数学建模钢管下料问题

重庆交通大学

学生实验报告

实验课程名称数学建模

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开课实验室数学实验室

学院信息院11 级软件专业班 1 班

学生姓名

学号

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开课时间2013 至2014 学年第 1 学期

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实验一

钢管下料问题

摘要

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生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 来解决这类问题.

关键词线性规划最优解钢管下料

一，问题重述

1、问题的提出

某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料

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2、问题的分析

首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通

过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.

二，基本假设与符号说明

1、基本假设

假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 2、定义符号说明

（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .

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（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）.

三、模型的建立

由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下

每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）.

决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：

Min=（1x ⨯+2x ⨯+3x ⨯+4x ⨯）⨯a (1)

为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有

11r ⨯1x +12r ⨯2x +13r ⨯3x +14r ⨯4x ≧15

(2)

(

21r ⨯1x +22r ⨯2x +23r ⨯3x +24r ⨯4x ≧28 (3) 31r ⨯1x +32r ⨯2x +33r ⨯3x +34r ⨯4x ≧21 (4)

41r ⨯1x +42r ⨯2x +43r ⨯3x +44r ⨯4x ≧15 (5)

每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是：

1750≦290⨯11r +315⨯21r +350⨯31r +455⨯41r ≦1850

（6）

1750≦290⨯12r +315⨯22r +350⨯32r +455⨯42r ≦1850

（7）

1750≦290⨯13r +315⨯23r +350⨯33r +455⨯43r ≦1850

（8）

，

1750≦290⨯14r +315⨯24r +350⨯34r +455⨯44r ≦1850

（9）

由于排列顺序无关紧要因此有

1x ≧2x ≧3x ≧4x

(10)

又由于总根数不能少于

（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1850≧ (11) 也不能大于

（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1750≦ (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有

#

i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5

(13)

四、模型的求解

将（1）~（13）构建的模型输入 经计算绘制成表格如下：

即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解： Min=（14⨯11/10+5⨯12/10）⨯a =21.4a

五、结果分析、模型的评价与改进

下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模

型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.

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六、参考文献

【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.

七、附录

模型求解的算法程序：

model:

min=x1*+x2*+x3*+x4*;

r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;

r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;

/

r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;

r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;

290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;

290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;

290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;

@

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;

290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;

290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;

290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;

x1+x2+x3+x4>=19;

x1+x2+x3+x4<=20;

x1>=x2;

￥

x2>=x3;

x3>=x4;

r11+r21+r31+r41<=5;

r12+r22+r32+r42<=5;