北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似单元测试
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试题(有答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果2x＝3y，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．93．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC5．如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：4B．1：3C．1：2D．2：16．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处7．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m8．若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为（）A．9：25B．3：25C．3：5D．2：59．如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（）A．横坐标和纵坐标都乘以2B．横坐标和纵坐标都加2C．横坐标和纵坐标都除以2D．横坐标和纵坐标都减210．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A ．3倍B ．6倍C ．9倍D ．12倍二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．已知，＝，则＝ ．12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，直线l 4、l 5被这组平行线所截，且直线l 4、l 5相交于点E ，已知AE ＝EF＝1，FB ＝3，则＝ ．13．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∠A ＝∠D ＝100°，∠G ＝65°，则∠F ＝ ．14．如图，已知∠BAC ＝∠DAE ，请你再补充一个条件 ，使得△ABC ∽△ADE ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，P 是AD 边上的一个点，连接PB ，PC ，M ，N 分别是PB ，PC 的中点；已知S ▱ABCD ＝16，则S △PMN ＝ ．16．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为45厘米，与像CD 的距离是30厘米，AB ∥CD ．若物体AB 的高度为27厘米，那么像CD 的高度是 厘米．17．已知两个相似三角形的相似比为4：3，则这两个三角形的对应高的比为．18．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．三．解答题（共7小题，共66分）19．已知4：x＝1：75%，求x的值．20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC与点E．如果BD＝4，求AE的长．21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．22．（1）解方程x2﹣3x﹣18＝0；（2）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．23．如图，BD、AC相交于点P，连接AB、BC、CD、DA，∠1＝∠2（1）求证：△ADP∽△BCP；（2）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．24．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．25．先阅读下列材料，然后解答问题．材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝度．（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC 的度数．参考答案一．选择题1．解：∵2x＝3y，∴＝或＝或＝．故选：C．2．解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝6，∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．故选：C．3．解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．故选：D．4．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；故选：D．5．解：由题意可知：DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故选：A．6．解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴马应该落在②的位置，故选：B．7．解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴＝，即＝，∴PQ＝120（m）．故选：C．8．解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：25，∴它们的相似比为3：5，∴△ABC与△DEF的周长比为3：5．故选：C．9．解：由直角平面坐标系得出A（2，1），A1（4，2），B（1，3），B1（2，6），故对应点的横坐标和纵坐标都乘以2．故选：A．10．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．二．填空题11．解：∵＝，∴＝＝﹣5．故答案是：﹣5．12．解：∵l1∥l2，AE＝EF＝1，∴＝＝1，∴FG＝AC；∵l 2∥l 3，∴＝＝，∴＝＝，故答案为．13．解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ＝∠H ＝100°，∴∠F ＝360°﹣∠E ﹣∠H ﹣∠G ＝360°﹣100°﹣100°﹣65°＝95°．故答案为95°．14．解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE ，故答案为：∠B ＝∠D 等15．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S △PBC ＝S ▱ABCD ＝×16＝8，∵M ，N 分别是PB ，PC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝BC ，∴△PMN ∽△PBC ，∴＝（）2＝，∴S △PMN ＝×8＝2．故答案为2．16．解：∵AB ∥CD∴△ABO ∽△CDO∴＝又∵AB ＝27∴CD ＝18．故答案为：18．17．解：因为两个相似三角形的相似比为4：3，所以则这两个三角形的对应高的比为4：3．故答案为4：3．18．解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．三．解答题19．解：4：x＝1：75%，x＝4×75%，解得：x＝2．20．解：∵DE∥BC，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，BD＝4，∴＝，∴AE＝．21．解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴＝＝，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴＝＝，∴DE ＝8，AE ＝2，∴AD ＝AE +DE ＝2+8＝10．22．解：（1）（x ﹣6）（x +3）＝0， ∴x ＝6或x ＝﹣3；（2）∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ；23．解：（1）证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB∴△ADP ∽△BCP（2）∵△ADP ∽△BCP ，∴＝，∵∠APB ＝∠DPC∴△APB ∽△DPC∴＝＝，∴AP ＝624．（1）证明：∵∠EFG ＝∠DFG ， ∴∠EFB ＝∠DFC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△BEF ∽△CDF ；（2）解：∵△BEF ∽△CDF ，∴＝，设FC ＝xcm ，则＝， 解得：x ＝160，答：CF 的长为160cm ．25．解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝40°故答案为：40（2）若BD＝AD，∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°若AB＝BD，∴∠BAD＝69°＝∠BDA∵∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°若AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝42°∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°∴不存在AB＝AD，综上所述：∠BAC的度数为84°或111°。
九年级上册数学单元测试卷-第四章 图形的相似-北师大版(含答案)
九年级上册数学单元测试卷-第四章图形的相似-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，若A,B,C,P,Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的（）．A.丁B.丙C.乙D.甲2、如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A.如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB.如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC.如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD.如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE3、如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽ADE的是（）A.∠B＝∠DB.∠C＝∠EC.D.4、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )A.6B.8C.10D.125、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小李从点A处沿AO所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（）A.变长3.5米B.变长2.5米C.变短3.5米D.变短2.5米6、如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（）A.2.5B.C.D.37、如图，与交于点，则（）A.2B.3C.3.5D.48、如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC= ，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）.A. B. C. D.9、如果点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（）A.AD：DB=AE：ECB.BD：AB=CE：ACC.DE：BC=AD：ABD.AB：AC=AD：AE10、下列几个命题中正确的有（）(1）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似；(3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似。
北师大版数学九年级上册《第四章图形相似》单元测试(含答案)
北师大版数学九年级上册《第四章图形相似》单元测试一．选择题（共12小题）1．若，则的值为（）A．1 B．C．D．2．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF 的面积比为（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：163．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为（）A．90m B．60m C．45m D．30m 4．如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果=，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则=（）A．B．2 C．D．7．如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC=2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．5：7 8．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（）A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B 作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC=6，BC=8，则的最大值为（）A．B．C．D．[来源:学] 10．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10 11．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为何？（）A．10 B．11 C．D．12．如图，，∠1=∠2，则对于结论：①△ABE∽△ACF；②△ABC∽△AEF；③；④．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共5小题）13．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为．14．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=．15．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．17．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG=2DE，AH是△ABC的高，BC=20，AH=15，那么矩形DEFG的周长是．三．解答题（共6小题）18．已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△AB E∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AD=，AE=3，求AF的长．22．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．23．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF 以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K 到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？参考答案一．选择题1．C．2．C．3．B．4．A．5．B．6．A．7．A．8．C．9．B10．D．11．D．12．B．二．填空题13．]4．14．7.5．15.]．16．3．17．36．三．解答题18．（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△C BA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．19．（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∵DF=DC，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．21．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵AE⊥BC，AD=3，AE=3，∴在Rt△DAE中，DE===6，由（1）知△ADF∽△DEC，得=，∴AF===2．22．解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）23．解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，∵PE=2，∴KE=2﹣1=1，∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，∴MP=，ME=，∴NE=；故答案为：1；；（2）由（1）并结合题意可得，AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），解得，t=；（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，由（2）得，﹣t+2=t，解得，t=；（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，即，0＜t≤2；②当点k在EF上时，则KE=t﹣2，BP=8﹣t，∵△BPK∽△PKE，∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），解得t=3，t=4；③当点K运动6秒时，点K到点F，点P还没到点B，∴点K不可能在BC边上，．综上，当0＜t≤2或t=3或t=4时，△PKB是直角三角形．。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试(含解析)
1北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试（含解析）一、选择题1.已知x∶y=5∶2,则下列各式中不正确的是( ) A.=B.- =C.=D.- =答案 D A.由合比性质,得=,故A 正确;B.由分比性质,得- =,故B 正确;C.由反比性质,得y∶x=2∶5,由合比性质,得 = ,再由反比性质,得 =,故C 正确;D.由反比性质,得y∶x=2∶5,由分比性质,得- =- ,再由反比性质,得 - =-,故D 错误.故选D.2.如图,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 分别交l 1,l 2,l 3于点A,B,C.直线DF 分别交l 1,l 2,l 3于点D,E,F,AC 与DF 相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为( )A.B.2C.D.答案 D 由直线l 1∥l 2∥l 3,得 =.因为AH=2,HB=1,所以AB=3.因为BC=5,所以 =.所以 =. 3.如图,△ABC 中,点D 在线段BC 上,且△ABC ∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )A.AB 2=BC ·BD B.AB 2=AC ·BD2C.AB ·AD=BD ·BCD.AB ·AD=AD ·CD答案 A 因为△ABC ∽△DBA,所以 = =,所以AB 2=BC ·BD,AB ·AD=AC ·DB.4.在比例尺为1∶10 000的地图上,一块面积为2 cm 2的区域表示的实际面积是( ) A.2 000 000 cm 2B.20 000 m 2C.4 000 000 m 2D.40 000 m 2答案 B 设实际面积是x cm2,则 =,解得x=200 000 000,∵1 m 2=10 000 cm 2,∴200 000 000 cm 2=20 000 m 2.故选B.5.如图,在△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,DE ∥BC,BE 与CD 相交于点F,则下列结论一定正确的是( )A. =B. =C. =D. =答案 A ∵DE∥BC,∴△ADE ∽△ABC, ∴ = = ,故选项A 正确,故选A.6.如图,点P 是▱ABCD 边AB 上的一点,射线CP 交DA 的延长线于点E,则图中相似的三角形有( )A.0对B.1对C.2对D.3对 答案 D ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥DC,AD ∥BC,∴△EAP ∽△EDC,△EAP ∽△CBP,∴△EDC ∽△CBP,故有3对相似三角形.故选D.7.如图,在△ABC 中,中线BE 、CD 相交于点O,连接DE,下列结论:① = ;② △ △= ;③ = ;④ △ △=.其中正确的个数是( )3A.1B.2C.3D.4答案 C 由中线BE 、CD 知,DE 为△ABC 的中位线,所以DE= BC,DE ∥BC,所以 =,①正确;由DE ∥BC 可得△DOE ∽△COB,则△ △= =,②错误;由DE ∥BC 易得 = , = ,所以 = ,③正确;④△ △= =,设△DOE 的高为h,则△BOC 的高为2h,△ABC 的高为6h,则△ △ = = , △ △ = ,所以 △ △ =,④正确.故选C.8.如图,点E,点F 分别在菱形ABCD 的边AB,AD 上,且AE=DF,BF 交DE 于点G,延长BF 交CD 的延长线于H,若=2,则的值为( )A.B.C.D.答案 B 设菱形ABCD 的边长为3a.因为四边形ABCD 是菱形,=2,AE=DF,所以AE=DF=a,AF=BE=2a,AB ∥CD,所以 = = =,所以HD= AB= a,HF=HB.因为AB ∥CD,所以 = ==,所以BG= HB.所以 == . 9.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且CF=CD.下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B ∵在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且4CF=CD,∴∠B=∠C=90°,AB∶EC=BE∶CF=2∶1.∴△ABE ∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,∠AEB=∠EFC.∵BE=CE,∠FEC+∠EFC=90°,∴AB∶AE=BE∶EF,∠AEB+∠FEC=90°. ∴∠AEF=∠B=90°.∴△ABE ∽△AEF,AE ⊥EF.∴②③正确. 由已知条件推不出①④正确.故选B.10.如图,△ABC 中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG 的顶点E,F 在△ABC 内,顶点D,G 分别在AB,AC 上,AD=AG,DG=6,则点F 到BC 的距离为( )A.1B.2C.12 -6D.6 -6答案 D 如图,过点A 作AM ⊥BC 于点M,交DG 于点N,延长GF 交BC 于点H.∵AB=AC,AD=AG,∴AD∶AB=AG∶AC, ∵∠BAC=∠DAG,∴△ADG ∽△ABC, ∴∠ADG=∠B,∴DG∥BC,∴AN⊥DG.∵四边形DEFG 是正方形,∴FG⊥DG,∴FH⊥BC, ∵AB=AC=18,BC=12,∴BM=BC=6, ∴AM= - =12 .∵△ADG ∽△ABC,∴ =,∴=,∴AN=6 ,∴MN=AM-AN=6,∴FH=MN-GF=6-6.即点F到BC的距离为6-6.故选D.二、填空题11.若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16,则△ABC与△DEF的周长之比为.答案5∶4解析相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的周长比等于相似比.因为△ABC与△DEF相似且面积比为25∶16,所以△ABC与△DEF的周长比为5∶4.12.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(1,0),则点E的坐标为.答案(,)解析∵点A的坐标为(1,0),∴点B的坐标为(1,1).又∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,∴点E的坐标为(,).13.如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,=,△CEF的面积为S1,△AEB的面积为S2,则的值等于.答案解析∵BF⊥AC,∴∠CFB+∠FCE=90°,又∠CFB+∠CBF=90°,∴∠FCE=∠CBF.5∵AB∥CD,∴∠FCE=∠BAE.∴∠EAB=∠CBF.∵∠BCF=∠ABC,∴△FCB∽△CBA.∴CF∶CB=CB∶AB=1∶2.∴FC∶AB=1∶4.∵FC∥AB,∴△FCE∽△BAE.∴==.14.如图,小明把手臂水平向前伸直,手持小尺竖直,瞄准小尺的两端E、F,不断调整站立的位置,使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A,设小明的手臂长l=45cm,小尺长a=15cm,点D到铁塔底部的距离AD=42m,则铁塔的高度是m.答案14解析作CH⊥AB于H,交EF于P,如图,则CH=DA=42m,由题意知,CP=45cm=0.45m,EF=15cm=0.15m.∵EF∥AB,∴△CEF∽△CBA,∴=,即=,∴AB=14m,即铁塔的高度为14m.15.如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是.答案56解析∵直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,∴=,∵BC∥EF,∴△ABC∽△AEF,∴==,又∵BC=2,∴EF=5.16.如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点,若四边形AEFB与四边形ABCD相似,AB=4,则AD 的长度为.答案4解析设AE=x(x>0),则AD=2x,∵四边形ABCD与四边形ABFE相似,∴=,∴AB2=2x2,∴AB=x=4,∴x=2,∴AD=4.17.如图,平面内有16个格点,每个格点小正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为.答案解析如图,∵GF∥HC,∴△AGF∽△AHC,∴==,∴GF=HC=,7∴OF=OG-GF=2-=.同理,MN=,∴ON=,∴S阴影=1-××=.18.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,点D在边AB上,点G在边AC上,△ADG的面积是40,△ABC 的面积是90,AM⊥BC于M交DG于N,则AN∶AM=.答案2∶3解析∵四边形DEFG是矩形,∴DG∥BC,∴△ADG∽△ABC.∵△ADG的面积是40,△ABC的面积是90,==,∴△△∴=,∵AM⊥BC于M交DG于N,DG∥BC,∴AN⊥DG,∴==.三、解答题19.如图,在平面直角坐标系内有两点A(-2,0),B,CB所在直线的方程为y=2x+b,连接AC,求证:△AOC∽△COB.8证明∵C、B在直线y=2x+b上,∴把点B的坐标代入,求得直线方程为y=2x-1,∴C(0,-1),易证OC∶OB=OA∶OC=2∶1,又∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB.20.如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4)、B(-3,1)、C(-1,1),以坐标原点O为位似中心,2为相似比,在第二象限内将△ABC放大,放大后得到△A'B'C'.(1)画出放大后的△A'B'C',并写出点A'、B'、C'的坐标;(点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C')(2)求△A'B'C'的面积.答案(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.910A'(-4,8),B'(-6,2),C'(-2,2). (2)∵S △ABC =×2×3=3,又∵△A'B'C'与△ABC 的相似比为2∶1,∴△ △=4,∴S △A'B'C'=4S △ABC =12.21.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线MN 对折,使A 、C 重合,直线MN 交AC 于O. (1)求证:△COM ∽△CBA; (2)求线段OM 的长度.答案 (1)证明:由题意知A 与C 关于直线MN 对称, ∴AC⊥MN,∴∠COM=90°.在矩形ABCD 中,∠B=90°, ∴∠COM=∠B,又∵∠ACB=∠MCO,∴△COM ∽△CBA. (2)∵在Rt △CBA 中,AB=6,BC=8, ∴AC=10,∴OC=5,∵△COM ∽△CBA,∴ =, ∴OM=.22.如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB边以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA边以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时停止运动,Q点随之停止运动.设运动的时间为x s.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能,说明理由.答案(1)由题意得AP=4x cm,CQ=3x cm,AQ=(30-3x)cm,0≤x≤5.当PQ∥BC时,有=,即=-,解得x=,∴当x=时,PQ∥BC.(2)能.∵AB=CB,∴∠A=∠C,分两种情况讨论.①若△APQ∽△CBQ,则=,即=-,解得x=5或x=-10(舍去),此时AP=20cm.②若△APQ∽△CQB,则=,即=-.解得x=,此时AP=cm.综上,当AP=20cm或AP=cm时,△APQ与△CQB相似.23.请你认真阅读下面的小探究系列,完成所提出的问题.(1)如图,将角尺放在正方形ABCD上,使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合,角尺的一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点G.求证:EF=EG;(2)如图,移动角尺,使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上,其余条件不变,请你思考后直接回答EF和EG的数量关系:EF EG(用“=”或“≠”填空);11(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识,完成下题:如图,将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”,使角尺的一边经过点A(即点G、A重合),其余条件不变,若AB=4,AD=3,求的值.答案(1)证明:∵∠AEF+∠AEG=90°,∠AEF+∠CEF=90°,∴∠AEG=∠CEF,又∵EA=EC,∠GAE=∠C=90°,∴△EAG≌△ECF(ASA),∴EG=EF.(2)=.(3)过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,则∠MEN=90°,EM∥BC,EN∥AB,∴==,∴==,∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,∴∠FEN=∠GEM,又∠FNE=∠GME=90°,12∴Rt△FNE∽Rt△GME,∴==.13。
2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)
第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。
北师大九年级数学上《第四章图形的相似》单元测试含答案
第四章 图形的相似一、选择题(本大题共7小题，共28分)1．已知x y ＝32，那么下列等式中，不一定正确的是( )A .x ＋2y ＋2＝32B ．2x ＝3yC .x ＋y y ＝52 D .x x ＋y ＝352．如图4－Z －1，l 1∥l 2∥l 3，已知AB ＝6 cm ，BC ＝3 cm ，A 1B 1＝4 cm ，则线段B 1C 1的长为( )A ．6 cmB ．4 cmC ．3 cmD ．2 cm图4－Z －1图4－Z －23．如图4－Z －2所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线．若AD ＝5，CD ＝3，DE ＝4，则BF 的长为( )A .323B .163C .103D .83图4－Z －34．如图4－Z －3，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODB S △BDC ＝13.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )A ．∠A ＝55°，∠D ＝35°B ．AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8 C ．AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8D ．AB ＝10，AC ＝8，DE ＝15，EF ＝96．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ．12.36 cmB ．13.64 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm7．如图4－Z －4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒 2 cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设点Q 运动的时间为t s ，若四边形QPCP ′为菱形，则t 的值为( )图4－Z －4A . 2B ．2C ．2 2D ．3二、填空题(本大题共6小题，共24分)8．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ．在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两边的实际长度都是________ m .9．若a 5＝b 7＝c8，且3a －2b ＋c ＝3，则2a ＋4b －3c ＝________．10．已知甲、乙两个相似三角形对应中线之比为1∶2，甲三角形的面积为5 cm 2，则乙三角形的面积为__________．11．如图4－Z －5，在两个直角三角形中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，AC ＝6，AD ＝2.当AB ＝________时，△ABC ∽△ACD.4－Z－54－Z－612．如图4－Z－6，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30°角，且此时测得高1 m的标杆的影长为2 m，则电线杆的高度为________m(结果保留根号)．图4－Z－713．如图4－Z－7，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C 落在点Q处，EQ与BC相交于点G，则△EBG的周长是________ cm.三、解答题(共48分)14．(10分)如图4－Z－8，矩形ABCD是台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在E的位置，AE ＝60 cm，如果小宝瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．图4－Z－815．(12分)如图4－Z－9，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′.(1)在图中的第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)求△A′B′C′的面积．图4－Z－916．(12分)如图4－Z－10，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？图4－Z－1017．(14分)如图4－Z－11，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)若△CND的面积为2，求四边形ABNM的面积．图4－Z－11详解1．A2．D [解析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴A 1B 1B 1C 1＝AB BC. ∵AB ＝6 cm ，BC ＝3 cm ，A 1B 1＝4 cm ， ∴4B 1C 1＝63，∴B 1C 1＝2(cm)．故选D. 3．B 4.C5．C [解析] A 项，∵∠A ＝55°，∴∠B ＝90°－55°＝35°.∵∠D ＝35°，∴∠B ＝∠D .又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△EDF ；B 项，∵AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝32.又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ；C 项，有一组角相等、两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D 项，易得AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE ＝15，DF ＝12，EF ＝9，∴AC DF ＝BC EF ＝23.又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF .故选C.6．A7．B [解析] 连接PP ′交BC 于点O ，∵四边形QPCP ′为菱形，∴PP ′⊥QC ，∴∠POQ ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴PO ∥AC ，∴AP AB ＝CO CB .∵点Q 运动的时间为t s ，∴AP ＝2t ，QB ＝t ，∴QC ＝6－t ，∴CO ＝3－t2.∵AC ＝CB ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝6 2，∴2t6 2＝3－t26，解得t ＝2.8．20 [解析] 设其他两边的实际长度都是x m ，由题意，得x 4＝255，解得x ＝20.即其他两边的实际长度都是20 m.9.143 [解析] 设a 5＝b 7＝c8＝x ，则a ＝5x ，b ＝7x ，c ＝8x .因为3a －2b ＋c ＝3，所以15x －14x ＋8x ＝3，解得x ＝13，所以2a ＋4b －3c ＝10x ＋28x －24x ＝14x ＝143.10．20 cm 211.312．(7＋3)[解析] 如图，过点D 作DE ⊥BC 交其延长线于点E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于点F ，∵CD ＝4 m ，CD 与地面成30°角，∴DE ＝12CD ＝12×4＝2(m)，CE ＝CD 2－DE 2＝2 3 m ．∵高1 m 的标杆的影长为2 m ，∴DE EF ＝12，AB BF ＝12，∴EF ＝2DE ＝2×2＝4(m)，∴BF ＝BC ＋CE ＋EF ＝10＋2 3＋4＝(14＋2 3)m ，∴AB ＝12×(14＋2 3)＝(7＋3)m.13．[全品导学号：52652189]12 [解析] 根据折叠的性质可得∠FEG ＝90°，设AF ＝x cm ，则EF ＝(6－x )cm.在Rt △AEF 中，AF 2＋AE 2＝EF 2，即x 2＋32＝(6－x )2，解得x ＝94，所以AF ＝94 cm ，EF ＝154 cm ，根据△AFE ∽△BEG ，可得AF BE ＝AE BG ＝EF EG ，即943＝3BG ＝154EG，所以BG ＝4 cm ，EG ＝5 cm ，所以△EBG 的周长为3＋4＋5＝12(cm)．14．解：(1)证明：由题意，得∠EFG ＝∠DFG .∵∠EFG ＋∠BFE ＝90°，∠DFG ＋∠CFD ＝90°，∴∠BFE ＝∠CFD . 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF . (2)∵△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，即70130＝260－CF CF， ∴CF ＝169(cm)．15．解：(1)△A ′B ′C ′如图所示．(2)图中每个小正方形的边长为1个单位长度，由勾股定理可得AC ＝2，AB ＝CB ＝5，AC 边上的高＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，所以△ABC 的面积S ＝12×2×32 2＝32.设△A ′B ′C ′的面积为S ′，因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以S S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，得S ′＝4S ＝4×32＝6，即△A ′B ′C ′的面积为6.16．解：如图，∵四边形EFHG 是正方形， ∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，而AD ⊥BC ， ∴EF BC ＝AK AD.设正方形EFHG 的边长为x cm ，则AK ＝(8－x )cm ，∴x 12＝8－x 8，解得x ＝4.8. 答：这个正方形零件的边长为4.8 cm.17．解：(1)∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ， ∴∠DMN ＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ， ∴△MND ∽△CNB ， ∴MD CB ＝DN BN. ∵M 为AD 的中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12，∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN . 设OB ＝OD ＝x ，则BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝OD －ON ＝x －1，∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3， ∴BD ＝2x ＝6.(2)∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2， ∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，∴S △MND ＝12S △CND ＝1，S △CNB ＝2S △CND ＝4，∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △CNB ＋S △CND ＝4＋2＝6， ∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元测试题一、选择题（每小题3分，共24分）1．如图，一组互相平行的直线a ，b ，c 分别与直线l 1，l 2交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，直线l 1，l 2交于点O ，则下列各式不正确的是( )A.AB BC ＝DEEFB.AB AC ＝DE DFC.EF BC ＝DEABD.OE EF ＝EB FC2．如图，E 是矩形ABCD 的AB 边上任意一点，F 是AD 边上一点，∠EFC ＝90°，图中一定相似的三角形是( )A ．①与②B ．③与④C ．②与③D ．①与④3.在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点A(2，2)，B(4，0)，C(6，4)以坐标原点为中心，将△ABC 缩小，相似比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应点的坐标是（ ） A.(2，32)或(－2，－32)． B.(-2，32)或(－2，－32)．C.(2，32)或(2，－32)．D.(2，32)或(－2，32)．4．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶25．如图，△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，已知点A(2，2)，B(3，1)，D(5，2)，则点A 的对应点C 的坐标是( )A ．(2，3)B ．(2，4)C ．(3，3)D ．(3，4)6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝（ ）A.110°.B.115°.C.120°.D. 125°.7.如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.358.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S△COA＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( ) A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶25二、填空题（每小题3分，共18分）9．若a 6＝b 5＝c4≠0，且a ＋b －2c ＝3，则a ＝_____．10．已知线段MN 的长为2 cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长是_____．11．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，AE ，AF 分别交BD 于点G ，H ，设△AGH 的面积为S 1，▱ABCD 的面积为S 2，则S 1∶S 2的值为_____．12．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，长方形城池ABCD ，南边城墙AD 长7里，东边城墙AB 长9里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 的中点，GE ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 过点A ，则FH ＝_____里．13．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4.若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是_____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是_____．三、解答题（共80分）15.如图，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC ＝5，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP ＝y ，PE ＝x.(1)当x ＝14EF 时，求S △DPE ∶S △DBC 的值；(2)当CQ ＝13CE 时，求y 与x 之间的函数关系式．16．如图，在▱ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝4，AD ＝33，AE ＝3，求AF 的长．17.如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG ⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.(1)求证：BE 2＝EG ·EA ；(2)连接CG ，若BE ＝CE ，求证：∠ECG ＝∠EAC.18.已知：如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，连接AD ，使得∠CAD ＝∠B ，DC ＝3且S △ACD ∶S △ADB ＝1∶2.(1)求AC 的值；(2)若将△ADC 沿着直线AD 翻折，使点C 落在点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB ∥DE ，求S △EFD S △ADC的值．19．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上一点，DH ⊥BM 于点H ，DH 交AC 的延长线于点E ，交BC 于点K.(1)求证：△AED ∽△CBM ； (2)求证：AE ·CM ＝AC ·CD.20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是中线，AC ＝BC ，一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC ，BC 的延长线相交，交点分别为点E ，F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N.(1)如图1，若CE ＝CF ，求证：DE ＝DF ；(2)如图2，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中，探究三条线段AB ，CE ，CF 之间的数量关系，并说明理由．21．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F.(1)如图1，当CE EB ＝13时，求S △CEFS △CDF的值；(2)如图2，当DE 平分∠CDB 时，求证：AF ＝2OA ；(3)如图3，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，求证：CG ＝12BG.参考答案 一、选择题1-5、DAAAD 6-8、ABB 二、填空题9、6．10、(5－1) 11、16．12、1.05 13、127或2． 14、3105．三、解答题15、解：(1)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，PE ＝x ＝14EF ，∴EF ∥BC ，EF ＝12BC.∴△EDP ∽△CDB.∴EP BC ＝18.∴S △DPE ∶S △DBC ＝1∶64.(2)延长BQ 交EF 的延长线于点H. ∵EF ∥BC ，∴△QEH ∽△QCB.∴BC EH ＝CQQE .∵CQ ＝13CE ，∴CQ QE ＝12.又∵BC ＝5，∴EH ＝2BC ＝10. ∵△QEH ∽△QCB ，∴∠PHQ ＝∠CBQ. 又∵BQ 平分∠CBP ，∴∠CBQ ＝∠PBQ. ∴∠PHB ＝∠PBH.∴PB ＝PH.∴EH ＝PE ＋PH ＝PE ＋PB ＝x ＋y ＝2BC ＝10. ∴y ＝－x ＋10(0＜x ＜10)．16、解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠B ＋∠C ＝180°，∠ADF ＝∠DEC. ∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ， ∴∠AFD ＝∠C.∴△ADF ∽△DEC. (2)∵AE ⊥BC ，AD ＝33，AE ＝3， ∴在Rt △DAE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（33）2＋32＝6. 由(1)知△ADF ∽△DEC ，得AF DC ＝ADDE ，∴AF ＝DC ·AD DE ＝4×336＝2 3.17、证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°. ∵AE ⊥BD ，∴∠ABC ＝∠BGE ＝90°. ∵∠AEB ＝∠BEG ， ∴△ABE ∽△BGE. ∴AE BE ＝BEEG . ∴BE 2＝EG ·EA.(2)由(1)得BE 2＝EG ·EA. ∵BE ＝CE ，∴CE2＝EG·EA.∴CEEG＝AECE.∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG＝∠EAC.18、解：(1)∵S△ACD∶S△ADB＝1∶2，∴BD＝2CD.∵DC＝3，∴BD＝6.∴BC＝BD＋DC＝9. ∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC，即AC3＝9AC，解得AC＝3 3.(2)由折叠的性质，得∠E＝∠C，DE＝CD＝3. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠EDF.∵∠CAD＝∠B，∴∠EDF＝∠CAD.∴△EFD∽△CDA.∴S△EFDS△ADC＝(DEAC)2＝(333)2＝13.19、证明：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠MCB＋∠ABC＝90°，∠DBM＋∠DMB＝90°.∴∠A＝∠MCB.∵DH⊥BM，∠BCE＝90°，∠CKE＝∠HKB，∴∠E＝∠CBM.∴△AED∽△CBM.(2)∵△AED ∽△CBM ， ∴AE ∶AD ＝CB ∶CM ， 即AE ·CM ＝AD ·CB. 在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD.∴AC ∶CB ＝AD ∶CD ， 即AC ·CD ＝AD ·CB. ∴AE ·CM ＝AC ·CD.20、解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ， ∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°. ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°.在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠DCE ＝∠DCF ，CD ＝CD ，∴△DCE ≌△DCF.∴DE ＝DF. (2)∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°， ∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°. ∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°， ∴∠F ＝∠CDE.∴△CDF ∽△CED. ∴CD CE ＝CFCD . ∴CD 2＝CE ·CF.∵∠ACB ＝90°，AD ＝BD ， ∴CD ＝12AB.∴AB 2＝4CE ·CF.21、解：(1)∵CE EB ＝13，∴CE CB ＝14.∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴EF FD ＝CE AD ＝CE CB ＝14.∴S △CEF S △CDF ＝14. (2)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADB ＝∠ACD ＝45°，AD ＝2OA. ∵DE 平分∠CDB ， ∴∠BDE ＝∠CDE.∵∠ADF ＝∠ADB ＋∠BDE ，∠AFD ＝∠ACD ＋∠CDE ， ∴∠ADF ＝∠AFD.∴AF ＝AD.∴AF ＝2OA. (3)设BC ＝4x ，CG ＝y ，则CE ＝2x ，FG ＝y ， ∵FG ∥CD ，∴△EGF ∽△ECD. ∴EG EC ＝FG CD ，即2x －y 2x ＝y 4x ， 整理，得y ＝43x ，即CG ＝43x.∴EG ＝2x －y ＝23x.∴BG ＝2x ＋23x ＝83x.∴CG ＝12BG.。
北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题(含答案)
北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题（含答案）一、单选题1．在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC ，②△ADE ，③△AEF ，④△AFH ，⑤△AHG ，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）A ．②④B ．②⑤C ．③④D ．④⑤ 3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（ ）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米 4．如图，123l l l ∥∥，若23=AB BC ，15DF =，则EF =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．95．如图，点O 是四边形ABCD 内一点，A '、B '、C '、D 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且::::2:1OA A A OB B B OC CC OD D D '''''''====，若四边形A B C D ''''的面积为12cm 2，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．18cm 2B ．27cm 2C ．36cm 2D ．54cm 26．已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：17．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm8．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED =∠BB ．AD AE AC AB = C ．AD ·BC = DE ·ACD ．DE //BC 10．已知23a b =，那么下列等式中成立的是（ ） A ．23a b = B ．1314a b +=+ C ．53a b b += D ．13a b b -=． 11．如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 12．如图，ABC 中，点D 是边BC 上一点，下列条件中，不能判定ABC 与ABD △相似的是（ ）A ．2AB BD BC =⋅B ．BDA BAC ∠=∠ C ．ADC C B ∠=∠+∠D ．AD BC AB AC ⋅=⋅二、填空题13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为______米．14．为了测量河宽AB ，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD ∥AB ，并使点B ，D ，O 和点A ，C ，O 分别在同一条直线上，量得CD ＝10米，OC ＝15米，OA ＝45米，则河宽AB ＝______米．15．如图，△ABC 与△A B C '''是位似图形，点O 是位似中心，若3OA AA '=，9ABC S =，则A B C S '''=________．16．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么ABCD ∶的值是___________．17．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（7，0），D ，E 分别是线段AO ，AB 上的点，以DE 所在直线为对称轴，把△ADE 作轴对称变换得△A′DE ，点A′恰好在x 轴上，若△OA′D 与△OAB 相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）18．如图所示，在ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．（1）如图1，四边形DEFG 为ABC 的内接正方形，则正方形DEFG 的边长为_________；（2）如图2，若ABC 内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC ，则正方形的边长为_________．三、解答题19．如图，DA ⊥AB 于A ，EB ⊥AB 于B ，C 是AB 上的动点，若∠DCE =90°．求证：△ACD ∽△BEC20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC 于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EF DF的值．21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．22．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足438324a b c+++==，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．23．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．24．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．25．如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．26．如图，在ABC 中，90B ，12cm AB =，24cm BC =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()s t ．(1)当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．(2)设四边形APQC 的面积为()2cm S ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？(3)当移动几秒时，BPQ与ABC相似？27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；EF ，BD＝6．求AD的长．（2）若CE＝5，25参考答案1．A2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．D9．C10．C11．D12．D 13．(51)##1514．3015．1616．2317．2.0或3.318．6037602512n+19．证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．20．解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝3在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝3∴BD＝BC－CD＝43∵DE∥CA，∴DECA23 BDBC==，∴DE＝4；（2）解：如图．∵点M 是线段AD 的中点，∴DM ＝AM ，∵DE ∥CA ， ∴DF AG ＝DM AM ． ∴DF ＝AG ．∵DE ∥CA ，∴EF AG ＝BF BG ，BF BG ＝BD BC ． ∴EF AG ＝BD BC ． ∵BD ＝43， BC ＝63， DF ＝AG ， ∴23EF DF =．21．解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC DC EF DE=， ∵DF ＝0.5 m ，EF ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝10 m ，由勾股定理得DE 22DF EF -0.4 m ，∴100.30.4BC =， ∴BC ＝7.5m ，∴AB ＝AC +BC ＝1.5+7.5＝9（m ），答：树高AB 是9m ．22．解：令438324a b c +++===k ， ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8，又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12，∴k =3，∴a =5，b =3，c =4，∵32+42=52，∴△ABC 是直角三角形．23．解：延长OD ，∵DO ⊥BF ，∴∠DOE=90°，∵OD=1m ，OE=1m ，∴∠DEB=45°，∵AB ⊥BF ，∴∠BAE=45°，∴AB=BE ，设AB=EB=x m ，∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，∴AB ∥CO ，∴△ABF ∽△COF ， ∴ABCOBF OF =，1.51(51)5x x +∴=+-，解得：x=4．经检验：x=4是原方程的解．答：围墙AB 的高度是4m ．24．（1）∵∠BAC=∠AE ，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE ，∴∠EAC=∠DAB ，在△CAE 与△BAD 中，AB AC EAC DAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△BAD （SAS ）；（2）由（1）得△CAE ≌△BAD ，∴∠ACE=∠ABD ，CE=BD ，∵M 、N 分别是BD ，CE 的中点，∴CN=BM ，在△CAN 与△BAM 中，AC AB ACE ABD CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAN ≌△BAM （SAS ），∴AN=AM ，∠CAN=∠BAM ，∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN ，即∠CAB=∠NAM ，∵AC=AB ，AN=AM ， ∴AN AM AC AB=， ∴△AMN ∽△ABC ；（3）取AC 的中点F ，连接FN ，过点点N 作NG ⊥AC 于点G ，∵点N 是CE 的中点，∴NF ∥AE ，NF=12AE=2，∴∠GFN=∠EAC=60°，∴∠FNG=30°，∴FG=12FN=1，∴AG=1+3=4，2221-3在Rt △ANG 中，根据勾股定理可知：1925．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ， 90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∴在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴EAB ∆∽EPO ∆ ∴AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∴263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴FCD ∆∽FPO ∆， ∴CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∴2205OB OP +=，∴263OB OP +=，2205OB OP +=，∴7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．26．（1）求出运动时间为t 秒时PB 、BQ 的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）用△ABC 的面积减去△BPQ 的面积即可得出S ，令其等于108即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时，②当△BPQ ∽△BCA 时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．（1）解：运动时间为t 秒时（0≤t ＜6），PB ＝12−2t ，BQ ＝4t ，由题意得：S △BPQ ＝12PB ·BQ ＝12（12−2t ）·4t ＝2244t t -＝32， 解得：t 1＝2，t 2＝4，答：当移动2秒或4秒时，△BPQ 的面积为32cm 2；（2） 由题意得：()2212444241441082ABC BPQ S S S AB BC t t t t =-=⋅--=-+=△△， 解得：t ＝3，答：当移动3秒时，四边形APQC 的面积为108cm 2；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时， 则BP BQ BA BC=，即12241224t t -=， 解得：3t =，②当△BPQ ∽△BCA 时， 则BP BQ BC BA=，即12242412t t -=， 解得：65t =， 综上，当移动3秒或65秒时，BPQ 与ABC 相似． 27．解：由题意可得：△DEF ∽△DCA ， 则DE EF DC AC=， ∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5m ，DC ＝20m ， ∴0.50.2520AC=， 解得：AC ＝10，故AB ＝AC+BC ＝10+1.5＝11.5（m ）．答：旗杆的高度为11．5m ．28．（1）证明：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒， CD 为AB 边上的高，90A ACD ∴∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠， BE 是ABC ∠的平分线，ABE CBE ∴∠=∠，AEB CFB ∴∆∆∽．（2）解：如图，作CH EF ⊥于H ．∵∠BFD +∠ABE =90°，∠CEB +∠CBE =90°，∠ABE =∠CBE ， ∴∠BFD =∠CEB ，∵∠BFD =∠CFE ，CEF CFE ∴∠=∠，CEF ∴为等腰三角形，CE CF ∴=，CH EF ⊥，∴点H 为EF 的中点，5EH FH ∴==，22225(5)25CH EC EH ∴--=,90BFD CFH CHF BDF ∠=∠∠=∠=︒，BFD CFH ∴∆∆∽， ∴DF BD HF CH =， ∴5253DF ∴=，8CD CF DF =+=，90ADC CDB ∠==︒，,ECH FCH FBD CBF ∠=∠∠=∠，根据BFD CFH ∆∆∽，即FCH FBD ∠=∠，ACD CBD∴∆∆∽，∴AD CD CD BD=，∴8 86 AD=，323 AD∴=．。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试试题(有答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点E、D，则下列比例式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（）A．4：9B．16：81C．3：5D．2：33．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（）A．14B．15C．16D．175．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形6．如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（）A．3：5B．2：3C．3：4D．3：27．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（）步．A．360B．270C．180D．908．若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（）A．1：4B．1：2C．1：16D．1：89．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）或（2，1）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m的两地，它们的实际距离为km．12．如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE 和矩形ABCD相似，且AD＝2，则AB的长为．13．如图，l1∥l2∥l3，直绒l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知＝，则＝．14．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，且∠C＝∠C′＝90°，若AC＝3，BC＝4，A′B′＝10，则A′C′＝．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D （0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是．16．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝2，AB＝6，AC＝9，则AE的长为．17．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．18．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有个．三．解答题（共8小题）19．若x：y＝3：5，y：z＝2：3，求5x﹣2z的值．20．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE的长．21．如图，已知在ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMIN与△ABC相似，求线段MN的长．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？23．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S＝50，△AOC 求：（1）AO的长；（2）求S△BOD24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和点D．（1）过点D作△DEF，使得＝＝＝，且点E、F均在格点上；（2）△ABC的面积是个平方单位，△DEF的面积是个平方单位．25．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，2）．（1）以点A（1，1）为位似中心画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1（2）点B1的坐标为；点C1的坐标为．26．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，，则A，B，D不正确，故选：C．2．解：∵△ABC∽△DEF，∴＝＝．故选：A．3．解：∵2a＝5b，∴＝或＝或＝．故选：C．4．解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴＝，即＝，解得BF＝15．故选：B．5．解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．6．解：∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△ADP∽△RBP，∴，∴．∴＝．故选：A．7．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．8．解：∵相似三角形的周长之比是1：4，∴对应边之比为1：4，∴这两个三角形的面积之比是：1：16，故选：C．9．解：以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），则点A的对应点A′的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．10．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：B．二．填空题（共8小题）11．解：3÷＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．12．解：设EB＝x，∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，∴＝，∵四边形AEFD是正方形，∴AD＝BC＝2，∴＝，解得：x＝﹣1±（负数不合题意舍去），∴BE＝﹣1+，故AB＝2﹣1+＝1+，故答案为：1+．13．解：∵l1∥l2∥l3，∴AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴＝，故答案为：．14．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∴A'C'＝＝6，故答案为6．15．解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，∴点B1的坐标是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．16．解：∵DE∥BC，∴，即，即，解得：AE＝6．故答案为：617．解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴，即，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.518．解：∵AD∥BC，∠D＝90°∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．设PD＝x，则PC＝10﹣x；①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC∴x：（10﹣x）＝2：12，解得x＝，即PD＝；②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．∴这样的点P存在的个数有3个．故答案为3．三．解答题（共8小题）19．解：∵x：y＝3：5，y：z＝2：3，∴x＝y，z＝y，∴5x﹣2z＝5×y﹣2×y＝3y﹣3y＝0．20．解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12，∴＝，即＝，解得DE＝4．21．解：当△AMN∽△ABC时，∵点M为AB的中点，AB＝，AC＝2，BC＝3，∴，∴，即，解得MN＝；当△ANM∽△ABC时，∵，即，解得MN＝．22．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB＝＝20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝BC＝8cm，①PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即，解得t＝；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴，∴，∴t＝，∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t ＝．如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t ＝．综上所述，t＝1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．23．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S＝50，△AOC＝18．∴S△BOD24．解：（1）如图所示，△DEF即为所求：（2）△ABC的面积＝＝4个平方单位，△DEF的面积＝＝8个平方单位，故答案为：4；825．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）点B1的坐标为（3，5）；点C1的坐标为（7，3）．故答案为：（3，5）；（7，3）．26．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．。
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）1.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m2.如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转3．已知＝，则下列式子中正确的是（）A．a：b＝c2：d2B．a：d＝c：bC．a：b＝（a+c）：（b+d）D．a：b＝（a﹣d）：（b﹣d）4．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似5．以下四组线段中，成比例的是（）A．3，4，6，8B．2，3，4，5C．1，2，3，4D．5，6，7，8 6．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）A．2：1B．1：4C．1：D．1：27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．D．（10，6）9．如图，在▱ABCD中，E是AB边的中点，则S△AEG：S平行四边形ABCD的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．3二．填空题（6小题，每题3分，共18分）11．若，则＝．12．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6，那么DF的长等于.13．如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝．14．若，则k＝．15．如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP＝．第II卷第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________一、选择题12345678910题号答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．已知，求的值．18．如图，AB∥CD∥EF，BF＝20．（1）若AC＝3，CE＝5，求DF的长；（2）若AC：CE＝2：3，求DF的长．19.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．20.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长．21.如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．（1）求证：△AEB∽△ADC．（2）求△BDE与△ABC的面积比．22.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK＝．（1）若AE＝ED，求正方形ABCD的周长；（2）若∠EDK＝22.5°，求正方形ABCD的面积．23.如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．（1）若AE＝3，求ED的长．（2）求EF的长．24.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12．求的值．25．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD＝3时，＝；（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．。
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第四章《图形的相似》单元测试一•选择题：（每小题3分，共36分）如果4a = 5b （“#））,那么下列比例式变形正确的是（如图,在厶ABC 中，D 、E 分别是43、AC 上的点，且DE 〃BC ，如果AD=2cr?h DB=\cm.AE=\.Scm,则 EC=()①所有等腰直角三角形都相似；②所有等边三角形都相似; ③所冇正方形都相似；④所冇菱形都相似. 其中真命题有（）6.如图在4x4的方格纸（每小方格的血积为1）上有一个格点三角形ABC （图甲），请在图 乙、图丙、图丁中画出与三角形ABC 相似（不全等）的格点三角形.班级:姓名: 得分:1. 2. 3. A- 0.9cmB. 在下列四个命题屮:\cmD. 0.2cm4. 5. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.如图，已知AB//CD//EF,那么下列结论屮，正确的是A.如=竺B.竺=竺C.竺=匹 DF CE CE ADEF BE如图，无法保证厶ADE 与△ABC 相似的条件是（）A. Z1=ZCB. ZA=ZCC. Z2=ZBD.D.CE AD ~EF~~AFAD^AEAC^AB（第2题）（第4题）似比畤把△伽缩小，则点A 的对应点的坐标是（10・下面四组线段屮不能成比例线段的是（11.如图，在口ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O 过点O 与AD 1.的一点E 作直线OE,交84的延长线于点F.若AD=4, DC=3, AF=2,D-i 12.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，作3E 的中垂线GH,垂足为M,则GMx MH的值为（）8.9. 若厶ABCs 'DEF, 'ABC 与△DEF 旳相似比为2： A. 2：B. 4： 9C ・ V2： V3在△ABC 屮，两条屮线BE 、CD 相交于点O,3,则 S MBC ： S^DEF 为D. 3： 2则 S 辺OE : ^ACOB在平面直角坐标系中，已知点A （・4, 2）, B （-2),以原点O 为位似中心，相A. ( - 2, 1)B. (-8, 4)C.(・ 8, 4)或(8, -4)D. (-2, 1)或(2, - 1)A- 3、6、2、4 B. 4、 6、 5、 10 C. 1、忑、V6> V3D. 2晶、V15> 2忑、4则AE 的长是（）A ，I7. 如图, 3D. 1： 2（第11题）（第12题）C. 1： 3A. 4： 1B- 3： 1 C. 3： 2D- 5： 2二•填空题：（每小题3分，共12分）13•如果线段AB=\O,点C 是AB 上靠近点3的黄金分割点，则AC 的值约是 如图，在△ABC 中，DE//BC, AD ： DB=1： 2, DE=2,则 BC 的长是△ADC 相似.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y = -x 的图象上，从左向右第3个正方形屮的一个顶点A 的坐标为（27, 9）, 阴影三角形部分的面积从左向右依次记为Si 、S2、S3 .......... S 〃，则第4个正方形的边长三•解答题：（共52分）17. （6 分）如图，£> 是 AC 上一点，DE//AB. ZB 二ZDAE.求证：/\ABC^/\DAE.14.15.如图，已知：ZACB=ZADC=90Q, AD=2, CD=2,当 AB 的长为 时，ZXACB 与16. （第15题） 是 ___ ! S3的值为20. （7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F.已BE 2知 --- =—，S BEl ； = 3 ,求△CDF 的血积・AB 3 曲18- “分）已呻2x + 2y + z 3y-z19. (8 分) 如图，在RAABC 中, ZACB=90Q, CD 是边43上的高.（1）求证:AABC^ACBD ； (2)如果 AC = 4，BC=3, 求BD 的长.C21.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AF丄DE于点F.(1)求证：DF・CD二AF・CE.(2)若AF=4DF, CD=12,求CE 的长.22.（8 分）如图，在△ABC 中，ZABC=90°, BC=6, D 为AC 延长线上一点，AO3CD,过点D作DH//AB,交BC的延长线于点H.（1）求的长；（2）若AB=\2，试判断ZCBD与ZA的数量关系，请说明理由.23. （9 分）如图，在Rt/XABC中，ZACB二90。
新北师大版九年级数学上册单元测试卷附答案第四章图形的相似
第四章图形的相似一、选择题（共15小题；共45分）1. 若是线段的黄金分割点，设，则的长约为A. B. C. D.2. 如图，，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使与相似，则点应是，，，四点中的A. 或B. 或C. 或D. 或3. 已知两点，，先将线段向左平移一个单位，再以原点为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段，则点的对应点的坐标为A. B. C. D.4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：① 与；② 与；③ 与；④ 与，其中相似的为A. ①④B. ①②C. ②③④D. ①②③④5. 已知，五边形的最短边为，最长边为，五边形的最长边是，则五边形的最短边是A. B. C. D.6. 下列各组图形一定相似的是A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个直角梯形D. 两个正方形7. 如图，两块直角三角板的直顶角重合在一起，若，则的度数为A. B. C. D.8. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，，，这样的数称为“三角形数”，而把，，，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是A. B. C. D.9. 如图，在中，点，分别在边，上，若，则A. B. C. D.10. 如图，在中，，，，，则的长为A. B. C. D.11. 如果，那么A. B. C. D.12. 若一个三角形各边的长度都扩大到原来的倍，则扩大后的三角形各角的度数都A. 缩小到原来的B. 不变C. 扩大到原来的倍D. 扩大到原来的倍13. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与，在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A. B. C. D.14. 如图，，，，．如果的面积用表示，的面积用表示，那么A. B. C. D.15. 已知整数，，，满足下列条件：，，，，，依此类推，则的值为A. B. C. D.二、填空题（共8小题；共40分）16. 判断题（正确的画“”，错误的画“”）．一个三角形的各边长扩大为原来的倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的17. 已知点是线段的黄金分割点，若，则．18. 如图，，分别是矩形的边，的中点，若矩形与矩形相似，，则．19. 以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转，，，，得到条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点，的坐标分别表示为，，则点的坐标表示为．20. 如图，把一个长方形划分成三个全等的长方形．若要使每个小长方形与原长方形相似，则原长方形的长与宽的比为．21. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则度；B．如图，，，，，则，．22. 如图，矩形中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为．23. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，，交于点，的中点为，连接，．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有．（请填上所有正确结论的序号）三、解答题（共5小题；共65分）24. 如图所示的两个五边形相似，求，，，的值．25. 学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如下表：（1）当桌子上放有个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含的式子表示）；（2）分别从正面、左面、上面三个方向看这些碟子，看到的形状图如图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度．26. 如图，已知矩形的边长，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似?若存在，求的值．27. 如图，将一张长宽之比为的矩形纸片依次不断对折，可以得到矩形，矩形，矩形，矩形．（1）在折叠过程中，这些矩形的长和宽的比变了吗?请说明理由；（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗?28. 如图，两条直线，被三条平行线，，所截，且，，求的长．答案第一部分1. D2. C 【解析】设小正方形的边长为，则的各边分别为，，．当是或时，的各边分别是，，，与各边成比例，故选C．3. A4. D5. A6. D 【解析】A．任意两个菱形，各边成比例、各角不一定对应相等，不一定相似，本选项不合题意B．任意两个矩形，各角对应相等、各边不一定成比例，不一定相似，本选项不合题意；C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D．任意两个正方形，各角对应相等，各边成比例，一定相似，本选项符合题意．故选D．7. A8. C 【解析】显然选项A中不是“正方形数”；选项B、D中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和．9. A10. B【解析】，．即，解得．11. D12. B13. B 【解析】因为，所以，所以．14. C15. B第二部分16.或18.19.【解析】如图所示：点的坐标表示为．20.21. ，，22.23. ①④【解析】四边形为正方形，，，和分别为和中点，，，，，，，，即，故①正确；，，，，故②错误；为中点，，，，，，，，，故④正确；，而，则和不相等，故，故与不平行，故③错误．第三部分24. ，，，．25. （1）由图可知，每增加一个碟子高度增加，桌子上放有个碟子时，高度为．（2）由图可知，共有摞，左前一摞有个，左后一摞有个，右边后面一摞有个，共有：个，叠成一摞后的高度．26. 当时，则，即，．．当时，则，即，．．答：存在，为；．27. （1）矩形，矩形，矩形，矩形的长和宽的比不变．理由如下：设矩形的宽为，则长为，，，，，，，，，，矩形，矩形，矩形，矩形的长和宽的比不变．（2）有成比例的线段，如．28. ，，又，，．。
北师大版九年级数学上册第四章图形相似(单元测试)
新北师大版九年级数学上册第四章图形的相像单元测试一、选择题1、【根基题】在 比率尺为 1：5000 的地图上，量得甲，乙两地的距离为 25 cm ，那么甲、乙两地的实质距离是( )A. 1250 千米B.125 千米 C. 12.5 千米 D. 1.25 千米2、【根基题】b ＝ 5 ，那么 a － b的值是〔〕★a 13 a ＋ b2 B.3 9 4A.2C.D.3493、【根基题】 如右图，在△ ABC 中，看 DE ∥ BC ，AD1)BD，DE ＝ 4 cm ，那么 BC 的长 为 (2A ． 8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ． 10 cm4、【根基题】如右图， DE 是ABC 的中位线，那么ADE 与 ABC 的面积之比是〔〕A ．1:1B ．1:2C ． 1:3D ． 1:45、【根基题】如以下列图，小正方形的边长均为 1，那么图中三角形〔暗影局部〕与△ ABC 相像的 是 ()★★★ABC6、【根基题】以下结论不正确的选项是()★A. 全部的矩形都相像B. 全部的正方形都相像C. 全部的等腰直角三角形都相像D. 全部的正八边形都相像7、【根基题】以下说法中正确的选项是 (A. 位似图形能够经过平移而互相获得 C. 位似图形的位似中心不仅有一个)★B. 位似图形的对应边平行且相等D. 位似中心到对应点的距离之比都相等8、【综合题Ⅰ】如左以下列图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点， P 是BC边上的一点，以下条件中，不可以推出△ ABP 与△ ECPA. ∠ APB ＝∠ EPCBC ＝ 2︰ 3相像的是〔〕B. ∠ APE ＝90° ★★★C. P 是BC的中点D. BP ︰9、【综合题Ⅱ】〔 2021 山东潍坊〕如右上图 ,Rt△ ABC 中， AB⊥ AC， AB=3， AC=4 ，P 是BC 边上一点，作 PE⊥AB于E， PD⊥ AC于D，设BP＝ x，那么PD+PE＝〔〕A.xB. 4x712x12x 2 35C. D.25 52510、【综合题Ⅲ】如图，在Rt△ ABC 内有边长分别为a， b，c 的三个正方形．那么a、 b、c知足的关系式是〔〕A.b a cB. b acC.b2a2c2D. b 2a2c二、填空题11、【根基题】在同一时辰，高为 1.5m 的标杆的影长为，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为．12、【根基题】两个相像三角形面积比是9∶ 25，此中一个三角形的周长为36cm，那么另一个三角形的周长是．13、【综合题Ⅰ】如左以下列图，在△ABC 中， AB ＝ 5， D、 E 分别是边AC 和 AB 上的点，且∠ADE ＝∠ B，DE＝ 2，那么 AD ·BC ＝.★★★14、【根基题】如右上图，在△ABC和△ DEF中， G、H分别是边BC和EF的中点，AB＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC＝∠EDF .那么AG：DH ＝，△ ABC与△ DEF的面积比是.★★★15、【根基题】把一个三角形改做成和它相像的三角形，假如面积减小到本来的1倍，边长应减小到本来的 ____ 倍.216、【综合Ⅱ】如左以下列图在Rt△ ABC 中 , ∠ AC B＝ 90°,CD⊥ AB 于 D ，假定 AD ＝ 1，BD ＝ 4，那么CD＝.★17、【根基题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约前挺直，小尺竖直，看到尺上12 厘米的长度恰巧遮住电线杆，手臂长约为.★★★30 米的地方，把手臂向60 厘米，那么电线杆的高18、【根基题】一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是_____cm.〔结果保留根号〕19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△1，∠ A ＝ 36°，BD 是三角形ABC 的角均分线，那么AD ＝.★2 0 cm，那么它的宽为ABC 中，AB ＝AC ＝20、【提升题】如图，点A1，A2， A3， A4在射线OA上，点 B1， B2， B3在射线OB上，且A1 B1∥ A2 B2∥ A3 B3， A2 B1∥ A3 B2∥ A4 B3．假定△ A2 B1B2、△A3B2 B3的面积分别为1、4，那么图中三个暗影三角形面积之和为．BB3B24B11OA1 A2A3A4 A〔第 20 题图〕三、解答题21、【根基题】如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点， BF⊥ AE 于点 F，求证△ ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－ 106 所示， E 为ABCD 的边 CD 延伸线上的一点，连结BE 交 AC于 O，交 AD 于 F．求证 BO2＝ OF · OE．23、如图，在平面直角坐标系中，OA=12 cm ， OB=6 cm ，点 P 从 O 点开始沿 OA 边向点A 以 1cm/s 的速度挪动，点Q从点 B开始沿BO边向点O 以1cm/s 的速度挪动，假如P、Q 同时出发，用t 〔单位：秒〕表示挪动的时间〔0〔 1〕当t为什么值时，t 6 〕，那么：△POQ 与△ AOB相像？〔 2〕设△ POQ的面积为y ，求y 对于t 的函数分析式。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似测评卷含答案
第四章测评卷(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1.已知点C是直线AB上的一点,且AB∶BC=1∶2,那么AC∶BC等于().A.3∶2B.2∶3或1∶2C.1∶2D.3∶2或1∶22.若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则S△ABC∶S△DEF为().A.2∶3B.4∶9C.√2∶√3D.3∶23.如图,扇子的圆心角为x°,余下扇形的圆心角为y°,x与y的比通常按黄金比来设计,这样的扇子外形较美观.若取黄金比为0.6,则x为().A.216B.135C.120D.1084.如图,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=().A.3B.4C.5D.65.(2022·江苏扬州中考) 如图,在△ABC中,AB<AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点D 在BC边上,DE交AC于点F.给出下列结论:①△AFE∽△DFC;②DA平分∠BDE;③∠CDF=∠BAD.其中所有正确结论的序号是().A.①②B.②③C.①③D.①②③6.一个钢筋三角形框架三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架,而只有长是30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截法有().A.1种B.2种C.3种D.4种二、填空题(每小题4分,共20分)7.已知c 4=b 5=a 6≠0,则b+c a 的值为 .8. (2021·山东菏泽中考)如图,在△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,AD=5,BC=10,四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形,且点E ,F ,G ,N ,M 都在△ABC 的边上,那么△AEM 与四边形BCME 的面积比为 .9.在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8.点P 在矩形ABCD 的内部,点E 在边BC 上,满足△PBE ∽△DBC.若△APD 是等腰三角形,则PE 的长为 .10.如图,在△ABC 中,AD 是中线,BC=8,∠B=∠DAC ,则线段AC 的长为 .11. (2021·四川遂宁中考)如图,在正方形ABCD 中,点E 是CD 边上一点.连接BE ,以BE 为对角线作正方形BGEF ,边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ,连接AF ,有以下五个结论:①∠ABF=∠DBE ;②△ABF ∽△DBE ;③AF ⊥BD ;④2BG 2=BH ·BD ;⑤若CE ∶DE=1∶3,则BH ∶DH=17∶16.你认为其中正确的有 .(填序号)三、解答题(共50分)12.(10分)设a ,b ,c 是△ABC 的三边长,且a -b b =b -c c =c -a a ,判断△ABC 为何种三角形,并说明理由.13.(12分)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD=6√3,AF=4√3,求AE的长.14.(12分)检查视力时,规定人与视力表之间的距离为5 m,现因房间两面墙的距离为3 m,因此,使用平面镜来解决房间小的问题,若使平面镜能呈现完整的视力表,如图,由平面镜成像原理,作出了光路图,其中视力表AB的上下边沿A,B发出的光线经平面镜MM'的上下沿反射后射入人眼C处.如果视力表的全长为0.8 m,请你计算出平面镜的长为多少米时恰好能呈现完整的视力表.15.(16分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)△ABC与△FCD相似吗?请说明理由.(2)F是线段AD的中点吗?为什么?(3)若S△ABC=20,BC=10,求DE的长.第四章测评卷一、选择题1.D2.B3.B4.B5.D6.B二、填空题7.3 28.1∶39.3或6510.4√211.①②③④三、解答题12.△ABC为等边三角形.理由略.13.(1)证明: 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,AD∥BC,所以∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.因为∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,所以∠AFD=∠C.所以△ADF∽△DEC.(2)6.14.0.32 m.15.(1)相似.理由略.(2)是.理由略.(3)83.。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试
第四章图形的相像第Ⅰ卷 ( 选择题共 30 分 )一、选择题 ( 每题 3 分，共 30 分)1．以下各组中的四条线段是成比率线段的是()A． 1 cm， 2 cm， 20 cm ，40 cm B ． 1 cm，2 cm ， 3 cm， 4 cm C． 6 cm， 4 cm， 1 cm ， 3 cm D ．5 cm， 10 cm， 15 cm， 20 cm2．如图 1，两条直线分别被三条平行直线l 1，2， 3 所截，若＝ 3，＝ 6，＝ 2，l l AB BC DE则 DF的长为()图1 A． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7a 3 a＋b3．若b＝5，则 b 的值是( )5 A. 8 B. 35 C.85 D.324．如图2，△ABC中，AC＝BC，在边AB 上截取AD＝ AC，连结CD，若点 D 恰巧是线段AB的一个黄金切割点，则∠A的度数是( )图2A． 22.5 ° B ．30° C ． 36° D．45°5．如图 3 所示，将△ABO的三边分别扩大为本来的2 倍获得△A1B1C1(极点均在格点上) ，它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是()A． ( －4，－ 3) B ． ( － 3，－ 3) C ． ( － 4，－ 4) D ． ( － 3，－ 4)图 36．如图 4，已知矩形ABCD， AB＝2，在 BC上取一点 E，沿 AE将△ ABE向上折叠，使点B落在 AD上的点 F 处，若四边形EFDC与矩形 ABCD相像，则 AD的长为()图4A. 5B. 5＋1 C．4 D．2 3AB的距离是18 cm，点O到CD6 cm，则像CD的长是AB长的( )的距离是1 / 12A ． 3 倍 B.1图 512 C.3 D ．不知 AB 的长度，故没法判断8．为了丈量校园水平川面上一棵不行攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了以下的探索：依据光的反射定律， 利用一面镜子和一根皮尺，设计如图 6 所示的丈量方案， 把一面很小的镜子水平搁置在离树底( )8.4 米的点 E 处，而后沿着直线 退后到点 ，这时恰幸亏BBE D 镜子里看到树梢极点，再用皮尺量得 ＝ 3.2 米，察看者目高＝ 1.6 米，则树 ( ) 的高ADECD AB度为 ()图 6A ． 4.2 米B ．4.8 米C ． 6.4 米D ．16.8 米9．如图 7，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 边的中点 B ′重合，若 AB ＝ 2，BC ＝ 3，则△ FCB ′与△ B ′ DG 的面积之比为 ( )A ． 9∶4B ． 3∶ 2C ． 4∶ 3D ． 16∶ 9图 710．如图 8，在△ ABC 中， AB ＝ 6 cm ， AC ＝ 12 cm ，动点 D 从点 A 出发到点B 停止，动点E 从点 C 出发到点 A 停止．点 D 的运动速度为 1 cm/s ，点 E 的运动速度为 2 cm/s. 假如两点同时运动，那么当以点A ， D ，E 为极点的三角形与△ ABC 相像时，运动的时间是 ()图 8A ． 3 s 或 4.8 sB ． 3 sC ． 4.5 sD ． 4.5 s或 4.8 s请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 共 90 分)二、填空题 ( 每题 3 分，共 18 分)11．如图9，D 是等边三角形ABC中边AB 上的点，AD＝ 2， DB＝ 4. 现将△ABC折叠，使得点 C 与点D 重合，折痕为EF，且点E，F 分别在边AC和CFBC上，则 CE＝ ________．图912．如图 10，△ ABC中， AB＝ 6，DE∥ AC，将△ BDE绕点 B 顺时针旋转获得△BD′ E′，点 D 的对应点 D′落在边BC上．已知 BE′＝ 5，D′ C＝ 4，则 BC的长为 ________．图 10a c e 13a－2c ＋ e13．若b＝d＝f＝2，则3b－2d＋f (3b － 2d＋ f ≠0) ＝ ________．14．如图 11 所示，Rt△ DEF是由Rt△ABC沿 BC方向平移获得的，若AB＝ 8，BE＝ 4，DH ＝3，则△ HEC的面积为 ________．图 1115．如图 12，在△ ABC中， AC＝ 6， AB＝ 4，点 D， A 在直线 BC的同侧，且∠ ACD＝∠ B，CD＝ 2， E 是线段 BC延伸线上的动点，当△ DCE和△ ABC相像时，线段 CE的长为 ________ ．图 12116．如图 13，直线 y＝2x＋1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，△ BOC与△ B′O′ C′是以点 A为位似中心的位似图形，且相像比为 1∶ 3，则点 B 的对应点 B′的坐标为 ________．图13三、解答题( 共 72 分 )17． (6 分) 已知a， b， c 是△ ABC的三边长，且知足a＋ 43b＋3＝＝2c＋ 8， a＋ b＋c＝ 12，4试求a， b， c 的值，并判断△ABC的形状．18． (6 分 ) 如图 14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的极点分别是O(0，0) ， A(6 ，0)， B(3 ， 6) ， C(－ 3， 3) ．(1)以原点 O为位似中心，在点 O的异侧画出四边形 OABC的位似图形四边形 OA1B1C1，使它与四边形 OABC的相像比是 2∶ 3；(2)写出点 A1， B1， C1的坐标；(3)求四边形 OA1B1C1的面积．3 / 1219． (8 分 ) 已知：在△ ABC中，∠ ABC＝ 90°， AB＝ 3，BC＝ 4， Q是线段 AC 上的一个动点，过点 Q作 AC的垂线交线段 AB(如图 15① ) 或线段 AB的延伸线 ( 如图 15②) 于点 P.(1)当点 P 在线段 AB 上时，求证：△ AQP∽△ ABC；(2)当△ PQB为等腰三角形时，求 AP 的长．图15AD AE20． (8 分 ) 如图 16①，点 D， E 分别在 AB，AC上，且＝.AB AC(1)求证： DE∥ BC；(2)如图②，在△ ABC中， D 为边 AC上随意一点，连结 BD，取 BD的中点 E，连结 CE并BF CD延伸 CE交边 AB于点 F，求证：＝；AF ACBF(3)在 (2) 的条件下，若 AB＝ AC， AF＝ CD，求AF的值．图1621．(10 分) 如图 17 是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国初期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要旧址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些丈量工具和所学的几何知识丈量小雁塔的高度，因为观察点与小雁塔底部间的距离不易丈量，所以经过研究需要进行两次丈量，于是在阳光下，他们第一利用影进步行丈量，方法以下：小铭在小雁塔的影子顶端 D 处竖直立一根木棒CD，并测得此时木F，使得A， C，F 三点在同一棒的影长DE＝ 2.4 米；而后，小希在BD的延伸线上找出一点直线上，并测得DF＝ 2.5 米．已知图中全部点均在同一平面内，木棒高CD＝ 1.72 米， AB⊥BF， CD⊥ BF，试依据以上丈量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10 分) 如图 18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 厘米，OB＝6 厘米，点P 从点O 开始沿 OA边向点 A 以 1 厘米 / 秒的速度挪动，点 Q从点 B 开始沿 BO边向点 O以 1 厘米 / 秒的速度挪动．假如点 P， Q同时出发，用 t( 秒 ) 表示挪动的时间 (0 ≤t ≤ 6) ．(1)设△ POQ的面积为 y，求 y 对于 t 的函数表达式；(2)当 t 为什么值时，△ POQ与△ AOB相像？图 1823． (12 分 ) 如图 19，在等腰三角形 ABC中，∠ BAC＝ 120°， AB＝ AC＝2， D 是 BC边(1) 求证：△ ABD ∽△ DCE ；(2) 设 BD ＝ x ， AE ＝ y ，求 y 对于 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围；(3) 当△ ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长．图 1924． (12 分 ) 如图 20①，点 C 将线段 AB 分红两部分，假如AC BC C 为线段＝ ，那么称点AB ACAB 的黄金切割点． 某数学兴趣小组在进行研究时， 由“黄金切割点” 联想到“黄金切割线” ，近似给出“黄金切割线” 的定义：一条直线将一个面积为 S 的图形分红两部分，这两部分的S1 S2面积分别为 S 1， S 2，假如 S ＝ S1，那么称这条直线为该图形的黄金切割线．(1) 如图②，在△ ABC 中，∠ A ＝ 36°， AB ＝ AC ，∠ ACB 的均分线交 AB 于点 D ，请问直线CD 是否是△ ABC 的黄金切割线？并证明你的结论；(2) 如图③， 在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上一点， 若直线 AE 是正方形 ABCD的黄金切割线，求BE 的长．图 20详解详析1． A2． C[分析 ] ∵两条直线分别被三条平行直线12， l 3 所截，∴ AB DE，＝ .BC EF∵ AB ＝3， BC ＝ 6， DE ＝ 2，∴ EF ＝4，∴ DF ＝DE ＋ EF ＝2＋ 4＝ 6. 应选 C.3． C4． C[分析 ] ∵点 D 是线段AB 的一个黄金切割点，∴2＝· .AD BD AB2∵ AD ＝AC ＝ BC ，∴ BC ＝ BD · AB ，即 BC ∶ BD ＝ AB ∶ BC .而∠ ABC ＝∠ CBD ，∴△ BCD ∽△ BAC ，∴∠ A ＝∠ BCD .设∠ A ＝ x °，则∠ B ＝ x °，∠ BCD ＝ x °，∴∠ ADC ＝∠ BCD ＋∠ B ＝ 2x ° .而 AC ＝ AD ，∴∠ ACD ＝∠ ADC ＝ 2x °，∴ x ＋ 2x ＋ 2x ＝ 180，解得 x ＝36，即∠ A ＝ 36° . 应选 C.5． A6． B[ 分析 ] 由折叠知 AF ＝ AB ＝ 2，设 AD ＝ x ，则 FD ＝x － 2， EF ＝ 2， ∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相像，EF AD 2x5，x 2＝ 1－ 5( 不合题意， 舍去 ) ，即 AD 的长为 5∴ ＝ ，即x －2 ＝ ，解得 x 1＝ 1＋FDAB 2＋ 1. 应选 B.7． C[分析 ] 过点 O 作 OM ⊥ AB 于点 M ，交 CD 于点 N ，如图，则OM ＝ 18 cm ， ON ＝ 6 cm.∵ AB ∥CD ，∴△ ODC ∽△ OAB ，∴CD ON6 11＝＝＝ ，即 CD 的长是 AB 长的 . 应选 C.AB OM 18 338． A[ 分析 ] 如图，过点 E 作 EF ⊥BD 于点 E ，则∠ 1＝∠ 2. ∵∠ DEF ＝∠ BEF ＝ 90°，∴ ∠＝∠. ∵ ⊥ ， ⊥ ，∴∠＝∠＝ 90°，∴△∽△，∴DE CD＝ .DECAEBCD BD ABBDCDEABECDEABEBE AB∵DE ＝ 3.2 米， CD ＝1.6 米， BE ＝ 8.4 米，3.21.6∴ 8.4 ＝ AB ，解得 AB ＝ 4.2 米．9． D[分析 ] 此题运用方程思想，设 CF ＝ x ，则 BF ＝ 3－ x ，222 2 224易得 CF ＋ CB ′ ＝ FB ′ ，即 x ＋1 ＝ (3 － x ) ，解得 x ＝ 3. 由已知可证得 Rt △ FCB ′∽ RtS △ FCB ′CF 216△B ′ DG ，所以＝DB ′ ＝ .S △ B ′DG910． A[ 分析 ] 此题运用分类议论的思想，分△ ADE ∽△ ABC 和△ ADE ∽△ ACB 两种状况分 别求解．11. 5[ 分析 ] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ ＝∠ ＝∠ ＝ 60°， ＝ ＝ ＝ ＋ ＝4A B C AC BC AB AD DB6.由折叠的性质可知∠ EDF ＝∠ C ＝ 60°， EC ＝ED ， FC ＝FD ，∴∠ AED ＝∠ BDF ，∴△ AED ∽△ BDF ，DF BD ＋DF ＋BF 10 5 ∴＝＝＝ ，CF DF 5 ∴＝＝ .CE DE 412． 2＋[ 分析 ] 由旋转可得＝ ′＝ 5， ＝ ′ .34BE BE BD BD ∵ D ′ C ＝ 4，∴ BD ′＝ BC － 4，即 BD ＝ BC － 4.∵ DE ∥AC ，∴ BD BE BC － 4 5 34( 负值已舍 ) ，＝ ，即6 ＝ ，解得 BC ＝ 2＋BA BCBC即 BC 的长为 2＋ 34.1a c e 1 11 1 3a －2c ＋ e 1.5b －d ＋0.5f13. 2[ 分析 ] 由b ＝ d ＝ f ＝ 2，得 a ＝ 2b ，c ＝2d ，e ＝ 2f ，所以 3b －2d ＋ f ＝3b －2d ＋f1＝ 2.50设 CE ＝ x ，由△ CEH ∽△ CBA ，得EH CE 8－3 ＝ x 20 △ HEC14. 3 分析 ]＝，即8 ，∴ x ＝ 3 ，∴ SAB CBx ＋41 2050＝ 2× 3 × 5＝ 3 .415. 3或 3 [ 分析 ] ∵∠ ACD ＋∠ DCE ＝∠ B ＋∠ A ，∠ ACD ＝∠ B ，∴∠ DCE ＝∠ A ，∴∠ A 与∠DCE 是对应角，∴△ DCE 和△ ABC 相像有两种状况：(1) 当△∽△时， AB AC 4 64＝ ，∴＝ ，∴ ＝ ；BACECD CE CD CE 2CE 3AB AC (2)当△ BAC ∽△ DCE 时， ＝ ，CD CE4 6∴ ＝ ，∴ CE ＝ 3.2 CE4综上所述， CE 的长为 3或 3.4故答案为： 3或 3.易错警告△ DCE 和△ ABC 相像有两种状况，注意不要漏解．16．(4 ，3) 或( － 8，－ 3) [ 分析 ]由直线 y ＝ 1 ＋ 1 与 x 轴交于点 ，与 轴交于点 ，2xAyB 得点( － 2，0) ，点 (0 ，1) ．画△的位似图形△′ ′ ′以下图．∵△与△ ′A BBOCB O CBOCBO′ C′的相像比为1∶3，∴点B′ ( x， 3) 或( x，－ 3) ．∵点B′ ( x， 3) 或 ( x，－ 3) 在直线y 1＝2x＋1上，∴点 B′的坐标为(4，3)或(－8，－3)．故答案为 (4 ， 3) 或 ( － 8，－ 3) ．a＋4 b＋ 3 c＋817．解：设 3 ＝2＝4＝k(k≠0)，∴ a＝3k－4， b＝2k－3，c＝4k－8.∵ a＋ b＋ c＝12，将a＝3k－4， b＝2k－3，c＝4k－8代入上式，得 3k－ 4＋ 2k－3＋ 4k－ 8＝ 12，∴ 9k＝27，即k＝ 3.∴ a＝5， b＝3，c＝4.∵b2＋ c2＝9＋16＝25， a2＝52＝25，∴ b2＋ c2＝a2，∴△ ABC是直角三角形．18．解： (1) 以下图，四边形OA1B1C1即为所求．(2)由图形可得 A1(－4，0)， B1(－2，－4)， C1(2，－2)．(3) 四边形OA1B1C1的面积为1 1 12× 2×4＋2× (3 ＋ 4) × 2＋2× 3× 2＝ 14.19．解： (1) 证明：∵∠A＋∠APQ＝ 90°，∠A＋∠C＝ 90°，∴∠ APQ＝∠ C.在△ AQP和△ ABC中，∵∠ APQ＝∠ C，∠ A＝∠ A，∴△ AQP∽△ ABC.(2) 在 Rt △ABC中，AB＝ 3，BC＝ 4，由勾股定理，得AC＝5.①当点 P 在线段 AB上时．∵△ PQB为等腰三角形，∴PB＝ PQ.由 (1) 可知，△AQP∽△ABC，PA PQ∴＝，AC BC3－PB PB 4即5＝4，解得 PB＝3，4 5∴AP＝AB－ PB＝3－3＝3；②当点 P 在线段 AB的延伸线上时．∵△ PQB为等腰三角形，∴PB＝BQ，∴∠ BQP＝∠ P.∵∠ BQP＋∠ AQB＝90°，∠ A＋∠ P＝90°，∴∠ AQB＝∠ A，∴ BQ＝ AB，∴AB＝BP，即 B为线段 AP的中点，∴AP＝2AB＝2×3＝6.5综上所述，当△ PQB为等腰三角形时，AP的长为3或6.20．解： (1) 证明：∵∠＝∠ ，AD AE ＝，AA AB AC∴△ ADE∽△ ABC，∴∠ ADE＝∠ B，∴DE∥BC.DG CD (2) 证明：如图，过点D作 DG∥ AB交 CF于点 G，则△ CDG∽△ CAF，∴＝.AF AC ∵E 是 BD的中点，∴ BE＝ED.∵DG∥AB，∴∠ FBE＝∠ EDG.在△ BEF和△ DEG中，∠ FBE＝∠ EDG，∠ FEB＝∠ GED，BE＝ ED，∴△ BEF≌△ DEG(ASA)，BF CD∴BF＝DG，∴ ＝.AF ACBF CD(3)由 (2) 可得＝ .AF AC9 / 12BF AF ∵AB＝AC， AF＝CD，∴AF＝AF＋BF，2 2∴ BF＋ BF· AF－ AF＝0，BF 2BF BF－1±∴ ( AF) ＋AF－ 1＝ 0，解得AF＝ 2 5BE BF 5－1 ，而AF>0，∴AF＝ 2 .21．解：由题意得∠ABD＝∠ CDE＝90°，∠ADB＝∠ CED，CD DE∴△∽△，∴＝ .CDE ABD AB BD∵由题意得∠ CDF＝∠ ABF＝90°，∠ CFD＝∠ AFB，∴△ CDF∽△ ABF，∴CD DF＝，AB BFDE DF∴ ＝，BD BF2.4 2.5即BD＝BD＋2.5，∴ BD＝60，1.722.4∴AB＝60，∴ AB＝43.答：小雁塔的高度AB是43米．22．解： (1) 由题意，得BQ＝ t 厘米， OP＝t 厘米．因为 OB＝6厘米，所以 OQ＝(6－ t )厘米．11 1 2所以 y＝2OP· OQ＝2t ·(6－ t )＝－2t ＋3t (0≤t ≤6)．(2)当△ POQ与△ AOB相像时，①若OQ OP 6－t＝t，解得 t ＝4；＝，即6OB OA 12②若OQ OP 6－t＝t，解得 t ＝2. ＝，即12 6OA OB所以当 t ＝4或 t ＝2时，△ POQ与△ AOB相像．23．解： (1) 证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ B＝∠ C＝30°. 又∵∠ ADE＝30°，∴∠ B＝∠ ADE.又∵∠ ADC＝∠ ADE＋∠ EDC＝∠ B＋∠ DAB，∴∠ EDC＝∠ DAB，∴△ ABD∽△ DCE.(2)如图①，过点 A 作 AF⊥ BC于点 F，∵ AB＝AC＝2，∠ BAC＝120°，∴∠ AFB＝90°.1∵ AB＝2，∠ ABF＝30°，∴ AF＝2AB＝1，∴BF＝ 3，∴ BC＝2BF＝2 3，则 CD＝2 3－ x， CE＝2－ y.∵△ ABD∽△ DCE，∴AB CD 2 2 3－ x 1 23x＋2(0＜x＜2 3)．＝，∴x＝2－y，化简得 y＝ x －BD CE 2(3)当 AD＝ DE时，如图②，由(1)可知：此时△ ABD∽△ DCE，1 2则 AB＝ CD，即2＝2 3－ x，x＝2 3－2，将其代入 y＝2x －3x＋2，解得 y＝4－2 3，即AE＝4－2 3；当AE＝ ED时，如图③，∠ EAD＝∠ EDA＝30°，∠ AED＝120°，∴∠ DEC＝60°，∠ EDC ＝90°，112 2则DE＝2CE，即 y＝2(2－ y)，解得 y＝3，即 AE＝3；当AD＝ AE时，∠ AED＝∠ ADE＝30°，∠ EAD＝120°，此时点 D与点 B 重合，不切合题意，故此种状况不存在．2综上，当△ ADE是等腰三角形时，AE的长为4－23或3.24．解： (1) 直线CD是△ABC的黄金切割线．证明：∵ AB＝ AC，∠ A＝36°，∴∠ ABC＝∠ ACB＝72°.∵CD均分∠ ACB，1∴∠ ACD＝∠ BCD＝2∠ ACB＝36°，∴∠ BDC＝72°＝∠ B，∠ A＝∠ ACD，∴BC＝CD， AD＝CD，∴ BC＝ AD.∵∠ B＝∠ B，∠ BCD＝∠ A，∴△ BCD∽△ BAC，BD BC BD AD∴＝，∴＝.BC AB AD ABS△ BCD BD S△ ADC AD 又∵＝，＝，S△ ADC AD S△ ABC AB∴S△BCD S△ADC＝，S△ADC S△ABC∴直线 CD是△ ABC的黄金切割线．(2)设 BE＝ x，∵正方形 ABCD的边长为1，∴S△ABE＝1AB· BE＝1x， S正方形ABCD＝12＝1，221∴S 四边形ADCE＝1－2x.∵直线 AE是正方形 ABCD的黄金切割线，∴S△ABE S四边形 ADCE＝，S四边形 ADCE S正方形 ABCD2∴S 四边形ADCE＝ S△ABE· S 正方形ABCD，即(1 －1x) 2＝1x·1，22整理，得 x2－6x＋4＝0，解得 x1＝3＋5， x2＝3－5.∵E 是边 BC上一点，∴ x＜1，∴ x＝3－ 5，∴ BE的长为3－ 5.。
北师大版九年级上册数学 第四章 图形的相似 单元测试(解析版)
第四章 图形的相似 单元测试一、单选题1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）A ．1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cmB ．2 cm ，1 cm ，4 cm ，1.5 cmC ．0.1 cm ，0.2 cm ，0.3 cm ，0.4 cmD ．3 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm 【答案】D【解析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．解：A 、1×6≠3×4，故不符合题意；B 、1×4≠2×1.5，故不符合题意；C 、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；D 、3×8=4×6，故正确．故选：D ．【点睛】根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．如图，123l l l ，2AB =，4BC =，3DB =，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．9【答案】D【解析】 根据平行线分线段成比例解答本题即可．解：∵123l l l ∵AB DB BC BE= ∵2AB =，4BC =，3DB =∵6BE =∵369DE DB BE =+=+=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是平行线分线段成比例，解此题的关键是利用线段间的比例关系结合已知条件求出BE 的长．3．如图，AB ∵CD ∵MN ，点M ，N 分别在线段AD ，BC 上，AC 与MN 交于点E ．则（ ）A．DM CEAE AM=B．AM BNCN DM=C．DC ABME EN=D．AE CEAM DM=【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例列出比例式，进然后行判断即可．解：A、∵AB∵CD∵MN，∵DM CEAM AE=，本选项结论不正确；B、∵AB∵CD∵MN，∵AM BNDM CN=，本选项结论不正确；C、∵AB∵CD∵MN，∵DC ACME AE=，AC ABEC EN=，∵DC ABME EN≠，本选项结论不正确；D、∵AB∵CD∵MN，∵AE CEAM DM=，本选项结论正确；故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，找准对应关系是解题的关键．4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）A ．2BC ．25+D ．2【答案】B【解析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．解：∵四边形ABCD 是矩形，宽BC ＝ycm ，∵AD=BC=ycm ，由折叠的性质得：AE=12AB=12x ， ∵矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似， ∵AE AD AD AB =，即12x y y x=， ∵x 2=2y 2，y ，∵x y=． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．5．在下列条件中，不能判断∵ABC 与∵DEF 相似的是（ ）A ．∵A ＝∵D ，∵B ＝∵EB ．BC EF ＝AC DF且∵B ＝∵EC．ABDE＝BCEF＝ACDFD．ABDE＝ACDF且∵A＝∵D【答案】B【解析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．解：A、∵A＝∵D，∵B＝∵E，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；B、BCEF＝ACDF，且∵B＝∵E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出∵ABC∵∵DEF，故此选项符合题意；C、ABDE＝BCEF＝ACDF，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；D、ABDE＝ACDF，且∵A＝∵D，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（）A．2米B．2.5米C．3米D．4米【答案】B【解析】根据光沿直线传播的道理可知AD∵BE，则∵BCE∵∵ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．由题意知，可得，∵，∵（米），米，∵，∵米，故选B.【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．7．∵∵∵∵∵∵ABCD∵∵∵∵AC∵BD∵∵∵∵O∵∵ACB∵∵∵∵∵∵∵∵AB∵BD∵M∵N∵∵∵∵AM∵2∵∵∵∵O N∵∵∵( )A ．2B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】作MH∵AC 于H ，如图，根据正方形的性质得∵MAH=45°，则∵AMH 为等腰直角三角形，所以，再根据角平分线性质得，则，于是利用正方形的性质得到AB=2，OC=12+1，所以CH=AC -，然后证明∵CON∵∵CHM ，再利用相似比可计算出ON 的长．【详解】 试题分析：作MH∵AC 于H ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∵∵MAH=45°，∵∵AMH 为等腰直角三角形，， ∵CM 平分∵ACB ，），∵OC=12，CH=AC ﹣+2， ∵BD∵AC ，∵ON∵MH ，∵∵CON∵∵CHM ，∵ON OCMH CH == ∵ON=1．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,4)A -，(8,2)B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．(1,2)-B ．(9,18)-C ．(9,18)-或(9,18)-D ．(1,2)-或(1,2)-【答案】D【解析】【分析】根据位似变换的性质计算即可.【详解】 解：点()2,4A -，()8,2B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是112,422⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭或112,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1,2-或()1,2-. 故选：D.【点睛】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.9．如图，平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，DM 交AC 于点E ，则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD 的面积之比为（ ）A ．1:2B ．2:5C ．5:12D ．6:13【答案】C【解析】【分析】 根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积．【详解】设平行四边形的边AD =2a ，AD 边上的高为3b ；过点E 作EF ∵AD 交AD 于F ，延长FE 交BC 于G∵平行四边形的面积是6ab∵FG =3b∵AD ∵BC∵∵AED ∵∵CEM∵M 是BC 边的中点， ∵2EF AD EG MC==, ∵EF =2b ，EG =b ∵1122CEM S EG CM ab =⨯=∵1322CDM ACM S SFG CM ab ==⨯= ∵CDE CDM CEM S S S ab =-= ∵阴影部分面积=52ACM CDE S S ab =+= ∵阴影部分面积：平行四边形ABCD 的面积=5:65:122ab ab = 故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，MN 垂直平分AC ，延长BC 至点D ，使12CD BC =，连接．DN 若5DN ，则AB 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】 根据垂直平分线的性质证明AMN ABC ，可得到12MN BC =，即可得到MN CD =，得到△△Rt AMN Rt NDC ≅，即可得到结果；【详解】由题意知：MN 垂直平分AC ，∵12AN CN AC ==，90ANM ∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∵MN BC ，90ACD ∠=︒，∵AMN ABC ，90ANM ACB ∠=∠=︒， ∵12AN AM NM AC AB BC ===， ∵12MN BC =， ∵12CD BC =， ∵MN CD =，在Rt∵AMN 和Rt∵NDC 中，AN NC NM CD⎧=⎨=⎩， ∵△△Rt AMN Rt NDC ≅，∵AM DN =，∵5DN ，∵5AM =，512AB =， ∵10AB =．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定及相似三角形的判定和性质，准确计算是解题的关键．11．如图，D∵E分别是∵ABC的边AB∵BC上的点，且DE∵AC∵AE∵CD相交于点O，若S∵DOE∵S∵COA=1∵25，则S∵BDE与S∵CDE的比是（）A．1∵3B．1∵4C．1∵5D．1∵25【答案】B【解析】【详解】∵DE∵AC∵∵∵DOE∵∵COA∵∵S∵DOE∵S∵COA=1∵25∵∵15 DEAC=∵∵DE∵AC∵∵15 BE DEBC AC==∵∵14 BEEC=∵∵S∵BDE∵S∵CDE∵∵∵1∵4∵∵∵B∵12．如图，在线段BD上任取一点C，将线段CB逆时针旋转90︒得到线段AB，将线段CD顺时针旋转90︒得到线段ED，连接AE，AC，CE，M是AE的中点，连接BM交AC于点P，连接DM交CE于点Q．直线PQ分别交AB，ED于F，G两点，有下列结论：∵BM DM⊥；∵四边形AFGE为平行四边形；∵FP GQ PQ+=；∵2BF DGAF=⋅．其中正确的结论是（）A．∵∵∵B．∵∵∵C．∵∵∵D．∵∵∵∵【答案】D【解析】【分析】∵过点M作MN∵BD，垂足为N，则MN∵DE∵AB，根据平行线分线段成比例定理得出N为BD中点，由线段垂直平分线的性质得到BM=DM，再根据梯形中位线、等腰直角三角形的性质得出MN=12BD，则∵BMD=90°，判断∵正确；∵先由等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出∵BPC=90°，再根据等腰三角形三线合一的性质得出AP=PC，同理得出EQ=QC，则PQ是∵CAE的中位线，由三角形中位线定理得到PQ∵AE，PQ=12AE，又AF∵EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断∵正确；∵先由平行四边形的性质得出FG=AE，又由∵知PQ=12AE，则FP+GQ=12AE=PQ，判断∵正确；∵先证明∵APF=∵DQG，又∵FAP=∵GDQ=45°，根据两角对应相等的两三角形相似得出∵APF∵∵DQG，由相似三角形对应边成比例得出AF PFDG QG=，同理∵BPF∵∵EQG，PF BFQG EG=，则AF BFDG EG=，AF•EG=BF•DG，又AF=EG，判断∵正确．【详解】解：∵过点M作MN∵BD，垂足为N，则MN∵DE∵AB，∵点M是AE的中点，∵N为BD中点，即MN垂直平分BD，∵BM=DM．∵MN是梯形ABDE的中位线，∵MN=12（AB+ED）=12（BC+CD）=12BD=BN=ND，∵∵BMD=90°，即BM∵DM，故∵正确；∵∵∵BMD、∵ABC均是等腰直角三角形，∵∵MBD=∵ACB=45°，∵∵BPC=90°，即BP∵AC，∵AP=PC，同理EQ=QC，∵PQ是∵CAE的中位线，∵PQ∵AE，PQ=12 AE，又∵AF∵EG，∵四边形AFGE为平行四边形，故∵正确；∵∵四边形AFGE为平行四边形，∵FG=AE，∵PQ=12 AE，∵FP+GQ=FG-PQ=AE-12AE=12AE=PQ，即FP+GQ=PQ，故∵正确；∵∵∵ACB=∵MDB=45°，∵AC∵DM，∵∵CPQ=∵MQP，∵∵APF=∵CPQ，∵MQP=∵DQG，∵∵APF=∵DQG，∵∵FAP=∵GDQ=45°，∵∵APF∵∵DQG，∵AF PF DG QG=，同理∵BPF∵∵EQG，∵PF BF QG EG=，∵AF BF DG EG=，∵AF•EG=BF•DG，∵四边形AFEG是平行四边形，∵AF=EG，∵AF2=BF•DG，故∵正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，三角形与梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形、平行四边形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题13．8与2的比例中项是_____________．【答案】4或﹣4【解析】【分析】先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【详解】解：设8与2的比例中项是x，可得：8：x=x：2，解得：x=4或﹣4，故答案为：4或﹣4【点睛】本题主要考查了比例线段问题，关键是利用比例中项和比例的基本性质解答．14．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝__（结果保留根号）．【答案】5【解析】【分析】根据黄金分割比的定义计算即可．【详解】根据黄金分割比，有1110522AP AB -==⨯=故答案为：5．【点睛】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键．15．如图，在∵ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC∵CD 为__________．【答案】2∵1【解析】【分析】过C 点作CP∵AB ，交DE 于P ，由PC∵AE 知PC CM AE AM =，由AM=CM ，得PC=AE ，根据AE ＝14AB 得CP ＝14AB ，CP ＝13BE ，由CP∵BE 得13CP CD BE BD ==，可得BD=3CD ，继而得到答案. 【详解】过C 点作CP ∵AB ，交DE 于P ，如图，∵PC ∵AE ， ∵PC CM AE AM=， 而AM =CM ，∵PC =AE ，∵AE =14AB ， ∵CP =14AB ， ∵CP =13BE ， ∵CP ∵BE ， ∵13CP CD BE BD ==， ∵BD =3CD ，∵BC =2CD ，即BC :CD 为2:1，故答案为：2:1.【点睛】本题考查平行线分线段成比例.16．如图，在ABC △中，若21BD DC CE EA ==∶∶∶，AD 与BE 交于F ，则AF FD =∶________.【答案】34【解析】【分析】过点D 作DH BE ∥交AC 于点H ，根据平行线分线段成比例进行计算即可得到答案.【详解】过点D 作DH BE ∥交AC 于点H ，∵2EH BD HC DC ==，∵23EH CE =，∵::2:1BD DC CE EA ==，∵1324AE CE EH ==，∵34AF AE FD EH ==.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例.17．两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm ，则较大多边形周长为_____．【答案】48cm【解析】【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为xcm ， 则有36x ＝43， 解得：x ＝48大多边形的周长为48cm ．故答案为48cm ．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．18．如图，∵ABC 中，P 为AB 上点，在下列四个条件中：∵∵AC P=∵B ；∵∵APC =∵ACB ：∵∵CAP =∵BAC ；∵AC AP AB AC．能确定∵APC 和∵ACB 相似的是___________（只填写序号）．【答案】∵∵∵【解析】【分析】∵和∵根据两组角相等证明相似，∵根据两组对应边成比例且夹角相等证明相似．【详解】解：∵∵ACP B ∠=∠，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ； ∵∵APC ACB ∠=∠，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ； ∵不可以证明； ∵∵AC AP AB AC =，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ．故答案是：∵∵∵．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．19．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P 点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【答案】22.5【解析】根据题意画出图形，构造出∵PCD∵∵PAB ，利用相似三角形的性质解题．解：过P 作PF∵AB ，交CD 于E ，交AB 于F ，如图所示设河宽为x 米．∵AB∵CD ，∵∵PDC=∵PBF ，∵PCD=∵PAB ，∵∵PDC∵∵PBA ， ∵AB PF CD PE=， ∵AB 15x CD 15+=， 依题意CD=20米，AB=50米， ∵1520 5015x =+， 解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．20．已知：如图，()6,2-E ，()2,2--F ，以原点O 为位似中心，相似比1:2，把EFO △在点O 另一侧缩小，则点E 的对应点'E 的坐标为________．【答案】()31-,【分析】根据题意，可得2'OE OE =，且点'E 在第四象限，又由E 的坐标，计算可得答案．【详解】解：根据题意，可得2'OE OE =，且点'E 在第四象限；又由E 的坐标为()6,2-，则对应点'E 的坐标为()3,1-．故答案是：()3,1-【点睛】本题主要考查位似图形的坐标特征，熟练掌握坐标系中位似图形对应点的坐标特征，是解题的关键． 21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，点D 在AB 上，连接CD ，2ADC A ∠=∠，4AC =，5BC =，则线段CD =___________________．【解析】【分析】作CE ＝AC 交AB 于E ，证明∵DCE 是等腰三角形，过点D 作DF∵CE 于F ，求出CF ＝2，然后证明∵ABC∵∵CDF ，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可．解：如图，作CE＝AC交AB于E，则∵A＝∵CEA，CE＝4，∵∵ADC＝∵DCE＋∵CEA，∵ADC＝2∵A，∵∵DCE＝∵A＝∵CEA，∵DC＝DE，过点D作DF∵CE于F，则CF＝EF＝12CE＝2，∵∵DCE＝∵A，∵DFC＝∵BCA＝90°，∵∵ABC∵∵CDF，∵CF CD AC AB，在Rt∵ABC中，AB，∵2441，∵41 CD，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，通过作辅助线，构造出等腰三角形和相似三角形是解题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中， 6,,AD AE BD =⊥垂足为,3E ED BE =，点,P Q 分别在,BD AD 上，则AP PQ +的最小值为 ___________【答案】【解析】【分析】 在Rt∵ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，可证明∵ADA′为等边三角形，当PQ∵AD 时，则PQ 最小，所以当A′Q∵AD 时AP+PQ 最小，从而可求得AP+PQ 的最小值等于DE 的长，可得出答案.【详解】解：设BE=x ，则DE=3x ，∵四边形ABCD 为矩形，且AE∵BD ，∵∵ABE∵∵DAE ，∵AE 2=BE•DE ，即AE 2=3x 2，，在Rt∵ADE 中，由勾股定理可得AD 2=AE 2+DE 2，即62=）2+（3x ）2，解得∵AE=3，如图，设A 点关于BD 的对称点为A′，连接A′D ，PA′，则A′A=2AE=6=AD ，AD=A′D=6，∵∵AA′D 是等边三角形，∵PA=PA′，∵当A′、P 、Q 三点在一条线上时，A′P+PQ 最小，又垂线段最短可知当PQ∵AD 时，A′P+PQ 最小，∵AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=故答案为：【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A 的对称点，从而确定出AP+PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明∵A′DA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．三、解答题23．已知::3:4:5x y z =．（1）求x y z+的值； （2）若6x y z ++=，求x 、y 、z ．【答案】（1）75x y z +=；（2） 1.5,2, 2.5x y z === 【解析】（1）根据比例的意义，用a 表示x ，y ，z ，根据分式的性质，可得答案；（2）根据解方程，可得a ，可得答案．【详解】（1）设3,4,5x a y a z a ===，34755x y a a z a ++==； （2）将3,4,5x a y a z a ===代入6x y z ++=，得3456a a a ++=，解得0.5a =所以3 1.5,42,5 2.5x a y a z a ======【点睛】本题考查了比例的性质与分式的性质，利用a 表示出x ，y ，z 是解题关键．24．如图，已知AD∵EB∵FC ，AC=12，DB=3，BF=7，求EC 的长．【答案】EC 的长为425． 【解析】【分析】根据AD∵EB∵FC ，由平行线分线段成比例可得EC ：AC= BF ：DF ，代入数据计算即可．∵AD∵EB∵FC，∵EC：AC= BF：DF，∵EC：12=7：10，∵EC=425．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键．25．如图，B、C、D、N分别是∵AMO边AO、MO上的点，MC∵ND，OB ODAB CD=，求证：NB∵MA【答案】证明过程见解析【解析】【分析】利用平行线分线段成比例就可解决问题．【详解】解：∵MC∵ND∵OD ON CD MN=∵ OB OD AB CD=∵OB ON AB MN∵NB∵MA【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∵BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∵AFE=∵B（1）求证：∵ADF∵∵DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似∵ADF∵∵DEC.（2）利用∵ADF∵∵DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt∵ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD，AD∵BC∵∵C+∵B=180°，∵ADF=∵DEC∵∵AFD+∵AFE=180°，∵AFE=∵B，∵∵AFD=∵C在∵ADF与∵DEC中，∵∵AFD=∵C，∵ADF=∵DEC，∵∵ADF∵∵DEC（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∵CD=AB=8．由（1）知∵ADF∵∵DEC，∵AD AF DE CD=，∵AD CDDE12AF⋅===在Rt∵ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在∵ABC中，BA＝BC，过C点作CE∵BC交∵ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE 上的一点，且∵BAD＝∵CAE.求证：∵ABD∵∵ACE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出BE∵AC，利用等角代换可证明出∵ABD＝∵ACE，继而可得出结论.【详解】∵BA＝BC，BE平分∵ABC，∵∵ABE＝∵CBE，BE∵AC(等腰三角形三线合一的性质)，∵∵CBE+∵ACB＝90°，又∵CE∵BC，∵∵ACE+∵ACB＝90°，∵∵CBE＝∵ACE，∵∵ABE＝∵ACE，∵∵BAD＝∵CAE，∵∵ABD∵∵ACE.【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质及等角代换的知识得出∵ABE=∵ACE，另外要求同学们掌握相似三角形的判定定理．28．如图，∵ABC中，∵BAC＝90°，∵B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将∵ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．（1）求∵BDE的度数．（2）求证：∵DEB∵∵ADB．（3）若BC＝4，求BE的长．【答案】（1）36°；（2）详见解析；（31【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∵C=90°-∵B=54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性质求出∵BAD=∵B=36°，∵DAC=∵C=54°，利用三角形内角和定理求出∵ADC=180°-∵DAC-∵C=72°．再根据折叠的性质得出∵ADF=∵ADC=72°，然后根据平角的定义得出∵BDE=180°-∵ADC-∵ADF=36°．（2）根据∵B＝∵B，∵BDE＝∵BAD证明即可；（3）由∵DEB∵∵ADB得BE BDBD AB，设BE＝x得方程x(x+2)=4∵求解方程即可.【详解】（1）∵在Rt∵ABC中，∵BAC=90°，∵B=36°，∵∵C=90°-∵B=54°．∵AD是斜边BC上的中线，∵AD=BD=CD，∵∵BAD=∵B=36°，∵DAC=∵C=54°，∵∵ADC=180°-∵DAC-∵C=72°．∵将∵ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∵∵ADF=∵ADC=72°，∵∵BDE=180°-∵ADC-∵ADF=180°-72°-72°=36°．（2）∵∵BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∵AD＝BD，∵∵B＝36°，∵∵BAD＝36°，∵∵BDE＝36°，∵∵B＝∵B，∵BDE＝∵BAD，∵∵DEB∵∵ADB．（3）∵∵DEB∵∵ADB，∵BE BDBD AB=，设BE＝x，∵BC＝4，∵(2)4x x+=，∵BE＝x1【点睛】此题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．29．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【答案】13.5m【解析】【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用∵CGE∵∵AHE，得出CG EGAH EH=，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【详解】解：∵CD∵FB，AB∵FB，∵CD∵AB∵∵CGE∵∵AHE∵CG EG AH EH=即：CD EF FD AH FD BD-=+∵3 1.62215 AH-=+∵AH＝11.9∵AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点睛】此题考查的是相似三角形的应用,掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键.30．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． 如图2，在∵ABC 中，∵A=36°，AB=AC ，∵C 的平分线交AB 于点D ．（1）证明点D 是AB 边上的黄金分割点；（2）证明直线CD 是∵ABC 的黄金分割线．【答案】∵1∵详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明∵BCD∵∵BCA,得到BC BD AB BC =.则有AD BD AB AD =,所以点D 是AB 边上的黄金分割点;(2)证明::ACD ABC BCD ACD SS S S =,直线CD 是∵ABC 的黄金分割线;【详解】 解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点.理由如下:AB=AC,∵A=36o ,∴∵B=∵ACB=72o .∴CD 是角平分线, ∴∵ACD=∵BCD=36o ,∴∵A=∵ACD,∴AD=CD.∴∵CDB=180o 180-∵B -∵BCD=72o ,∴∵CDB=∵B,∴BC=CD.∴BC=AD.在∵BCD 与∵BCA 中, ∵B=∵B,∵BCD=∵A=36o ,∴∵BCD∵∵BCA, ∴BC BD AB BC= ∴AD BD AB AD= ∴点D 是AB 边上的黄金分割点.(2)直线CD 是∵ABC 的黄金分割线.理由如下:设ABC 中,AB 边上的高为h,则12ABC S AB h =⋅,12ACD S AD h =⋅,12BCD S BD h =⋅, ∴::ACD ABC S S AD AB =::BCD ACD S S BD AD =由（1）得点D 是AB 边上的黄金分割点，AD BD AB AD= ∴::ACD ABC BCD ACD S S S S =∵∴直线CD 是∵ABC 的黄金分割线【点睛】本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.31．如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在∵ABC 中，点O 在线段BC 上，∵BAO ＝20°，∵OAC ＝80°，AO ＝BO ：CO ＝1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∵AC，交AO的延长线于点D，通过构造∵ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∵ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC∵AD，AO＝∵ABC＝∵ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．【答案】（1）80，（2）DC＝【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∵ADB＝∵OAC＝80°，即可证明∵BOD∵∵COA，可得13OD OBOA OC==，求出AD的长度，再根据角的和差关系得∵ABD＝180°﹣∵BAD﹣∵ADB＝80°＝∵ADB，即可得出AB＝AD＝8（2）过点B作BE∵AD交AC于点E，通过证明∵AOD∵∵EOB，可得BO EO BEOD AO DA==，根据线段的比例关系，可得AB＝2BE，根据勾股定理求出BE的长度，再根据勾股定理求出DC的长度即可．【详解】解：（1）∵BD∵AC，∵∵ADB＝∵OAC＝80°，∵∵BOD＝∵COA，∵∵BOD∵∵COA ， ∵13OD OB OA OC ==∵AO ＝∵OD ＝13AO ＝∵AD ＝AO+OD ＝，∵∵BAD ＝20°，∵ADB ＝80°，∵∵ABD ＝180°﹣∵BAD ﹣∵ADB ＝80°＝∵ADB ，∵AB ＝AD ＝，故答案为：80，（2）过点B 作BE∵AD 交AC 于点E ，如图3所示：∵AC∵AD ，BE∵AD ，∵∵DAC ＝∵BEA ＝90°，∵∵AOD ＝∵EOB ，∵∵AOD∵∵EOB ， ∵BO EO BE OD AO DA== ∵BO ：OD ＝1：3， ∵13EO BE AO DA ==∵AO ＝∵EO ＝13AO ＝∵AE ＝AO+EO ＝∵∵ABC ＝∵ACB ＝75°，∵∵BAC ＝30°，AB ＝AC ，∵AB ＝2BE ，在Rt∵AEB 中，BE 2+AE 2＝AB 2，即（2+BE 2＝（2BE ）2，解得：BE ＝8，∵AB ＝AC ＝16，AD ＝3BE ＝24，在Rt∵CAD 中，AC 2+AD 2＝DC 2，即162+242＝DC 2，解得：DC ＝【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．。
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第四章图形的相似 第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )A ．1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．6 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cmD ．5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，若AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，则DF 的长为( )图1A ．4B ．5C ．6D ．7 3．若a b ＝35，则a ＋bb的值是( ) A.58 B.35C.85D.324．如图2，△ABC 中，AC ＝BC ，在边AB 上截取AD ＝AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是( )图2A ．22.5°B ．30°C ．36°D ．45°5．如图3所示，将△ABO 的三边分别扩大为原来的2倍得到△A 1B 1C 1(顶点均在格点上)，它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是( )A ．(－4，－3)B ．(－3，－3)C ．(－4，－4)D ．(－3，－4)图36．如图4，已知矩形ABCD ，AB ＝2，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )图4A.5B.5＋1 C ．4 D ．237．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O 到AB 的距离是18 cm ，点O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是AB 长的( )图5A ．3倍 B.12C.13D ．不知AB 的长度，故无法判断8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B )8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝3.2米，观察者目高CD ＝1.6米，则树(AB )的高度为( )图6A ．4.2米B ．4.8米C ．6.4米D ．16.8米9．如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边的中点B ′重合，若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为( )A ．9∶4B ．3∶2C ．4∶3D ．16∶9图710．如图8，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝12 cm ，动点D 从点A 出发到点B 停止，动点E 从点C 出发到点A 停止．点D 的运动速度为1 cm/s ，点E 的运动速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是( )图8A ．3 s 或4.8 sB ．3 sC ．4.5 sD ．4.5 s 或4.8 s 请将选择题答案填入下表：第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图9，D 是等边三角形ABC 中边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图912．如图10，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′＝5，D ′C ＝4，则BC 的长为________．图1013．若a b ＝c d ＝e f ＝12，则3a －2c ＋e 3b －2d ＋f(3b －2d ＋f ≠0)＝________．14．如图11所示，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，若AB ＝8，BE ＝4，DH ＝3，则△HEC 的面积为________．图1115．如图12，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 的同侧，且∠ACD ＝∠B ，CD ＝2，E 是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．图1216．如图13，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B ′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，a ＋b ＋c ＝12，试求a ，b ，c 的值，并判断△ABC 的形状．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O 为位似中心，在点O 的异侧画出四边形OABC 的位似图形四边形OA 1B 1C 1，使它与四边形OABC 的相似比是2∶3；(2)写出点A 1，B 1，C 1的坐标； (3)求四边形OA 1B 1C 1的面积．图1419．(8分)已知：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB 的延长线(如图15②)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1520．(8分)如图16①，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD AB ＝AEAC .(1)求证：DE ∥BC ；(2)如图②，在△ABC 中，D 为边AC 上任意一点，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证：BF AF ＝CDAC；(3)在(2)的条件下，若AB ＝AC ，AF ＝CD ，求BFAF的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD ，并测得此时木棒的影长DE ＝2.4米；然后，小希在BD 的延长线上找出一点F ，使得A ，C ，F 三点在同一直线上，并测得DF ＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD ＝1.72米，AB ⊥BF ，CD ⊥BF ，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA ＝12厘米，OB ＝6厘米，点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动．如果点P ，Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)．(1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数表达式； (2)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，D 是BC 边上的一个动点(不与点B ，C 重合)，在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°.(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．图1924．(12分)如图20①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S1S ＝S2S1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，若直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求BE 的长．图20详解详析1．A2．C[解析]∵两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，∴AB BC ＝DE EF. ∵AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，∴EF ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝2＋4＝6.故选C. 3．C4．C[解析]∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点，∴AD 2＝BD ·AB . ∵AD ＝AC ＝BC ，∴BC 2＝BD ·AB ， 即BC ∶BD ＝AB ∶BC .而∠ABC ＝∠CBD ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴∠A ＝∠BCD .设∠A ＝x °，则∠B ＝x °，∠BCD ＝x °， ∴∠ADC ＝∠BCD ＋∠B ＝2x °. 而AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2x °， ∴x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36， 即∠A ＝36°.故选C. 5．A6．B[解析] 由折叠知AF ＝AB ＝2，设AD ＝x ，则FD ＝x －2，EF ＝2， ∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD 的长为5＋1.故选B.7．C[解析] 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N ，如图，则OM ＝18 cm ，ON ＝6 cm. ∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OAB ，∴CD AB ＝ON OM ＝618＝13，即CD 的长是AB 长的13.故选C. 8．A[解析] 如图，过点E 作EF ⊥BD 于点E ，则∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF ＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CD AB.∵DE ＝3.2米，CD ＝1.6米，BE ＝8.4米，∴3.28.4＝1.6AB，解得AB ＝4.2米． 9．D[解析] 本题运用方程思想，设CF ＝x ， 则BF ＝3－x ，易得CF 2＋CB ′2＝FB ′2，即x 2＋12＝(3－x )2，解得x ＝43.由已知可证得Rt △FCB ′∽Rt△B ′DG ，所以S △FCB ′S △B ′DG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CF DB ′2＝169.10．A[解析] 本题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解．11.54[解析]∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝AD ＋DB ＝6.由折叠的性质可知∠EDF ＝∠C ＝60°，EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴∠AED ＝∠BDF ， ∴△AED ∽△BDF ， ∴DF DE ＝BD ＋DF ＋BF AE ＋AD ＋DE ＝108＝54，∴CF CE ＝DF DE ＝54.12．2＋34[解析] 由旋转可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′. ∵D ′C ＝4，∴BD ′＝BC －4，即BD ＝BC －4. ∵DE ∥AC ，∴BD BA ＝BE BC ，即BC －46＝5BC，解得BC ＝2＋34(负值已舍)，即BC 的长为2＋34.13.12[解析] 由a b ＝c d ＝e f ＝12，得a ＝12b ，c ＝12d ，e ＝12f ，所以3a －2c ＋e 3b －2d ＋f ＝1.5b －d ＋0.5f3b －2d ＋f＝12.14.503[解析] 设CE ＝x ，由△CEH ∽△CBA ，得EH AB ＝CE CB ，即8－38＝x x ＋4，∴x ＝203，∴S △HEC ＝12×203×5＝503. 15.43或3 [解析]∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况： (1)当△BAC ∽△ECD 时，AB CE ＝AC CD ，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，AB CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3.综上所述，CE 的长为43或3.故答案为：43或3. 易错警示△DCE 和△ABC 相似有两种情况，注意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3) [解析] 由直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，得点A (－2，0)，点B (0，1)．画△BOC 的位似图形△B ′O ′C ′如图所示．∵△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3，∴点B ′(x ，3)或(x ，－3)．∵点B ′(x ，3)或(x ，－3)在直线y ＝12x ＋1上，∴点B ′的坐标为(4，3)或(－8，－3)． 故答案为(4，3)或(－8，－3)． 17．解：设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k (k ≠0)， ∴a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8. ∵a ＋b ＋c ＝12，将a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8代入上式， 得3k －4＋2k －3＋4k －8＝12， ∴9k ＝27，即k ＝3. ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵b 2＋c 2＝9＋16＝25，a 2＝52＝25， ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．18．解：(1)如图所示，四边形OA 1B 1C 1即为所求． (2)由图形可得A 1(－4，0)，B 1(－2，－4)，C 1(2，－2)．(3)四边形OA 1B 1C 1的面积为12×2×4＋12×(3＋4)×2＋12×3×2＝14. 19．解：(1)证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°， ∴∠APQ ＝∠C . 在△AQP 和△ABC 中， ∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时． ∵△PQB 为等腰三角形，∴PB ＝PQ . 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴PA AC ＝PQ BC，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53； ②当点P 在线段AB 的延长线上时． ∵△PQB 为等腰三角形， ∴PB ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，即B 为线段AP 的中点， ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20．解：(1)证明：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AEAC， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)证明：如图，过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ，则△CDG ∽△CAF ，∴DG AF ＝CD AC. ∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED . ∵DG ∥AB ，∴∠FBE ＝∠EDG .在△BEF 和△DEG 中，∠FBE ＝∠EDG ，∠FEB ＝∠GED ，BE ＝ED ，∴△BEF ≌△DEG (ASA)， ∴BF ＝DG ，∴BF AF ＝CDAC .(3)由(2)可得BF AF ＝CDAC.∵AB ＝AC ，AF ＝CD ，∴BF AF ＝AFAF ＋BF，∴BF 2＋BF ·AF －AF 2＝0，∴(BF AF)2＋BF AF －1＝0，解得BF AF ＝－1±52，而BE AF >0，∴BF AF ＝5－12.21．解：由题意得∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∠ADB ＝∠CED ，∴△CDE ∽△ABD ，∴CD AB ＝DE BD.∵由题意得∠CDF ＝∠ABF ＝90°，∠CFD ＝∠AFB ，∴△CDF ∽△ABF ，∴CD AB ＝DF BF，∴DE BD ＝DF BF，即2.4BD ＝ 2.5BD ＋2.5，∴BD ＝60， ∴1.72AB ＝2.460，∴AB ＝43. 答：小雁塔的高度AB 是43米．22．解：(1)由题意，得BQ ＝t 厘米，OP ＝t 厘米． 因为OB ＝6厘米， 所以OQ ＝(6－t )厘米．所以y ＝12OP ·OQ ＝12t ·(6－t )＝－12t 2＋3t (0≤t ≤6)． (2)当△POQ 与△AOB 相似时， ①若OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t12，解得t ＝4； ②若OQ OA ＝OP OB，即6－t 12＝t6，解得t ＝2. 所以当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似．23．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. 又∵∠ADE ＝30°，∴∠B ＝∠ADE .又∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠B ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE .(2)如图①，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴∠AFB ＝90°.∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1，∴BF ＝3，∴BC ＝2BF ＝23，则CD ＝23－x ，CE ＝2－y .∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ，∴2x ＝23－x 2－y ，化简得y ＝12x 2－3x ＋2(0＜x ＜23)． (3)当AD ＝DE 时，如图②，由(1)可知：此时△ABD ∽△DCE ， 则AB ＝CD ，即2＝23－x ，x ＝23－2，将其代入y ＝12x 2－3x ＋2，解得y ＝4－23， 即AE ＝4－23；当AE ＝ED 时，如图③，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°，则DE ＝12CE ，即y ＝12(2－y )，解得y ＝23，即AE ＝23；当AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝30°，∠EAD ＝120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，故此种情况不存在．综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长为4－23或23.24．解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝36°，∴∠BDC ＝72°＝∠B ，∠A ＝∠ACD ，∴BC ＝CD ，AD ＝CD ，∴BC ＝AD .∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BD BC ＝BC AB ，∴BD AD ＝AD AB. 又∵S △BCD S △ADC ＝BD AD ，S △ADC S △ABC ＝AD AB， ∴S △BCD S △ADC ＝S △ADC S △ABC， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)设BE ＝x ，∵正方形ABCD 的边长为1， ∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝12x ，S 正方形ABCD ＝12＝1， ∴S 四边形ADCE ＝1－12x .∵直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线， ∴S △ABE S 四边形ADCE ＝S 四边形ADCE S 正方形ABCD， ∴S 四边形ADCE 2＝S △ABE ·S 正方形ABCD ，即(1－12x )2＝12x ·1，整理，得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3＋5，x 2＝3－5.∵E 是边BC 上一点，∴x ＜1，∴x ＝3－5，∴BE 的长为3－5.。