解析几何竞赛题求解的几种常见策略

解析几何竞赛题求解的几种常见策略

解析几何竞赛题求解的几种常见策略陈硕罡吴国建（浙江

省东阳中学 322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30 分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。

一、用函数（变量）的观点来解决问题函数是描

述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题

中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐

标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示

出来，从而变成一个函数的问题，这就是解决问题的函

数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量

（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面

积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解

析几何的一种重要方法。

【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线y2 6x上的

两个动点和B（X2,y2）,其中人x?且人x? 4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C ,求厶ABC面积的最大值.

【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB中点的纵坐标作为主变量，这样只要把ABC 的面积表示成以AB中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。

【解析】设线段AB的中点M坐标为（（2, y o），贝I」则直线AB的斜率：k 7 42 —-

X i X2 、亘y y2 y o

6 6

线段AB的中垂线方程：八。鲁（X 2），易知线段

AB的中垂线与x轴的交点为定点C（5,0）直线AB的方程：y

y o 2（x 2），联立抛物线方程消

y o

去x可得：y2 2y o y 2y2 12 0 （ 1 ），

由题意，y1,y2是方程（1 ）的两个实根，且y1 y2，所以4y； 4（2 y2 12） o 2.3 y 2 3

弦长|AB| ..1 （；）2|% y2| （1 ?）［（% y2）2 4^2〕21（9 S）（12 y；）

点C（5，o）到直线AB的距离：h |CM|十

1 1 (9 y o 9 y o 24 2y。)3 14 -

3 \ 2( 3 3

当且仅当9 y^ 24 2y f, 即y .5 ,点

..7）冃打^5小

A(^__35, 5 . 7), B(^—^5, .,5 ,7)时等号成立，所以ABC 面

3 3

积的最大值为14。

3

【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S表示为中点坐标y o的函数，同时注意y o的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设9 y0 t,t [9,21），转化为一个t的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。

【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线l：y kx m （其中k，m为整数）与椭圆話器1交于不同

2 2

两点A，B，与双曲线亍誇1交于不同两点C，D，问是否存在直线I，使得向量AC BD 0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的k,m,所以其余各量均可用k,m，所以我们这里可用一个二兀函数f（k,m）来表示AC BD，本题就转化为解二元方程f （k,m） 0.

，1

.

于是满足条件的直线共有9条.

【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来 表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数, 如题设中有其他条件能找到这两个变量间的关 系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可 转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而 不求”的思想；如题设条件不能直接给出两变量 者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理

二、用平面几何的知识来解决问题 解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用 代数的方法来解决几何问题，

【解析】由 y kX m

2

2

1 _L 16 12

去y 化简整理

得:3 4k 设 , y

i

X 2

2

8kmx 4m 48 0

B X 2，y 2

，贝X

1

X 2

8km 3 4k

2

2 2

1 8km 4 3 4k

2 4m 2

48 0

y kx 2 X m 2

y. 1 4 12

消去y 化简整理得:

3 k 2 X 2 2kmX m 2

12 0

2 k m

2

， 2

3 k ’ 设C

X

3 ,

y

4

D

X

4

, y

4

，贝 U

X

3 X

4

因为AC BU 0，所以

8km 2km

田为£ X

3 X 4

得厂亦厂十

所以2km 0或占+ •由上式解得k 0或m 0 .

3 4k 3 k

当k 0时，由①和②得2 3 m 2 3 .因m 是整数，所以m 的值为 3,

2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,

3 .

当m 0，由①和②得3 k 3 .因k 是整数，所以k 1 , 2 2

2

2km 4 3 k 2

m 2

12

X 4 X 2

X 3 X i 0

，此时

y 4 y 2 y 3 y i 0

X 2 X 3 X 4