基于布朗运动的股价模拟方法的改进与实证分析(含代码)

基于布朗运动的股价模拟方法的改进与实证分析

摘要: 布朗运动是最常用来刻画金融变量价格，特别是股票价格运动的一种随机过程形式.本文在股票价格服从布朗运动的前提下，论述了股价的建立过程，并推导出模拟股价的公式，然后再对该公式的期望漂移率和波动率提出一改进求法，并通过MATLAB 对上海宝钢股票、中国联通股票的实证分析，并比较改进前后的股价模拟方法的有效性。

关键词：布朗运动 股价模拟 实证分析 MATLAB 改进

一、 布朗运动模拟股价的基本模型

1965年，保罗·萨缪尔首次提出连续时间股票模型：

t t t t dS =S t+S w μσ∆∆ (1)

其中t S 代表股票在t 时刻的股价，μ和σ分别称为期望漂移率和波动率，t w 是标准的布

运动. 在时间间隔Δt 内， t w ~N(0,t)∆∆)，又可写成t w ∆=~(0,1)N ε。式的左端表示的是股票的“瞬间收益率”，其均值为t μ∆，方差为2t σ∆，由于布朗运动的特性，股票的“瞬间收益率”是一个正态分布的随机变量.

方程（1）是一个随机微分方程（SDE ）, 假设股票的初始股价为0S ，则方程（1）的几何布朗运动解是：

20exp[(/2)]t t S S w u t σσ=+- (2)

则我们即可利用公式（2）来模拟下一时刻的股票价格。μ和σ是未知的，但是我们可以根据历史股价计算出来。 由方程（2）可得：

20ln()(2)t t S S w t σμσ=+- （3）

假设现在有在[0,T]时间段的股票价格，这段时间又由n 个相等的子区间t ∆组成。再假设在第i 个子区间末的股价为i S 。计算下列时间序列值：

121i ln()ln()(i i i i t t U S S w w dt σσμσ++=-=-+- （4）

将得到数值列123{,,}n U U U U U =，同时1

i i t t w w +-是一个正态变量，方差为t ∆，均

值为0。有则1

()~(0,)i i t t w w N t +-∆，也可以写成:

1()~(0,1)i i t t w w N ε+-=

方程（4）也就可以改写成：

()21exp(/2i i S S t μσ+=-∆ （5）

显然有

21

()4()(/2)n

i i E U U n E U t μσ===-∆∑ 又由方程（）得： （6）

()2

21

()()(1)4()n

i i D U U E U n D U t σ==--=∆∑ 又由方程（）知 （7）

联立方程（6）、（7）可解得：

(()()2)E U D U t μ=+∆

σ=

又因为E(U)和D(U)可由历史股价算得，那么μ和σ也就可以算出。

二、对布朗运动模拟股价的基本模型的改进

在方程（5），如果我们知道T 时刻的股价，就可以模拟T t +∆时的股价。这样以一个长期期望漂移率μ和波动率σ来模拟股票的方法就是较常用的布朗运动股价模拟。这种方法的使用前提是认为历史会重演的而且在一个较长的时期内期望漂移率μ和波动率

σ是不会太大变化。但现实中我们却不能单靠长期的均值来解决正在面临的问题，正如凯恩斯把经济社会比喻为一条航行于大海中的船的故事来讥讽当时的古典学者那样：当大海中的船遇到风暴，船上的人纷纷设法拯救船时，却有人说，不用担心，就长期的平均情况来看，大海终会风平浪静。

同样的，在模拟股票时，不能仅以长期的期望漂移率μ和波动率σ来决定现在的股票值，更应该考虑近期（最近一个月）因素的影响，即近期的期望漂移率'μ和波动率'σ。因此我们应该根据长期和近期的期望漂移率、波动率来确定一对更有效的期望漂移率1μ和波动率1σ来模拟股价运动。1μ、1σ的求解可以采取多种方法。

三、实证分析与模型检验

下面是对1μ、1σ的三种求解方法：

第一种方法，常用的布朗运动股价模拟方法，1μ、1σ直接用长期的期望漂移率μ和波动率σ代替。

第二种方法，改进的布朗运动股价模拟法之一， 1μ、1σ使用平均值法求解。

()()11'/2,'2μμμσσσ=-=-。平均值法虽然简单易行，效果却不是很好。

第三种方法， 改进的布朗运动股价模拟法之二，1μ、1σ求解步骤如下： （1）期望漂移率的加权计算

11/2'/(')q μμμμ=+-+

随着'μ相对μ的偏离程度不同，1q 取值会不同，则可以取 111(1)'q q μμμ=-+。 （2）波动率的加权计算

21/2'/'q σσσσ=+-+

随着'σ偏离σ的程度越大，2q 越大，反则反之，则可以取 122(1)'q q σσσ=-+。 通过上述方法可以得到三组不同的1μ、1σ。为了不失一般性，我们随机抽取两支股票进行实证分析，分别用三种方法模拟出它们未来30个交易日的收盘价。

首先，选取上海宝钢2009-5-4至2010-3-5连续206个交易日的收盘价进行股价模拟，而后根据模拟结果计算2010-3-5后的30个交易日的收盘价。

根据模拟股价变动图与实际股价变动图的相似度，来决定模拟出的股价，直到得出九组股价，并将其与实际股价比较（实际股价的平均股价是6.7307，均值偏差是0.09113，标准差是0.49916）。下面是比较结果：

由表1可知，方法三的模拟效果最好，其模拟股价与实际股价的平均相关系数最大，且股价平均值与实际的股价平均值相差最小，标准差也与实际股价标准差相差最小。而方法二的模拟股价与实际股价的相关系数比方法一的要高，但是其平均股价、平均偏差、标准差较实际股价偏离大，有效性不及方法一。因此方法三是最有效的。

由于在计算过程中参杂着随机变量，故而模拟结果的偶然性增加，因此如果只凭对一支股票进行分析模拟的结果而下结论有些唐突。所以我们再对中国联通2009-1-15至2010-4-15连续301个交易日的收盘价进行同样的模拟分析（实际股价的平均股价是5.5517，均值偏差是0.06310，标准差是0.34559），结果如下：