2015考研数一真题答案及详细解析
2015考研数学一真题与答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年考研数学(一)真题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题1、设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C 2、设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】A 3、若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】B4、设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】B5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D6、设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】A7、若A,B 为任意两个随机事件，则( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】C8、设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】D二、填空题9、20ln cos lim _________.x xx →=【答案】12-10、22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π411、若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -12、设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】1413、n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-14、设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12三、解答题15、(本题满分10分)设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx →⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭==即10,0,123a a a b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-16、(本题满分10分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+； 即()84f x x =-+.17、(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=. 18、(本题满分10分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x = 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++ 19、(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d π2θθ==20、(本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭2012102024021201kk kk ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基.（II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠21、(本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP22、(本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布；(II) 将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,) (注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 23、(本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰，令()E X X =，即12X θ+=，解得 1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以 12min nX X X θ={,,,} 为θ的最大似然估计量.。
2015年考研数学(一)真题及答案详解
( ) g x 在 x → 0 是等价无穷小，求 a,b, k 的值.
【答案】
a
=
−1, b
=
−
1 2
,
k
=
−
1 2 − y22 + y32
(B) 2 y12 + y22 − y32
(C) 2 y12 − y22 − y32
(D) 2 y12 + y22 + y32
【答案】(A)
【解析】由 x = Py ，故 f = xT Ax = yT (PT AP) y = 2 y12 + y22 − y32 .
程变为 y − 3y + 2y = cex ，再将特解 y = xex 代入得 c = −1.故选（A）
(3) 若级数 an 条件收敛，则 x = 3 与 x = 3依次为幂级数 nan (x −1)n 的 ( )
n=1
n=1
(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.
【解析】因为 an 条件收敛，即 x = 2 为幂级数 an (x −1)n 的条件收敛点，所以
n=1
n=1
an (x −1)n 的收敛半径为 1，收敛区间为 (0, 2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
n=1
nan (x −1)n 的收敛区间还是 (0, 2) .因而 x = 3 与 x = 3依次为幂级数 nan (x −1)n 的
2015年考研数学一真题及解析
考研数学真题及解析与 x = 3 依次为幂级数∑ n a (x -1) 的2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. (1) 设函数 f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续，其中二阶导数 f ''(x ) 的图形如图所示，则曲线 y = f (x ) 的拐点的个数为() (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(2) 设 y =1 e2 x + (x - 1)e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3y '' + ay ' + by = ce x 的一个特解，则()(A) a = -3, b = 2, c = -1(B) a = 3, b = 2, c = -1(C) a = -3, b = 2, c = 1(D) a = 3, b = 2, c = 1(3) 若级数∑ a n 条件收敛，则 x = n =1∞nn n =1()(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设 D 是第一象限由曲线2xy = 1， 4xy = 1与直线 y = x ， y =面区域，函数 f ( x , y ) 在 D 上连续，则 ⎰⎰ f ( x , y ) dxdy =D3x 围成的平()∞ 3⎰π ⎰⎰π ⎰π ⎰⎰π 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3(A)π3d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr42 s in 2θ(B)π3 d θ ⎰sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr42 s in 2θ(C)π3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr42 s in 2θ(D)π3d θ ⎰sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr42 s in 2θ⎛1 1 1 ⎫ ⎛1 ⎫ (5) 设矩阵 A =1 2 a ⎪ ， b = d ⎪ ，若集合Ω= {1, 2}，则线性方程组⎪ ⎪ 1 4 a 2 ⎪ d 2 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为()(A) a ∉Ω, d ∉Ω (B) a ∉Ω, d ∈Ω (C) a ∈Ω, d ∉Ω (D) a ∈Ω, d ∈Ω(6) 设二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换为 x = Py 下的标准形为2 y 2 + y 2 - y 2，其中 P = (e 1 , e 2 , e 3 ) 下的标准形为( )，若Q = (e 1 , -e 3 , e 2 ) ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy (A) 2 y 2 - y 2 + y 2(B) 2 y 2+ y 2- y 2(C) 2 y 2- y 2- y 2(D) 2 y 2+ y 2+ y 2(7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则()(A)(C) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≤P ( A ) P ( B ) 2(B)(D) P ( A B ) ≥ P ( A ) P (B ) P ( A B ) ≥P ( A ) P ( B )2(0,1) (8) 设随机变量 X ,Y 不相关，且 EX = 2, EY = 1, DX = 3 ，则 () E ⎡⎣ X( X + Y - 2)⎤⎦ =(A) -3(B) 3(C) -5(D) 5二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上. (9) (9) lim ln cos x= .x →0x 2π -πsin x1+ cos x (10) 2 ( 2+ x )d x =.(11) 若函数 z = z (x , y ) 由方程ex+ xyz + x + cos x = 2 确定，则d z = .(12) 设Ω 是由平面 x + y + z = 1 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则⎰⎰⎰ (x + 2 y + 3z )dxdydz =.Ω2 0 0 2 -1 20 2 (13)n 阶行列式= .0 00 02 2 -1 2(14)设二维随机变量(x , y ) 服从正态分布N (1,0;1,1,0)，则 P {XY - Y < 0} = .三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x ) = x + a ln(1+ x ) + bx sin x ， g (x ) = kx 3 ，若 fg ( x ) 在 x → 0 是等价无穷小，求 a , b , k 的值.( x ) 与L1 2 3 (16)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x 0 ∈ I ，由线y =f ( x ) 在点(x 0 , f ( x 0 ))处的切线与直线 x = x 0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f (0) = 2 ，求 f ( x ) 的表达式.(17)(本题满分 10 分)已知函数 f ( x , y ) = x + y + xy ，曲线 C ： x 2 + y 2 + xy = 3 ，求 f (x , y )在曲线 C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ） 设函数u (x ), v (x ) 可导，利用导数定义证明[u (x )v (x )]'= u '(x )v (x ) + u (x )v '(x )（I I ） 设函数u 1 (x ), u 2 (x ), , u n (x ) 可导， f (x ) =导公式.u 1(x )u 2(x ) u n (x )，写出f (x )的求(19)(本题满分 10 分)⎧⎪z = 2 - x 2- y 2,已知曲线 L 的方程为⎨ ⎪⎩z = x ,起点为 A (0, 2, 0)，终点为 B (0, -2, 0)，计算曲线积分 I =⎰ ( y + z )d x + (z2- x 2 + y )d y + (x 2 + y 2 )d z .(20) (本题满 11 分)设向量组 α1 , α2 , α3 内R 3 的一个基， β =2α +2k α ， β =2α ， β =α + (k +1)α .11322（I ） 证明向量组 β β β 为R 3的一个基;313α , α 1 2 3( ) = （I I ） 当 k 为何值时，存在非 0 向量 ξ 在基 1 有的 ξ .2 , α3 与基 β β β 下的坐标相同，并求所(21) (本题满分 11 分)⎛ 0 2-3⎫⎛ 1 -2 0 ⎫ 设矩阵 A = -1 3 -3⎪ 相似于矩阵 B=0 b 0 ⎪ .⎪ ⎪ 1 -2 a ⎪ 0 3 1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(I )求 a , b 的值；（II ）求可逆矩阵 P ，使 P -1AP 为对角矩阵..⎧⎪2-x ln 2, x > 0,(22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为 f x ⎨⎪⎩0,x ≤ 0. 对 X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (I ) 求 EY(23) (本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为：⎧ 1,θ ≤ x ≤ 1,f (x ,θ ) = ⎪⎨1 - θ⎪⎩0,其他.其中θ 为未知参数， x 1 , x 2 , , x n 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ 的矩估计量.(II) 求θ 的最大似然估计量.导函数异号。
2015考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得111120021222(1)2(1)220022012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=201sin cos 1lim 13x ab x bx xx kx →++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d θθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k kk ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=011223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n=为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以12min n X X X θ={,,,}为θ的最大似然估计量.。
2015数学一真题及答案详细解析
3x 围成的平
f x, y dxdy
D
(A)
3 4
3
4
d sin12 f r cos , r sin rdr
2sin 2
1
(B)
d
3
1 sin 2 1 2sin 2
1 sin 2 1 2sin 2
f r cos , r sin rdr
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(2)设 y
1 2x 1 e ( x )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3
y ay by ce x 的一个特解，则
( ) (A) a 3, b 2, c 1 (B) a 3, b 2, c 1 (C) a 3, b 2, c 1 (D) a 3, b 2, c 1
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
【答案】 （C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶 导函数异号。因此，由 f ( x ) 的图形可得，曲线 y f ( x) 存在两个拐点.故选（C）. (2)设 y
1 2x 1 e ( x )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y ay by ce x 2 3
的一个特解，则 ( ) (A) a 3, b 2, c 1 (B) a 3, b 2, c 1 (C) a 3, b 2, c 1 (D) a 3, b 2, c 1 【答案】 （A） 【分析】 此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系 数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数 值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知， e2 x 、 e x 为二阶常系数齐次微分方程 y ay by 0 的解，所 以 2,1
2015-数一真题、标准答案及解析
2015 考研数学一答案一、选择题（1）设函数 f (x ) 在（-∞,+∞）连续，其 2 阶导函数 f ''(x ) 的图形如下图所示，则曲线y = f (x ) 的拐点个数为（）（A ）0（B ）1 (C) 2 ( D) 3【答案】C【解析】拐点为f "(x)正负发生变化的点（2）设y = 1 e 2 x + ⎛ x - 1 ⎫e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y " + ay ' + by = ce x 的一个特解2 ⎝3 ⎪⎭则：(A)a = -3,b = -1, c = -1. (B)a = 3,b = 2, c = -1. (C)a = -3,b = 2, c = 1. (D)a = 3,b = 2, c = 1.【答案】（A ）【解析】1 e2 x , - 1 e x为齐次方程的解，所以2、1为特征方程λ2 +a λ + b = 0的根， 2 3从而a = -(1+ 2) = -3,b = 1⨯ 2 = 2, 再将特解y = xe x 代入方程y "- 3y ' + 2 y = ce x 得 c = -1.∞ ∞ ⎰π ⎰⎰π ⎰π ⎰⎰π n nn f (x , y )dxdy =3 dθ sin 2θ ∞ ∞(3)若级数∑a 条件收敛，则x = 3与x = 3依次为幂级数∑na (x -1)n的 nnn =1n =1(A)收敛点，收敛点. (B)收敛点，发散点. (C)发散点，收敛点. (D)发散点，发散点.【答案】B【解析】∞∞∞因为∑a 条件收敛，故x = 2为幂级数∑a ( x -1)n的条件收敛点，进而得∑a ( x -1)nn =1n =1n =1的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2)；又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故∑na ( x -1)n (0, 2) x = 3 x = 3 ∑na ( x -1)nn n =1的收敛区间仍为 ，因而 与 依次为幂级数nn =1的收敛点，发散点.（4） 设 D 是第一象限中曲线2xy = 1, 4xy = 1与直线 y = x , y =f (x , y ) 在 D 上连续，则⎰⎰ f (x , y )dxdy =D3x 围成的平面区域，函数（A ） π3 d θ1sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr （B ） π3 d θ ⎰ sin 2θ1f (r cos θ, r sin θ )rdr 42sin 2θ42sin 2θ(C) π3 d θ1sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr ( D)π3 d θ ⎰sin 2θ 1 f (r cos θ, r sin θ )dr42sin 2θ【答案】B【解析】由 y = x 得，θ = π442sin 2θ由 y = 3x 得，θ = π3由2xy = 1得， 2r 2cos θ s in θ =1, r =由4xy = 1得， 4r 2cos θsin θ =1, r =sin 2θ 2sin 2θπ ⎰⎰ ⎰π ⎰1D42sin 2θ所以 f (r cos θ, r sin θ )rdr⎛1 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ （5） 设矩阵 A = 1 2 a ⎪， b =d ⎪ ，若集合Ω = {1, 2}，则线性方程组 Ax = b 有无⎪ ⎪ 1 4 a 2 ⎪ d 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭穷多个解的充分必要条件为（A ）a ∉Ω, d ∉Ω （B ） a ∉Ω, d ∈Ω （C ） a ∈Ω, d ∉Ω （D ） a ∈Ω, d ∈Ω【答案】D⎡1 1 1 1 ⎤⎡1 1 11⎤ 【解析】[ A ,b ] = ⎢1 2 a d ⎥ −−→ ⎢0 1a -1d -1⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣1 4 a 2 d 2⎥⎦ ⎢⎣0 0(a -1)(a - 2)(d -1)(d - 2)⎥⎦Ax = b 有无穷多解↔ R ( A ) = R ( A ,b ) < 3↔ a = 1或 a = 2 且d = 1或 d = 2（6） 设二次型 f (x , x , x ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为2y 2 + y 2 - y 2 ，其中12 3123P = (e 1, e 2 , e 3 ) ，若Q = (e 1, -e 3 ,e 2 )，则 f (x 1, x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy 下的标准形为（A ） 2 y 2- y 2+ y 2（B ） 2 y 2+ y 2- y 2（C ） 2 y 2- y 2- y 2（D ） 2 y 2+ y 2+ y2 123123123123【答案】A【解析】设二次型对应的矩阵为 A , P = (e 1,e 2 ,e 3 ), 二次型在正交变换x = Py 下的标准行⎡2 为2 y 2+ y 2- y 2, 则 P -1AP = ⎢ 1 ⎤ ⎥ , 若Q = (e , -e ,e ), 则1 2 3 ⎢ ⎥1 32 ⎢⎣ -1⎦⎥ ⎡2 ⎤ Q -1AQ = ⎢ -1 ⎥ , 故在正交变换 x = Qy 下的标准型是： 2 y 2 -y 2 +y 2 故选 A 。
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年考研数学一真题与答案解析
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
．．．(1) 设函数 f ( x)在,内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线y f ( x)的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由f(x) 的图形可得，曲线 y f ( x) 存在两个拐点.故选（ C） .(2) 设y 1 e2x(x1)e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一23个特解，则()(A)a3,b2, c1(B)a3, b2, c1(C)a3,b2, c1(D)a3, b2, c 1【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.1 e2 x、1e x为二阶常系数齐次微分方程y ay by 0 的解，所以【解析】由题意可知，2,123为特征方程 r 2ar b 0 的根，从而a (12)3，b 1 2 2 ，从而原方程变为y 3y 2 y ce x，再将特解 y xe x代入得c1.故选（A）(3) 若级数a n条件收敛，则x 3 与x 3 依次为幂级数na n ( x1)n的()n 1n 1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】因为a n条件收敛，即 x 2 为幂级数a n ( x 1) n的条件收敛点，所以a n ( x 1)n n 1n 1n 1的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2)。
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015考研数学一真题及答案解析
的最值.
构造拉格朗日函数 F (x, y, λ) = (1 + y)2 + (1 + x)2 + λ(x 2 + y 2 + xy − 3)
∂F
令
∂∂Fx
∂y
= =
2(1 + 2(1 +
x) + 2λx + λy y) + 2λy + λx
= =
0 0 可得 (1,1), (−1,−1)
, (2,−2), (−1,2)
( D)
3 π
dθ
sin 2θ 1
f (r cosθ , r sinθ )dr
4
2sin 2θ
4
2sin 2θ
【答案】B
【解析】由 y = x 得，θ = π 4
由 y = 3x 得，θ = π 3
由 2xy = 1得， 2r2 cosθ sin=θ 1,=r
1 sin 2θ
由 4xy = 1得， 4r2 cosθ sin=θ 1,=r
(Π)
{ } = f ' (x) u1(x) ⋅[u2 (x)un (x)] '
= u1' (x) ⋅[u2 (x)un (x)] + u1(x) ⋅[u2 (x)un (x)]'
{ } = u1' (x) ⋅u2 (x)un (x) + u1(x) ⋅ u2 (x) ⋅[u3(x)un (x)] '
（A） a ∉ Ω, d ∉ Ω （B） a ∉ Ω, d ∈ Ω （C） a ∈ Ω, d ∉ Ω （D） a ∈ Ω, d ∈ Ω
【答案】D
1 1 1 1
1 1
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(8) D
解 因为X,Y不相关，所以Cov(X,Y) =E(XY) =EX• EY=O, 即E(XY)=EX• EY, 则E[X(X +Y — 2)] =E(X2 + XY-2X) =E(X2 ) +E(XY) — 2EX
=[DX+ (EX) 2 ] +EX• EY-2EX=5.
二、填空题
(9)
——
(6) A 解
�m� Q =P[�
�1�)
又因为 所以
_J, pTAP{ 1
（1
QT A Q
。 一。 ff[� �ff ( 1
＿
0
＼0
01
O＼ 勹 0
PTAP[�!
rn
!
�l�J
＿ \0 0
。1
·） 0 10
＼ 、
0 1
2
2
_J[ rJ[ 三J[ 1
王子
)[
J
玄�l子 �
-1
故应选A.
(7) C
解 对于A,B选项：
P{XY — Y<O}=P{(X —l)Y<O}
=P{X — 1 <O,Y> O}+P{X -1 > O,Y<O}
=P{X — 1 <O} P{Y> O}+P{X —1 > O} P{Y<O}
=- 1 X- 1 +- 1 X- 1 =-1 2 2 2 2 2·
三、解答题
+ + (15)解
由于ln(l +x) =x
(2 ) A
解
由题设条件知，Y1 = — e幻 , Y2 = —— ex 是已知二阶常系数非齐次线性微分方程所对应
2
3
的齐次微分方程的两个特解，山此知 r1 = 2, r2 = l 是特征方程 r2 +ar+b = 0 的两个根．
由一元二次方程根与系数的关系，得 a = -(2+1) = -3,b = 2,
于是原方程化为 y" — 3y '+2y = c它 ， 由 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构知：y 3 = xe工 是原方程的一个特解，将 y 3 = xex 代入 y" - 3y '+ 2y =田中，得 C = -l , 即 a =-3,b =2,c = -l. 故应选A.
(3) B
解 由于级数乏江，.T"在.r = 1处条件收敛，因此该级数的收敛半径 R = l,收敛区间为：（ —1,1);
20 1
其中
P�(0 2 0 ,
Zk O k + J
且 IPl = 4#0,所以， 1,/Jz,/J 3 为氏的一个基．
C II)设; 在基 a1 ,az,a3 与基 /Ji ,/Jz,/J 3 下的坐标向量为 x, 则
� = Ca1 ,az,a3)x = (/J1 ,/Jz,/J3 )x = Ca1 ,a 2 ,a3)Px,
＝胪。[ u(x+6x) — u(x)
v(x+心x) — v(x)
Dx
v(x+丛x)+u(x)
] DX
. u(J·+ 心x)-u(x)
v(x+6x) -v(x)
= lim ，I\.,·.r,
乙x
• lim v(x+公辽:) +u(x) lim
心 －声 0
心令-•
心x
= u飞） v<.d --1-u(x)v'(x) .
根据收敛半径 R 的计算定理，知级数乏: a,, C.r -1)" 的收敛半径也是 R = 2, 而其收敛区间为：(0,2);
而幕级数区 na,,(x — 厅可视为由乏：a.(x - 1)" 逐项求导所得，根据幕级数的性质知，级数
11 = !
n�l
i:nan(x -厅的收敛区间仍是(0,2),因为战E (0,2),所以 x = 战是收敛点
— (13) zn+l 2
尸）／叶 = 3(-12 x 2
--2 矿十 3
1
解
第i行的
— 1 2
倍加到第i
+
1行，i
= 1,2 … ,n
—
1.
。 。 2
。 。 2 。 。 。 — 1 2
2
2
2
2 2+2x — 1
2
。。 。。
。 。 2 2 。 。 — 1 2
2
2+2x
— 1 + …+2x 2
(— 12 r-2
2
解 利用等价无穷小代换．
---x
lim ln(cosx) =lim ln[1+ (cosx -- 1)] =lim cosx — 1 =lim 2
o 工 于
X
.r o 于
X
工 -o
X
.亢 -o
.T,
=--—1 2.
。2
（1
）
工 4
解
Ix I smx
因为 1+cosx 为奇函数，
穴穴
是偶函数，且积分区间 [ 2 '了）关于原点对称，所以由
当事件A 与B独立时，PCAB) =P(A)P(B).
而当A ,B 不独立时，P(AB)与 P(A)P(B)没有确定的关系，所以A,B选项错误．
对于C,D选项：
由概率性质P(A)�P(AB),PCB)�P(AB), 两式相加，得
c. P(A)+PCB)�2 P(AB), 即P(AB)� P(A)+.... PCB). 故应选
L+I.1
迈�
2
又亿的参数方程为 x = O, y = y, z = O(y 从一及到迈）， 所以
r��/ 因此
六 (y+ z)dx + (z'�X'+ y)dy + X'沪dz�s:ydy�o.
'
:
(20) 解
C I) 由于
CPi,凡，P3) = (2a 1 + 2ka 3 ,2a 2 ,a 1 + Ck+ l)a3) = Ca1 ,a 2 ,a 3 )P ,
因此，问题转化为求汃 1+x) 2+ (1+y) 2 在条件 x 2 +沪+xy =3 下的最大值． 令 F(x,y,入）=Cl+x) 2 +0+y) 2 十入(x 2 +y2 +xy-3), 由
贮=20+x) +入 (2x -1- y) =0,
｛贮 �20+yH-入(2y+x) =0,
r 解得
F{三+y2 -1-xy — 3=0
(21) 解 C I) 由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以
tr(A) = tr(B), IA I = I B I,
于是
3 + a = 2 +b , 2a - 3 =b ,
解得
a = 4,b = 5.
根据题设条件可知—2 J'(x。 ). 订 o)
4,
— 即y =f(x)满足方程y' = 8 y气
8
解得y
=
—
8C+x·
因为f(O) =2,
所以
C=--
2
8
故
J(x)
=
4
, —x
x
EI.
(17)解 因为函敞在每 一 点沿梯度方向的方向导拔最大 ， 且最大方向导敬是该点梯度向量的长
度，而
I I gradf (x,y) = Cl+y,1+x), gradf (x,y) =次1+X) 2 +(1+y) 2 _'
将x = O,y = l代入已知方程得，ez = 1⇒z = 0,所以
勹 =-�
心<o.o
F:
<0,1,0)
=—
yz+1- sinx xy+ez
= — 1, <0,1.0)
勹
＝ —拦
ay (0,1)
F:
＝ — xz
(0,l.O)
xy+ez
= O, (0,1,0)
—心
于是由公式得dz co,o = -Jx
f(rcos0, rsin0)rdr. 故应选B.
X
D
了二
(5) D
11 1
解
IA I= 1 2 a I = (a — 2)(a — 1)(2-l ) = (a — 2)(a - 1).
1 4 a2
由线性方程组有无穷多解，得 IA l=o, 即a =1或a=2.
一 当 a�1 时， (A ,b)
111
[o I O
l· 1
d·— I
0·0 0 (d — l)(d-2)J
< 由题意，知r (A) = r (A , b) 3 , 即d=1或d=2.
一 同理，当a�2时，(A ,b)
111
[o I I
1
d -I
],
0 0 0 (d-l)(d-2)
< 由题意，如r (A) =r (A ,b) 3 , 即d=1或d=2. 故应选D.
厂 f�i f: 三 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质得 I I) sinx
/千(1+cosx+ x dx = J�至1 t::sxdx +
I Ix dx = 0+2 xdx = x 2 :
(11)- dx
解 令F(x,y,z) =ez + xyz + x +cosx — 2,则