第3章 概率密度函数

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研究生数学基础课程之应用数理统计3-3

研究生数学基础课程之应用数理统计3-3

一维随机变量X 一维随机变量 连续型 X的密度函数 的密度函数
f (x, y) P{( x, y) ∈A } = ∫∫ f (x, y)dxdy
A
P{a ≤ X ≤ b}
A⊂ℜ 2
= ∫ f (x)dx
a
b
f (x, y) ≥ 0
∫ ∫


−∞ −∞
f (x, y)dxdy =1


f (x) ≥ 0
则(X,Y)称 服从D上的均匀分布. (X,Y)称 服从D上的均匀分布. (X,Y)落在 中某一区域A 落在D (X,Y)落在D中某一区域A内的概率 P{(X,Y)∈A},与 的面积成正比而与A P{(X,Y)∈A},与A的面积成正比而与A的位置 和形状无关. 和形状无关.
P{(X,Y)∈ A的面积 的面积/d P{(X,Y)∈A}= A的面积/d
σ1 > 0,σ2 > 0, | ρ |<1
性质 二维正态分布(X,Y)的概率密度函数 维正态分布(X,Y) (X,Y)的概率密度函数
f(x,y)满足: f(x,y)满足: 满足
(1) (2)
∫ ∫


−∞ −∞
f (x, y)dxdy =1
∞ −∞
令1(x) := ∫ f f1(x) =
f (x, y)d y e
其中A是常数.(1)求常数A. 其中A是常数.(1)求常数A. .(1)求常数 (2)求(X,Y)的分布函数 的分布函数; (2)求(X,Y)的分布函数; (3)计算 计算P{0<X<4,0<Y<5}. (3)计算P{0<X<4,0<Y<5}.
解: (1)
A Q∫ ∫ dxdy =1 2 2 2 −∞ −∞ π ( 16+ x )(25+ y )

概率论与数理统计第3章

概率论与数理统计第3章

例2 设(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
2e(2 x
y),
0,
x 0, y 0, 其它.
(1) 求分布函数 F x, y; (2) 求概率 PY X .
解 (1) 当 x 0, y 0 时,
F
x, y
yx
f
u,v dudv
y 0
x 2e(2uv) dudv
0
2 y evdv x e2udu
存在,则称此极限为在条件 Y=y下X的条件分 布函数,记成 FX|Y(x|y)。若存在 fX|Y(x|y), 使得
x
FX |Y (x | y) - f X |Y (u | y) du,
则称 fX|Y(x|y)为在条件 Y=y 下X的条件概率密 度函数,简称条件概率密度。
定理1:设随机向量(X,Y)的联合概率密度 为 f (x, y),Y的边缘概率密度为fY (y)。若f (x, y) 在点(x, y) 处连续,
5c

24
c 24 5
例4 设 (X,Y) 的概率密度是
f
(
x,
y)
cy(2
0
x), ,
0 x 1,0 y x 其它
求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 .

(2)
fX x
f x, ydy
当 x 1或 x 0时 , y ,, y
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
pi j ,i=1,2, … p• j
为在Y=yj 条件下, 随机变量X的条件概率分布。
对固定的 i,若P(X=xi) > 0,则称
P(Y=yj
|X=xi)=
P(

第三章 概率密度函数的估计

第三章 概率密度函数的估计

当 0 ≤ x ≤ θ 时 , p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解: 定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
, 否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0, 即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ,令 dθ θ 方程的解 θ = ∝ ,但实际问题中,θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本, 且 0 ≤ x ≤ θ 时 , p (x | θ ) =



参数估计中的基本概念 统计量 参数空间 点估计、估计量和估计值 区间估计 参数估计判断标准 无偏性 有效性 一致性

3.2最大似然估计
(1)前提假设

参数θ(待估计)是确定(非随机)而未知的量 样本集分成c类,为A1,A2,…,Ac,Aj的样本是 从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N

例3.2:设x服从正态分N(μ,σ2),其中参数μ、 σ2未知,求它们的最大似然估计量。
N
解: 设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }, 定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2

概率论与数理统计总结之第三章

概率论与数理统计总结之第三章

第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义:设(X,Y)是二维随机变量,记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数,或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1)(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数,(分别关于x 和y 有单调不减性) 2)0(,)1≤≤F x y ,任意一边趋于-∞=0.F(∞,∞)=1(用来确定未知参数).3)(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ,即(,)F x y 分别关于x 右连续,关于y 也右连续,4)对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对,则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律,或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条,即为二维离散型随机变量的分布律. 注;步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p,其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y),分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律:的边缘分布律:••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ,0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘,但一般情况,边缘不能确定的联合,除非相互独立. 比如;有放回的摸球,就是X ,Y 相互独立. 不放回地摸球,是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ,分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ,若存在非负可积函数(,)f x y ,使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度,或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质,必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ,则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底,以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续,则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1) 当求()=P X Y 时,它只是一条线,所以:()0==P X Y2) 一个方程有无实根:20++=ax bx c ,即求:22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布:定义:设D 为平面上的有界区域,其面积为S ,且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S,则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布,记作(X,Y )D U . 两种特殊情形:1) D 为矩形,,c )≤≤≤≤a x b y d 时,1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2) D 为圆形,如(X,Y)在以原点为圆心,R 为半径的圆域上服从均匀分布,则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du (让Y趋于正无穷) Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv (让X趋于正无穷) X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y(二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分,其间需要对划分区间的作分别积分)(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布: 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立(相关系数为O,则两个随机变量独立)3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212(),±±k X k Y c X c Y 服从二维正态(如:(,)+-X Y X Y ) 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j ,若{}0=>j P Y y ,则称{=i P X x |{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地,若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y |{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形,即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下,X 的条件分布函数,记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ,即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ,则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量,(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度,则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外,处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数,若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ,则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立,().()连续f x g y ,(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立,则22,x y 独立.2)如果1212,...,...,YYYm m X X X 相互独立,12m 121()()...()()()....()和,f x f x f x g y g y g y 也相互独立。

条件分布律条件分布函数条件概率密度

条件分布律条件分布函数条件概率密度
自然地引出如下定义:
§3条件分布
定义:设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量,对于固定 的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称
P{ X

xi
|Y

yj}

P{X xi ,Y y j } P{Y y j }
pij p j
,i 1,2,
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。
y
|
,
0,
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| y |< x < 1 其它。
后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布
例 3(续)
f (x, y)
1, | y |< x, 0 < 0, 其它.
x
< 1,
fX (x)
2x, 0 < x < 1 0, 其它.
当0 < x < 1,
fY|X ( y | x)
( ) ( ) f X Y
xy

f (x, y) fY (y)

2
1

2 1
1-r2
( ) exp
2
2 1
1 1-
r2
x
-

1

r

1 2
(y
-
2
) 2


(- < x < )
结论:二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即
( ) ( ) N
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例2 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0)
的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 p(0 < p < 1),

概率论第三章

概率论第三章

若二维随机变量( 若二维随机变量(X,Y)具有概率密度 ) 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量( 二维随机变量(X,Y) ) ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求:F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例2 设随机变量 Y ~ E (1) ,随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1,) 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止, 到现在为止,我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够, 描述还不够,而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标) 机变量(三个坐标)来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2

概率密度定义

概率密度定义

概率密度定义概率密度定义概率密度是概率论中的一个重要概念,用于描述随机变量取值的分布情况。

在统计学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

一、基本概念1. 随机变量随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的数量。

它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。

2. 概率密度函数对于连续型随机变量,其取值范围是一个区间,其分布情况可以用概率密度函数来描述。

概率密度函数是一个非负可积函数,其积分值等于1。

3. 概率密度概率密度是指在某个取值点上的导数值,它表示了在该点附近单位长度内出现该随机变量取值的可能性大小。

4. 累积分布函数累积分布函数是指连续型随机变量小于等于某个取值时的概率。

它可以由概率密度函数通过积分得到。

二、公式推导1. 概率密度与累积分布函数的关系设X为一个连续型随机变量,其累积分布函数为F(x),概率密度函数为f(x)。

则有:F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(t)dt其中,积分上限是x,下限是负无穷。

2. 概率密度的性质(1)非负性:概率密度函数f(x) ≥ 0。

(2)可积性:概率密度函数在定义域上可积,即∫f(x)dx存在且有限。

(3)归一性:概率密度函数的积分值等于1,即∫f(x)dx = 1。

3. 概率计算公式对于连续型随机变量X,其在区间[a, b]内取值的概率可以表示为:P(a ≤ X ≤ b) = ∫a^bf(x)dx三、应用场景1. 统计学中的应用在统计学中,概率密度函数常用于描述样本数据的分布情况,并通过参数估计推断总体数据的分布情况。

2. 物理学中的应用在物理学中,概率密度函数常用于描述粒子在空间中出现的分布情况,并通过波函数求解得到粒子运动规律。

3. 工程学中的应用在工程学中,概率密度函数常用于描述信号、噪声等随机变量的分布情况,并通过信号处理等技术进行分析和处理。

四、总结概率密度是描述连续型随机变量分布情况的重要工具,其可以通过累积分布函数推导得到。

在统计学、物理学、工程学等领域都有广泛应用,是理解这些领域中随机变量分布情况的基础。

概率密度函数

概率密度函数

3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” i 1, 2, 3, 4. 10
P Ai

PX
150

1 3
由于 A1 A2 A3 A4 相互独立, 则所求的概率为
P( A1 A2 A3 A4 ) 1 P(A1 A2 A3 A4 )
1 P( A1)P( A2 )P( A3)P( A4 ) 1 ( 2)4 65
x

x

pt d
t
求 Fx.
对 x < 0, Fx 0
对 0 x 1,
F(x) 2 x 1 dt 2 arcsin x
0 1t2

对 x 1, Fx 1
0
x0

F
(
x)

2

arcsin
x
0 x 1
1
x 1
18
例5 x, 0 x 1
p (x)
F ( x)
0x
x
12
连续性随机变量分布函数的性质
(1) Fx是连续的单增函数
0 Fx 1 x ,
F(x)= x p(t)dt px 0

F ( x)
p (x)
F ( x)
1
0x
x
0
x
13
(2)若 px在点x 处连续,则有 F(x) px
0 x1 x2 x
px lim Px X x x
x0
x
若不计高阶无穷小,有: Px X x x px x
这表示X落在小区间[x,x+Δx] 上的概率近似地等于pxx.
5
对 p(x) 的进一步理解:

第三章 概率密度函数的参数估计

第三章 概率密度函数的参数估计

均值的后验概率
均值的后验概率仍满足正态分布,其中:
1 n n = ∑ xi n i =1
2 nσ 0 σ2 n = 2 + 2 0 2 n 2 nσ 0 + σ nσ 0 + σ
σ σ σ = nσ + σ 2
2 n 2 0 2 0 2
均值分布的变化
类条件概率密度的计算
p ( x D) = ∫ p ( x ) p ( D) d
模型在时刻t处于状态wj的概率完全由t-1时刻 的状态wi决定,而且与时刻t无关,即:
P w(t ) W
(
T
) = P ( w ( t ) w ( t 1))
P w ( t ) = ω j w ( t 1) = ωi = aij
(
)
Markov模型的初始状态概率 模型的初始状态概率
模型初始于状态wi的概率用 π i 表示。 完整的一阶Markov模型可以用参数 θ = ( π, A ) 表示,其中:
3.0 引言
贝叶斯分类器中最主要的问题是类条件概 率密度函数的估计。 问题可以表示为:已有c个类别的训练样 本集合D1,D2,…,Dc,求取每个类别的 类条件概率密度 p ( x ωi ) 。
概率密度函数的估计方法
参数估计方法:预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知,而具体的参数未 知;
最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation); 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
p ( x θ ) = ∑ ai pi ( x θi ),
i =1 M
∑a
i =1
M
i
=1
最常用的是高斯混合模型(GMM,Gauss Mixture Model):

概率密度函数

概率密度函数
而概率 P {Y ≥3 } = ∑k3=03 [C30k pk ( 1 – p)30 – k ]
根据指数分布的分布函数,这个人每次等车 时间超过 10 分钟的概率是: p = P { X >10 } = 1 – F (10) = 1 – [ 1 – e – 10 / 5 ] = e – 2 ; 每个月等车超过10 分钟的次数 Y ~ B(30,e – 2) ; 他至少有三天坐出租车上班的概率就是: P {Y ≥3 } = ∑k3=03 [C30k pk ( 1 – p)30 – k ] = 1 – ∑k=02 [C30k pk ( 1 – p)30 – k ]
假定通过考试的成绩至少要为 d 分 ,即必须有
P { X ≥ d } ≤ 0.05 P { X ≤ d } ≥ 0.95 。
根据定理 2.4.1, X – 60 ——— ~ N (0,1) 10
因此
d – 60 0.95 ≤P { X ≤ d } = (——— ) 10
查正态分布表,有,
(1.64) = 0.9495 , (1.65) = 0.9505 ;
1 2
p ( x)
o

x
说明对于同样长度的区间,当参数 越大时,X 落在这个区间里的概率将越小,而当参数 越小时,X 落在这个区间里的概率将越大。
4. 标准正态分布 X ~ N ( 0 ,1 ) 参数 = 0 , = 1 的正态分布 (1) 标准正态分布的密度函数
( x)
1 2
e
x2 2
, x
(2) 标准正态分布的分布函数
( x)


x
1 2
e
t2 2
dt , x

概率论与数理统计 3.3 c.r.v.及其概率密度

概率论与数理统计 3.3 c.r.v.及其概率密度

2 F ( ln 2)
1 4
概率论
三、三种重要的c.r.v.
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为:
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
则称X在区间( a, b)上服从均匀分布,记作
X ~ U(a, b)
若X ~ U (a, b),
概率论
1.对于长度l为的区间(c, c l), a c c l b,有
概率论
3.3 c.r.v.及其概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
一、 c.r.v.及其p.d.f.的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
F
x =P( X
x)
x
f
t dt
则称 X为c.r.v, 称 f (x) 为 X 的p.d.f,简称为
x t2
e 2 dt ( x )的性质 :

1 0 1 ;
2
2 x R , x 1 x ;
事实上 , x 1
x t2
e 2 dt
2
1
u2
u t
e 2 du
2π x
1
x u2
1
e 2 du

1 x
概率论
概率论
例 5:已知 X~N (0,1) , 求 P (1 X 2), P ( X 1.96), 概率论
有 P(X s t X s) P(X t)
证明 : X ~ Exp( ), P( X t) 1 P( X t) et ,

概率密度函数 ppt课件

概率密度函数 ppt课件
概率密度函数
定义 设X为一随机变量,若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ,有
b
P{axb}a f(x)dx
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F(x) f (t)dt
P {x1Xx2}xx 12 f(x)dx
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
1
3
指数分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
ex
f(x)
x0(0为 常 数 )
0 x0
则称X服从参数为 的指数分布.
X~ E()
分布函数
0
x0
F(x)1ex x0
f(x)和F(x)可用图形表示
f (x)
均匀分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 f (x) b a
a xb
0 其它
则称X在区间 (a,b)上服从均匀分布.记为 X ~ U (a, b)
分布函数
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
b x
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间(a,b)中的值,这里的“等可
能”理解为:X落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内
。 P(X a) 1 (a )
例 设X~N(1,4),求 P(0<X<1.6)

1, 2
P(0X1.6) (1.61)(01)
2
2
(0.3)(0.5)
(0.3)1 (0.5)

3 二维连续型随机变量及其概率密度

3  二维连续型随机变量及其概率密度
G
(4)若 f ( x, y) 在点 ( x, y ) 连续,则有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
4
由性质(4)和(1.1),如图3-3,在 的连续点处有
P{x X x x, y Y y y} lim x 0 xy
y 0
6
例 1
若二维随机变量
( X , Y )具有概率密度
( x, y ) D 1 , , f ( x, y ) S D 0, 其它 其中S D 为区域 D 的面积,则称 ( X , Y ) 服从 D
区域上的均匀分布.特别地,设 ( X , Y ) 在以圆 点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分 布,求二维联合概率密度.
其中 exp{ f ( x)} e f ( x) ,其中 , , , , 都是常数, 且 0, 0,1 1 .我们称 ( X ,Y ) 为服从参数 为 , , , , 的二维正态分布(这五个参数的意 2 2 ( X , Y ) N ( , , , 1 2 1 2 , ). 义将在下一章说明),记为 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
P{ X xi Y y j } P ( X xi , Y y j ) P(Y y j ) pij p j
,i 1, 2,
22
这就启发我们,对于二维连续型分布,规定在条 件{Y y} 下 X 的条件分布为如下连续型分布: 定义 设二维连续型随机变量 ( X ,Y )的概率密度 为 f ( x, y), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘密度为 f Y ( y).若对 f ( x, y ) y f ( y ) 0 于固定的 ,Y 则称 f ( y ) 为在Y y 的条件 下 X 的条件概率密度, f ( x, y) 记为 f X Y ( x y) (3.5) fY ( y ) x x f ( x, y ) 称

概率密度函数

概率密度函数

y = 2x − k 算得。
2
随机变量的函数
设X 是 随 变 ,Y 是X 的 数 Y= g ( X ), 一 机 量 函 ,
则 也 一 随 变 . Y 是 个 机 量
当X 取 x时 Y 取 y = g( x) 值 , 值
本 的 务 是 节 任 就 :
已 随 变 X 的 布 并 已 Y = g( X ), 知 机 量 分 , 且 知 要 随 变 求 机 量Y 的 布 (分布列或分布密度)。 分 .
求 Y = 2X +1的概率密度 解
Y = g( X ) = 2X +1
1 h′ ( y) = 2
y −1 x = h ( y) = 2 1 y −1 Q pY ( y) = pX 2 2
pY ( y).
由X的分布密度的定义有 即
λ −λ( y−1) e 2 pY ( y) = 2 0
10
例3
设随机变量 X 具有密度函数: x , 0 < x < 4, pX (x) = 8 0, 其它 . 试求 Y =2X +8 的概率密度 pY ( y).
解:(1) 先求 Y =2X +8 的分布函数 FY(y):
F ( y) = P{Y ≤ y} Y
y −8 = P{2X + 8 ≤ y} = P{X ≤ } 2
Y 的 度 数 pY ( y). 密 函
1 p( x) = e 2πσ
( x−µ )2 −
2σ 2
(
)
(− ∞ < x < +∞)
由此得随机变量Y = e 的密度函数为
X
1 − e pY ( y) = 2π yσ 0

概率密度函数计算

概率密度函数计算

概率密度函数计算概率密度函数是概率论中一个非常重要的概念,它描述了随机变量在各个取值点上的概率密度。

概率密度函数通常用符号f(x)表示,其中x代表随机变量的取值。

在数学上,概率密度函数有一些基本性质,比如在整个定义域上的积分等于1,以及非负性等。

概率密度函数在统计学、工程学、金融学等领域都有着广泛的应用。

在统计学中,概率密度函数可以帮助我们描述随机变量的概率分布,从而进行概率推断和统计分析。

在工程学中,概率密度函数可以帮助我们分析和设计各种系统的性能。

在金融学中,概率密度函数可以帮助我们评估不同投资的风险和回报。

总之,概率密度函数在各个领域都扮演着至关重要的角色。

概率密度函数的形式可以有很多种,比如正态分布、均匀分布、指数分布等。

正态分布是最常见的一种概率密度函数,也被称为高斯分布。

正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线,具有对称性和单峰性。

均匀分布的概率密度函数是一个常数函数,表示在一个区间内各个取值点的概率是相等的。

指数分布的概率密度函数是一个指数函数,表示在一个区间内随机事件发生的概率随着时间的增加而不断减小。

概率密度函数的性质可以帮助我们进行各种概率计算。

比如,我们可以利用概率密度函数计算随机变量落在某个区间内的概率,或者计算随机变量的期望和方差等。

概率密度函数还可以帮助我们进行假设检验、置信区间估计等统计推断。

因此,熟练掌握概率密度函数的性质和应用是非常重要的。

总的来说,概率密度函数是概率论中一个基础而重要的概念,它不仅在理论研究中发挥着重要作用,也在实际问题的建模和解决中发挥着关键作用。

通过深入理解概率密度函数的定义、性质和应用,我们可以更好地理解和分析各种随机现象,从而更好地处理各种实际问题。

希望通过本文的介绍,读者能对概率密度函数有一个更清晰的认识,从而在相关领域的学习和研究中取得更好的成果。

《概率论与数理统计》第三章

《概率论与数理统计》第三章

§1 二维随机变量
定义:设E是一个随机试验,样本空间S={e}; 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量,由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。
e S
x
定义:设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y,
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品,其中7件正品,3件次品。现从中
任取一件产品,取后不放回,令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度:
2e(2x y) , x 0,y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y);2求P{X 2,Y 3};
3求P(Y X )的概率
解: (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量(X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注:1在几何上,z f (x, y)表示空间一个曲面,

概率密度 概率分布

概率密度 概率分布

概率密度函数和概率分布的概念在统计学和概率论中扮演着重要的角色。

它们帮助我们描述和理解随机变量的分布规律,从而在实际问题中进行推断和决策。

本文将介绍概率密度函数和概率分布的基本概念,并通过实际举例来说明它们的应用。

一、概率密度函数的定义和性质概率密度函数是描述连续型随机变量分布规律的数学函数。

对于一个连续型随机变量X,其概率密度函数f(x)满足以下两个性质:1. 非负性:对于任意实数x,有f(x) ≥ 0。

2. 正则性:∫f(x)dx = 1,即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。

概率密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。

具体而言,对于区间[a, b],概率可以通过计算该区间下的概率密度函数曲线与x轴之间的面积来得到。

二、概率分布的定义和性质概率分布是描述随机变量取值及其对应概率的函数。

对于一个离散型随机变量X,其概率分布可以通过列举每个取值及其对应的概率来表示。

而对于一个连续型随机变量X,其概率分布则可以通过概率密度函数来定义。

常见的概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

这些分布都有着不同的特点和应用场景。

例如,正态分布是自然界中许多现象的分布模型,如身高、体重等。

指数分布则常用于描述随机事件的发生时间间隔。

三、实际举例为了更好地理解概率密度函数和概率分布的概念,我们来看一个实际的例子——骰子的投掷。

假设我们有一个标准的六面骰子,每个面上的数字从1到6。

我们想知道投掷一次骰子,落在某个区间内的概率是多少。

首先,我们可以将骰子的结果定义为一个离散型随机变量X,其取值范围为{1, 2, 3, 4, 5, 6},每个取值的概率均为1/6。

这就是骰子的概率分布。

然而,如果我们想知道投掷一次骰子,结果落在区间[3, 5]内的概率,就需要用到概率密度函数。

由于骰子的结果是离散的,所以其概率密度函数为0,即f(x) = 0,对于任意x∈[3, 5]。

通过这个例子,我们可以看到概率密度函数和概率分布的关系。

概率密度与期望

概率密度与期望

概率密度与期望概率密度函数和期望是概率论中重要的概念,它们在统计学、金融学以及其他领域中具有广泛的应用。

在本文中,将介绍概率密度函数和期望的概念、性质以及计算方法,并且通过实例来进行说明。

一、概率密度函数概率密度函数是连续随机变量概率论中用来描述随机变量取值的概率的函数。

对于一个连续随机变量X,其概率密度函数f(x)具有以下性质:1. f(x)大于等于0,对于所有的x;2. 在整个取值范围内,概率密度函数下的曲线下的面积等于1;3. 概率密度函数图像上的任意一点x对应的函数值f(x)表示了在该点附近的某个范围内随机变量X取值的概率。

二、期望期望是随机变量的平均取值,它是对随机变量所有可能取值的加权平均。

对于一个随机变量X和其概率密度函数f(x),其期望值记为E(X),计算公式如下:E(X) = ∫(x * f(x)) dx三、概率密度函数与期望的计算1. 离散型随机变量对于离散型随机变量X,其概率密度函数是一个取值为非负实数的离散函数。

概率密度函数可以通过列举随机变量取值和对应的概率来表示。

期望的计算公式为:E(X) = ∑(x * P(X=x))2. 连续型随机变量对于连续型随机变量X,其概率密度函数是一个连续函数。

概率密度函数可以通过确定其函数表达式来表示。

期望的计算公式为:E(X) = ∫(x * f(x)) dx四、示例分析假设有一个连续型随机变量X,其概率密度函数为f(x) = 2x,在区间[0, 1]内取值。

我们来计算X的期望。

首先,确定概率密度函数在给定区间上的函数表达式。

在此例中,f(x) = 2x,x的取值范围为[0, 1]。

然后,将x乘以f(x),得到(x * f(x)) = 2x^2。

接下来,根据期望的计算公式,计算∫(x * f(x)) dx。

在本例中,由于概率密度函数为多项式函数,积分结果为[x^2],即∫(x * f(x)) dx = 2/3。

因此,随机变量X的期望为E(X) = 2/3。

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• 参数估计——包括监督参数估计和非监督参数估 计 • 监督参数估计——样本所属的类别及类条件总体 概率密度函数的形式为已知,而表征概率密度函 数的某些参数是未知的 • 非监督参数估计——已知总体概率密度函数的形 式但未知样本所属类别,要求推断出概率密度函 数的某些参数 • 参数估计的方法——最大似然估计和Bayes估计 • 非参数估计——已知样本所属类别,但未知总体 概率密度函数的形式,要求我们直接推断概率密 度函数本身 • 参数估计的方法——Parzen窗法和 k N 近邻法
k=1
N
(2-26)
p(X|θ)是θ的函数(将其称为相对于样本集X的θ的似然函数, 记为l(θ) ),即
l(θ) = p(X|θ) = ∏ p(xk|θ)
k=1
N
(2-27)
注:(1) l(θ)给出了从总体中抽出x1,…,xN这样N个样本的概率。
(2) 未知参数θ的最大似然估计θ’被定义为使l(θ)最大的θ值。
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R
N N N

ˆ H ) p ( H )dH R( ˆ ) p( H ) d p( H )dH ( ˆ ) p( H ) p( H )d dH (
Bayes估计的基本思想:所求得的 的估计值 ˆ应使估计损失 ˆ H) 的期望最小,这种使 R 或等价地使 R ( 取最小值的 的估 ˆ ,可得到不 计值 ˆ 称为 的Bayes估计。对于 不同的 ( ) 同的最佳Bayes估计。 这里假定损失函数为平方误差,即
ˆ ) ( ˆ)T ( ˆ) (
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R
N N

ˆ ) p( H ) p( H )d dH ( ˆ)T ( ˆ) p( H ) p( H )d d H (
N
ˆ)T ( ˆ) p( H )d ] p( H )d H [ (
L( ) p( x1 , x2 ,„, x N ) p( xk )
k 1 N
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极大似然估计的基本思想 如果在一次观察中一个事件出现了,那么我们就认为该 事件出现的可能性很大。事件 H x1 , x2 ,„,xN 在一 次观察中出现了,那么我们就可以认为达到了极大值。 使似然函数极大化的 ˆ 值就是 的极大似然估计。直观 ˆ 这个值是同实际观察到的样本最一致的参数 上看, 值。 用一个简单的例子来解释极大似然估计的基本思想。如 下图所示,一维样本服从正态分布 p( x ) N (, 2 ) ,并且 方差已知,要求通过抽取到的样本集 H x1 , x2 ,„,xN 用极大似然估计得到它的均值。
H(θ)极大的θ同样使l(θ)取极大值。
H(θ) = ln l(θ) = ln p(X|θ)
= ln p(x1,…,xN|θ)
(2-28)
设 是有 r个分量的列向量 (1 ,2 ,„,r )T 用 表示梯度算子 1 r
(3) 当X的N个样本确定后,似然函数l(θ)只是θ的函数。
(4) 但若换一组样本,l(θ)的形式也会发生改变。即使l(θ)的值
最大的θ’是样本x1,x2,…,xN的函数,记为θ’=d(x1,x2,…,xN)(其称 为θ的最大似然估计量)。
• l(θ)的对数形式ln l(θ)(记为H(θ),称其为对数似然函数),使
T ˆ ˆ ˆ) p( H )d R( H ) ( ) (

ˆ H) min R min R(
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ˆ H) min R(
ˆ H) R( ˆ

ˆ) p( H ) d 0 2 (


ˆ) p ( H ) d p ( H ) d ˆ p ( H )d (
ˆ H ) ( ˆ ) p( H ) d R ( H x1 , x2 ,„, x N R ( i x ) ( i , j ) P( j x )
j 1 c

i 1, 2,, c
ˆ H) R ( 考虑到 H 的各种取值,我们应求 在空间 中的 期望 , N E d E d E d 。
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假定某一类样本集
H x1 , x2 ,„,xN
N
由于样本是独立抽取的
p( H ) p( x1 , x2 ,„, x N ) p( xk )
k 1
似然函数的定义 N 个随机变量 x1 , x2 ,„,xN的似然函数是 N个随机变 量的联合密度,这个密度可以看成是 的函数。具体的 说,若 x1 , x2 ,„,xN 是独立地抽自密度 p( xk ) 总体 的样本,那么似然函数就是
, , c ——状态空间
,, a ——决策空间 (i , j ) i 1, 2,, a j 1, 2,, c——损失函数,表示 真实状态为 j 而所采取的决策为 i 时所带来的某种损 失。
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给定 x ,我们采取决策 i 情况下的条件期望损失:
R(i x) (i , j ) P( j x)
j 1
c
i 1,2,, c
x 是特征空间 E d中取任意值的随机变量,条件风险的期 望
R R(i x ) p( x )d x (i , j ) P( j x ) p( x )d x
Ed E d j 1
c
(i , j ) P( x, j )d x
R 表示采取决策 k 总的平均损失。 R称为Bayes风险, 使R 最小的决策 k 称为Bayes决策。
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c
E d j 1
Bayes决策 确定 x 的真实状态 (模式类) i Bayes估计 根据一个样本集 H x1 , x2 ,„,x,找出估 N 计量 ˆ ,估计 H 所属总体分布的某个真实参数 使带来 的Bayes风险最小
(3) 总体的子样:一个模式类中某些模式(总体中的一些元素) 的集合称之这个总体的子样。 (4) 统计量:由样本构造的函数d(xi,…,xn ),即针对不同要求构造 出样本的某种函数。
(5) 经验分布:由样本推断的分布。
(6) 估计:由样本按某种规则构造的一个统计量
θ’=θ(x1,x2,…,xn),用θ’的值作为被估参数集θ的近似值。
H ( ) 为对数似然函数
N
H ( ) ln p( x1 , x2 ,„,x N ) ln p( xk ) ln p( xk ) ˆ H ( ) ln p( xk ) 0
k 1 k 1 k 1
N
N
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在N个样本独立抽取时,且设参数向量 {1 ,... s }
(7) 点估计:构造一个统计量d(x1,…,xn )作为参数θ的估计θ’。
(8) 估计量:在统计学中称θ’为θ的估计量。
(9) 估计值:将类别wi中的几个样本观察值x1i,…,xni代入统计量d 中所求得的第i类的具体数值θ’。 (10) 区间估计:在一区间内对θ进行估计,此区间称为置信区间。 (11) 参数空间:在概率密度形式已知,而未知的是其所含(几个) 参数时,则未知参数(记为θ)的取值范围(即集合)称为参数空间。
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p( H )

x1 C x2
x3
A
x4 x5 B x6
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最大似然估计的求解
• 设已得到属于同一类的N个样本,即
X = {x1,…,xN}
它们具有概率密度p(xk|θ) (k=1,…,N),且样本是独立抽取的, 则 p(X|θ) = p(x1,…,xN|θ) = ∏ p(xk|θ)
3.1 最大似然估计
这里我们首先作如下 的合理假设: 1)估计的参数 是确定(非随机)而未知的量; 2)样本集按类别分开,假定有 c 类,则可分成 c个样本 集H1 , H 2 ,, H c ,其中 H j中的样本都是从概率密度为 的 p( x j ) 总体中独立的抽取出来的; 3)类条件概率密度函数 p( x j )具有某种确定的函数形 式。为表示 p( x j ) 同 j有关 ,记为 p( x j , j。 ) 4)假定 H i 中的样本不包含关于 j的任何信息,也就是 说不同类别的参数在函数上是独立的,即 H i 中的样本只 对 i 提供有关的信息,这样就可对每类进行独立处理。

p ( H )d ˆ

p(

H )d 1
ˆ) p( H )d 0 ˆ p( H )d E[ H ] 2 (

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由于 R 是关于 ˆ 的二次函数, ˆ 确使 R (ˆ H ) 或 R 最 小。上式表明, 的最小方差Bayes估计是在观测 条 件下的 的条件期望。在许多情况下,最小方差Bayes 估计是最理想的Bayes最优估计器。 对平方误差损失函数情况求解Bayes估计量的步骤如下: (1)确定 的先验分布 p( ); (2)由样本集 H x1 , x2 ,„,xN 求出样本联合分布 p( H ) (3)求 的后验分布 p( H ) p( ) p( H ) p(H ) p( )d
计。 ② 有时上述方程组无解,如无极值点。则,根据实际情况求 最大值点。
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3.2 Bayes估计和Bayes学习
1 Bayes估计 这里我们先回顾一下前面讲述的最小风险Bayes决策。 x ——观察或测量到的 d 维模式特征向量;
1 , 2 1 , 2
H ( ) ln p( xk | ) ln p( xk | )
k 1 k 1
N
N
在该式对θ的偏导等于零的解,就是θ’。
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