2015考研数一真题答案及详细解析

(8) D
解 因为X,Y不相关，所以Cov(X,Y) =E(XY) =EX• EY=O, 即E(XY)=EX• EY, 则E[X(X +Y — 2)] =E(X2 + XY-2X) =E(X2 ) +E(XY) — 2EX
=[DX+ (EX) 2 ] +EX• EY-2EX=5.
二、填空题
(9)
——
(6) A 解
�m� Q =P[�
�1�)
又因为 所以
_J, pTAP{ 1
（1
QT A Q
。 一。 ff[� �ff ( 1
＿
0
＼0
01
O＼ 勹 0
PTAP[�!
rn
!
�l�J
＿ \0 0
。1
·） 0 10
＼ 、
0 1
2
2
_J[ rJ[ 三J[ 1
王子
)[
J
玄�l子 �
-1
故应选A.
(7) C
解 对于A,B选项：
P{XY — Y<O}=P{(X —l)Y<O}
=P{X — 1 <O,Y> O}+P{X -1 > O,Y<O}
=P{X — 1 <O} P{Y> O}+P{X —1 > O} P{Y<O}
=- 1 X- 1 +- 1 X- 1 =-1 2 2 2 2 2·
三、解答题
+ + (15)解
由于ln(l +x) =x
(2 ) A
解
由题设条件知，Y1 = — e幻 , Y2 = —— ex 是已知二阶常系数非齐次线性微分方程所对应
2
3
的齐次微分方程的两个特解，山此知 r1 = 2, r2 = l 是特征方程 r2 +ar+b = 0 的两个根．
由一元二次方程根与系数的关系，得 a = -(2+1) = -3,b = 2,
于是原方程化为 y" — 3y '+2y = c它 ， 由 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构知：y 3 = xe工 是原方程的一个特解，将 y 3 = xex 代入 y" - 3y '+ 2y =田中，得 C = -l , 即 a =-3,b =2,c = -l. 故应选A.
(3) B
解 由于级数乏江，.T"在.r = 1处条件收敛，因此该级数的收敛半径 R = l,收敛区间为：（ —1,1);
20 1
其中
P�(0 2 0 ,
Zk O k + J
且 IPl = 4#0,所以， 1,/Jz,/J 3 为氏的一个基．
C II)设; 在基 a1 ,az,a3 与基 /Ji ,/Jz,/J 3 下的坐标向量为 x, 则
� = Ca1 ,az,a3)x = (/J1 ,/Jz,/J3 )x = Ca1 ,a 2 ,a3)Px,
＝胪。[ u(x+6x) — u(x)
v(x+心x) — v(x)
Dx
v(x+丛x)+u(x)
] DX
. u(J·+ 心x)-u(x)
v(x+6x) -v(x)
= lim ，I\.,·.r,
乙x
• lim v(x+公辽:) +u(x) lim
心 －声 0
心令-•
心x
= u飞） v<.d --1-u(x)v'(x) .
根据收敛半径 R 的计算定理，知级数乏: a,, C.r -1)" 的收敛半径也是 R = 2, 而其收敛区间为：(0,2);
而幕级数区 na,,(x — 厅可视为由乏：a.(x - 1)" 逐项求导所得，根据幕级数的性质知，级数
11 = !
n�l
i:nan(x -厅的收敛区间仍是(0,2),因为战E (0,2),所以 x = 战是收敛点
— (13) zn+l 2
尸）／叶 = 3(-12 x 2
--2 矿十 3
1
解
第i行的
— 1 2
倍加到第i
+
1行，i
= 1,2 … ,n
—
1.
。 。 2
。 。 2 。 。 。 — 1 2
2
2
2
2 2+2x — 1
2
。。 。。
。 。 2 2 。 。 — 1 2
2
2+2x
— 1 + …+2x 2
(— 12 r-2
2
解 利用等价无穷小代换．
---x
lim ln(cosx) =lim ln[1+ (cosx -- 1)] =lim cosx — 1 =lim 2
o 工 于
X
.r o 于
X
工 -o
X
.亢 -o
.T,
=--—1 2.
。2
（1
）
工 4
解
Ix I smx
因为 1+cosx 为奇函数，
穴穴
是偶函数，且积分区间 [ 2 '了）关于原点对称，所以由
当事件A 与B独立时，PCAB) =P(A)P(B).
而当A ,B 不独立时，P(AB)与 P(A)P(B)没有确定的关系，所以A,B选项错误．
对于C,D选项：
由概率性质P(A)�P(AB),PCB)�P(AB), 两式相加，得
c. P(A)+PCB)�2 P(AB), 即P(AB)� P(A)+.... PCB). 故应选
L+I.1
迈�
2
又亿的参数方程为 x = O, y = y, z = O(y 从一及到迈）， 所以
r��/ 因此
六 (y+ z)dx + (z'�X'+ y)dy + X'沪dz�s:ydy�o.
'
:
(20) 解
C I) 由于
CPi,凡，P3) = (2a 1 + 2ka 3 ,2a 2 ,a 1 + Ck+ l)a3) = Ca1 ,a 2 ,a 3 )P ,
因此，问题转化为求汃 1+x) 2+ (1+y) 2 在条件 x 2 +沪+xy =3 下的最大值． 令 F(x,y,入）=Cl+x) 2 +0+y) 2 十入(x 2 +y2 +xy-3), 由
贮=20+x) +入 (2x -1- y) =0,
｛贮 �20+yH-入(2y+x) =0,
r 解得
F{三+y2 -1-xy — 3=0
(21) 解 C I) 由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以
tr(A) = tr(B), IA I = I B I,
于是
3 + a = 2 +b , 2a - 3 =b ,
解得
a = 4,b = 5.
根据题设条件可知—2 J'(x。 ). 订 o)
4,
— 即y =f(x)满足方程y' = 8 y气
8
解得y
=
—
8C+x·
因为f(O) =2,
所以
C=--
2
8
故
J(x)
=
4
, —x
x
EI.
(17)解 因为函敞在每 一 点沿梯度方向的方向导拔最大 ， 且最大方向导敬是该点梯度向量的长
度，而
I I gradf (x,y) = Cl+y,1+x), gradf (x,y) =次1+X) 2 +(1+y) 2 _'
将x = O,y = l代入已知方程得，ez = 1⇒z = 0,所以
勹 =-�
心<o.o
F:
<0,1,0)
=—
yz+1- sinx xy+ez
= — 1, <0,1.0)
勹
＝ —拦
ay (0,1)
F:
＝ — xz
(0,l.O)
xy+ez
= O, (0,1,0)
—心
于是由公式得dz co,o = -Jx
f(rcos0, rsin0)rdr. 故应选B.
X
D
了二
(5) D
11 1
解
IA I= 1 2 a I = (a — 2)(a — 1)(2-l ) = (a — 2)(a - 1).
1 4 a2
由线性方程组有无穷多解，得 IA l=o, 即a =1或a=2.
一 当 a�1 时， (A ,b)
111
[o I O
l· 1
d·— I
0·0 0 (d — l)(d-2)J
< 由题意，知r (A) = r (A , b) 3 , 即d=1或d=2.
一 同理，当a�2时，(A ,b)
111
[o I I
1
d -I
],
0 0 0 (d-l)(d-2)
< 由题意，如r (A) =r (A ,b) 3 , 即d=1或d=2. 故应选D.
厂 f�i f: 三 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质得 I I) sinx
/千(1+cosx+ x dx = J�至1 t::sxdx +
I Ix dx = 0+2 xdx = x 2 :
(11)- dx
解 令F(x,y,z) =ez + xyz + x +cosx — 2,则
贮 = yz+1 — sinx ;F;=xz ;F严ez +xy'
。 2+2x
— 1 2
+
… + 2x
(-12 r-l
2
2
2
2+2x — 1
2
_zn+i - 2.
J1
2[2 — (½r-
(14) — 2
解
o, 由于相关系敬为 所以X,Y都服从正态分布 ， 即X ,...__N(l,1),Y,...__N(0,1), 且X和
Y相互独立．
由X ,...__N(l,1),可得 X — 1,...__N(0,1),所以
n�l
而 x = 3 不属于(0,2), 由数项级数收敛与发散的定义知级数乏： na立发散，即 x = 3 是发散点．
(11) B
y
y=;打X
解 如右图示，在极坐标系中积分区域D为：
y=x
千 �e� [) =---=c{ (r,0) I
产
1 ＿ �r� 1
3享声
三20}'
三贡 千是有』j'Cx, y ) dxdy = f:de
2015年（数 一）真题答案解析
一、选择题 Cl) C
解 由二阶导函数 y = J"(x) 的图形可知，二阶导数为零的点有两个，而 X = 0 则是二阶导 数不存在的点． 在二阶导数 为零的点中只有一个点左、右两侧二阶导数的符号相反，因此对应曲线 y = f(x) 上 一个拐点． 在X =O左侧，广釭）为正，在X = 0 右侧，广(x) 为负，因曲线 Y =f(x) 上点(0,f(O) ) 也是 一个拐点． 故曲线 y =f(x) 共有2个拐点，故应选C.
(18) 解 C I) 因为函数 u(x),v(x) 可导，所以
u(x+u.x) - u(x)
lim
= u'(x),
lim
v(x -1-心） -v(x) = v'(x), 且 lim v(x+u.x) = v(x).
公" 乒（）
心
公、x-o
心
公心-o
从而
胪。 [u(x)v(x)]' =
u(x +6x)v(x+6x) — u(x)v(x) 心x
C II)
j'位）一二u�(x)u2 (x) … un (.1')+u 1 (x)u�(x) …u,, (x) +… +u 1 (x)u2 (x) …u:(x).
(19) 解 设 L1 是从点 B 到点A的直线段，区为平面z =x 上由 L 与 L1 围成的半圆面下
lz=)- 侧，其法向量的方向余弦为(72,0, —
所以
(P-E)x = O.
对 P-E 施以初等行变换
勹 P-E�(� z I�j-(�I�
所以当 k = O 时，方程组(P-E)x = O 有非零解，且所有非零解为
Jx�c(� ,c 为任意非零常数．
故在两个基下坐标相同的所有非零向— 为
� = (a.,a, 心） [�l=c(a,-a,),c 为任意非零常数． — C)
聂 dx +-
dy =— dx.
(O,l)
Jy (0,1)
02) — 1 4
解
If 』 ff 利用轮换对称性知： xdV = � ydV = zdV,于是
』 L n (x+2y +3z)dxdydz =6J�xd:rdydz =6 0xdx
－］一y-_y
dy L dz
=『 勹 ， X d.1'j (1 - :i· - y)dy = 3r (x - 2x 2 +X 3)dx
=l, y =l,
X =--1, { y =— 1,
X =2, {y =— 1,
X =-1, { y =2.
又
J grad八1,1) 1 =2拉，
I gradf(-1, — 1) l=O,
I I I gra盯(2, - 1) = gradj飞— 1,2) 1=3,
所以J(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3.
—— X 2
2
X—
3
o(x 3 ),
-— + s1nx =x
6
o(x 3 ),
所以
f(x) =x +aln(l +x) +bxsinx
＋勹 =x +a(x
—亡
2
+bx2 +o(x3 ) 3
—尸＋ a
= Cl +a)x& +a =0,
因为f(x)
与
g (x)
由 Stokes 公式
小
(y+z)dx + Cz 2 -正+y)dy+正沪dz
L+L1
1
迈
＝』 a
a
』J 忒
a
dS = I_
( 2卢+ l)dS.
艺 ox
办
3乏
忒艺
y+z z2 - x 2 +y x了
f『 由于曲面区关于 xOz 平面对称，所以 2正 ydS =0, 故
互
护
— ff (y+z)dx+(z2 x 2 +y)dy + x 2 y2dz =上 dS ={J_rr.
=kx 3 在X---.
0时等价
，
b 所以�
—一 a =0, 2
＿k
a _3 ．
解得a =-l,b =--,k =--
(16)解 曲线Y =J(x)在点(xo,J(xo))处的切线方程为
y =J'(xO)(x -x。)+J(x。)，