高等数学上：D3习题课(1)
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
高等数学 习题课1-2 极限与连续
xn 1 x
n
( x 0)的连续性。
解 当x [0,1)时, f ( x ) 0;
0, 0 x 1 1 1 即 f ( x) , x 1 当x 1时, f ( x ) ; 2 2 1, x 1 1 当x 1时, f ( x ) lim 1 n 1 n ( ) 1 x
x )
lim
x 0
e x sin 2 x e
2 x
x
2
1
例6 问x 1时, f ( x ) 3 x 2 x 1 ln x
2
是x 1的几阶无穷小 ?
解 f ( x ) 3 x 1 x 1 ln[1 ( x 1)]
lim
x 1
2
n
(2)设x0 1, xn 1
1 xn 1
(n 1, 2,), 试证{ xn }收敛 ,
并求 lim xn。
n
5.求极限
(1) lim
x 0
x 1 cos x
(2) lim
x a
tan x tan a xa xe
(a k
2
)
(3) lim
其中 x=0为跳跃间断点,
例 10 证明: 方程 tanx = x 有无穷多个实根。
分析 从图形看 y=tanx与 y = x 有无穷多个交点。 证 设 f(x) = tan x- x (要在无穷个闭区间上用零点定理)
k Z ,
(1) k
lim
x ( k
2
f ( x ) ， lim
8. 设f ( x )在[0,1]上非负连续, 且f (0) f (1) 0, 则对任意实
高等数学课后习题及解答
高等数学课后习题及解答1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v.解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM故MB .AB AM MB MC DM DC .即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形.3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知1 D1A,1D2A, D3A, D A.41D3 D4BD11a,5a, D1D2 a,5 51D2D3a,5故D1 A=- （AB BD1）=- a- c5D 2 A =- （ ABD A =- （ AB BD 2BD ）=-）=-2a- c5 3a- c3=- （ AB 3BD 4）=- 5 4a- c. 54. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 .解M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） .-2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）.5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 .a解 向量 a 的单位向量 为，故平行向量 a 的单位向量为aa 1=（ 6，7， -6）=6 ,7 , 6，a1111 11 11其 中 a 6272( 6)211.6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A （1，-2，3），B （ 2， 3，-4），C （2，-3，-4），D （-2，-3， 1）.解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 .7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A （ 3， 4， 0），B （ 0， 4，3），C （ 3，0，0），D （ 0，D A4-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz 面上的点的坐标为（x0，0，z0），y Oz 面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y0，0），z 轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a，b，c）关于xOy 面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于x 轴的对称点为（a，-b，-c），关于y 轴的对称点为（-a，b，-c），关于z 轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）. 9.自点P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F 为点P0 关于xOz 面的垂线，垂足 F 坐标为(x0，0，z0）；P0D 为点P0关于xOy 面的垂线，垂足 D 坐标为( x0，y0，0）；P0E 为点P0 关于yOz 面的垂线，垂足E坐标为(0，y0，z o ) .P0A 为点P0 关于x 轴的垂线，垂足 A 坐标为( x o，0,0）；P0B 为点P0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为(0, y0 ,0) ；P0C为点P0关于z 轴的垂线，垂足 C 坐标为(0,0, z0 ) .10.过点P（0 x0，y0，z0）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0 且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P0 且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11. 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.2解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB= a ，于是各顶点的坐2标分别为A(2a，0，0) ，B（(0,22 2a，0）），C（- a，0，0），D2 2（0，-2a ，0），E（22a ，0，a ），F（0，22a ，a ），G（-22 a，20，a ），H（0，-2a ，a ）. 212. 求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离为d1=( 3) 25234 ，点M 到y 轴的距离为d2= 42 5241 ，点M 到z 轴的距离为d3= 42( 3) 225 5.13.在yOz 面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz 面上，不妨设为P（0，y，z），点P 与三点A，B，C等距离，PA32 ( y1)2(z 2)2 ,PB 42( y 2)2(z 2)2 ,PC ( y 5)2( z 1)2 .由 PAPBPC 知，32( y 1)2( z 2)242( y 2) 2( z 2)2( y 5) 2 ( z 1) 2 ，即解上述方程组，得 y=1， z =-2.故所求点坐标为（ 0，1， -2）.14.试证明以三点 A （4， 1， 9）， B （10，-1，6），C （ 2， 4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形 .证 由AB(104)2( 1 1)2(6 9)27,AC(2BC(2 4)2 10)2(4 1) 2 (4 1)2(3 9)27,(3 6)298 7 2知 AB2AC 及 BC2AB AC 2.故△ ABC 为等腰直角三角形.15. 设已知两点为 M 1（4， 2 ，1），M 2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角 .M 1M 2解 向量M 1M 2=（3-4， 0-2 ， 2-1） =（-1，- 2 ， -1），其模M 1M 2（ -1）2（ - 2）2124 2 .其方向余弦分9 ( y 1) 2 ( z 2) 2 16 ( y 2) 2 ( z 2)2, 9 ( y 1) 2( z 2) 2( y 5) 2( z 1)2.别为 cos =- 1 ， c os =-22 1，cos = .22方向角分别为2 ,3 , .3 4316. 设向量的方向余弦分别满足（ 1）cos =0；（2）cos =1；（ 3）cos =cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 （1）由 cos =0 得知 ，故向量与 x 轴垂直，平行于2yOz 面.（2） 由 cos =1 得知=0，故向量与 y 轴同向，垂直于 xOz 面.（3） 由 cos =cos =0 知，故向量垂直于 x 轴和 y 轴，2即与 z 轴平行，垂直于 xOy 面.17. 设向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角为，求 r 在 u 轴上的投影 .31解 已知|r |=4 ，则 Prj u r=| r |cos=4?cos 3=4× 2=2.18. 一向量的终点在点 B （2，-1，7），它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4， -4 和 7，求这向量的起点 A 的坐标.解 设 A 点坐标为（ x ，y ， z ），则AB =（ 2-x ，-1-y ，7-z ），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故 x=-2，y=3，z=0，因此 A 点坐标为（ -2， -3， 0）.19. 设 m =3i +4j +8k ，n =2i -4j -7k 和 p =5i +j -4k . 求向量 a =4m +3n -p 在 x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.21. 设a3i j 2k,b i 2 j k ，求（1） a 余弦.b 及a b ；（2）（ - 2a ）3b 及a 2b ；（3） a ,b 的夹角的解 （ 1） ab （3，- 1，- 2）（1,2，- 1）3ij k1 （ - 1）2 （ - 2）（ - 1） 3，a b 31 122 =（5,1,7） . 1（2） (2a) 3b 6(a b) 6 3 18a 2b 2(a b) 2(5,1,7) a b (10,2,14)3（3 cos(a,b)a b3 32( 31)2( 2)21222( 1)214 62 212. 设 a, b ,c 为单位向量，满足a b c 0,求a b b c c a.解 已知 ab c 1, a b c 0,故（ ab c ）（ a b c ） 0 .2 2即 abc2a b 2b c 2c a0.因此a b b c c a1 22 （ a b 22 3 c ） - 23.已知 M 1（ 1，-1，2），M 2（ 3,3,1）M 3（ 3,1,3）.求与同时垂直的单位向量 .M 1M 2 , M 2 M 3解M 1M 2 =（ 3-1,3-（-1）,1-2） =（2，4， -1）M 2 M 3=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于M 1M 2取为M2M3与M 1M 2, M 2M 3 同时垂直，故所求向量可a （M 1M 2M 2M 3），M 1M 2M 2M 3由M 1M 2iM 2M 3= 2j k4 1 =（6，-4，-4），2 2M1M 2知a M 2 M 3 61(6, 4, 4)( 4)2 ((3,4)22,682).2 172 17 17 17 174.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z 轴负方向）.解M 1M 2 =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F?M 1M 2 =（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0 J）.5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1 的点P1 处，有一与OP1成角1的力F1 作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2 的点P2 处，有一与OP2成角 2 的力F2 作用着（图8-6 ），问 1 ，2 ，x1，x2，F1 , F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6 ，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为2F1即F1x1sin 1x1sin 1F2 x2F2 x2sinsin20 ，2.6.求向量a（4，- 3,4）在向量b （2,2,1）上的投影.a b ( 4, 3,4) (2,2,1) 6 解Pr j b ab 2 .22 22 12 37.设a(3,5, 2),b (2,1,4) ，问与有怎样的关系，能使a b与z 轴垂直？解 a b = （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）=（3 2 ,5 , 2 4 ）.要 a b与z 轴垂直，即要（ a b ）（0,0,1 ），即（ a b）?（0，0,1 ）=0，亦即（3 2 ,5 , 2 4 ）?（0,0,1 ）=0，故（ 2 4 ）=0，因此 2 时能使 a b与z 轴垂直. 8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7 ，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB= ，2 只要证明AC BC 0 即可. 由AC BC =( AO OC) ( BO OC)= AOBO AO OC 2OC BO OC2=AO AO OC AO OC 2OC0 .故 ACBC , ∠ACB 为直角.9.已知向量 a 2i 3 j k, b ij 3k 和c i 2 j ，计算：（1） (ab)c (a c)b （2）(a b) (b c)（3）(ab) c解 （1）(a b)c (a c)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0, 8, 24)8i 24k .（2） ab =（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），b c =（ 1， -1,3 ） +（ 1， -2,0 ） =（ 2， -3,3 ），ij k(a b) (b c) 34 4 (0, 1, 1) j k .23 3ab (2, 3,1) (1, 1,3) 8，a c (2, 3,1) (1, 2,0) 8，（3）(a b) c 211312132.10. 已知OA i 3k,OB j 3k ，求△OAB的面积.解由向量积的几何意义知S△OAB=12OA OB ，OA OB ( 3) 2( 3)2 1 19 S △OAB 19 211. 已知a( a x , a y , a z ), b(b x ,b y , b z ), c(c x , c y ,c z ) ，试利用行列式的性质证明：(a b) c (b c) a (c a) b证因为(a b) c a xb xc xa yb yc ya zb z , (bc zc) ab xc xa xb yc ya yb zc za z(c a) b c xa xb xc ya yb yc za z ，b zi j kOA OB 1 0 3 ( 3, 3,1) ，0 1 3而由行列式的性质知aabb2 2 a x a y a z b x b y b z c x c yc zb x b yc xc ya x a yb zc x c z = a x a z b xc yc z a y a z ， 故b yb z(a b) c (b c) a (c a) b .12. 试用向量证明不等式：2 2 2 2 123123a 1b 1 a 2b2a 3b 3 ，其中 a 1, a 2 ,a 3 , b 1, b 2 ,b 3 为任意实数 . 并指出等号成立的条件.证 设向量 a （ a 1 , a 2 , a 3 ）， b （ b 1, b 2 ,b 3 ）. 由ab a b cos(a,b) a b ，从而a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 22a 1a 2a 1 222 a 3b 1b 2a 2 a 32b 3 ，当 a 1, a 2 , a 3与 b 1, b 2 ,b 3 成比例，即b 1b 2时，上述等式成立.b 3ab1. 求过点（ 3,0，-1）且与平面 3x 7 y 程.解所求平面与已知平面3x 7 y 5z 125z 12 0 平行的平面方0 平行.因此所求平面的法向量可取为 n=（3，-7，5），设所求平面为3x 7 y 5z D 0.将点（ 3，0， -1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为3x 7 y 5z 4 0 .2. 求过点 M 0（ 2，9， -6）且与连接坐标原点及点 M 0 的线段 OM 0 垂直的平面方程 .解OM 0(2,9, 6）.所求平面与 OM 0 垂直，可取 n= OM 0 ，设所求平面方程为2x 9 y6z D 0.将点 M 0（ 2，9， -6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为2x 9 y 6z 121 0.3. 求过（ 1，1， -1），（-2， -2， 2）和（ 1，-1，2）三点的平面方程 .x 1y 1 z 10 ，得 x 3 y 2z 0 ，即为所求平面方程 .注 设 M （ x ,y,z ）为平面上任意一点， M i( x i , y i , z i )(i1,2,3) 为平面上已知点 .由M 1M(M 1M 2 M 1M 3) 0, 即解 由2 1 2 1 2 11 11 12 1x x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 y y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 z z 1z 2 z 1 0, z 3 z 1它就表示过已知三点 M i （ i =1,2,3）的平面方程 . 4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： （1）x=0; （2） 3y-1=0; （3）2x-3y-6=0; （4） x -3y=0;（5）y+z=1; （ 6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解 （ 1）—（ 7）的平面分别如图 8— 8（a ）—（ g ） . （1）x=0 表示 yOz 坐标面.（2）3y-1=0 表示过点（ 0, 1,0）且与 y 轴垂直的平面 .3（3）2x-3y-6=0 表示与 z 轴平行的平面 . （4）x-3y=0 表示过 z 轴的平面 .（5）y+z=1表示平行于 x 轴的平面 . （6）x-2z=0 表示过 y 轴的平面 . （7）6x+5y-z=0表示过原点的平面 .5. 求平面2x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角分别为1, 2 , 3 .则根据平面的方向余弦知cos cos n k (2, 2,1) (0,0,1) 1 ,n k 22( 2)212 1 3cos 2cos n i ( 2,n i2,1)3(1,0,0) 2,1 3cos 3cos n j ( 2,n j2,1)3( 0,1,0) 2.1 36. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a试求这个平面方程.(2,1,1) 和b (1, 1,0) ，解所求平面平行于向量 a 和b，可取平面的法向量i j kn a b 2 1 1 (1,1, 3) .1 1 01故所求平面为1 ( x 1) 1 ( y 0) 3( z 1) 0，即x y 3z 4 0 .7. 求三平面x 3y交点.z 1,2x y z 0, x 2 y 2z 3的解联立三平面方程x 3y 2x y x 2y z 1,z 0,2z 3.解此方程组得x 1, y 1, z 3.故所求交点为（1，-1，3）. 8. 分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1 ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By D 0.将点（2，-5，3）代入，得5B D 0，即D 5B.因此所求平面方程为By 5B 0，即y 5 0.（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为Ax By 0 .将点（-3，1，-2）代入，得3A B 0，即B 3A.因此所求平面方程为Ax 3Ay 0 ，即x 3y 0.（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By Cz D 0. 将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2C D 0 及C D, B2B 7CD 0.9D .2因此，所求平面方程为9 Dy 2 Dz D 0 ，2即9 y z 2 0.9. 求点（1,2,1）到平面x 2 y 2z 10 0 的距离.解利用点的距离公式M 0 ( x0 , y o , z o ) 到平面Ax By Cz D 0dAx0By0Cz0 DA2 B 2 C 21 2 2 2 1 10 3 1.12 22 22 3x 3 y1. 求过点（4，-1，3）且平行于直线2 1 z 1的直线方程. 5解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s (2,1,5)，直线方程即为x 4 y 1 z 3.2 1 52. 求过两点M 1(3, 2,1) 和M 2 ( 1,0,2) 的直线方程.解取所求直线的方向向量s M 1M 2( 1 3,0 ( 2),2 1) ( 4,2,1) ，因此所求直线方程为x 3 y 2 z 1.4 2 13. 用对称式方程及参数方程表示直线x y 2 x y z 1, z 4.解根据题意可知已知直线的方向向量i j ks 1 1 1 ( 2,1,3).2 1 1取x=0，代入直线方程得y z 1,y z 4.3 5解得y3, z25.这2样就得到直线经过的一点（0, ,2 ）.因此直线的对称式方程为2参数方程为3 5 x 0 y 2 z 22 1 3x 2t ,y3t ,2z 53t.2注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4. 求过点（2，0，-3）且与直线x 2 y 3x 5 y 4z 7 0, 2z 1 0垂直的平面方程.解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即i j n s 1 23 5 k4 ( 16,14,11), 2故所求平面方程为16( x16x 2)14y 14( y 0)11z 6511(z 3)0.0.即5 x 5. 求直线3x 3y 3z 92 y z 10, 2 x 2 y与直线0 3x 8 yz 23 0,z 18 0的夹角的余弦..解 两已知直线的方向向量分别为i s 15 3j k3 3 (3,4, 2 11), s 2 i j k 2 2 1 3 81(10,5,10),因此，两直线的夹角的余弦cos(cos s 1 , s 2 )s 1 s 2 s 1 s 23 1045 1 100.32x 2 y 42( 1) 2 102( z 7, 3x 5)21026 y 3z 8, 6. 证明直线2x y 与直线z 7平2x y z 0行.证 已知直线的方向向量分别是i j s 11 22 1ki 1 (3,1,5), s 2 3 12j k 6 3 ( 119, 3,15),由 s 23s 1知两直线互相平行 .7. 求过点（0,2,4）且与两平面 x 方程.2 z 1和 y 3z 2平行的直线解 所求直线与已知的两个平面平行， 因此所求直线的方向向量可取i j ks n1n2 1 0 2 ( 2,3,1),0 1 3故所求直线方程为x 0 2 y 2 z 4.3 1注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为x 2z a,y 3z b.将点（0，2，4）代入上式，得 a 8, b10.故所求直线为x 2z 8,y 3z8. 求过点（3，1，-2）且通过直线解利用平面束方程，过直线的平面方程. 的平面束方程为x 4 y 3 5 2 (y 3z) 0, 2将点（3，1，-2）代入上式得11 .因此所求平面方程为20x 4 y 3 5 2 11(y 3z) 0, 20 210.x 4 y 3 z5x 4 y231z5 2 1即9. 求直线8x 9yx y 3z22z 59 0.0,与平面x y z 1 0的夹角. x y z 0i解已知直线的方向向量s 11 j k1 3 ( 2,4,1 12), 平面的法向量n(1, 1, 1).设直线与平面的夹角为, 则sin cos(n, s) s n 2 1 4 ( 1) ( 2) ( 1)0,即0.s n 2242 ( 2)2 12( 1)2 ( 1)2 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系；x 3 y 4 （1）2 7x y z z和4x 2 y32z 3 ；（2）3和3x 2y2 77z 8；（3）x 23 y 2 z13和x4y z 3.解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为, 且sin cos(n, s) s n. s n（1）s ( 2, 7,3), n(4, 2, 2),sin(( 2) 22) 4 ( 7)( 7)2 32( 2)423 ( 2)( 2)2 (0,2)2则0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A（-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）s(3, 2,7), n(3, 2,7), 由于s n 或sin332 (3 ( 2)2)2 72( 2)327 71,( 2)2 72知，故直线与平面垂直.2（3）s(3,1, 4), n (1,1,1), 由于s n 0或sin 3 1 1 1 ( 4) 1 0,32 12 ( 4)212 12 12知0, 将直线上的点A（2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点A 在平面上.故直线在平面上.11.求过点（1,2,1）而与两直线x 2 y x yz 1 0,和z 1 02 x yx yz 0,z 0平行的平面的方程.解两直线的方向向量为i s1 11 j k2 1 (1,1 1i2, 3), s2 21j k1 1 (0, 1,1 11),i 取n s1s2 1 j k2 3 (1,1, 1),0 1 1则过点（1,2,1），以n 为法向量的平面方程为1 ( x 即1) 1 ( y 2)x y z 0.1 ( z 1) 0,12.求点（-1,2,0）在平面x 2y z 1 0上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面x 2y z 1 0垂直的直线为x 1 y 2 1 2 z 0,1将它化为参数方程x 1t , y 22t, z t ,代入平面方程得1 t 2(2 2t )( t ) 1 0,2整理得t .从而所求点（-1,2,0）在平面x 2y3z 1 0 上的投影为（5,2,2）.3 3 3x y z 1 0,13.求点P（3，-1，2）到直线2x y z 4 0的距离.i 解直线的方向向量s 12 j k1 1 (0, 3,1 13).在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x 1, y 2 3t ,z3t. （1）又，过点P（3，-1，2），以s (0, 3, 3) 为法向量的平面方程为3( y 1) 3( z 2) 0,即y z 1 0. （2）1将式（1）代入式（2）得t ，于是直线与平面的交点为（1,2 1,3），2 2故所求距离为d (3 1)2( 1 1)22(23)223 2.214. 设M0 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到直线L 的距离M 0M sd .s证如图8-9，点M0 到直线L 的距离为 d.由向量积的几何意义知M 0M s 表示以M 0M ，s为邻边的平行四边形的面积.而M 0Ms s表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点M 0 到直线L的距离.于是M 0M sd .s15. 求直线2 x 4 y z3x y 2z0,在平面4x9 0y z 1上的投影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线2x 4 y z3x y 2z0,的平面束方程为9 02x 4y z (3x y 2z 9) 0,经整理得(2由(2 313 3 )x ( 4) 4 ( 4) y (1 2 ) z 9 0.) ( 1) (1 2 ) 1 0,得.代入平面束方程，得1117x 因此所求投影直线的方程为17x 31y31y37z37z117 0.117 0,4x y z 1.16. 画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）x 0, y 0, z 0, x 2, y 1,3x 4 y 2z 12 0;（2）x0, z 0, x 1, y 2, z y .4解（1）如图8-10（a）；（2）如图8-10（b）.221.一球面过原点及 A （ 4，0， 0）， B （ 1，3， 0）和 C （0，0， -4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径 .解 设所求球面的方程为( x a) 2 ( y b) 2 ( z c) 2R ，将已知点的坐标代入上式，得a2b2 c2R 2 ,（1）(a 4)2( a 1) 2b2c2(b 3) 2R 2 , c 2R 2 ,（2）（3）（3）a2b2( 4 c) 2R ，（4）联立（ 1）（ 2）得a2, 联立（ 1）（4）得 c 2, 将a 2代入（2）（ 3）并联立得 b=1，故 R=3.因此所求球面方程为( x 2)2 ( y 1) 2 ( z 2) 29,其中球心坐标为(2,1, 2), 半径为 3.2. 建立以点（ 1，3， -2）为球心，且通过坐标原点的球面方程 .解 设以点（ 1，3， -2）为球心， R 为半径的球面方程为( x 球面经过原点，故R2从而所求球面方程为1) 2(0 ( x ( y 3) 2 ( z 2) 2 R 2,3. 方 程x2y2z22 x 4 y 2 z 0表示什么曲面？解 将已知方程整理成( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1) 2 ( 6) 2,1)2 ( 0 3) 2 (0 2) 214, 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14.所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以 6 为半径的球面. 4. 求与坐标原点O 及点（2,3,4）的距离之比为1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（x, y, z），根据题意有1,2( x 2)2 ( y 32 4 1)2( z4)232(229)2 .3它表示以（, 1,3）为球心，以29为半径的球面.3 325. 将xOz坐标面上的抛物线转曲面的方程.z 5x绕x 轴旋转一周，求所生成的旋解以y2 z2 代替抛物线方程z25x中的z，得( y2z2 ) 2 5x，即y2z25x.注xOz 面上的曲线F ( x, z) 0 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为F ( x, y2 z2 ) 0.6. 将xOz坐标面上的圆转曲面的方程.x2 z2 9 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋解以x2 y2 代替圆方程x2 z2 9 中的x ，得( 即x2 x2y2 )2z29, y2 z2 9.( x 0)2( y 0)2( z 0)2化简整理得( x 2)2( y 3)2( z 4)2x z 7. 将 xOy 坐标面上的双曲线4x29 y236分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 .解 以y2z2代替双曲线方程4x 29 y 236中的 y ，得该双曲线绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4 x 2即4 x2229(9( y2y2z 2 z 2 )2)236.236, 以x z 代替双曲线方程 4x9 y36 中的 x ，得该双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4(即4( x2x2z 2 ) z 2 )29 y29 y 236. 36,8. 画出下列各方程所表示的曲面：（1） ( x a ) 2 y 2 ( a ) 2;（2）x 2y 21;（3） 2 2 21; 2（4）y2 z 0;49（ 5） z2 x 2 .9 4解 （1）如图 8-11（a ）； （2）如图 8-11（ b ）； （ 3）如图 8-11（c ）；（4）如图 8-11（d ）； （ 5）如图 8-11（ e ）.22229. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形： （1） x2;（ 2） yx 1;（3） x2y24;（ 4） x y1.解 （ 1） x2 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与 yOz 面平行的平面 .（2） yx 1在平面解析几何中表示斜率为1， y 轴截距也为 1 的一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z 轴的平面 .（3） x2y24在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2 的圆，在空间解析几何中表示母线平行于 z 轴，准线为的圆柱面.x 2 y 2 4, z 0（4） xy1在平面解析几何中表示以 x 轴为实轴， y 轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z 轴，准线为y 12y z 2x2y2z 01,的双曲柱面 .10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）x4221; 99（ 2） 2x2z21;4（3） x2y2z 2 1; （ 4） ( z a) 2x 2 y 2.x 2y 2z 2x 2y2解（ 1）1表示 xOy 面上的椭圆 1绕 x499 49x 2z2轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 xOz 面的椭圆绕 49x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .（2） x2yz241表示 xOy 面上的双曲线 2y2x4y 21绕 y 轴 旋转一周而生成的旋转曲面， 或表示 yOz 面的双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .z214（3） xy2z21表示 xOy 面上的双曲线 x2y 21绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 xOz 面的双曲线x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .x2z21绕（4） ( za) 2x 2y 表示 xOz 面上的直线 z x a 或zx a 绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 yOz 面的直线zy a 或 zy a 绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.11. 画出下列方程所表示的曲面：222（1） 4x2y2z24;（2） x 2y 2 4 z 24;z x2y2（3）.34 9解 （1）如图 8-12（a ）； （2）如图 8-12（ b ）； （ 3）如图 8-12（c ）；12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1） z卦限内）； 0, z 3, x y 0, x 3y 0, x2y21（在第一（2）x 限内） .0, y 0, z 0, x 2 y 2R 2, y 2 z 2R （在第一卦解 （ 1）如图 8-13 所示；（ 2）如图 8-14 所示.2 1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）x 1, y 2;z（2）x 4 x 2 y 0;y 2,x 2 （ 3）x2y 2a 2, z2a 2.解 （ 1）如图 8-15（ a ）；（ 2）如图 8-15（ b ）；（ 3）如图 8-15（ c ） .2. 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：y5x 1,x2y21,（1）y 2 x 3;y 5x 1, （ 2）4 9 y 3.解 （ 1）y 2 x 3在平面解析几何中表示两直线的交点 .在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.x2（2） 4y 1,9在平面解析几何中表示椭圆x2y2与 y 34 9其切线y 3 的交点，即切点.在空间解析几何中表示椭圆柱面x2y21与其切平面 y 3的交线，即空间直线.4 913. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线的柱面方程. 2x2x2y2 z2z2 y216,2x2解在x2y2 z2z2 y216,中消去x，得3 y2z216,即为母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程.2x2在x2y 2 z2z2 y216,中消去y，得3x2 2 z216,即为母线平行于y 轴且通过已知曲线多的柱面方程.4. 求球面x2y2 z2 9 与平面x z1的交线在xOy 面上的投影的方程.解在x2 y2 z2x z 1 9,中消去z，得x2 y2 (1 x) 29, 即2 x2x y28,它表示母线平行于z 轴的柱面，故交线在xOy 面上的投影的方程. 2x22x y2z 08,表示已知5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程：x2 y2 （1）y x; z2 9,（2）( xz1) 20.y2( z 1)24,2解（1）将y x代入x2y2 z2 9, 得2x2z29,3取x cos t, 则z23sint,从而可得该曲线的参数方程x 3cost , 2y 3cost, （02t 2 ）z 3sin t（2）将z=0 代入( x1) 2y2( z 1) 24,得( x 1)2y23,取x 1 3 c ost, 则y 3 s in t, 从而可得该曲线的参数方程x 1 3cost,y 3 sint,z 0（0 t 2 ）6. 求螺旋线方程. x acosy asinz b,, 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标解由x acos , y asin 得x2 y2a2, 故该螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为x2 y2z 0a2,由y asin , z b 得y asin z，故该螺旋线在yOz面上b的投影曲线的直角坐标方程为y a sinz,b x 0由x acos , z b 得x a cos z,故故该螺旋线在yOz 面b上的投影曲线的直角坐标方程为x acosz,b y 0.7. 求上半球0 z a2 x2 y2与圆柱体x2y2ax(a >0 )的公共部分在xOy 面和xOz面上的投影.解如图8-16.所求立体在xOy 面上的投影即为x2y2ax ，而由z a2 x2x2 y2 axy2 ,得z a2 ax. 故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，z 轴及曲线z a2ax 所围成的区域.8. 求旋转抛物面z x2y2( 0 z 4) 在三坐标面上的投影22 2解联立面上的投影为z x2z 4x2 y2y，得x24,y2 4.故旋转抛物面在xOy如图8-17.z 0.联立z xx 0 y2,得z y2 , 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为z y 及z4所围成的区域.z x2同理，联立y 0 y2 ,得z x2, 故旋转抛物面在xOz面上的投影为z x 及z4所围成的区域.2。
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
高等数学习题课(1)01-第五章随堂测验答案
12 11 1 12 2 21 2第五章 微分中值定理与导数应用 随堂测验 答案第一讲 罗尔定理 1.已知函数 f ( x ) = ( x - 1)( x - 2 )( x - 3 ) ，则方程 f ' ( x ) = 0 有个实根.A. 0B. 1C. 3D. 2答案： D解 f (1 ) =f ( 2 ) = f ( 3 ) ，则 f ( x ) 在(1, 2 ) , ( 2 , 3 ) 满足罗尔定理条件，于是∃ ξ ∈ (1, 2 ), ξ ∈ ( 2 , 3 ) ，使得 f '(ξ ) = f '(ξ 2 ) = 0 ，所以 f ' ( x ) = 0 至少两个实根.又因为 f ' ( x ) = 0 为二次方程，最多两个实根，综上，方程 f ' ( x ) = 0 有两个实根. 2.设 f ( x ) = x ( x + 1)( x + 3 ) ， 则 f '( x ) = 0 有个实根.A. 3B. 2C. 1D. 0答案： B解法一：在区间[ - 3 , - 1] 上 f ( x ) 连续、可导，且 f ( - 3 ) = f ( - 1) = 0 ，所以由罗尔定理知，至少存在一个ξ ∈（ - 3, - 1），使 f '(ξ ) = 0 ，故ξ 为 f '( x ) = 0 的一个实根.同理在区间[ - 1 , 0 ]上 f ( - 1) = f ( 0 ) = 0 ，所以由罗尔定理知，至少存在一个ξ ∈（ - 1,0），使 f '(ξ ) = 0 ，故ξ 也为 f '( x ) = 0 的一个实根.又因为 f '( x ) 是二次多项式函数，最多只有两个实根，故ξ ，ξ 为 f '( x ) = 0 的两个实根.解法二： 对 f ( x ) = x ( x + 1)( x + 3) = x 3 + 4 x 2 + 3 x 求导得f '( x ) = 3 x 2 + 8 x + 3 ， 令 f '( x ) = 3 x 2+ 8 x + 3 = 0 ，∆ = b - 4 ac= 8 2- 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 64- 36 = 28 > 0 ，故 f '( x ) = 0 有两个实根.( ) ( )下 列 函 数 在 区 间 [ - 1 , 1 ]上 满 足 罗 尔 定 理 条 件 的 是 _____ _ .11A . f ( x ) = x -B . f ( x ) =xxC . f ( x ) = 1 - x2D . f ( x ) = 1- | x |答案： C解 选 项 A 中 的f ( x ) 在x = 0点 不 连 续 ;选 项 B 中 的 f ( x ) 不 满 足 f ( - 1) = f (1) 的 条 件 ， 在 x = 0 点 也 不 连 续 ;选 项 D 中 的 f ( x ) 在x = 0点 不 可 导 ， 因 此 选 项A 、B 、 D 都 不 满 足 罗 尔定理条件 .经 验 证 可 知 选 项C 中 的f ( x )满 足 罗 尔 定 理 的 全 部 条 件 .4.如果 f ( x ) 在[ 2 , 4 ] 上连续，在( 2 , 4 ) 上可导，f ( 2 ) = 1, f ( 4 ) = 4 ，求证： ∃ ξ ∈ ( 2 , 4 ) ,使得 f '(ξ ) =2 f (ξ ).ξ构造辅助函数.( A ) F ( x ) = f ( x )x 2f ( x )( B ) F ( x ) =f ( x )x32( C ) F ( x ) =x( D ) F ( x ) = x f ( x )答案：A证明 令F ( x ) = f ( x ) ,x2则 F ( x ) 在[ 2 , 4 ] 上连续，在( 2 , 4 ) 上可导，x 2f '( x ) - 2 x f ( x )故F ' ( x ) = =x4x f '( x ) - 2 f ( x ),x3f ( 2 ) 1 又 F 2 = = , 4 4f ( 4 ) 1F 4 = = , 1 6 4所以由罗尔定理得： ∃ ξ ∈ ( 2 , 4 ) ,使得 F '(ξ ) = 0 , 即ξ f '(ξ ) - 2 f (ξ ) ξ3= 0,也即ξf '(ξ ) - 2 f (ξ ) = 0 ， 故 f '(ξ ) =2 f (ξ )成立.ξ2若 f ( x ) 在[ 0，1] 上连续，在( 0 , 1) 内可导，且 f ( 0 ) =f (1) = 0 , 1f ( ) = 1 .证明：在( 0 , 1)2内至少有一点ξ 使 f '(ξ ) = 1 . 构造辅助函数.( A ) F ( x ) =f ( x )x2( B ) F ( x ) =f ( x )x3( C ) F ( x ) = f ( x ) + x( D ) F ( x ) = f ( x ) - x答案：D证 明 令 F ( x ) = f ( x ) - x ，则 F '( x ) = f '( x ) - 1，所 以 F ( x ) 在[ 0，1]上 连 续 ，( 0，1)内 可 导 ，且 F ( 0 ) =f ( 0 ) - 0 = 0 , F (1) =f (1) - 1 = - 1 < 0 , 1 F ( ) = 1 1 1 f ( ) -=> 0222211又 因 F ( x ) 在[ , 1] 上 连 续 ，由 零 点 定 理 得 ： ∃ η ∈ ( , 1), 使 F (η ) = 0 = F ( 0 );22所 以 ， F ( x ) 在[ 0 ,η ] 上 连 续 ，( 0， η )内 可 导 ， 且 F ( 0 ) = F (η ) ;由罗尔定理知，至少存在一点 ξ ∈ ( 0， η ) ⊂ ( 0 ,1)，使 F '(ξ ) = 0，即 f '(ξ ) = 1 .第二讲 拉格朗日中值定理1.对函数 f ( x ) =1 x在区间[1, 2 ] 上应用拉格朗日中值定理得 f ( 2 ) - f (1 ) = f ' ( ξ ) ，则ξ = .（其中1 < ξ < 2 ）( A )( B )1 ( C )( D ) 12答案：A解 因为 f ( x ) 在[1, 2 ] 上连续且可导，所以由由拉格朗日中值定理得：∃ ξ ∈ (1, 2 )使得： f ( 2 ) - f (1 ) =f ' ( ξ ) ( 2 - 1 ) ，1 1 1即-= f ' ( ξ ) ⨯ 1 ，所以-= -，解得ξ =.22 ξ22332. 对函数 y= x 3+ 8 在区间[ 0 , 1] 上应用拉格朗日定理时，所得中间值ξ 为.A. 3B.13C.1D.-3答案： C解 对函数 y= x 3+ 8 在区间[ 0 , 1] 上应用拉格朗日定理得 f '(ξ ) =f (1) -f ( 0 ) ，也 即 3ξ2=(1 + 8 ) - 8= 1 ，所以ξ =11 ∈ ( 0 , 1).1 - 03.若函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上连续，在( a , b ) 内可导，则.A. 存在θ ∈ ( 0 , 1) ，使得 f ( b ) -f ( a ) = f '[θ ( b - a )]( b - a )B. 存在θ ∈ ( 0 , 1) ，使得 f ( b ) -f ( a ) = f '[ a + θ ( b - a )]( b - a )C. 存在θ ∈ ( 0 , 1) ，使得 f ( b ) -f ( a ) = f '(θ )( b - a )D. 存在θ ∈ ( 0 , 1) ，使得 f ( b ) -f ( a ) = f '(θ ( b - a ))答案： B解 当θ ∈ ( 0 , 1) 时， a + θ ( b - a ) ∈ ( a , b ) ，由拉格朗日中值定理，得f ( b ) - f ( a ) = f '( a + θ ( b - a ))( b - a ) .4.b - ab b - a 设0 < a ≤ b ，则不等式≤ ln ≤ 成立．baa答案：正确证明 由于 y = ln x 在[ a , b ] 上连续， ( a , b ) 内可导，所以满足拉格朗日定理，于是∃ ξ ∈ ( a , b ) ，使得b l n =l b n - 1 l a n =b (- a ，aξ31b ln= ln b - ln a = a1( b - a )， a < ξ ξ< b ，1 111 b 1因 为 < <， 所 以 ( b - a ) < ln < ( b - a )， bξa b a ab - ab b - a即< ln <.ba a 5.π a rc s in x + a rc c o s x =4x ∈ [ - 1,1].答案：错误解 设 f ( x ) = a rc s in x + a rc c o s x , x ∈ [ - 1,1],因 f '( x ) =1 1≡ 0 ,ππ故 f ( x ) ≡ C （ C 为 常 数 ） , 又 f ( 0 ) =， 即 得 C = ,因 此 a rc s in x + a rc c o s x = 22 π ， x ∈ [ - 1,1].2第三讲 柯西中值定理 1.函 数 f ( x ) = s in x 、 g ( x ) = πx + c o s x 在 区 间[ 0， ]上 不 能 使 用 柯 西 中 值 定 理 .2答案：错误解 函 数 f ( x ) = s in x 、 g ( x ) = πx + c o s x 在 区 间[ 0， ]上 符 合 柯 西 中 值 定 理 的 条 件22.证明柯西中值定理的过程如下：对 函 数 f ( x ) 在 区 间[ a , b ]上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 ： 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b )， 使 得 ： f ( b ) - f ( a ) = f '(ξ ) ( b - a )①同 理 ， 对 函 数 g ( x ) 在 区 间[ a , b ]上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 ： 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b )， 使 得 ： g ( b ) - g ( a ) = g '(ξ ) ( b - a ) ②① ÷ ② 得 ： 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b )， 使 得 ：f ( b ) - f ( a )= f '(ξ ) .( A ) 正 确g ( b ) - g ( a )( B ) 错 误g '(ξ )答案：错误解①与②中的ξ不同3.设函数 f ( x )、g ( x ) 满足：(1) 在闭区间[ a , b ]上连续；( 2 ) 在( a , b )内可导，f ( b ) -f ( a ) f '(ξ)则在( a , b )内至少存在一点ξ，使得：=g ( b ) -g ( a ) g '(ξ)( A ) 正确( B ) 错误答案：错误解 ： 掉 了 条 件 ( 3 ) g '( x ) ≠ 0， x ∈ ( a , b ) .柯西中值定理：设函数 f ( x )、g ( x ) 满足：(1) 在闭区间[ a , b ]上连续；( 2 ) 在( a , b )内可导；(3) g '( x ) ≠ 0， x ∈ ( a , b )f ( b ) -f ( a ) f '(ξ)则在( a , b )内至少存在一点ξ，使得：=g ( b ) -g ( a ) g '(ξ) 第四讲洛必达法则(1)1.求极限lim x - ta n x ．x → 0 x 2 ( e x - 1)1 1 1 1( A ) ( B ) - ( C ) - ( D )3 3 2 2答案：B解由等价无穷小替换和洛必达法则得lim x → 0x - ta n xx 2 ( e x - 1 )= limx → 0x - ta n xx 3= limx → 01 - s e c2 x3 x 2= limx → 0-2 s e c 2 x ta n x6 x1=-.32.求极限lim ⎛x-1 ⎫.⎪x → 1 ⎝x - 1 ln x ⎭1 1 1 1 ( A ) ( B ) - ( C ) - ( D )2 3 2 3⎛e答案：A 解 lim x-1 ⎫= limx ln x - ( x - 1) = limln x + 1 - 1⎪ x → 1⎝ x - 1 ln x ⎭x → 1( x - 1) ln x1 x → 1x - 1x+ ln x= limln x = limx = 1 . x → 11 1 -+ ln xx → 11 1 2+3. 极限limx → 0答案：3xx - x c o s x =x - s in xx x 2.解 利用洛必达法则和等价无穷小代换可得limx - x c o s x x (1 - c o s x ) = lim= lim x ⋅ 1 x 2 2 1 3 x 2= lim= 3 . x → 04.x - s in xx → 0x - s in xx → 0 x - s in x 2 x → 0 1 - c o s x1极限lim x2( ex2x → ∞- 1) =.答案： 1解法一 利用洛必达法则可得11x221ex 21 ⋅ ( -2 ) 132lim x 2( e x- 1) = lim= limx= lim e x= 1 .x → ∞x → ∞1x 2x → ∞1- 2x3x → ∞解法二 利用等价无穷小替换可得1lim x 2( e x 2 x → ∞- 1) = lim x 2⋅ 1x → ∞ x 2= 1 .5. 1ln (1 + ) 极限 limx → + ∞答案：1x = .a rc c o t x解 利用洛必达法则和等价无穷小替换可得- 1⎛1 ⎫ 11 ln 1 + ⎪-2 ⎝ x ⎭xx 21 + xlimx → + ∞a rc c o t x= limx → + ∞a rc c o t x= limx → + ∞1-1 + x 2= limx → + ∞x 2= 1 .第五讲 洛必达法则(2) 1.limx → 0(1 + x ) a- 1x=( a 为 任 何 实 数 ).( A ) a( B ) ea( C ) 1 ( D ) 0答案：A解此极限为 “ 0” 型 未 定 式 ， 满 足 洛 必 达 法 则 条 件 ， 因 此lim0 (1 + x ) a- 1= lima (1 + x )a - 1= a .x → 0xx → 01若 设 函 数 f ( x ) = x = 1处的导数值 .x a， 我 们 容 易 发 现 极 限 limx → 0(1 + x ) ax- 1实 际 上 为 函 数 f ( x ) = x a在2. 设lima tan x +b (1 - co s x ) = 2 ，其中a 2+ c 2 ≠ 0 ，则必有.x → 0c ln (1 - 2 x ) +d (1 - e- x2)（A ） b = 4 d （B ） b = - 4 d （C ） a = 4 c （D ） a = - 4 c 答案： D解 利用洛必达法则，得左边= lima s e c 2x + b s in x= lima +b s in xc o s 2x1 -2 x⋅x → 0- 2c ⋅ +d ⋅ 2 x e1 -2 x- x 2x → 0- 2 c + 2 d x e- x2(1 - 2 x ) c o s 2xa +b s i n xc 2o s xa = l i m= - .x → 0- 2 c + 2 d x -e x2( 1-2x - 2 ca 由-= 2 ，得a = - 2 c .-2 c本题也可以用等价无穷小代换计算x )ta n x a ⋅+ b ⋅1 - c o s x a ⋅ lim ta n x + b ⋅ l im 1 - c o s x左边= limxx = x → 0 x x → 0 xx → 0ln (1 - 2 x )1 - e- x2c ⋅+ d ⋅c ⋅ lim ln (1 - 2 x ) 1 - e- x2+ d ⋅ lim xx1 x2x → 0 x x → 0 xa ⋅ lim x+ b ⋅ lim = x → 0 x x → 0 x = - a， 由-a= 2 得a = - 4 c . c ⋅ lim - 2 x x 22 c2 c+ d ⋅ lim x → 0 x3.x → 0 x极限lims in 2 x - x 2 c o s 2x = .x → 0x ( e 2 x- 1) ln (1 + ta n x 2)1 1 11( A )( B )( C ) -( D ) -232 3答案：B解 原式= limx → 0s in 2 x - x 2 c o s 2x x ⋅ 2 x ⋅ ta n x 21 ( s in x - x c o s x )( s in x + x c o s x )1 s in x - x c o s xs in x + x c o s x= lim 2 x → 0 = lim x4 2 x → 00 ⋅ limx3x → 0x 1 s in x - x c o s xc o s x - c o s x + x s in xx s in xx21= lim 2 x → 04.⋅ 2 = limx3x → 03 x2= limx → 03 x2= lim = .x → 0 3 x 23极限lim ( c o s x )x → 01ln ( 1 + 2= .( A ) -1 1 1( B )( C ) 2 2e答案： C⎡ ln c o s x ⎤ 解 原式= e x p lim , ⎢ x → 0ln (1 + x 2 ) ⎥⎣⎦而 limln c o s x = lim ln c o s x0 = lims in x - c o s x 1 = - , x → 0ln (1 + x 2)x → 0x 2x → 02 x 2( D )2e1- 1 所以原式=e2=.5. 极限lim (1 +1 ) x=_ .x → 0x答案： 11ln (1 + ) lim x[ l n (1 + 1)]' lim x解 lim (1 +x → 01 )xx= lim ex → 0ln (1 + 1) xx= lim ex → 01 x ln (1 + )xx → 01 = exx → 01 ( ) ' = ex= e 0= 1 .第六讲 泰勒中值定理 1.设 limx → 0ln (1 + x ) - ( a x + b x 2)x 2= 2， 则 ______ _ .( A ) a = 1, b = -答案：A2.5 5 ( B ) a = 0 , b = - 2 ( C ) a = 0 , b = -22( D ) a = 1, b = - 2limx → 0x2-c o s x - e 2 x 4= _ _ _ _ _ _ . 111 1( A )( B ) -( C )( D ) -1 21 233 答案：B20 03.设 当 x → 0 时 ， e x - ( a x 2 + b x + 1) 是 比 x 2高 阶 的 无 穷 小 ， 则 ______ _ .11 ( A ) a = - 1, b = 1( B ) a = 1, b = 1( C ) a = -答案：D4., b = 1 ( D ) a =22 , b = 1y = 2 x 的麦克劳林公式公式中 x n项的系数是 ______ _ . ( ln 2 ) n( A )( B ) -ln 2 ln 2ln 2 ( C )( D )n !2 答案：A第七讲单调性极值最值1.n n !函数 y =x ln x的单调增加的区间是.( A )( - ∞ , e )( B )( e , + ∞ )( C )(1, + ∞ )( D ) R答案：B解 求函数 y =x ln x的导数得 y ' =ln x - 1，而函数的单调增区间需要 y ' > 0 ，即 ( ln x )ln x - 1 > 0 ，解得 x > e.2. 若函数 y =f ( x ) 在点 x = x 处取得极大值，则 .A.f '( x ) = 0 B. f ''( x ) < 0C.f '( x ) = 0 且 f ''( x ) < 0 D.f '( x ) = 0 或 f '( x ) 不存在3 π - 6 0 00 00 0答案：D 解若函数 y =f ( x ) 在点 x = x 处取得极大值，则 x 可能是驻点，也可能是不可导点，所以 f '( x ) = 0 或 f '( x ) 不存在. 3. 函数 y = x 2 ln x 在 [1, e ] 上最大值是.A.e 2B. eC.0D. e - 2答案：A解 在 [1, e ] 上 ， y ' = 2 x ln x + x = x ( 2 ln x + 1) > 0 ，所以函数单调递增，右端点对应的函数值即为最大值, 即 f ( e) = e 2 为最大值.4. 当π< x ≤π 时， f ( x ) = s in x 是 函数6 2 x（填“单调递增”或“单调递减”）答案： 单调递减 解：先求 f ( x ) =s in x 的导数 f '( x ) =xx c o s x - s in x，x2令 g ( x ) = x c o s x - s in x ，从而 g '( x ) = - x s in x ，当π < x ≤ π时， g '( x ) < 0 ， 6 2π π π π 1 即 g ( x ) < g ( ) = c o s - s in = ⋅ < 0 ,6 6 6 6 2 6从而 f '( x ) < 0 ，故函数 f ( x ) 单调递减. 5.若函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 内仅有一个极值点，则该点不一定是驻点..答案： 正确解若函数 y =f ( x ) 在点 x = x 处取得极大值，则 x 可能是驻点，也可能是不可 导点.， ， 第八讲 曲线的凹凸性、渐近线1.若在区间( a , b ) 内，导数 f '( x ) < 0 ，二阶导数 f ''( x ) > 0 ，则函数 f ( x ) 在该区间内是 .A. 单调增加，曲线是凸的B. 单调增加，曲线是凹的C. 单调减少，曲线是凸的D. 单调减少，曲线是凹的答案： D解 由函数的单调知， f '( x ) < 0 , f ( x ) 单调减少，由函数的凹凸性知， f ''( x ) > 0 , f ( x )向 下 凹 .2.曲线 y = x 2 - x 3的拐点是1 211 21( A ) ( , )( B ) x =( C ) ( , )( D ) x =2 2 733 2 72答案： C解 由 y = x 2 - x 3得y ' = 2x - x3 ，2y '' = -2 x 6,令 y '' = 0 1得 x = .当 x < 1y '' < 0 当 ; x >1y '' > 3 331 2于 是 拐 点 为 （ ， ） .3 2 73.若点(1, 3 ) 为 y = ax 3 + bx 2的拐点，则a 、b 的值为.A. a = - 6 , b = 3B. a = -3 9 , b =22C. a = 0 , b = 3D. a = 3 , b = 0答案： B解 将拐点(1, 3 ) 代入 y = ax 3 + bx 2 得a + b = 3, 再求 y ' = 3 ax 2 + 2 bx ,y '' = 6 a x + 2 b ，在拐点处 y '' = 0 ，将拐点(1, 3 ) 代入得6 a + 2 b = 0 ，联立方程解a = - 3 9, b = .224.曲线 y =1 x 2- 3 x + 2有 ____.A . 水平渐近线 y = 0 ，垂直渐近线 x = 1 ， x = 2B . 水平渐近线 y = 0 ，无垂直渐近线.C . 垂直渐近线 y = 1 ， y = 2 ，水平渐近线 x = 0D . 垂直渐近线 x = 1 ， x = 2 ，无水平渐近线. 答案： A 解l i m 1=，所以有水平渐近线 y = 0 ；x → ∞ x 2- 3 x + 2 1 lim1 = lim= ∞有垂直渐近线 x = 1, x = 2x → 1x 2- 3 x + 25. x → 2x 2- 3 x + 2曲线 y =x ln ( 2 +1) 的渐近线为 .x( A ) 1 x = -1 ( B ) x =( C ) 1 x = -1 ( D ) x =2332答案：A 解 因为limf ( x ) = lim x ln ( 2 + 1) = ∞ ，故该曲线没有水平渐近线；x → ∞x → ∞ x1 ln (2 +)又因为lim1f ( x ) = lim x ln ( 2 +) = limx= 0 ，故 x = 0 不是垂直渐近线；x → 0x → 0xx → 0 1 x因为 lim 1 x → - f ( x ) =lim 1 x → -x ln ( 2 + 1) = ∞ ，所以 xx1 = -是曲线的垂直渐近线.222。
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必作习题
P157 9，10，11，12，13
必交习题
一、用简便方法求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
二、求曲线 在 相应的点处的切线方程。
三、设曲线 在原点相切，求 。
四、落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外圈半径的增大率总是 ，问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？
四、设 ，又 ，求 。
§4初等函数的求导问题§5高阶导数
必作习题
P121-122 2(双数号题)，3(单数号题)；
P126-127 1(单数号题)，2，3，4，5，9
必交习题
一、求下列函数的导数
(1)
(2) ；
(3)
(4)设 ，其中 具有二阶导数，求 .
二、将多项式 ，改写成 ，求 。
三、设 ，其中 有二阶连续导数，问 是否存在；若不存在，请说明理由；若存在，求出其值。
第二章导数与微分
§1导数概念
必作习题
P105-107 1，4，5，6，9，12
必交习题
一、设函数 在 处连续，且 ，求 。
二、确定 的值，使函数 在 处可导。
三、求下列函数 的 ，并问 是否存在？
(1) ；
(2)
四、在抛物线 上取横坐标为 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线可平行于这割线？
§2函数的和、差、积、商的求导法则
§3反函数的导数复合函数的求导法则
必作习题
P111 2，3，4，5；
P118-119 1(单数号题)，2(双数号题)，3(单数号题)
必交习题
一、求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
(5) ；
高等数学第三章习题课答案
第三章 微分中值定理习题课一、判断题（每题3分）1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ）2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ）3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × )4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × )5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .（ √ ）6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × )7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ）8.因为函数y =0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ）二、选择题（每题3分）1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．xe B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()211f x x=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-；（B ）[]0,1；（C ）；[]1,2-（D ）[]2,2-3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.4．已知函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.（A ）13 （B （C ）12 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).A. 单调减函数B.单调增函数C. 有单调增区间也有单调减区间D. 没有单调性7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞（C ）)2,1(（D ）),2(+∞8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;（B ）下方; （C ）左方; （D ）右方.9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=（D ）0,340a b a b +<+=10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）A.单调增加，图像是凹的B.单调减少，图像是凹的C.单调减少，图像是凸的D. 单调增加，图像是凸的11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）.（A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；（D ）0a <且c 是任意实数.12． 函数23++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的(D) 图形是凸的13．若()()00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;（D ）0x x =必为曲线的拐点.14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）.（A ）1x = （B ）12x =（C ）(1,2) (D) 1(,1ln 2)2+15．函数2ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0D．不存在 C．是1ln216.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -17.设()f x 具有二阶连续的导数，且20()lim3,ln(1)x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的（ A ）（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点三、解答题（求极限每题4分其余每题 8分） 1．求极限220000011sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---⎛⎫-===== ⎪⎝⎭x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）11lim 1ln x xx x →⎛⎫⎪⎝⎭-- =()()11ln 1ln 11limlim 11ln ln x x x x x x x x x x x→→--+-=--+11ln ln 11limlim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+0(3)11lim 1→⎛⎫ ⎪⎝⎭--x x x e 01lim (1)→--=-xx x e x x e 0011lim lim 12xxx x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）200011ln(1)ln(1)lim()lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-==++0011111limlim lim 22(1)2(1)2x x x x x x x x x →→→-+====++20sin (5)limtan →-x x xx x 2200sin 1cos lim limtan 3x x x x x x x x →→--==0sin 1lim 66x x x →==222201(6)lim(1)→---x x x e xx e 22401lim→--=x x e xx 2232002211lim lim 42x x x x xe x e x x →→--==12=2223220000tan tan sec 1tan 1(7)lim lim lim lim ln(1)333→→→→---====+x x x x x x x x x x x x x x x1ln 1(8)lim cot →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 222211lim lim 111x x x x x x x →+∞→+∞-+===+-+sin sin cos (9)limlim cos 1→→-==-x a x a x a xa x a22200021sec 77ln tan 7tan 2sec 77tan 7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2+++→→→⋅⋅⋅===⋅⋅⋅x x x x x x x x x x x x x(11)lim arctan 2→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭x x x π22221arctan 12lim limlim 1111→+∞→+∞→+∞--+====+-x x x x x x x xxπ2lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭x xx x x x e ππ2lim ln(arctan )→+∞x x x π222211ln arctan lnln arctan arctan 1limlimlim 111→+∞→+∞→+∞+⋅+===-x x x x x x x xxxππ2222lim 1x x x ππ→+∞=-=-+ 22lim arctan -→+∞⎛⎫∴= ⎪⎝⎭xx x e ππ .()tan 21(13)lim 2→-x x x π解：()()()11sin ln 22limlim tan ln 2cos tan 2221lim 2x x x x x x xx x x eeππππ→→--→-==1122sinlim22x xx e eπππ→---⋅==tan 0(14)1lim +→⎛⎫⎪⎝⎭xx x 0011lim tan lnlim ln++→→⋅⋅==x x x x xxee2001110ln limlim1x x x xx xe ee++→→---====2． 验证罗尔中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满足罗尔定理条件.（3分）令()2121010f x x x '=-+=，得()0,1x =，满足罗尔定理结论.3． 试证明对函数2y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明：在区间[],a b 上，()()()f b f a f b aξ-'=- 代入：()()222pb qb r pa qa r p q b aξ++-++=+-解得：2a bξ+=. 4． 证明方程531xx -=在()1,2之间有且仅有一个实根．证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()522610f =-->所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根.()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.5． 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令()()x F x e f x =证明：令()()xF x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()()()x F x e f x f x ''=+ （3分）由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()()F b F a F b aξ-'=-又()()0f a f b == ∴()()0f f ξξ'+=6． 设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =.证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a内可导∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+且(0)()0F F a ==由Rolle 定理，至少(0,)a ξ∃∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+=7． 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根证：令()()()()323,33311f x x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，0,,f f'<故()f x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.8． 证明：当1x >时，xe x e >⋅.证明: 令()xf x e x e =-⋅，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条ξ∈，使得件，由中值定理，至少存在一点(1,)x()(1)(1)()(1)()f x f x f x e e ξξ'-=-=--即()(1)0f x f >=又即x e x e >⋅9． 证明：当0x >时，112x +>证：()()111022f x x f x '=+==>()()00f x f >=,即有112x +>10． 求证：1,(0,)>+∈+∞xex x证明：令()1,,[0,)xf x e x x =--∈+∞当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+或者：证明：()221112!2xf e e x x x x x ξξ''=++=++>+……8分11． 当1>x 时，证明：13>-x. 答案参看课本p148 例6 12． 证明：当0x >时， ln(1).1xx x x<+<+ 答案参看课本P132 例1 13． 设0,1a b n >>>， 证明:11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-.证明：令()nf x x =，显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得()()()()f a f b f a b ξ'-=- 即1()n n n a b n a b ξ--=-又由b a ξ<<及1(1)n n n ξ->的单增性，得11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-14． 设0a b >>，证明：ln a b b a ba a b--<< 证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1ln ln ()a b a b ξ-=-，又因为1110,a b ξ<<<因此，ln a b a a ba b b--<<. 15． 证明恒等式()arcsin arccos ,112x x x π+=-≤≤.证：令()arcsin arccos f x x x =+ 则()f x 在[]1,1-上连续.在()1,1-内有:()0,f x f C '=≡≡令0,,arcsin arccos 22x C x x ππ==+=在()1,1-内成立.再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]1,1-上成立.16． 求函数2y x =的极值点和单调区间. 解：132(1)y x-'=-因此，2y x =在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点21x =17． 求函数32535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间. 解：23103y x x '=-+,易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3-∞+∞,单调减区间1(,3)3.610y x ''=-,令0y ''=，得53x =. 当53x -∞<<时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；当53x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，故520(,)327是拐点18． 试确定,,a b c 的值，使曲线32y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.解：232y x ax b '=-+ 62y x a ''=-(1,1)-为拐点，则062a =- 3a ∴=由0y '=，则2360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.11,1a b c c -++=-=曲线为3231y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.19． 求函数()7ln 124-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解： 34314(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x'=-+⋅⋅=-， 易得函数的单调递增区间为13(,)e +∞,单调减区间13(0,)e . ()232112(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x''=-+⋅⋅=>， 令0y ''=，得1x =.当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20． 求函数arctan xy e=的单调区间，拐点及凹或凸的区间．解：arctan 211x y e x '=⋅+>0,因此单调增区间是R , arctan arctan arctan 2222221212(1)(1)(1)xx x x x y e e e x x x ⎡⎤⎡⎤-''=+-=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 令0y ''=，得12x =. 当12x -∞<<时，0y ''>，因此曲线在1(,]2-∞上是凹的； 当12x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1[,)2+∞上是凸的，故1arctan 21(,)2e是拐点 21． 求函数1234+-=x x y 的拐点和凹凸区间. 解：3246y x x '=- 2121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x = 列表 （4分）22． 求函数32391=+-+y x x x 的极值.解：2'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+ ''66y x =+ 令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.23． 求函数23(1)1=-+y x 的极值.解： 226(1)y x x '=-22226(1)24(1)y x x x ''=-+-令0y '=，得1231,0,1x x x =-==(0)60y ''=>，故20x =是极小值点.(1)0y ''±=， 无法用第二充分条件进行判定.在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =24． 求函数32(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.解：22323(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=所以，驻点11x =，232x =-，312x =- 列表∴()f x 在32x =-处取得极大值3()02f -= ()f x 在12x =-处取得极小值127()22f -=- 单调递增区间31(,],[,)22-∞--+∞，单调递增区间31[,]22-- 25． 试问a 为何值时，函数1()sin sin 23=+f x a x x 在3π处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：2()cos cos23f x a x x '=+()f x在3π处取得极值22121()coscos 03333232f a a πππ'∴=+=⋅-⋅= 23a ∴=即 ()2()cos cos 23f x x x '=+ ()2()sin 2sin 23f x x x ''∴=--222()sin 2sin 2033333f πππ⎛⎫''∴=--=-⋅+< ⎪⎝⎭⎝⎭所以它是极大值，极大值为212()sin sin 33333f πππ∴=+=26． 求函数3223y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值.解：212660,0,1y x x x x '=-===(舍去x =)()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102xx y y +==-.2101022x x S x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，100,10S x x '=-==故小屋长10米，宽5米时，面积最大.28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为()5200C x x =+（元）， 得到的收入是()2100.01R x x x =-（元）.问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？解：()()()22100.0152000.015200L x x x x x x =--+=-+-()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.-----精心整理，希望对您有所帮助!。
(同济大学)高等数学课件D3_3泰勒
4 3x
1( 9 n) o( x 2 n1 n1 x2 ) ( 1) 16 (1 x) 9 x 原式 lim 2 32 (n x0 1) ! x2
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见
f ( ) ( x x0 ) 2 f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2!
( 在 x0 与 x 之间)
df
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误差
( 在 x0 与 x 之间)
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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
其中 R2 m ( x)
sin() m x 2 x ) 2 m1 (1 cos(m 1 ) 2 (0 1) x (2m 1) !
机动
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下页返回结束 Nhomakorabea类似可得
x2 x4 x 2m cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
其中 Rn (x)
( 1)( n)
(n 1) !
(1 x) n1 x n1
(0 1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
已知 f 类似可得
(k )
( x) (1)
k 1
(k 1)! (k 1, 2 ,) k (1 x)
x 2 x3 xn ln(1 x) x (1) n 1 Rn (x) 2 3 n
其中
(1) m1 cos( x) 2 m 2 R2m1 ( x) x (2m 2) !
高等数学D1-D3总复习习题课kqq
提示: (1) sin x 1 sin x
x 1 x x 1 x 2 sin cos 2 2 1 x 1 x 2 sin cos 2( x 1 x ) 2
无穷小
有界
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(2)
2 1 x lim x1 sin π x
令t x 1
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
dy f ( x0 ) ; ; dx x x0 y f ( x0 ) lim x 0 x
d f ( x) dx x x0
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例1. 求函数 解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
( 一般为曲线 )
O
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D
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x
结束
xD
(定义域)
f
y R f f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
• 定义域
使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；
2
对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. • 对应规律的表示方法: 解析法、图像法 、列表法 1 例如, 反正弦函数 定义域 又如, 绝对值函数 定义域 值域
y
y2 x
y 1 x
f ( D ) [0 , )
1 2
高等数学(D类基础)习题课
赵文彬：
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
大学文科高等数学题解（上册）,姚孟臣,高等教育出版社,2003；
参考书
教学大纲
本课程通过习题讲解巩固所学高等数学课程内容。
课堂布置
课堂习题讲解与学生课堂演练相结合。
课堂表现和平时作业，占整个课程成绩的 10-15%。
高等数学（D类基础）习题课课程详细信息
课程号
00131970
学分
0
英ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ名称
Problem-solving on advanced mathematics (D basic)
先修课程
无
中文简介
本课程通过习题讲解巩固所学高等数学课程内容。
英文简介
The course aims at helping students to better understand knowledges from the textbooks.
高等数学(同济版)第三章-习题课
m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由罗f分(c尔析) 定: 所想理f f(给到3知(c)条找),必1件一,存f且可点(0在)写fc(f,为x3(使1))在(cff[(,f(c032(,)))c3)]f上3(11()0连f,(3f0续())2,),使f在3(11)(f,c(,ff3((2))3)内)0可1. 导,
一、主要内容
Cauchy 中值定理
F(x) x
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange 中值定理
f (a) f (b)
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
常用的 泰勒公式
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
( x)
1 ln(1
x)
1
1 x
2
0
(x 0)
故 x 0时, (x)单调增加 , 从而 (x) (0) 0
即
ln(1 x) arctan x (x 0)
1 x
思考: 证明 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 1 x arcsin x
函数更好 ?
提示: (x) (1 x) ln(1 x) 1 x2 arcsin x
y
2 x( x2 (x2
3) 1)2
(
x
1 1)3
(x
1 1)3
高等数学第五章习题课1定积分
第 五 章 定 级 分
解
原式 lim
2e
x2
0 e
2 x2
x t2
dt
x
e
0
lim
2 e dt e
x2
x t2
x
lim
2e
x2
2
x 2 xe x
1 lim 0 x x
- 17 -
习题课（一）
3 解
第 五 章 定 级 分
tf ( x t )dt lim 0 ,
1 i 1 2 lim sin sinxdx n 0 n n i 1
n
-2-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
i 1 n i 1 lim sin lim sin n n n n 1 n n n i 1 i 1 1 2 sinxdx 0 2 原式 1 n1 n 2 n nn 3 lim n n n n
1 2 F ( x )dx 0
存在一点 , 使得 F ( ) 0, 即 f ( ) f ( )
-9-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
设在 [0,1] 上 f ( x ) 0, 证明： 1 1 2 0 f ( x )dx f ( 3 ) 证 由于 y f ( x ) 在区间 [0,1] 是上凸的， 所以曲线 1 1 y f ( x ) 在过 ( , f ( )) 处的切线下方，即 3 3 1 1 1 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3 1 1 2 1 2 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3
《高等数学》课程教学大纲
《高等数学》教学大纲一、课程基本信息二、课程内容及基本要求本课程的内容按教学的要求不同，分为两个层次，文中属较高要求的，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用，其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握” 一词表述.在教学要求上低于前者的，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或 “了解”表述.（一）函数、极限、连续 基本内容函数:函数的定义.显函数与隐函数.函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性.反函数及其图形.基本初等函数.复合函数.初等函数.双曲函数与反双曲函数.极限：数列极限的ε—N 定义.数列收敛的条件[必要条件——有界性；充分条件——单调有界（叙述）]；函数极限的ε—X 定义.函数极限的ε—δ的定义.函数的左右极限.不等式取极限.无穷小与无穷大的定义.无穷小与函数极限的关系.极限的四则运算.两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim .无穷小的比较.等价无穷小. 函数的连续性：函数连续的定义.间断点.连续函数的和、差、积、商的连续性.连续函数的反函数的连续性.基本初等函数和初等函数的连续性.闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理等的叙述.基本要求1、理解函数的概念.2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3、理解反函数和复合函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形.5、能列出简单实际问题中的函数关系.6、了解极限的ε—N 、ε—δ定义（对于给出ε求N 或δ不作过高要求），并在学习过程中逐步加深对极限思想的理解.7、掌握极限四则运算法则.8、掌握两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限.9、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.10、理解函数在一点连续的概念（含左连续与右连续），会判断间断点的类型.11、了解初等函数的连续性，知道在闭区间上连续性，知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值，最小值定理），并会应用这些性质.（二）、一元函数的微分学基本内容导数与微分：导数的定义.导数的几何意义.平面曲线的切线与法线.函数的可导性与连续性之间的关系.函数的和、差、积、商的导数.复合函数的导数.反函数的导数.基本初等函数的导数公式.初等函数的求导问题.高阶导数.隐函数的导数.对数求导法.由参数方程所给定的函数的导数.微分的定义. 微分的几何意义.微分的运算法则.微分形式的不变性，微分在近似计算及误差估计中的应用.中值定理与导数的应用：罗尔（Rolle）定理.拉格朗日（Lagrange）定理.柯西定理.罗必达（L’Hospital）法则.带有拉格朗日余项的泰勒（Taylor）公式.函数增减性的判定法.拐点及其求法.水平垂直渐近线.函数图形的描绘举例.弧微分.曲率的定义及其计算公式.曲率圆与曲率半径、曲率中心.基本要求1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系.2、掌握导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）以及导数的基本公式.了解高阶导数概念，能熟练地求初等函数和分段函数的一阶、二阶导数. 会求简单函数的n阶导数，会求反函数的导数..3、会求隐函数和参数式所确定的函数一阶、二阶导数，会求幂指函数的导数.4、理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理，会用拉格朗日定理.5、理解函数极值概念.掌握利用导数求函数的极值、判断函数的增减性与函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点等方法.能描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）.会解较简单的最大值和最小值的应用问题.6、掌握用罗必塔（L′Hospital ）法则求未式极限的方法.7、知道曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径.（三）、一元函数的积分学 基本内容不定积分：原函数与不定积分的定义.不定积分的性质.基本积分公式.换元积分法.分部积分法.有理函数的有理式及简单的无理函数的积分举例.积分表的用法.定积分及其应用：定积分的定义.定积分存在定理的叙述.定积分的性质.定积分的中值定理.定积分作为变上限的函数及其求导定理.牛顿（Newton ）——莱布尼兹（Leibniz ）公式.定积分的换元法与分部积分法.两种广义积分的定义.定积分在几何学中应用（面积、弧长、旋转体体积、已知平行截面面积求体积等）.定积分在物理学中的应用举例.基本要求1、理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念以及它们的性质.2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法，掌握较简单的有理函数的积分.3、理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟悉牛顿（Newton ）——莱布尼兹（Leibniz ）公式.4、了解广义积分的概念.并会计算广义积分.5、熟练掌握用定积分来表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长和功等等）的方法.（四）、常微分方程 基本内容微分方程的一般概念：微分方程的定义.阶.解.通解.初始条件.特解.一阶微分方程：变量可分离的方程.线性方程.用变量置换法解一阶方程举例.全微分方程.可降阶的高阶微分方程： ()()x f y n =. ()y x f y '='',. ()y y f y '='',.线性微分方程：线性微分方程的解的结构.二阶常系数齐次线性微分方程.二阶常系数非齐次线性微分方程.基本要求1、了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念.2、掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法.3、会解齐次方程和贝努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程.4、会用降阶法解下列微分方程：y(n)=F（x），y″=F（x，y′）和y=F（y，y′）5、理解线性微分方程解的性质及解的结构.6、掌握二阶常系数齐次线性方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性方程的解法.7、掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系统非齐次线性方程的解法.8、会用微分方程解决一些简单的几何和物理问题.（五）、向量代数与空间解析几何基本内容向量代数：向量概念.向量的加减法.向量与数量的乘法.投影定理.空间直角坐标系.向量的分解与向量的坐标.向量的模.单位向量.方向余弦与方向数.向径.两点间的距离.向量的数量积.两向量的夹角.两向量平行与垂直的条件.混合积.平面与直线：平面的方程（点法式、一般式、截距式）.直线的方程（参数式、对称式、一般式）.夹角（平面与平面、平面与直线、直线与直线）.平行与垂直的条件（平面与平面、平面与直线、直线与直线）.曲面与空间曲线：曲面方程的概念.球面方程.旋转曲面（包括圆锥面）.母线平行于坐标的柱面方程.空间曲线作为两曲面的交线.空间曲线的参数方程.螺旋线.空间曲线在坐标面上的投影.二次曲面：椭球面、抛物面、双曲面.基本要求1、理解空间直角坐标系.理解向量的概念.2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）.掌握两个向量垂直、平行的条件.3、熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算.4、掌握平面的方程和直线的方程及其求法.5、会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面，直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.6、会求点到直线以及点到平面的距离.7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的议程及图形.会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面.8、知道空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.（六）、多元函数的微分学基本内容多元函数：多元函数的定义.点函数的概念.区域.二元函数的几何表示.二元函数的极限与连续性.有界闭域上连续函数性质的叙述.偏导数与全微分：偏导数的定义.二元函数偏导数的几何意义.高阶偏导数.混合偏导数可以交换求导次序的条件.全微分的定义.全微分存在的充分条件.全微分在近似计算中的应用.多元复合函数的求导法则.全导数.隐函数的求导公式.方向导数.梯度.偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面.曲面的切平面与法线.多元函数的极值及其求法.最大值、最小值问题.条件极值.拉格朗日乘数法.基本要求1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2、了解二元函数的极限、连续性等要领及有界闭域上连续函数的性质.3、理解偏导数、全微分等概念，会求全微分，了解全微分存在必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4、了解方向导数与梯度的概念，掌握它们的计算方法.5、掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法.6、会求隐函数的偏导数.7、了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法.8、理解多元函数极值的概念，会求函数的极值，了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值.会求解一些较简单的二元最大值最小值应用问题.（七）、多元函数的积分学基本内容二重积分：二重积分的定义.二重积分存在定理的叙述.二重积分的性质.二重积分的计算法（包括极坐标）.二重积分在几何学中的应用（立体体积、曲面面积）.二重积分在物理学中的应用举例.三重积分：三重积分的定义及其性质.三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）.三重积分的应用举例.曲线积分：曲线积分（对弧长及对坐标）的定义.曲线积分的性质.曲线积分的计算法.曲线积分的应用举例.曲面积分：曲面积分（对面积及对坐标）的定义.曲面积分的性质.曲面积分的计算法.曲面积分的应用举例.各类积分的联系：平面曲线积分与二重积分的联系——格林（Green）公式.曲面积分与三重积分的联系——高斯（Gauss）公式.空间曲线积分与曲面积分的联系——斯托克斯（Stokes）公式（不证）.平面曲线积分与路径无关的条件.二元函数的全微分求积.散度.旋度.基本要求:1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质.2、掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）.3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及曲线积分的关系.4、掌握两类曲线积分的计算方法.5、掌握（Green）公式，并会运用平面曲线积分与路径无关的条件.会求全微分的原函数.6、了解两类曲面积分的概念性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯分式计算曲面积分.7、了解散度、旋度的概念.8、会用重积分、曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量（如体积、质量、重心等等）.（八）、无穷级数基本内容:常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义.无穷级数的基本性质.级数收敛的必要条件.柯西审敛原理.几何级数.调和级数.P级数.正项级数的比较审敛法和比值审敛法.交错级数.莱布尼兹定理.绝对收敛和条件收敛.幂级数：幂级数概念.阿贝尔（Abel）定理.幂级数的收敛半径与收敛区间.幂级数的四则运算、和的连续性、逐项积分.泰勒级数.函数展开为幂级数的唯一性.函数（e x、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式.幂级数在近似计算中的应用举例.欧拉（Euler）公式. 函数项级数：函数项级数的一般概念.一致收敛及一致收敛级数的基本性质.基本要求1、理解常数项级数收敛、发散以及和收敛级数的概念.掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2、掌握几何级数和P级数的收敛与发散的条件.3、掌握正项级数的比较审敛法，比值审敛法.4、掌握交错级数的莱布尼兹定理，并能估计交错级数的截断误差.5、了解级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7、理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径收敛区间及收敛域的求法.8、幂级数在其收敛区间内的一些基本性质和函数的连续性，逐项微分和逐项积分，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数.9、知道函数展开为泰勒级数的充要条件.10、掌握e x、sinx、cosx、ln(l+x)和（l+x）m的麦克劳林（Maclaurin）展式，并能利用这些展开式将一些简单函数间接展成幂级数.11、会用幂级数进行一些近似计算.三、实践环节及基本要求：1、将数学建模思想渗透到高等数学教学中四、学时分配表：五、课程教学的有关说明可对下述有关情况做出说明：1．本课程自学内容及学时课本中打“*”的部分全为自学内容，供有兴趣的学生选用。
高等数学(同济大学版) 课程讲解 第一章习题课1教学内容
课时授课计划课次序号：08 一、课题：第一章函数与极限习题课二、课型：习题课三、目的要求：1.加深对函数、极限、连续等基本概念的理解；2.熟练掌握极限的运算方法.四、教学重点：极限运算、两个重要极限、无穷小比较、函数的连续性．教学难点：极限存在准则．五、教学方法及手段：讲练结合，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学习题课讲义》，同济大学数学教研组主编，高等教育出版社；3.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：总复习题一3（2）（3），8（2）（4）（6），10，11，12八、授课记录：九、授课效果分析：第一章 函数与极限习题课一、 主要内容1. 函数函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数.2. 极限极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则.3. 连续函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段函数的连续性.二、典型例题1. 求复合函数例1设()f x =[()]f f x .解[()]f f x ===.2. 利用函数概念求函数表达式例2 设(e )1sin xf x x =++，求()f x .解 令e xt =，则ln x t =，()1ln sin(ln )f t t t =++，()1ln sin(ln )f x x x ∴=++. 例3 设2()sin ,[()]1f x x f x x ϕ==-,求()x ϕ.解 2[()]sin ()1f x x x ϕϕ==-,2()arcsin(1),[x x x ϕ∴=-∈.3. 求00或∞∞型未定式的极限例4 330()lim h x h x h→+-解 []223300()()()()lim limh h x h x x h x h x x x h x h h→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦= 222lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦. 例5 3x →解33(23)92)x x x →→+-=343x x →→===.例6 limx解limlim1x x ==.4.求0⋅∞或∞-∞型未定式的极限例7 1lim x-→解1111lim lim lim(1)2x x x x x ----→→→→===+=. 例8 1lim x →313()11x x --- 解 233211113132lim()lim lim 11111x x x x x x x x x x x →→→++----===----++. 5. 求幂指函数（001,0,∞∞型未定式）的极限例9 32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭解 22223211lim lim 1lim 1222222x x x xxx x x x x x x --→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2211lim 1e, lim 22222xx x x x x -→∞→∞⎛⎫+==- ⎪--⎝⎭Q ，1232lim e 22xx x x -→∞-⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭； 例10 21ln(1)0lim(cos )x x x +→解 1222cos 1cos 111ln(1)ln(1)ln(1)lim(cos )lim(1cos 1)lim (1cos 1)x x x x x x x x x x x --+++→→→⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦， 1cos 1222000cos 112lim(1cos 1)e,lim lim ln(1)2x x x x x x x x x -→→→--+-===-+Q ，211ln(1)20lim(cos )e x x x -+→∴=. 6. 极限的反问题例11 55)(2-++=x bx ax x f （b a ,为常数），问b a ,分别取何值时，有（1）1)(lim =∞→x f x （2）0)(lim =∞→x f x （3）1)(lim 5=→x f x解 （1）1,0==b a （2）0,0==b a（3）由已知得 0)5(lim 25=++→bx ax x ，所以 015=++b a ，代入原式115)1(lim 555lim 525=-=-=-+--→→a ax x x ax ax x x ，所以3,52-==b a . 7. 利用夹逼准则求极限例12 nnnnn 321lim ++∞→解 nn n n 333213⋅≤++≤Θ, 333213⋅≤++≤∴n n n n ,而333lim =⋅∞→n n ,33lim =∞→n , ∴3321lim =++∞→n n n n n8. 利用单调有界准则求极限例13 若x 1,x 2，x n +1n =1,2,…），求lim n n x →∞.解因为12x x ==有21x x >,今设1k k x x ->，则1k k x x +，由数学归纳法知，对于任意正整数n 有1n n x x +>，即数列{}n x 单调递增.又因为12x =<，今设2k x <，则12k x +==，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n 有2n x <，即数列{}n x 有上界，由极限收敛准则知lim n n x →∞存在.设lim n n x b →∞=，对等式1n x +=两边取极限得b =22b b =+，解得2b =，1b =-（由极限的保号性，舍去），所以lim 2n n x →∞=. 9. 求n 项和（或积）数列的极限例14 21111lim 3153541n n →∞⎛⎫++++⎪-⎝⎭L解 211111111lim lim 3153541133557(21)(21)n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪-⋅⋅⋅-+⎝⎭⎝⎭L L 11111111lim 12335572121n n n →∞⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭L 111lim 12212n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. 例15 设2coscos cos 222n n x x xx =L ，求lim n n x →∞.解 2sin sincos cos cos sin 222222nn n n n xx x x x xx ==L ,sin (0)2sin 2n n n x x x x ∴=≠, sin sin sin lim limlim(0)2sin 222nnn n n n n n x x xx x x x x →∞→∞→∞∴===≠g .当0x =时，1n x =，lim 1n n x →∞=10. 无穷小的比较与无穷小阶的确定例16 若0→x 时，21cos(e 1)x --和nm x 2等价无穷小，则,m n 各为多少？解 因为当0→x 时，2~cos 12x x -，e 1~xx -，所以222(e 1)1cos(e 1)~2x x ---，从而22224(e 1)()~222x x x -= ,所以 1,4-==m n .例17 0limx→解)()22000112lim x x x x x →→→==4x →==例18 0limx →ln cos 2ln cos3xx解 [][]000ln 1(cos 21)ln cos 2cos 21limlim limln cos3ln cos311(cos31)x x x x x x x x x →→→+--==-+- 22200021(2)1cos 2442lim lim lim .11cos399(3)2x x x x x x x x x →→→-====- 例19 0x → 解2000122lim lim 2sin 24x x x x x xx x →→→+===. 11. 讨论函数的连续性与间断点例20 求下列函数的间断点，并说明类型（1）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+=-001)1ln()(11x ex x x f x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+<π-=01)1(0sin )4()(22x x x x x x x x x f解（1）)(x f 的间断点可能为0、1.0=x Θ时，(0)0,f =lim ()lim ln(1)0(0)x x f x x f --→→=+==, 11100lim ()lim (0)x x x f x e e f +--→+→==≠0=∴x 为第一类跳跃间断点.又1=x Θ时，)(x f 在1=x 处无定义，且111lim x x e +-→=+∞，1=∴x 为)(x f 的无穷间断点.（2） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--±=k x ,3,2,1,0都可能为间断点.当0=x 时，20(1)()0,lim ()lim 0(0)1x x x x f x f x f x ++→→+====-，而22000(4)4lim ()lim lim (4)(0)sin x x x x x x f x x f x x πππ---→→→--==-=≠, 0=∴x 为第一类跳跃间断点.当2-=x 时，)(x f 无定义，但π=+π-=-→-→8)2()4(lim)(lim 222x x x x f x x , 2-=∴x 时为可去间断点.当...............5,4,3,1k x ----±=时)(x f 都无定义，且极限为无穷大，因此全为无穷间断点.例21 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(020sin )(x bx x x x x axx f 问常数b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.解 000ln(13)33lim ()lim lim x x x x x f x bx bx b---→→→--===-,000sin lim ()lim lim x x x ax ax f x a x x +++→→→===, 当0lim ()lim ()(0)2x x f x f x f -+→→===，即2,5.1=-=a b 时，)(x f 在0=x 处连续. 12. 闭区间上连续函数性质的应用例22 证明方程ln(1)20xe x +-=至少有一个小于1的正根.证 令()ln(1)2e xf x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续, 且0(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>, (1)ln(1)20e f =+-<,由零点定理知,至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0f ξ=.即方程ln(1)20xe x +-=至少有一个小于1的正根.三、课后练习1．求下列极限：(1) xx x x tan 2sinlim20→ (2) )sin 1cos (sin lim 0x x x x x -→ (3) n n n n 2)31(lim +-∞→ (4) )1ln()cos 1(1cossin 3lim 20x x x x x x +++→(5) x x x x )1232(lim ++∞→ (6) x x xx x 5sin 3sin lim0+-→ (7) 11sinlim-+∞→x x x x x （8）x x x x sin 1sin 1lim 0--+→2.(1) 已知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+=1)1(13)(22x x x A x x f 且)(lim 1x f x → 存在，求常数A .(2) 已知02])2([5lim22=-+--+→x B x A x x ，试求常数A 、B.3. 求下列函数的间断点，并指明其类型.（1）)32()1()(11xxe e xf ++= （2）)4)(1(2)(---=x x xx f（3）231)(22+--=x x x x f （4）)4(2)(22--=x x xx x f4.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=00cos 22)(x ae x xx x f x ,问a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续?5. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，b d c a <<<，q p ,为正数.证明：在],[b a 内至少有一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.。
高等数学习题课(1)函数极限与连续性
连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
P73 题5. 证明: 若 f (x) 在 (, )内连续, lim f (x)
x
存在, 则 f (x) 必在 (, )内有界.
III.课堂训练题 1. 求数列极限
1 lim[ n n n n ] n
2 lim 1 a1 a2 1 a2n ，( a 1) n
2. 求下列极限
1 lim x0
1 tan x 1 sin x sin3 x
2 lim sin x 1 sin x x
公式：sin A sin B 2cos A B sin A B
xx0
f (x)
f
(x0 )
6. 连续函数的性质
1) 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为 零），仍为连续函数；
2) 单值单调连续函数的反函数在对应区间上也为 单值单调的连续函数；
3) 连续函数的复合函数也是连续函数； 4) 一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。
7. 闭区间上连续函数的性质
有 y f (x0 x) f (x0 )
如 果 lim y 0
①
x0
或
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
②
或
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
③
则 称 函 数y f (x) 在 点 x0 处 连 续 。
命题：lim xx0
f
(x)
f
高等数学第一章函数极限练习题
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习题课（一）
例7
第 一 章 函 数 极 限 连 续
解
x2 1 ax b] 0. 求常数 a, b, 使得 lim[ x x 1 x2 1 0 lim[ ax b] x x 1 (1 a ) x 2 (b a ) x 1 b lim x x 1 1 a 0, a b 0
第 一 章 函 数 极 限 连 续
x
3 2 1 ) e 3 原式 lim [(1 x 1 x x 1 lim [sin x 1 sin x 1]
x 1 3 x 3 ) ] (
sin x 1 sin x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 cos sin 2 2 x 1 x 1 | cos | 1 2 1 x 1 x 1 lim sin 0 lim sin x x x 1 x 1 2 所以 原式 0
f A f f f
-6-
2
函数的趋向过程
习题课（一）
定义的四个主要部分
(1) 对任意给定的 , (2) 总存在 ,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
(3) 使当 时,
(4) 恒有不等式 成立,
(1),(4)用来刻划函数的趋向过程 (2),(3)用来刻划自变量的趋向过程 (3)起着控制(4)的作用 例5 叙述下列极限的定义 (1) lim xn
1 lim f ( x ) x 0 2
- 20 -
(3)
设 f ( x)
x 1
x 1 e x
习题课（一）
, 考察 lim f ( x ), lim f ( x )
(完整版)《高等数学》同步练习册(上)新答案
第1章 极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,(Y -∞ (3) 时，210≤<a a x a -≤≤1，φ时，21>a(4) 奇函数 (5)）（101log 2<<-x x x(6) )1(-≠x x (7) 22+x (8))(x g π2 (9) 1525++⋅x x(10) xe1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x xx x x f 4)(max =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要 3、 11.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、 (1) 21-(2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 0 (2)23x (3)1-(4) 62(5) 1 (6) 4 4、a = 1 b = -11.6 极限存在准则 两个重要极限1、(1) 充分 (2) ω，3 (3) 2 ，23(4) 0，22t (5) 3e ，2e2、(1) x (2)32(3) 2 (4) 1 (5) 3-e (6) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) B (4) C2、(1) 1 (2) 2 (3) 23- (4) 21- (5) 23 (6) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 充要 (2) 2 (3) 0，32 (4) 跳跃 ，无穷 ，可去2、(1) B (2) B (3) B (4) D3、(1) 1-e (2)21-e4、a =1 ， b = 25、 (1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.10 总习题1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3)21(4) 2 (5) 2 8- (6) 2 (7) 23 (8) 0 1- (9) 跳跃 可去 (10) 2 2、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B 3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x xx p P（3）15000=P （元）。
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第三章
中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
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一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
y F (x)y xf (x) f (a) f (b)
柯o 西a 中值b定x理
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运用洛比达法则求极限 有关泰勒定理的一些证明题 利用泰勒定理求一些极限
例6. 设函数
在
上二阶可导,
且
证明
证: x [0, 1] , 由泰勒公式得
f
(1)
f
(x)
f
( x)(1
x)
1 2
f
( )(1
x)2
(0 1)
f
(0)
f
(x)
f
( x)
x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
f (x0 ) f ( ) x x0
f (x0 ) M (b a) K (定数) 可见对任意 x (a ,b), f (x) K , 即得所证 .
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例2. 设 在 上连续, 在 证明至少存在一点
内可导, 且 使
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0.
上具有n 阶导数,
且 (1) f (k) (a) g (k) (a) (k 0,1, 2,, n 1)
则当
时
证: 令(x) f (x) g(x) , 则
(k) (a) 0 (k 0,1,, n 1) ; (n) (x) 0 (x a)
利用 在
处的 n －1 阶泰勒公式得
(x) (n) ( ) (x a)n
例4. 设实数
满足下述等式
a0
a1 2
an n 1
0
证明方程
在 ( 0 , 1) 内至少有一
个实根 .
证: 令 F (x) a0 a1x an xn , 则可设
F
(
x)
a0
x
a1 2
x2
an n 1
x n 1
且 F (0)
F (1) 0, 由罗尔定理知存在一点 (0,1), 使 即 a0 a1x anxn 0 在（0，1）内至少有一个实根 .
因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b)
①
又因 f (x)及 x2 在[a,b]上满足柯西定理条件 , 故有
②
将①代入②
,
化简得
f
( )
ab
2
f
(),
, (a,b)
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f (x) f (0) f (0)x f ( ) x2
2!
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例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0,3), 使
f ( ) 0.
证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在
n! 因此 x a 时 f (x) g(x) .
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例13.
证: 只要证
设 f (x) (1 x) e2 x 1 x,
则 f (0) 0
f (x) (1 2x) e2 x 1,
f (0) 0
f (x) 4x e2 x 0 (0 x 1)
利用一阶泰勒公式, 得
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例1. 设函数
在
内可导, 且
证明 在
内有界.
证: 取点 x0 (a ,b), 再取异于 x0 的点 x (a ,b), 对
为端点的区间上用拉氏中值定理, 得
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
f
( )
x2
(0 1)
两式相减得
0
f
(x)
1 2
f
( )(1
x)2
1 2
f ( )x2
f (x)
1 2
f
(
)(1
x)2
1 2
f ( )x2
1 2
f
()
(1
x)2
1 2
f ( ) x2
1 2 x(1 x) 1 , x [0, 1]
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定理. 设函数 f (x), g(x)在
)(x
x0 )n1
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2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
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3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
f ( ) f (b) f (a)
ba F(x) x
y n 0y f (x)
泰勒中值定理
f (x) f (x0 ) o f a(x0 )(x bx0x)
1 n!
f
(n)
(
x0
)(x
x0
)n
1 (n1)!
f
(n1) (
可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用
中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
设辅助函数 (x) x2 f (x)
显然
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
少存在一点
使
( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
即有
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例3.
且
试证存在
证: 欲证
f ( )
ab
f () , 即要证 2
f
( )(b
b2 a2
a)
f () . 2
[0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由罗f分(c尔析) 定: 所想理f f(给到3知(c)条找),必1件一,存f且可点(0在)写fc(f,为x3(使1))在(cff[(,f(c032(,)))c3)]f上3(11()0连f,(3f0续())2,),使f在3(11)(f,c(,ff3((2))3)内)0可1. 导 ,