含参数及绝对值的二次函数解题策略初探
含参数及绝对值的二次函数解题策略初探
一
４ 个 交 点 ， 只 需 。 一 丢 ＜ １ ＜ 。 ，
故ｌ ＜ ａ ＜ ５
４ ．
图１
点评 ： 本题体现 了数形 结合 的思想． 它常用来研 究方
程根 的情 况、 讨 论 函数 的值 域 （ 最值 ） 及 求 变量 的 取 值 范
、
知 识 梳 理
都不在 轴上方 ， 求ｂ 的最小值．
解析 ： 由已知 ， 对 任意
ｖＪ ＾Ｌ ＝一 ６
２ ）绝对值 函数其 图像作 法也应 依不 同区 间分 别来
作： 作 ＝ Ｉ ｆ （ ｘ ） ｌ 的图像可将ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图像在 轴下方的部
分翻折 Ｎｘ 轴上 方 ， 其余部 分不变 ； 作ｙ ＝ ｆ （ ） 的图像可 先作 ０ ３ ｙ ＝ ｆ（ ｘ ） 当 １０ ＞ 时 的 图像 ， 再利用 偶 函数的 图像关 于Ｙ 轴对 称 ， 作 出ｙ ＝ ｆ（ ｘ ） （ ｘ ＜ Ｏ ） 的 图像． 而一 般绝对值 二次 函数可 由以上两种基本绝对值 函数组合 或变换得到．
以发 现 ， 当抛 物线ｈ （ ｘ ） 与射 线ｇ （ ） ＋ ３ 相 切时 ， ５ ６ － 最 小
二、 策 略探 究
策略 １ ： “ 以形 助 数 ” 为主 。 “ 以数 定 形 ” 为 辅
值 ． 故 由 ｙ ： ｛ 卅 ｊ 。 ‘ ， 消 去 有 ２ ＋ ｘ ＋ ３ — ６ ： ０ ， 由 △ ： ｏ Ｎ ｉ ￣ ｂ ：
ｇ （ ） ＝ Ｉ 斛０ ｌ ， ｈ （ ｘ ） ＝ － － ｘ Ｅ ＋ ｂ ， 函
数ｇ （ ｘ ） 与ｈ （ ｘ ） 的 图像 如 图
’
・
’ ，
．
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。
二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。
一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。
它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。
例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。
当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。
（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。
本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。
二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。
例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解 由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。
例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线的形状。
而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。
在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。
首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
这个函数有一个重要的性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。
接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为：g(x)，<d其中g(x)是一个与x有关的函数，d是一个正实数。
这个不等式的含义是，g(x)的绝对值小于d时，不等式成立。
现在，我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。
假设我们要证明以下不等式成立：ax^2 + bx + c， < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。
首先，我们可以将不等式拆分成两个部分，考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况：当g(x) 大于等于 0 时，以及当g(x) 小于 0 时。
对于这两种情况，我们可以分别进行讨论和证明。
情况一：g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时，即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为：ax^2 + bx + c < k接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。
这可以通过求导数的方式来实现。
我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。
然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。
我们将这个最大值命名为M。
因此，我们可以将不等式进一步简化为：g(x)<M然后，我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性，比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。
扬州市初中数学名师工作室交流课件：探索二次函数综合题解题技巧-(共28张PPT)【可编辑全文】
求抛物线和直线BC的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上
的一个动点，求使△BPC为直角三角 形的点P的坐标.
解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），
得BC2=OB2+OC2＝18,
PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,
探究平行四边形：①以已知边为平行四
边形的某条边，画出所有的符合条件的 图形后，利用平行四边形的对边相等进 行计算；②以已知边为平行四边形的对 角线，画出所有的符合条件的图形后， 利用平行四边形对角线互相平分的性质 进行计算；③若平行四边形的各顶点位 置不确定，需分情况讨论，常以已知的 一边作为一边或对角线分情况讨论.
（1）求抛物线的解析式并写出 其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛 物线上，动点N在对称轴I上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此 时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时， 求四边形PABC面积的最大值及此 时点P的坐标．
方法指导：
1.三角形面积最值.分规则与不规则。有 底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平 行属于规则，直接用面积公式求解。没 有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴 属于不规则，用割补法。
类型四 特殊四边形的探究问题
例 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、
C两点，其中C点的横坐标为2.
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达
式；
（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存
在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平
简单概括就是规则与不规则线段的 表示：规则：横平竖直。横平就是 右减左，竖直就是上减下，不能确 定点的左右上下位置就加绝对值。 不规则：两点间距离公式
二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体,因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.一、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y ＝ａｘ2+b ｘ＋c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a >0向上，a ＜0向下；常数项ｃ描述抛物线与y 轴的交点（0，ｃ)，c >0时交点处x 轴上方，c <0时交点处x 轴的下方,c =0时时处原点;由对称轴公式x =－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b ２-4a ｃ大于0,等于0或小于0，决定抛物线和ｘ轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x =±１时ｙ的值的情况,来确定a ±b +c 等的符号问题．例１ 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(４,－11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的( )A 、只有a ﻩﻩB 、只有bC 、只有c ﻩＤ、有ａ和ｂ解：由顶点为（４,-11），抛物线交ｘ轴于两点,知ａ>0.设抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｘ1,x 2，即x １、x 2为方程ax 2+b ｘ＋c =0的两个根，由题设ｘ1x ２＜0知a c <0,所以c <0，又对称轴为ｘ=4知－ab2>０，故ｂ＜0.故选（A)． 二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数ａ、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2 已知二次函数f (x )=a ｘ2+b ｘ+ｃ的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=ｆ（99)=1999,|c |<1000，则c = .解：由已知f (ｘ)＝ax ２+bx+c ，且ｆ(19)=f (９9)=１99９，因此可设ｆ(ｘ)=a (x －１9)（ｘ－9９）+19９９,所以a ｘ2+bx+c =a （x -19)(x -99)+1999=ａx 2－(19+99)x +1９×99a ＋1999,故c ＝1999+1881ａ.因为｜ｃ|<1000,a 是整数，a ≠０,经检验,只有a =-1满足，此时c =１999-18８1=1１8．例３ 已知a,ｂ，c 是正整数,且抛物线y ＝ａx ２+bx+c 与x 轴有两个不同的交点Ａ，B,若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值.解:设A 、B 的坐标分别为A(x １，0),Ｂ(x ２，０)，且ｘ1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx+ｃ＝0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x ２<０ 又由题设可知△=b 2-4ac >０，∴b >2ac ① ∵|OA|=|x 1|＜1,|OB|=｜x ２|<1,即－1<x 1,x 2<0, ∴ac=x １x 2<1,∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当ｘ=－１时y >0， ∴a （－１)2+b (-1）＋c >０,即a ＋ｃ>ｂ． ∵b ,a +ｃ都是整数,∴a+c ≥b +1 ③ 由①,③得a+ｃ>2ac +1,∴(c a -)2>1，又由②知,c a -＞1,c a >＋1，即ａ＞(c +１)2≥（1+1)2＝4∴ａ≥５，又b ＞２ac ≥215⨯＞4,∴ｂ≥5 取a =5，b =5,c =1时，抛物线y ＝5x 2+5x ＋1满足题意. 故a+b ＋c 的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a 、b 、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a 、b 、c 建立联系．例4 如果y =ｘ2-(ｋ－1)x -k －1与ｘ轴的交点为A,Ｂ,顶点为C ，那么△ＡB Ｃ的面积的最小值是( )Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４解：由于△=(k －1)2＋４(k ＋1）=（k +1）2+4＞０,所以对于任意实数k ,抛物线与x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x 1,x 2，则：｜AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k ）, 因此Ｓ△ＡB Ｃ=52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k 因为k ２＋2ｋ+5＝（k +1)2＋4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △AＢC ≥14813=,故选A. 四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例5 已知二次函数y=x ２-x -2及实数ａ>－２.（1)函数在－２<x ≤a 的最小值; (2)函数在a ≤x ≤a ＋2的最小值. 解：函数y ＝x ２-x -2的图象如图1所示.(1）若－2＜a <21,当x ＝a 时,ｙ最小值=a 2-a －2若a ≥21，当x ＝21时,y 最小值=－49.(2)若－2<ａ且ａ+2<21，即-2<a <－23,当x ＝a +２时，ｙ最小值=（a +２）2-(a +2)－2=a ２+3a ，若a <21≤a +２,即-23≤ａ＜21，当ｘ=21时,y 最小值=-49．若a ≥21，当x =a 时,ｙ最小值=a 2－a -2．例6 当|ｘ+１｜≤６时,函数y ＝x |x |-2x +１的最大值是 . 解：由|x +1|≤６,得－７≤x ≤５,当0≤x ≤5时，y ＝x 2－2x ＋１=(x －1)2，此时y 最大值=（5－1）２=1６．当－7≤x <0，y =－x ２－2x ＋1=2-(x +1)2,此时y 最大值=2. 因此,当－7≤ｘ≤５时，y 的最大值是-1６．说明：对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程.例7 当a 取遍０到5的所有实数时，满足3ｂ=a (3ａ－8)的整数b 有几个？解：由３b =a （3ａ-８）有b ＝a 2-38a ,即b =(a －916)342-,因为,当ａ=0时，b =0时;当ａ=5时,b =1132利用二次函数图象可知－916≤b ≤1132所以ｂ可取到的整数值为－1,0,1,…,１１,共有1３个． 例8 已知a <0,b ≤0,c >0,且ac b 42-=b -2a ｃ,求b 2-4a ｃ的最小值. 解:令y ＝ax ２+bx+ｃ，由于ａ<0，b≤0，c >0，则△=b 2-4ａc >0,所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，Ｂ（x 2,0)．因为ｘ1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2,则ｘ１<0＜x 2,对称轴x ＝-ab 2≤0，于是｜x １|=c a acb b a ac b b =--=-+-242422, 故ab ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2-4ａc ≥4，当a =-1，b =0，c =1时，等号成立． 因此,b ２-4ａｃ的最小值为4． 练习题:１、已知二次函数y=a ｘ２＋bx+c 图像如图３所示,并设Ｍ=｜a+b+c |－｜a －b +ｃ|+|２ａ+b |-|２a -b ｜，则( ） Ａ、M >0 B 、M ＝０C 、M <0D 、不能确定M 为正、为负或为0 (答案:C)2、已知二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c （其中ａ是正整数)的图象经过点A(-1，４）与点B(2,１），且与x 轴有两个不同的示点,则b+c 的最大值为 ．(答案:-４)3、如图4,已知直线y =－2ｘ+3与抛物线y=x ２相交于Ａ、Ｂ两点,O 为坐标原点,那么△OＡＢ的面积等于 .(答案:6)4、设ｍ为整数,且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于-59而小于73,则ｍ＝ ．图3 图4(提示：设y =３ｘ2+m ｘ-2，由题设可知x =－59时ｙ>0，且x ＝73时y >0．答案：４)5、已知函数y =(a +2）ｘ2-2(a 2－1)ｘ＋1，其中自变量x 为正整数,a 也是正整数，求x 为何值时,函数值最小．(答案：x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<-=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当a a a a a a (其中a 为正整数),函数值最小.６、已知关于x 的方程x 2-（２m -3)x ＋m －４=０的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-２，α2>0，求m 的取值范围．(答案:5674<<m ) ７、已知关于正整数ｎ的二次式y ＝n 2+an （ａ为实数),若当且仅当n =5时,y 有最小值，则实数a 的取值范围是 .(答案:－11＜ａ<-9)。
二次函数及绝对值
表達式 b 2 4ac 稱為二次方程的 判別式， 並以符號 來表示，即 b 2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個不等的實根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個相等的實根 （或稱該二次方程有二 重根）
x 10 1 或 3 2
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.2
1 若二次方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 試求 k 的值及方程的另一根
1 解： 因為方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 2 1 1 2 k 6 0 2 2 1 k 6 0 2 2 1 k 12 0 左右兩邊乘以 2。
2
x
3 17 4
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
利用配方法推導二次公式
解方程 ax 2 bx c 0 ， 其中 a 0
x2
2
b c x a a
2 2
b b b c x x a 2a 2a a b b 2 4ac x 2a 4a 2 b b 2 4ac x 2a 2a
解： (a) (6) 2 4(3)(2)
12 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為無理數 (b) (3) 2 4(2)(2) 25
52 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為有理數 (c) (12) 2 4(9)(4)
1
二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
初中二次函数的解题方法
11.1班沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a ∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。
1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△及系数的代数符号。
常见问题1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
二次函数知识点和解题方法总结
二次函数知识点及解题方法总结、二次函数概念：1．二次函数的概一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y ax2 c 的性质：上加下减3. y a x h 2的性质：左加右减24. y a x h k 的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0向上 h ，kX=h x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值k ．a0向下h ，kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ，确定其顶点坐标 h ，k ；②保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：方法二：① y ax 2 bx c 沿 y 轴平移: 向上(下)平移m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx cm )：② y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”．四、二次函数 y a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看， y a x h k 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b 4ac b 2b 4ac b 2 者，即 y a x，其中 h ，k ．2a 4a 2a 4ay=ax 2y=ax 2+k平移 |k|个单位y=a (x-h) 2向右 (h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2 +k向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位向右( h>0) 【或左 (h<0)】 向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k <0) 】 平移 |k|个单位向右 (h>0)【或左(h<0)】 平移 |k| 个单位五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式 ya(x h)2 k ，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，0 (若与x 轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质21. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b ．当 x b 时，y2a 2a 4a 2a2随 x 的增大而减小；当x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时，y 有最小值 4ac b ．2a 2a 4a2随 x 的增大而增大；当x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时，y 有最大值 4ac b ．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c (a ，b ，c 为常数，a 0)；2. 顶点式：y a(x h)2 k (a ，h ，k 为常数，a 0)；3. 两根式：y a(x x 1)(x x 2)(a 0，x 1， x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解 析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 ．⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb， 2a ，顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 2b a 时，y2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a 0 的前提下，当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵ 在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴x b在2ay 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2. 关于y 轴对称y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）b2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b；2a22y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k ．5. 关于点m ，n 对称22y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的x1 ，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1b 4ac.a② 当0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 ，c）；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c 中a ，b ，c的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c a（ 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：一、二次函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2 的图像经过原点，则m的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题。
53.怎样快速求含绝对值的二次函数最值---刘培杰 代数
53怎样快速求含绝对值的二次函数最值我们介绍如下的含绝对值的二次函数，即形如①c bx d c b a y i i n i ++++⋅+⋅=∑=ωμμ||21 或 ②c bx ax L c b x a y i l ni +++⋅+⋅+=∑=21|.|)((其中c b a n i d c b a i i i i ,,,,,2,1,,,, =均为常数，且①中的②,i i b a 中的i i c a 不全为零，),,2,1n i = 的极值的一种快速求法，其方法与步骤为：(1)找出函数的零点，将函数写成分段函数；(2)找出分段函数中每个抛物线顶点的横坐标在相应分段区间上的点；(3)列表，表中第一横行x 列函数的零点值及抛物线顶点横坐标在相应分段区间上的值将(一∞，+∞)分成若干区间；表中第二横行Y 列出第一横行中相应点的Y 值，再根据相邻两点处Y 值的大小，画出抛物线段上升(记作7↗)或下降(记作↘)的方向；(4)表中相邻两箭头相反处，即是函数的极值点及极值．例1求函数|6|22---+=x x x y 的极值．解 (1)令,062=--x x 解得函数的零点一2，3，将所给函数写成分段函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤≤---<++-=3,8232,42,82222x x x x x x x x y (2) )2,(1,122--∞∉=-- ]3,2[0,020-∈=- ),3(1,12+∞∉=- (4)由表明显看出：当x=一2时，函数y 取极大值0；当x=0时，函数y 取极小值一4；当x=3时，函数y 取极大值5．例2 求函数1|1||4|2++--=x x y 的极值．解 令04,012=-=+x x 得函数的零点为一2，一l ，2，所给函数写成分段函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+---<≤-++--<-+=2,421,42,62,22222x x x x x x I x x x x x x y 而)2,(21--∞∉- ].1,2[2121--∉=-- ]2,1[2121-∈-=--- ),2(2121+∞∉=-- 列表[注：a ，b 表示(a ，b)区间]：由上表明显看出：当x=一2时，函数Y 取极小值0；当21-=x 时，函数y 取极大值;417 当x=2时，函数Y 取极小值一2．。
初中含参二次函数的最值问题
初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。
其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。
在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。
1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。
我们来考虑这个函数的最值问题。
（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。
其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。
（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。
其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。
可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。
具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。
下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。
2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。
【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。
实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。
具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。
（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。
（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。
含参数二次函数分类讨论的方法总结
含参数二次函数分类讨论的方法总结二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略。
它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类然后逐类解决问题。
对于二次函数y=a(x-m)+n，x∈[t，s]求最值的问题，解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
分类图如下：t+s/2为对称轴，①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。
然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论。
题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值。
例如，求函数f(x)=x-2ax+3在x∈[0,4]上的最值。
先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：f(x)=x-2ax+3=(x-a)+3-a，此函数图像开口向上，对称轴x=a。
①、当a＜0时，距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=0时，ymin=3，x=4时，ymax=19-8a。
②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a 最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=4时，ymax=19-8a。
③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=0时，ymax=3.④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=4时，ymin=19-8a，x=0时，ymax=3.题型二：“区间定动轴”型的二次函数最值。
例如，已知函数f(x)=ax^2+(1-2a)x-3在[0,1]上最小值为-2，求实数a的值。
二次函数含参问题总结归纳
二次函数含参问题总结归纳1. 引言二次函数是数学中的一种重要函数形式，在各个领域都有广泛的应用。
它的一般形式可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数。
在二次函数中引入参数之后，我们可以进一步研究函数的特性及其与其他变量之间的关系。
本文将对二次函数含参问题进行全面、详细、完整且深入地探讨。
2. 二次函数含参的一般形式二次函数含参可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数，也可以是变量。
这样的表达方式使得函数可以根据不同的参数取值呈现出不同的性质和特性。
3. 二次函数的图像特征二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a> 0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。
3.1 顶点坐标对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)。
通过求解一阶导数为零的方程，我们可以得到顶点的横坐标−b2a，然后将横坐标代入函数中求得对应的纵坐标。
3.2 对称轴二次函数的对称轴是以顶点为中心的直线。
对于一般形式的二次函数y=ax2+ bx+c，其对称轴的方程为x=−b2a。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
3.3 焦点和准线对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，如果a≠0，则该函数的图像是一个抛物线。
在抛物线上存在一个焦点和一条准线。
焦点的坐标可以通过以下公式求得：(−b 2a ,1−4ac 4a) 准线的方程为 y =14a 。
4. 二次函数含参的特性研究通过引入参数，我们可以进一步研究二次函数的特性及其与其他变量之间的关系。
4.1 参数 a 的影响参数 a 决定了二次函数的开口方向和抛物线的斜率。
当 a >0 时，图像开口向上，抛物线的斜率为正；当 a <0 时，图像开口向下，抛物线的斜率为负。
同时，a 的绝对值越大，抛物线的开口越宽。
4.2 参数 b 的影响参数 b 决定了抛物线与 y 轴的位置关系，也是对称轴的横坐标。
对一道含绝对值的二次函数的变式探究
０ ． ５处 取 得 ．
变式 ７ 已知 口 ∈Ｒ， 函数 厂 （ ｚ ） 一ｚｌ Ｘ －ａＩ ．
当 厂 （ ２ ） 一４时 ， 解得 ￡ 一２或
（ １ ）当 ａ ＞ ２时 ， 求 函数 一厂（ ｚ ） 在 区间 ［ １ ， ２ ］ 上
的最 小值 ； （ ２ ）设 ａ ≠０ ， 函数 一厂 （ ｚ ） 在（ ， ） 上 既有 最 大
．、
解析
２ ］ 上 的 图 象 有 ２种 情
…
一
１ ６ 为 所求 ． 领悟 去绝对 值 找到 ｎ 、 ｂ的关 系 ， 消 元 转 化是 解
况， 一是类似图 １ ， 二 是 如 图 ４所 示， 其 最 大值 只能 在 ｚ 一 ２和 一
一
２ Ｄ ．
２
】
决本 题 的关键 ．
，
解 得 ｚ 一
．
象． 易求得 厂 （ ０ ） 一ｆ （ １ ） 一寺， 由图象可得 口 ∈（ ｏ ， 寺） ．
所以 。 ≤ ＜
【 — ｚ （ ｚ — ｎ ） ，
＜ ≤
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｜ 。 Ｄ 旦 ２ 口
图５
圈 ７
．
．
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口 ！ ｌ ・ 旦 ２ ／
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０ ● ＿ ＿ ● － ＿
图 ８
领悟
数形 结 合是 一把 双 刃 剑 ， 既 要借 助 于 函数
ｂ ）当 ｎ ＜ ０时 ， 由图 ８
ｌ — Ｘ “
４ ＇
、
的图象 增加 解题 的直观 性 ， 也要 借 助 于 数来 刻 画 图象
的精确 性 ．
解得 —
含参数二次函数分类讨论的方法情况总结
二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。
然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。
分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+-∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠(Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当0a =<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或32a --=评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。
含参数二次函数分类讨论的方法总结
二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x ?m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。
分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值 分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论. 解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠ (Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当302a -+=<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或a =评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。
二次函数的绝对值问题中的“系数反表示”简便运算
二次函数的绝对值问题中的“系数反表示”简便运算
二次函数的绝对值问题一直受高考与竞赛命题者的青睐，缘由是它既是我们比较熟悉的知识内容，又能考查学生综合分析问题的能力．如何破解这类问题呢？
在各种教辅资料和试题解答中也没有一种固有的解题模式，很多时候往往采用分类讨论思想解决，但经常讨论不清楚．本文想尝试“系数反表示”的方法解决二次函数的绝对值问题中的“证明、最值、范围”，希望在解决此类问题时给大家带来帮助．
01
二次函数绝对值的“证明”问题
02
二次函数绝对值的“最值”问题
03
二次函数绝对值的“范围”问题。
二次方程中的参数探究
专题04 二次方程中的参数探究类型一 仅利用韦达定理求参数1．已知关于x 的方程()22210x k x k +++=的两个实数根的平方和是7，则k =________．【答案】1.【解析】【分析】设方程()22210x k x k +++=的两个实数根分别为m 、n ，根据根与系数的关系可得出m+n=-2k -1，mn=k 2，结合m 2+n 2=7即可得出关于k 的一元二次方程，解方程可得出k 的值，再根据方程两个实数根，结合根的判别式即可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式可得出k 的取值范围，由此即可确定k 的值．【详解】设方程()22210x k x k +++=的两个实数根分别为m 、n ，则有：m+n=-2k -1，mn=k 2，∵m 2+n 2=（m+n ）2-2mn=7，∵（-2k -1）2-2k 2=7，即k 2+2k -3=0，解得：k=-3或k=1．∵方程有实数根，∵∵=（2k+1）2-4k 2=4k+1≥0，∵k≥-14， ∵k=1．故答案为1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系找出关于k 的一元二次方程以及根据根的判别式找出关于k 的一元一次不等式是解题的关键．2．关于x 的方程22(2)04m x m x ---=两个实根12,x x 满足123x x =+，则m 的值为_______． 【答案】5或1-.【解析】【分析】先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到122x x m +=-，21204m x x •=-≤，结合123x x -=，通过变形求值，即可求出m 的值. 【详解】 解：在方程22(2)04m x m x ---=中，有 2222[(2)]41()2442(1)204m m m m m ∆=---⨯⨯-=-+=-+>， ∵原方程有两个不相等的实数根；根据根与系数的关系，有：12(2)21m x x m --+=-=-，22124014m m x x -•==-≤， ∵123x x =+， ∵123x x -=， ∵22112229x x x x -•+=， ∵2121212()229x x x x x x +-•-•=，∵2121212()229x x x x x x +-•+•=，∵2(2)9m -=，解得：15m =，21m =-；故答案为：5或1-.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，以及完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.3．关于x 的一元二次方程ax 2＋2ax ＋b ＋1＝0（a •b ≠0）有两个相等的实数根k ．（ ） A ．若﹣1＜a ＜1，则k k a b > B ．若k k a b >，则0＜a ＜1 C ．若﹣1＜a ＜1，则k k a b < D ．若k k a b<，则0＜a ＜1 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a 与b 的数量关系，然后代入方程求k 的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，∵Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，又∵ab≠0，∵a−b−1＝0，即a＝b＋1，∵ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝−1，∵k＝−1，∵k ka b-＝1111(1)a a a a-+=--，∵当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，此时k ka b-＞0，即k ka b>；当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，此时k ka b-＜0，即k ka b<；故A、C错误；当k ka b>时，即k ka b-＞0，1(1)a a-＞0，解得：a＞1或a＜0，故B错误；当k ka b<时，即k ka b-＜0，1(1)a a-＜0，解得：0＜a＜1，故D正确故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．4．已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.【答案】（1）m≤5；（2）4.【解析】【详解】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出∵=20﹣4m≥0，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=6①、x1x2=m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=﹣x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值．试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∵∵=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m≥0，解得：m≤5，∵m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∵x1+x2=6①，x1x2=m+4②．∵3x1=|x2|+2，当x2≥0时，有3x1=x2+2③，联立①③解得：x1=2，x2=4，∵8=m+4，m=4；当x2＜0时，有3x1=﹣x2+2④，联立①④解得：x1=﹣2，x2=8（不合题意，舍去）．∵符合条件的m的值为4．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式.5．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0【解析】【分析】（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式∵=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；（3）结合（2）的结论即可得出关于k 的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．【详解】解：（1）证明：当k +1=0，即k =-1时，原方程为-4x -4=0，解得：x =-1；当k +1≠0，即k ≠-1时，∵=（3k -1）2-4（k +1）（2k -2）=k 2-6k +9=（k -3）2≥0，∵方程有实数根，综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）∵方程有两个整数根，∵()1133121k k x k -+-==-+，()()()2133214=-2+21+1k+1k k k x k k ----==+，且k ≠﹣1， ∵x 2为整数，k 为正整数，∵k =1或k =3；（3）由（2）得x 1=-1，24-2+k+1x =，且k ≠-1， ∵|x 1-x 2|=44-1--2+13k+11k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭， 解得：k =-3或k =0，经检验k =﹣3或k =0是原方程的解，故k 的值为﹣3或0．【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑；（2）找出x 1=﹣1，24-2+k+1x =；（3）找出关于k 的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．类型二 根据根的范围求参数范围6．关于x 的方程()221-m x +2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是_______________.【答案】m 1=或m 2>【解析】【分析】分1-m 2=0，1-m 2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：当1-m 2=0时，m=±1，当m=1时，可得2x -1=0，x=12，符合题意；当m=-1时，可得-2x -1=0，x=-12，不符合题意；当1-m 2≠0时，（1-m 2）x 2+2mx -1=0，即 [（1+m ）x -1][（1-m ）x+1]=0，∵x 1=11+m ，x 2=-11m-， ∵关于x 的方程（1-m 2）x 2+2mx -1=0的所有根都是比1小的正实数，∵0＜11m +＜1，解得m ＞0， 0＜-11m-＜1，解得m ＞2， 综上可得，实数m 的取值范围是m=1或m ＞2．故答案为m=1或m ＞2．【点睛】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1-m 2=0，1-m 2≠0两种情况讨论求解.7．实数k 取何值时，一元二次方程x 2－(2k －3)x ＋2k －4＝0：(1)有两个正根；(2)有两个异号根，并且正根的绝对值较大；(3)一根大于3，一根小于3.【答案】(1)见解析．（2）见解析，（3）见解析．【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答.（1）有两个正根时，x 1＞0，x 2＞0，即x 1＋x 20＞,x 1x 20＞.由此得到k 的取值.（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大，即x 1＞0，x 2＜0且|x 1|＞|x 2|.即x 1＋x 20＞,x 1x 20＜.由此得到k 的取值.（3）一根大于3，一根小于3时，即x 1＞3，x 2＜3. 则k 应满足条件：(x 1－3)(x 2－3)＜0，即x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＜0. 由此得到k 的取值.【详解】解：∵Δ＝[－(2k －3)]2－4(2k －4)＝4k 2－20k ＋25＝(2k －5)2≥0，∵k 取任何实数，方程都有两个实数根．设该方程的两根为x 1，x 2，则由韦达定理，得x 1＋x 2＝2k －3，x 1x 2＝2k －4.(1)若使x 1＞0，x 2＞0，则k 应满足条件：1212230240x x k x x k +=->⎧⎨=->⎩解得322k k ⎧>⎪⎨⎪>⎩,∵当k ＞2时，方程有两个正根．(2)若使x 1＞0，x 2＜0且|x 1|＞|x 2|，则k 应满足条件：1212230240x x k x x k +=->⎧⎨=-<⎩解得322k k ⎧>⎪⎨⎪<⎩,∵当32＜k ＜2时，两根异号，且正根的绝对值较大．(3)若使x 1＞3，x 2＜3，则k 应满足条件：(x 1－3)(x 2－3)＜0，即x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＜0.∵2k －4－3(2k －3)＋9＜0，k ＞72.∵当k ＞72时，方程一根大于3，另一根小于3. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键.8．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m 的取值范围；（3）若x 1，x 2为方程的两个根，且n ＝x 12＋x 22﹣8，试判断动点P （m ，n ）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）7m >；（3）经过定点（﹣3，21），理由见解析【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，即可证明；（2）根据一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，继而列出不等式解不等式求解即可； （3）先由一元二次方程根与系数的关系得出121224x x m x x m +-＝，＝，代入n ＝x 12＋x 22﹣8，，从而将动点P （m ，n ）仅用含m 的代数式表示，再将点（﹣3，21）代入验证即可．【详解】（1）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0，1,,24a b m c m ==-=-，∴()()()2222442481640b ac m m m m m -=---=-+=-≥∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0， 1,,24a b m c m ==-=-，42m m x ±-∴==122,2x m x ∴=-=该方程一个小于5的根，另一个根大于5，25m ∴->解得7m >（3）121224x x m x x m +-＝，＝∴ n ＝x 12＋x 22﹣8()2121228x x x x =+--()22248m m =---24m m =-∵动点()P m n ，可表示为()24m m m -， ∴当m ＝-3时，2491221m m -=+=∴动点()P m n ，所形成的数图象经过点点()3,21-．【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根的判别式24b ac =-△：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及根与系数的关系的应用，以及点的坐标与函数的对应关系．9．对于关于x 的方程x 2＋（2m ﹣1）x ＋4﹣2m ＝0，求满足下列条件的m 的取值范围， （1）两个正根；（2）有两个负根；（3）两个根都小于﹣1；（4）两个根都大于12；（5）一个根大于2，一个根小于2；（6）两个根都在(0，2)内；（7）两个根有且仅有一个在(0，2)内；（8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内；（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；（10）一个根小于2，一个根大于4．【答案】（1）52m ≤-；（2）322m ≤<；（3）不存在符合此条件的m ；（4）52m ≤-；（5）3m <-；（6）不存在符合此条件的m ；（7）2m >或3m <-；（8）不存在符合此条件的m ；（9）不存在符合此条件的m ；（10）3m <-．【解析】【分析】先利用根的判别式求出方程有两实数根时m 的取值范围，再求出函数221)2(4x m y x m -+-=+的对称轴，然后结合二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与x 轴的交点问题分别建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】当221)42(0x m x m -+-=+有两个实数根时，其根的判别式()2214(42)0m m ---≥，即(25)(23)0m m +-≥， 解得32m ≥或52m ≤-， 设221)2(4x m y x m -+-=+， 则此二次函数的对称轴为21122m x m -=-=-+，且其与x 轴的交点的横坐标即为方程221)42(0x m x m -+-=+的根，（1）当方程有两个正根时，则当0x =时，0y >，且二次函数的对称轴大于0， 即420102m m ->⎧⎪⎨-+>⎪⎩，解得12m <，又32m ≥或52m ≤-， 52m ∴≤-； （2）当方程有两个负根时，则当0x =时，0y >，且二次函数的对称轴小于0， 即420102m m ->⎧⎪⎨-+<⎪⎩，解得122m <<，又32m ≥或52m ≤-， 232m ∴≤<； （3）当方程的两个根都小于1-时，则当1x =-时，0y >，且二次函数的对称轴小于1-， 即112420112m m m +-+->⎧⎪⎨-+<-⎪⎩，此不等式组无解， 则不存在符合此条件的m ；（4）当方程的两个根都大于12时，则当12x =时，0y >，且二次函数的对称轴大于12， 即11(21)420421122m m m ⎧+-+->⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得0m <，又32m ≥或52m ≤-， 52m ∴≤-； （5）当方程的一个根大于2，一个根小于2时， 则当2x =时，0y <，即42(21)420m m +-+-<，解得3m <-，又32m ≥或52m ≤-， 3m ∴<-；（6）当方程的两个根都在()0,2内时，则当0x =和2x =时，0y >，且二次函数的对称轴在()0,2内， 即42042(21)4201022m m m m ⎧⎪->⎪+-+->⎨⎪⎪<-+<⎩，解得3122m -<<，又32m ≥或52m ≤-， m ∴不存在；（7）当方程的两个根有且仅有一个在()0,2内时， 则当0x =时y 的值与2x =时y 的值的乘积小于0，即[](42)42(21)420m m m -+-+-<，解得2m >或3m <-，又32m ≥或52m ≤-， 2m ∴>或3m <-；（8）当方程的一个根在()2,0-内，另一个根在(1,3)内时， 则当2x =-时，0y >；当0x =时，0y <；当1x =时，0y <；当3x =时，0y >， 即42(21)42042012142093(21)420m m m m m m m --+->⎧⎪-<⎪⎨+-+-<⎪⎪+-+->⎩，此不等式组无解，则不存在符合此条件的m ；（9）当方程有一个正根，一个负根且正根绝对值较大时，则当0x =时，0y <，且二次函数的对称轴大于0， 即420102m m -<⎧⎪⎨-+>⎪⎩，此不等式组无解， 则不存在符合此条件的m ；（10）当方程的一个根小于2，一个根大于4时，则当2x =和4x =时，0y <，即42(21)420164(21)420m m m m +-+-<⎧⎨+-+-<⎩，解得3m <-，又32m ≥或52m ≤-， 3m ∴<-．【点睛】本题考查了一元一次不等式组、根的判别式、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与x 轴的交点问题等知识点，将一元二次方程的根的问题与二次函数联系起来是解题关键． 类型三 其他型求参数范围10．对于实数,a b ，定义运算“*”；()()22*a ab a b a b b ab a b ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩关于x 的方程()()21*1x x t +-=恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．122t -<<- B ．12t >- C ．1024t << D ．1204t -<< 【答案】C【解析】【分析】设()()21*1y x x =+-，根据定义得到函数解析式22252(2)2(2)x x x y x x x ⎧++≤-=⎨--+>-⎩，由方程的有三个不同的解去掉函数图象与直线y=t 的交点有三个，即可确定t 的取值范围.【详解】设()()21*1y x x =+-，由定义得到22252(2)2(2)x x x y x x x ⎧++≤-=⎨--+>-⎩，∵方程()()21*1x x t +-=恰好有三个不相等的实数根，∵函数22252(2)2(2)x x x y x x x ⎧++≤-=⎨--+>-⎩的图象与直线y=t 有三个不同的交点， ∵22(2)y x x x =--+>-的最大值是4(1)2194(1)4⨯-⨯-=⨯- ∵若方程()()21*1x x t +-=恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是1024t <<， 故选：C.【点睛】此题考查新定义的公式，抛物线与直线的交点与方程的解的关系，正确理解抛物线与直线的交点与方程的解的关系是解题的关键.二、填空题(共0分)11．已知关于x 的方程2245x x n --=，在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，则n 的取值范围是___________________________．【答案】-7＜n ≤-5【解析】【分析】根据“方程有两个不相等的实数根”求出n ＞-7，解出方程，根据在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，求出n 的取值，问题得解．【详解】解：原方程整理得()22450x x n -+--=，∵()2=416425856b ac n n ∆-=-⨯--=+，∵方程有两个不相等的实数根，∵8560n +＞∵n ＞-7，∵x ===∵方程在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，4≥≤， 解得n ≤-5，n ≤11，∵n≤-5，又∵n ＞-7，∵-7＜n ≤-5．故答案为：-7＜n ≤-5【点睛】本题考查了含字母系数的一元二次方程，根的判别式，综合性较强，解题的关键是用公式法求出一元二次方程的两个根，根根据题意列出不等式．12．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x 1，x 2，且x 1＞x 2，则x 1＞3，x 2＜3；③若两个根为x 1，x 2，则（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（x 1﹣3）（x 2﹣3）；④若x p 为常数），则代数式（x ﹣3）（x ﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 _____．【答案】①③【解析】【分析】由Δ＝1+4p 2＞0，可判定①正确；设p ＝0，可得x 1＝3，x 2＝2，可判断②不正确；根据（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝﹣p 2，（x 1﹣3）（x 2﹣3）＝﹣p 2，可判定③正确；由（x ﹣3）（x ﹣2）＝（2p ）2，可判定④不正确．【详解】解：由（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2＝0得x 2﹣5x +6﹣p 2＝0，①Δ＝25﹣4×（6﹣p 2）＝1+4p 2＞0，∵（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；②设p ＝0，关于x 的一元二次方程为（x ﹣3）（x ﹣2）＝0，若两个根为x 1，x 2，且x 1＞x 2， 则x 1＝3，x 2＝2，这与x 1＞3不符合，故②不正确；③若x 2﹣5x +6﹣p 2＝0两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝5，x 1•x 2＝6﹣p 2，（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝x 1•x 2﹣2（x 1+x 2）+4＝6﹣p 2﹣2×5+4＝﹣p 2，（x 1﹣3）（x 2﹣3）＝x 1•x 2﹣3（x 1+x 2）+9＝6﹣p 2﹣3×5+9＝﹣p 2，∵（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（x 1﹣3）（x 2﹣3），故③正确；④∵x p 为常数）， ∵（x ﹣3）（x ﹣2）＝x 2﹣5x +6 ＝251()24x --＝251)24- ＝24p ＝2()2p ，当p 为奇数时，2p 不是整数，此时（x ﹣3）（x ﹣2）不是完全平方数，故④不正确； 故答案为：①③．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．。