用三种方式表示二次函数课件+教案+拓展资源
2.5《用三种方式表示二次函数》教案(北师大版九年级下)doc
§2．5 用三种方式表示二次函数课时安排6课时从容说课本节课学习用三种方式表示二次函数，即表格、表达式、图象表示法．其实这三种方式我们都不陌生，在前面的几节课中已经学过．在本节课中不仅要求会用表格、表达式、图象等多种方法表示二次函数，还要使学生体会函数的各种表示方法之间的联系和特点．同时发展有条理地思考和语言表达能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．在教学中，教师要真正起到引导的作用．在教师的引导下，让学生独立完成，然后经过互相交流，总结得出结果，使学生在轻松的环境中完成本节内容的学习．第六课时课题§2．5 用三种方式表示二次函数教学目标(一)教学知识点1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．(二)能力训练要求1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．(三)情感与价值观要求1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣．2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．教学重点能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．教学难点能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．教学方法讨论式学习法．教具准备投影片四张第一张：(记作§2．5 A)第二张：(记作§2．5 B)第三张：(记作§2．5 C)第四张：(记作§2．5 D)教学过程Ⅰ. 创设问题情境，引入新课[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好? Ⅱ．新课讲解 一、试一试投影片；(§2．5 A)长方形的周长为20 cm ，设它的一边长为xcm ，面积为ycm 2．y 随x 变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗? (1)用函数表达式表示：y= .[师]请大家互相交流．[生](1)一边长为x cm ，则另一边长为(10-x)cm ，所以面积为：y＝x(10-x)=-x 2+10x (2)表中第二行从左至 右依次填9、8、7、6、5、 4、3、2、1；第三行从左至 右依次填9、16、21、24、25、 24、21、16、9.(3)图象如右图．[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限．可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢?[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．[师]大家同意这种说法吗?[生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y 是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x 2+10x 的图象，就不是在第一象限作图象了． [师]非常棒． 二、议一议投影片：(§2．5 B)(1)在上述问题中，自变量x 的取值范围是什么? (2)当x 取何值时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描述一下y 随x 的变化而变化的情况．[师]自变量x 的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流． [生](1)因为x 是边长，所以x 应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x 的取值范围是0<x<10．(2)当x 取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y ＝-x 2+10x 化成顶点式．当x ＝-ab2时，函数y 有最大值a b ac 442-.∴y=-x 2+10x=-x 2+10x=-(x 2-10x)=-(x 2-10x+25-25)=-(x-5)2+25．∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm 2． 可以通过观察图象得知．也可以代入顶点坐标公式中求得． 当x=-)1(210-⨯=5时，y 最大=)1(4100)1(42-⨯-⨯-⨯=25cm 2.当x 由1至5逐渐增大时，y 的值逐渐增大，当x 由5至10逐渐增大时，y 的值逐渐减小。
2.3 二次函数表达式的三种形式 课件(共21张PPT)
轴（交其点中的x1横, 坐x2标是）抛，物选线交与点x式轴：交y 点 (的x 横x坐1)(标x ）x2 )
但不论何种形式，最后都化为一般形x1 式。
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
3.二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(－2，5)，且当 x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并 判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
4.抛物线y=ax²+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其 顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解x1 析式．(要 求用多种方法)
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
• 2015已知二次函数的图象与y轴的交点为C， 与x轴正半轴的交点为A．且．tan ACO 1
4
• (1)求二次函数的解析式；
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
• 3.交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
一般式 y ax2 bx c(a )
例题1 (1) 已知二次函数图象经过点A(-1,0), B（4，5），C（0，－3），求该二次函
数的表达式．
(2) (2015牡丹江)抛物线y=x²+bx+c经过 点A(1,-4),B(3,0).求此抛物线的解析式.
二、顶点式 y a(x h)2 k
例题1 (1)(2013绥化)若二次函数图像的顶点坐 标为(-2,3），且过点（－3,5）,求此二次 函数的解析式。
用三种方式表示二次函数课件
例如，选择 x = -1, 0, 1 并计算 y 值，可以绘制出一个关于原点对称的抛物线。
二次函数图像的性质
1
轴对称性
二次函数的图像关于一条垂直线对称，该线称为对称轴。
2
顶点坐标
顶点是抛物线的最高或最低点，它的坐标表示二次函数的垂直平移。
3
开口方向
开口向上的抛物线表示 a 的值大于 0；开口向下的抛物线表示 a 的值小于 0。
应用二次函数的例子
建筑设计
二次函数用于设计创新的、流 线型的建筑结构。
卫星接收器
卫星接收器的抛物形天线聚焦 射入信号，提供稳定的接收。
物理学
二次函数在抛物线运动等物理 学问题中有广泛应用。
结论和总结
1 总结
我们学习了二次函数的定义、属性，以及用标准形式、顶点形式和描点法表示二次函数 的方法。
2 重要性
二次函数在数学和实际生活中都有重要的应用，帮助我们解决问题、做出决策。
3 继续学习
继续探索二次函数的高级概念，如焦点、准线、最小值和最大值等。
用标准形式表示二次函数
标准形式
y = ax^2 + bx + c
含义
标准形式提供了二次函数的 系数 a、b 和 c 的清晰表示。 它可以用于求解方程、描绘 图像等。
示例
例如，y = 2x^2 + 3x - 1 就是一 个二次函数的标准形式。
用顶点形式表示二次函数
1
顶点形式
y = a(x-h)^ 2 + k
含义
2
顶点形式直接给出了二次函数的顶点
坐标 (h, k)，其中 h 表示水平移动，k
表示垂直移动。
3
示例例如，y = 2(源自-1)^2 + 3 就是一个二次函 数的顶点形式。
用三种方式表示二次函数PPT课件
(2)y=x2-2x=(x2-2x+1)-1＝(x-1)2-1。 因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)。
(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的 (240)增2通0年大过10而观月2减察日小图；象在可对知称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大． 5
2020年10月2日
1
1、圆O的面积S与半径R的关系式为S=πR2
2、每天的平均气温与日期的关系 如图
R
气 10 温
O
6
2
日期
2 4 6 8 101214161820
3、水库的蓄水量与深度的关系 如下
水库深度(米) 5
10 20 30 40 ……
蓄水量(万米3) 30
80 300 550 900 ……
二次函数的三种表示方式有什么特点?它 们之间有什么联系?与同伴进行交流．
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间
的数值对应关系；
函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程
和变化趋势；
函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出
变量之间的关系， 这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不 同的需要． 它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化 为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方 式表示．
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
y 65
8
98
5
3
1
X/cm
2020年110月2日2 3 4 5 6
3
y/cm2 9
7
5
3
用三种方式表示二次函数 () 公开课获奖课件
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
二次函数的三种表示方式各有什么特点? 它们之间有什么联系?
表示
表达 式 表格
优点 可以比较全面、完整、简 洁地表示出变量之间的关 系,便于分析计算.
当x=5cm时,长方形面积最大,最大面积=25cm2. 可以通过图象、表达式的顶点式等方式得到.
3、请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
当0<x<5时,y随x的增大而增大; 当5<x<10时,y随x的增大而减小.
做一做
两个数相差2,设其中较大的一个数为x, 那么它们的积y是如何随x的变化而变 化的?
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
【小学课件】《用三种方式表示二次函数》二次函数优质PPT课件
用三种方式表示二次函数
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
x y
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
用函数表达式表示：
y xx 2即y x 2x.
2
做一做
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个 数为x,那么它们的积y是如何随x 的变化而变化的?
Y=
x
y x 1 1.
2
x2-2x= (x-1)2-1
… … -2 -1 0 1 2 3 4 … …
用表格表示：
2
y x2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或y x 1 1. 坐标分别是什么? y x 2x
2
2
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线x=1,顶点 坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
2 2
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
做一做
两个数相差2,设其中较大的
一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
你能分别用函数表达式,表格
和图象表示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表示函数
二次函数用三种方式表示二次函数课件ppt
04
应用举例
在求解最值中的应用
总结词
在求解二次函数最值时，通常有三 种方法，分别为配方法、判别式法 和利用二次函数图像。
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式 ，再利用顶点式求出最值。
判别式法
通过使用判别式求出二次方程实数 根的分布，进而求出最值。
熟悉相关性质和概念
二次函数定义和性质
二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函 数
二次函数的性质：二次项系数a控制函数的开口方向和大小，一次项系 数b控制函数图像的对称轴，常数项c控制函数图像的截距
二次函数的图像为抛物线
02
二次函数的三种表示方法
顶点式
总结词
顶点式，也称为点对式或唱筹式，是二次函数表示中最简单 的方法之一。
通过观察与坐标轴学习题
习题1
根据二次函数表达式，画出函 数图像。
习题2
已知二次函数图像上的三个点 ，求函数的解析式。
习题3
将二次函数的一般式化为顶点 式，并指出图像的开口方向、
对称轴以及顶点坐标。
思考题：探究二次函数图像的性质
01
02
03
探究1
观察不同的二次函数图像 ，总结它们的共性和差异 。
交点式
总结词
交点式也称为韦达定理或求根公式，它反映了二次函数与x轴交点的特征。
详细描述
交点式表示的二次函数为 f(x) = (x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数与x轴的两 个交点坐标。这个公式适用于需要求解二次方程根的问题，但计算较为复杂。
03
比较与联系
三种表示方式的比较
《用三种方式表示二次函数》二次函数PPT精品教学课件4
1.经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体 会三种方式之间的联系和不同点. 2.能够分析和表示变量之间的二次函数关系，解决二次 函数所表示的问题. 3.掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对 函数性质进行研究．
1.图中圆的面积S与半径R的关系式为S=π R2
则a的值为（ ）
y
y
y
y
－1 O
1x
－1 O 1 x
O
x
A.6或－1 C.6
B.－6或1 D.－1
【答案】选D.
O
x
2.(鄂尔多斯·中考)已知二次函数 y x 2 bx c
中函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示，点A(x1，
y1) ，B(x2，y2)在函数的图象上，当0<x1<1，
y/cm2 9 7 5 3
(1)在上述问题中，自变量x的 取值范围是什么? (2)当x取何值时，长方形的面 积最大?它的最大面积是多少? 你是怎样得到的?请你描述一 下y随x的变化而变化的情况．
1 O 1 2 3 456
x/cm
【解析】⑴∵x是边长，∴x取正数,x>0.
6-x也取正数， 6-x＞0,x＜6.
边上的小圆圈数 1
2
小圆圈的总数
3
4
5
(3)如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示 这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小
圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个
比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此
这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同 的需要．它们的联系ห้องสมุดไป่ตู้三种方式可以互化，由表达式可转 化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式 表示．
《用三种方式表示二次函数》二次函数PPT课件
做一做
图象法—用图象表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的 一边长为xcm,面积为ycm2.
用图象表示:
x y
议一议
在上述问题中,自变量x的
取值范围是什么？
x
y
因为x表示周长为20cm矩形的
边长,所以x>0,10-x>0.因此， 自变量x的取值范围是0<x<10.
议一议
5
当x取何值时,长方形的面积最大？
x y
用函数表达式表示：
2 Y=x(10-x)=-x +10x
做一做
列表法—用表格表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的 一边长为xcm,面积为ycm2.
x y
用表格表示：
x 10-x y 1 9 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1 9
16 21 24 25 24 21 16
2 2
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10
一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
你能分别用函数表达式,表格
和图象表示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数 为x,那么它们的积y是如何随x的变 化而变化的?
2
y x2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或y x 1 1. 坐标分别是什么? y x 2x
2
2
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线x=1,顶点 坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
用三种方式表示二次函数-二次函数PPT精品教学课件
…
8
3
0
-1
0
3
8
…
做一做
图象法—用图象表示函数
用图象表示:
两个数相差2,设其中较大的一个数为 x,那么它们的积y是如何随x的变化而 变化的? 2
y x 2x
y x 2x
2
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么? ∵x表示任意一个数 ∴自变量x的取值范围是: 或y x 1 1. 全体实数
做一做
图象法—用图象表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的 一边长为xcm,面积为ycm2.
用图象表示:
x y
议一议
在上述问题中,自变量x的
取值范围是什么？
x
y
因为x表示周长为20cm矩形的
边长,所以x>0,10-x>0.因此， 自变量x的取值范围是0<x<10.
议一议
5
当x取何值时,长方形的面积最大？
九级数学(下)第二章 二次函数
用三种方式表示二次函数
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
x y
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
2
y x2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或y x 1 1. 坐标分别是什么? y x 2x
2
2
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线x=1,顶点 坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
《用三种方式表示二次函数》二次函数4精选优质 PPT
2
小圆圈的总数
3
4
5
(3)如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示 这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小
圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个
比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此
第6个图形应该有21个小圆圈．
用三种方式表示二次函数
(1)自变量函x的数取值的范围表是什格么? 表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值
格和图象表示这种变化吗?
6或－1 对B应. 关系；
y1＜y2 函D数. 的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化
趋势； （乐山·中考）设a,b是常数，且b＞0，
2<x2<3时，y1与y2的大小关系正确的是(
(2) 边上的小圆圈数 1
2
3
4
5
小圆圈的总数 1
3
6
10 15
(3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……
m=1+2+3+4+ ……+n=No Image
1.（乐山·中考）设a,b是常数，且b＞0，
抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，
则a的值为（ ）
x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 -1 0 3 8 …
3．用图象表示：
4．根据以上三种表示方式回答下列问题： (1)自变量x的取值范围是什么? (2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? (3)如何描述y随x的变化而变化的情况? (4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三 个问题的?
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用三种方式表示二次函数课件+教案+拓展资
源
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
教材答疑：“用三种方式表示二次函数”的意义是什么
据研究，函数的多种表示、各种表示之间的联系与转化是函数学习中的“大思想”。
函数有四种表示形式：语言表示、表格表示、图象表示、代数式表示。
其中后三种是数学的形式。
这四种表示形式各有其特点，它们从不同的侧面反映变量之间的关系，文字的（或口头的）、数值的、图象的和符号的，在用不同的表示形式表示同一关系时，它们之间应该是互相联系的。
如y=x2，y的值在x=0时最小，它的图象除顶点外都在x轴的上方，且关于y轴对称等。
而语言表示向数学表示的转化，以及从数学表示回到实际问题，就是数学建模。
关注了各种表示之间的联系与转化，也就关注了学生对函数关系的理解、对数学方法的理解。
事实上，这一思想渗透在二次函数整章的内容中，如一般二次函数的作图，始终都在考虑表达式与图象之间的联系、表达式的变化引起图象相应的什么变化等，一直在用分析、推理的方法，而不只是简单的描点作图。
2。