2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)

2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷

（2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30）

【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,,

,(1,)a a a ∈+∞，则

1210

1210

20092009

2009

2009log log log log

a a a

a a a +++的最小值是 。

2. 已知,*x y N ∈，且1

2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解

析式是y = 。

3. 已知函数2

()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。

4. 满足方程2

2

22

13log [2cos ()]2cos ()4

xy y y xy +

=-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2

[tan ]2sin x

x =的解是

。

6. 不等式22

3242x

x ≤⋅+⋅的解集是 。

7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2,

,2009}A =，集合L A ⊆，

且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。

8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题

9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意

,[0,1],x y x y ∈≤，都有22(

)(1)()()2

x y

f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。

10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2

214

x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN

这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P

11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的

子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++

+≤对一切

*k N ∈恒成立。记该数列若干连续项的和

1

j

p

p i a

=+∑为(,)S i j ，其中,*i j N ∈，且i j <。求

证：所有(,)S i j 构成的集合等于*N 。

答案：一、

1、100；

2、312x -；

3、(0,2)；

4、1

22

ππ∈（k +,）(k Z )

5、x k π=或(,)4

x l k l Z π

π=+

∈； 6、[0,4]； 7、1005； 8、960。

二、9、解：因为2101()()22f f a +==，2210112()()()422

f f a f a +

=== 222411

312()()(1)()(1)2422

f f a f a f a a +==-+=- 所以22641311344()()(1)()()232244

f f a f a f a a +

==-+=-+ 8分 由此得264

23a a a =-+，而01a <<

，所以2

a = 14分

10、解法一：(2,0)A ，将y 轴向右平移2个单位，使点A 成为新直角坐标系的原点，

在新坐标系下，双曲线的方程为

2

2('2)14

x y +-=，即224'4'0y x x --= (*) 若MN x ⊥轴，则1AM k =，即:'AM l y x =，代入（*）式可得44(,)33M ，进而44

(,)33

N -。

所以4(,0)3P ，则点P 在原坐标系中的坐标为10

(,0)3

。 5分

若MN 不垂直x 轴，设:'(0)MN l y kx t t =+≠，则'

1y kx t

-=，

于是（*）可以改写成22

'4'4'0y kx y x x t ---⋅=，即24()4()40''

y y t k t x x -+-=

该方程的两个根12,k k 既是,AM AN 的斜率。

因为AM AN ⊥，所以12414k t

k k t

-==-， 10分

所以43t k =-，故44

:'(')33

MN l y kx k k x =-=-

所以过定点4(,0)3P ，则点P 在原坐标系中的坐标为10

(,0)3

。

综上所述，直线MN 过x 轴上的定点10

(,0)3

P 14分

解法二：设直线AM 的斜率为1

(0,,2)2

k k k k >≠±≠±

由2222244824(,)4141(2)

x y k k

M k k y k x ⎧-=+⇒⎨--=-⎩，同理得222

284(,)44k k N k k +---