考查 角度
主要通过函数的零点问题考查逻 辑推理和数学运算能力.
相应方程的近似解．
考纲考情
素养形成
2．函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函 数以及幂函数的增长特 征．知道直线上升、指数 增长、对数增长等不同函
渐表现为与 逐渐表现为
y 轴 平行
与 x 轴 平行
随 n 值变化而 各有不同
值的比较 存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
5．几种常见的函数模型
3.若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b) ＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点.
知识衍化体 验
考点聚焦突 破
[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
【知识拓展】 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多 有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同 号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能 不变号．
4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2
B．y＝12(x2－1)
C．y＝log2x
D．y＝
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B.
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
@《创新设计》
函数的零点是高中数学重要内容之一，也是新课程高考的一大亮点 和热点.诸如方程的根的问题、存在性问题与交点问题等都可以转化为零 点问题进行处理.近几年高考中频频出现零点问题，形式逐渐多样化，但 与函数、导数知识密不可分.以下讨论关于函数零点的若干求解方法.
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
与 x 轴的交点 零点个数
(x1,0)， (x2,0) 两个
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
3．函数 f(x)＝3x＋x2－2 的零点个数为( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
由 f(－1)＝e－1－1<0，f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e－1－2＝e －3<0，f(2)＝e2－4>0，f(3)＝e3－5>0，可得到 f(1)·f(2)<0， 所以函数 f(x)＝ex－x－2(e≈2.72)在区间(1,2)内至少有一个 零点．故选 A.
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数， a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数模型 幂函数模型
f(x)＝blogax＋c (a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0)
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
4．若函数 f(x)＝ax＋1 在区间(－1,1) 上存在一个零点，则实数 a 的取值 范围是( C ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
由 题 意 知 ， f( － 1)·f(1)<0， 即(1－a)(1＋a)<0，解 得 a<－1 或 a>1.
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题纠偏
重温教材 自查自纠
1．函数 f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为_－___2_， ____2_，__1_,2_．
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
由题意可得 y＝00..54xx， ＋01<0， x≤x>11000， 0.
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验
数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据
的规律，其中最接近的一个是( B )
x 1.992 3
[主干知识·自主梳理]
小题纠偏
重温教材 自查自纠
2．给出下列命题： ①函数 f(x)＝x2－1 的零点是(－1,0)和(1,0)； ②函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 一定有 f(a)·f(b)＜0； ③二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac＜0 时没有零点； ④若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a， b]上有且只有一个零点． 其中正确的是__③ __④ ____(填序号)．
(x1,0) 一个
无交点 零个
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝logax (a＞1)
在(0，＋∞) 上的增减性
单调 递增
单调 递增
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
2．函数 f(x)＝ex－x－2(e≈2.72)的一个零点所在的区间是
( A) A．(1,2)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(2,3)
[主干知识·自主梳理]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
@《创新设计》
[常用结论与易错提醒] 1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点). 2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示.
所以f(a)·f(b)＜0是图象连续的函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不 必要条件.
核心 素养
素养 形成
数学 抽象
逻辑 推理
☆
数学 数学 直观 数据 建模 运算 想象 分析
☆
数类型增长的含义．
(2)了解函数模型(如指数 函数、对数函数、幂函数、 考查 主要通过函数的零点问题考查逻辑推理
分段函数等在社会生活 角度 和数学运算能力.
中普遍使用的函数模型)
的广泛应用.
ZHISHISHULI
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
导师提醒
1．掌握求解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选
择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号
第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程及应用
C 目录 ONTENTS
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] [创新考点·素养形成] 4 课时作业
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
考纲考情
素养形成
1.函数与方程 (1)结合二次函数的图 象，了解函数的零点 与方程根的联系，判 断一元二次方程根的
增长速度
越来越快
越来越慢
y＝xn(n＞0) 单调 递增 相对平稳
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝logax (a＞1)
y＝xn(n＞0)
图象的变化
随 x 的增大逐 随 x 的增大
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
函数 f(x)＝3x＋x2－2 的零点个数即函数 y＝3x 与函数 y＝2－ x2 的图象的交点个数，由图象(图略)易知交点个数为 2，则 f(x)＝3x＋x2－2 的零点个数为 2，故选 C.
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
时 穿 过 x 轴 ， 则 称 这 样 的 零 点 为 变号零点
.
[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
3、函数的零点与方程的根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔ 函数 y＝f(x)有 零点 ．
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
5．已知函数 f(x)＝3x＋ 2 1＋a 的零点 为 1，则实数 a 的值为___－__12___．
由已知得 f(1)＝0，即 31＋ 2 1＋a＝0，解得 a ＝－12.
知识梳理
1.函数的零点 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0 ，则α叫
做这个函数的零点.
2.零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点 处的 函数值异号 ，即 f(a)f(b)<0 ，则这个函数在这个区间上，至少有
一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
6．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0.5 元/km，如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元)与行程千米数 x(km)之间的函数关系式是_y_＝___00_..54_xx_， ＋ __01_<0_， x_≤ _x_>1_01_00_0， __．
语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
[主干知识·自主梳理]
[考点分类·深度剖析]
[创新考点·素养形成]
课时作业 首页 上页 下页 尾页
[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
2．关注解决函数应用问题应注意的 3 个易误点 (1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么， 还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)， 学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函 数解析式写错． (2)解应用题建模后一定要注意定义域． (3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
[主干知识·自主梳理]
重温教wk.baidu.com 自查自纠
1．函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)＝0 的根，也是函 数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标． 2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是 必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结 合函数图象．
[主干知识·自主梳理]